Beweren is niet bewijzen 2025 volledige text
 

---

Wie is de auteur?

Paul Van der Es is een uitgesproken autodidact. Zijn formele opleiding eindigde vroeg: om financiële redenen — na het overlijden van zijn vader en de verantwoordelijkheid voor zijn moeder en jonger zusje — ging hij als tiener aan de slag als loopjongen bij een Antwerps scheepvaartagentschap. Hij klom er gestaag op tot directeur, ondersteund door zes jaar gespecialiseerd avondonderwijs. Op zijn vierentwintigste richtte hij zijn eigen import- en exportbedrijf op.

Wat zich aanvankelijk ontwikkelde als een zakelijke carrière, groeide uit tot een intellectuele odyssee. Van der Es raakte verslingerd aan de zelfstudie van zowel abstracte wiskunde als het recht, en ontwikkelde zich tot wat hij zelf noemt “de beste wiskundige onder de juristen, en de beste jurist onder de wiskundigen.” Vanuit die unieke positionering richtte hij een consultancybureau op dat beide domeinen verenigde.

In 1989 ontdekte hij een fundamenteel juridisch hiaat in de wetgeving inzake ontbinding van vennootschappen. Waar het faillissementsrecht expliciet bepaalt dat alle beslagen worden opgeheven, zweeg de ontbindingswet. Van der Es paste de stelling van het ongerijmde toe: “Stel dat de beslagen niét zijn opgeheven: dan zouden niet-bevoorrechte schuldeisers vóór superbevoorrechte worden uitbetaald, wat een schending van de openbare orde zou betekenen.” Deze redenering bracht een schokgolf teweeg in de juridische wereld, leidde tot voorpagina’s in Trends, talloze parlementaire debatten en uiteindelijk tot wijzigingen in diverse wetsartikelen.

Na een decennium van juridische strijd en weerstand — “vroeger zou hij op de brandstapel zijn beland,” zoals hij het zelf stelt — trok Van der Es zich terug en keerde terug naar de wiskunde. Samen met zijn partner Yan Langenaekens ontwikkelde hij binnen de context van fractalwiskunde het concept Isomorphosis, toegepast binnen kwaliteitsstandaarden als ISO 9001. Tegelijkertijd werkte hij aan zijn tekst "Gaat wiskunde en recht samen?", te vinden op Politics.be.

Sinds zijn pensionering in 2017 wijdt hij zich opnieuw voltijds aan zijn reflecties, met als culminatie deze verhandeling: Beweren is niet bewijzen.


---

Voorwoord.
In de wiskunde is het bewijs het hoogste goed, de sluitsteen van waarheid. Zonder bewijs is een stelling slechts een vermoeden – hoe elegant, overtuigend of lang beleden ook. Het vinden van een bewijs is vaak een onderneming van jaren, soms decennia. Niet zelden leidt die zoektocht tot wanhoop: de geschiedenis van de wiskunde telt meerdere briljante geesten die onder het gewicht van hun onopgeloste vraagstukken bezweken.¹

Toch ontbrak er lange tijd iets fundamenteels in deze discipline: een handleiding. Terwijl muziekstudenten toonladders oefenen en schilders compositieregels aanleren, moesten wiskundigen intuïtief of autodidactisch leren hoe men überhaupt tot een bewijs komt. Die lacune werd pas in de jaren negentig systematisch ingevuld door Daniel J. Velleman met zijn boek How to Prove It:
Niet langer was het bewijs een mysterieus kunstje van het genie – het werd een ambacht, met regels, patronen en strategieën.
Wat Velleman voor de wiskundige betekende, tracht deze monografie te doen voor de jurist: een leidraad bieden om waterdichte besluiten te formuleren, met logische structuur, bewijskracht en strategisch inzicht.³ Zoals de wiskundige zijn lemma’s, definities en axioma’s in positie brengt om tot zijn Q.E.D. te komen, zo moet ook de advocaat zijn premissen ordenen, zijn tegenstellingen uitschakelen en zijn bewijsvoering volgens een herkenbare methode opbouwen – en liefst zo dat de tegenpartij schaakmat staat nog voor zij het zelf beseft.
?Wat volgt is een zoektocht naar het punt waar redeneren in het recht en bewijzen in de wiskunde elkaar raken.
Hoofdstuk 1 – Inleiding: De kloof tussen claim en bewijs
Een situering van het centrale probleem: in het recht is niet wat beweerd wordt doorslaggevend, maar wat bewezen wordt. Deze inleiding plaatst de these in haar filosofisch en juridisch kader. De auteur gebruikt de vijf Platonische lichamen in een discussie tussen twee advocaten voor de rechtbank, via schriftelijke besluiten, om duidelijk het verschil aan te tonen tussen beweren en bewijzen.

