redwasp
2 juni 2014, 21:17
salaam
als |x| voldoende klein is, dan zien we gemakkelijk dat :
x0 + x1 + x2 + x3 + ... = (1-x)-1
als we beide kanten van de vergelijking afleiden dan krijgen we :
0 + 1 + 2x + 3 x² + ... = (1-x)-2
wanneer we nu x = -1 kiezen (en dus eigenlijk een beetje te dicht bij de limiet aanschurken, maar in eulers tijd mocht dat nog) dan krijgen we :
0 + 1 + 2(-1) + 3(-1)² + ... = (1-(-1))-2
of uitgewerkt :
1 - 2 + 3 - 4 ... = (-2)-2 = 4-1 = 1/4
we houden dit idee in ons achterhoofd terwijl we een beetje spelen met de zèta-functie:
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...
wat betekent dat :
2-s ζ(s) = 2-s + 4-s + 3-s + 4-s + ...
trekken we die beide functies van mekaar af, dan krijgen we :
ζ(s) - 2 (2-s ζ(s) ) = (1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...) - (2-s + 4-s + 3-s + 4-s + ...)
en dus :
(1 - 2 . 2-s) ζ(s) = 1-s - 2-s + 3-s - 4-s + ...
als we nu ook s = -1 kiezen, dan wordt dit :
(1 - 2 . 2-(-1)) ζ(-1) = 1-(-1) - 2-(-1) + 3-(-1) - 4-(-1) + ...
uitgewerkt :
(-3) ζ(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
we hebben hierboven al geleerd dat het rechterlid van de vergelijking gelijk is aan 4-1 = 1/4, als we het linkerlid uitwerken, krijgen we :
(-3) (1-(-1) + 2-(-1) + 3-(-1) + 4-(-1) + ... = 1/4
wanneer we dit verder uitwerken krijgen we het spectaculaire resultaat :
(-3) (1 + 2 + 3 + 4 + ... ) = 1/4
of anders uitgedrukt :
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
dit schitterend juweeltje werd na euler nog op verschillende andere manieren bewezen, manieren die onze hedendaagse eisen qua rigoreusiteit beter doorstaan. ik vond het echter leuk om ook nog eens de oorspronkelijke redenering van euler op te voeren.
als |x| voldoende klein is, dan zien we gemakkelijk dat :
x0 + x1 + x2 + x3 + ... = (1-x)-1
als we beide kanten van de vergelijking afleiden dan krijgen we :
0 + 1 + 2x + 3 x² + ... = (1-x)-2
wanneer we nu x = -1 kiezen (en dus eigenlijk een beetje te dicht bij de limiet aanschurken, maar in eulers tijd mocht dat nog) dan krijgen we :
0 + 1 + 2(-1) + 3(-1)² + ... = (1-(-1))-2
of uitgewerkt :
1 - 2 + 3 - 4 ... = (-2)-2 = 4-1 = 1/4
we houden dit idee in ons achterhoofd terwijl we een beetje spelen met de zèta-functie:
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...
wat betekent dat :
2-s ζ(s) = 2-s + 4-s + 3-s + 4-s + ...
trekken we die beide functies van mekaar af, dan krijgen we :
ζ(s) - 2 (2-s ζ(s) ) = (1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...) - (2-s + 4-s + 3-s + 4-s + ...)
en dus :
(1 - 2 . 2-s) ζ(s) = 1-s - 2-s + 3-s - 4-s + ...
als we nu ook s = -1 kiezen, dan wordt dit :
(1 - 2 . 2-(-1)) ζ(-1) = 1-(-1) - 2-(-1) + 3-(-1) - 4-(-1) + ...
uitgewerkt :
(-3) ζ(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 + ...
we hebben hierboven al geleerd dat het rechterlid van de vergelijking gelijk is aan 4-1 = 1/4, als we het linkerlid uitwerken, krijgen we :
(-3) (1-(-1) + 2-(-1) + 3-(-1) + 4-(-1) + ... = 1/4
wanneer we dit verder uitwerken krijgen we het spectaculaire resultaat :
(-3) (1 + 2 + 3 + 4 + ... ) = 1/4
of anders uitgedrukt :
1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
dit schitterend juweeltje werd na euler nog op verschillende andere manieren bewezen, manieren die onze hedendaagse eisen qua rigoreusiteit beter doorstaan. ik vond het echter leuk om ook nog eens de oorspronkelijke redenering van euler op te voeren.