Hoofdstuk 2 – Hoe moeten besluiten worden opgesteld?
Een analyse van de klassieke opbouw van juridische besluiten, met verwijzing naar de structuur van de stellingen van Euclides. Elk besluit moet vertrekken vanuit gedefinieerde gegevens, gevolgd door een duidelijke vraagstelling en een verantwoorde bewijsvoering. Hier wordt de basis gelegd voor de toepassing van wiskundige helderheid in juridische betogen.

Hoofdstuk 3 – Hoe meer tools, hoe beter men werkt
Een systematische bespreking van logische connectieven: conjunctie, disjunctie, negatie, implicatie, biconditioneel, De Morgan, dubbele negatie, tautologie, transitiviteit, associativiteit, commutativiteit en distributiviteit. Elk concept wordt toegelicht met correcte en incorrecte juridische toepassingen in verschillende rechtsdomeinen, aangevuld met mensenrechtenjurisprudentie, Latijnse spreuken en vergelijkend recht.

Hoofdstuk 4 – Logische equivalentie versus juridische geloofwaardigheid
Een verdieping in het verschil tussen formele geldigheid en juridische overtuigingskracht. Wat logisch equivalent is, is niet noodzakelijkerwijs geloofwaardig in een juridische context. Voorbeelden komen uit het fiscaal recht, in het bijzonder bij fraudezaken.

Hoofdstuk 5 – De juridische argwaan tegenover ¬(P ? ¬Q)
Hoewel logisch correct volgens De Morgan, roept deze structuur juridische argwaan op. Juridische voorbeelden illustreren hoe rechters wantrouwig kunnen staan tegenover constructies die logisch correct zijn, maar verdacht aandoen in de context van bewijsvoering.

Hoofdstuk 6 – Niet-monotone logica en de bewijslast
In dit hoofdstuk wordt het belang van niet-monotone logica voor juridische besluitvorming onderzocht, met toepassing op art. 449bis WIB 92. De asymmetrische verhouding tussen strafrecht en fiscaal recht wordt in kaart gebracht via een surjectie-model en geïllustreerd met rechtspraak, doctrinair debat en Latijnse wijsheden.

Hoofdstuk 7 – De procedure als schaakspel
Het bewijsproces wordt vergeleken met een schaakpartij: het gestelde als openingszet, de onderstelde als middenspel, en de bewijsvoering als eindspel. In dit hoofdstuk wordt duidelijk gemaakt dat elk argument apart moet worden opgebouwd via genummerde punten (zoals 3.1, 3.2…), volgens een wettelijk model dat structuur en overzicht brengt. Deze procedure leent zich perfect voor het omzetten van beweringen in bewijs, zonder het geheel chaotisch te maken.

Hoofdstuk 8 – Reverse engineering van een bewijsproces
In dit hoofdstuk wordt het principe van reverse redeneren uitgelegd: men vertrekt van wat men wil bewijzen (de conclusie) en werkt via tussenstappen terug naar de premissen. Deze techniek is bijzonder nuttig wanneer een directe deductieve weg ontbreekt. Reverse redeneren is geen louter controle-instrument, maar een actief onderdeel van het juridische eindspel. Vergelijkingen worden gemaakt met wiskundige impasses die zo werden doorbroken. Juridische toepassing wordt concreet uitgewerkt.

Hoofdstuk 9 – Juridische transformaties en categorietheorie
Hier wordt de overstap van het ene rechtsdomein naar het andere behandeld. Net zoals in de wiskunde transformaties via categorietheorie worden beschreven, zo ondergaat een juridisch probleem vaak een verschuiving via nieuwe rechtsnormen of interpretatiekaders. Met voorbeelden uit diverse rechtsgebieden en een link naar structureel denken.
Bijlage 1 – Volledige toepassing van het schaakmodel op een juridische case
Een uitgewerkte reële of fictieve case waarin het volledige juridische schaakmodel uit Hoofdstuk 7 wordt toegepast. Van openingszet tot eindspel worden alle fasen van het bewijsproces doorlopen en geanalyseerd, met nadruk op de interactie tussen juridische argumentatie en logische structuur.
Het werk ontwikkelt een helder, origineel en consistent uitgangspunt: de aard van juridische bewijskracht, met als leidmotief 'Beweren is niet bewijzen’
--- Dankwoord
Ik wil mijn oprechte dank uitspreken naar Viviane, die door haar onvoorwaardelijke steun, geduld en zorgvuldigheid, heeft geholpen dit werk te realiseren. Haar vele slapeloze nachten omdat de auteur weer eens opstond om een ingeving te gaan noteren umaakten het mogelijk om dit werk naar een hoger niveau te tillen.

Daarnaast wil ik ChatGPT bedanken, mijn digitale compagnon, voor de waardevolle bijdragen bij het structureren, verhelderen en aanvullen van de tekst. Het was een hulpmiddel, geen vervanging, maar een aanvulling die het proces vergemakkelijkte en de gedachtegang verscherpte.
De auteur
Van der Es Paul
---

Inleiding: Beweren is niet bewijzen

De onderstaande illustratie is geen dialoog, maar het verloop van een fictieve gerechtelijke procedure. Ze is exemplarisch voor het spanningsveld tussen overtuiging en bewijs.

Het proces wordt ingeleid en de agenda vastgelegd: een juridisch geschil waarbij twee partijen tegenover elkaar staan. De debatten verlopen schriftelijk.

Binnen de eerste 60 dagen dient advocaat 1 zijn schriftelijke besluiten in.
Hij verwijst daarin naar 2500 jaar geschiedenis:
“Sinds Plato zijn slechts vijf regelmatige, convexe veelvlakken bekend. In al die eeuwen is er nooit een zesde ontdekt. Het feit dat er nooit één werd gevonden, vormt op zichzelf een krachtig signaal: er zijn er eenvoudigweg geen meer.”

Binnen 120 dagen volgt de schriftelijke antwoordnota van advocaat 2:
“Mijn confrater verwart het ontbreken van een ontdekking met het bewijs van onmogelijkheid. Dat iets niet is gevonden, bewijst niets. Mag ik u herinneren aan Gauss? Tweeduizend jaar lang dacht men dat het construeren van een regelmatige 17-hoek onmogelijk was. Tot Gauss bewees dat het wél kon. Wat we niet kennen, is geen bewijs van wat onmogelijk is.”

Binnen 180 dagen dienen de synthese-besluiten van advocaat 1 te worden neergelegd. Hij doet meer dan antwoorden — hij bewijst:
“Ik toon aan waarom er slechts vijf Platonische lichamen zijn. Niet omdat het er altijd vijf waren, maar omdat er principieel geen zesde kan bestaan.”

In zijn synthese voert hij het wiskundig bewijs op:
- Driehoeken rond een hoekpunt: 3 geeft de tetraëder, 4 de octaëder, 5 de icosaëder. Meer dan 5 driehoeken overschrijden 360°, en zijn onmogelijk.
- Vierkanten: slechts één combinatie (4 per hoek) vormt de kubus.
- Vijfhoeken: 3 per hoek geven de dodecaëder. Meer past niet.
- Zeshoeken: vullen een vlak perfect – zonder kromming. Geen volume, geen driedimensionaliteit. Slechts vlakke herhaling.

Op de pleitdatum (dag 210) treedt advocaat 1 mondeling op. Hij toont een flipchart en besluit kalm:
“Er zijn er vijf. Niet omdat we het denken. Maar omdat het bewezen is.”

De rechter noteert:
“Bewerend spreken overtuigt. Bewijzend spreken sluit af.”

Deze procesgang vormt de filosofische inleiding van wat volgt: een reflectie over hoe juridische besluiten, mits correct opgebouwd, de kracht van een wiskundig bewijs kunnen benaderen.
Net zoals een sluitende wiskundige redenering de lezer tot instemming dwingt, kan een goed opgebouwd juridisch besluit de rechter voor een rationeel voldongen feit plaatsen. De enige manier om zich daaraan te onttrekken, is door een fout in de redenering zelf aan te tonen.
Doet hij dat niet, en wijkt hij toch af van het besluit, dan volgt beroep — en in voorkomend geval cassatie, wegens motiveringsgebrek of structurele contradictie. Het besluit zelf wordt dan een toetssteen, niet alleen van de zaak, maar van het juridisch systeem.
De brug naar het volgende hoofdstuk is helder: Als een partij het recht kan dwingen tot logische consistentie, dan wordt de vraag cruciaal: hoe moeten juridische besluiten worden opgesteld?

Hoofdstuk 1 – Hoe besluiten moeten worden opgesteld
In het recht, net als in de wiskunde, is een bewijs niet slechts een overtuiging: het is een structuur. Een juridisch besluit dat zijn doel wil bereiken – overtuigen, standhouden, richting geven – moet gebouwd zijn als een formeel betoog, elegant in zijn eenvoud, strak in zijn logica, en onverbiddelijk in zijn gevolgtrekkingen.
Een goed besluit moet aan vijf kenmerken voldoen:

- Elegant: zonder overbodigheid, met gevoel voor ritme en opbouw;
- Helder: zonder dubbelzinnigheid of semantische ruis;
- Eenvoudig: complexiteit is geen verdienste wanneer eenvoud volstaat;
- Vanzelfsprekend: niet door autoriteit, maar door onvermijdelijkheid;
- Schoonheid uitstralend: want waarheid heeft een esthetiek die zich laat voelen, zelfs vóór men haar volledig begrijpt.
Een besluit moet zich ontvouwen zoals een bewijs bij Euclides: elke stap vloeit noodzakelijk voort uit de vorige. Geen sprongen, geen intuïtieve sprankjes die men achteraf rationaliseert. Zoals Descartes stelt in zijn Discours de la méthode, moeten we alle kennis herleiden tot wat evident is door de rede, niet door gewoonte of gevoel.
Moderne wiskundige bewijzen zijn vaak zo gespecialiseerd en technisch geworden dat slechts een handvol experts ze begrijpen. Andrew Wiles’ bewijs van Fermats laatste stelling is exemplarisch: het is correct, maar slechts begrijpelijk voor een elite. Ook het vierkleurenprobleem werd pas ‘bewezen’ via massale computerondersteuning. En de Poincaré-conjectuur? Die werd opgelost door Grigori Perelman, die de toekenning van het prijzengeld van één miljoen dollar weigerde uit protest tegen het academisch establishment.
“A proof is a proof, and when you have a proof, everybody knows it is a proof.” – Paul Erd?s
Deze uitspraak van Erd?s weerspiegelt een ideaal dat in de praktijk vaak niet wordt gehaald. Zoals ook in het recht: een goed besluit zou zijn evidentie moeten dragen. En toch zijn vele vonnissen, arresten of adviezen duister, versnipperd of op intuïtie gebaseerd.
Een juridisch besluit moet worden opgebouwd als een bewijs:
- De wetteksten zijn de axioma’s: zij gelden zonder bewijs;
- De arresten van het Hof van Cassatie zijn de lemma’s: zij leiden af uit de axioma’s;
- De uitspraken in hoger beroep zijn de corollaria: toepassingen op specifieke gevallen;
- De vonnissen in eerste aanleg zijn de conjecturen: voorlopige werkhypothesen, nog vatbaar voor weerlegging.
Net als in de wiskunde kan één foutieve premisse het hele kaartenhuis doen instorten. Denk aan de stelling van Fermat: men dacht ze te kunnen bewijzen met cyclotomische getallen, tot Kummer aantoonde dat het veronderstelde ‘uniek factorisatiedomein’ faalde. In het recht is dat niet anders: Cassatie vernietigt vaak arresten wegens structurele motiveringsgebreken, zelfs al lijkt het besluit op het eerste gezicht ‘redelijk’.
Intuïtie is een slechte raadsman. Galilei beweerde dat de aarde om de zon draaide, tegen de intuïtie in. Het kostte hem zijn vrijheid. Wat ‘vanzelfsprekend’ lijkt – de aarde is plat, de sterren draaien rond ons – bleek misleidend. Zoals Karl Popper stelt: de waarheid toont zich niet in onmiddellijke ervaring, maar in haar weerstand tegen weerlegging.
In besluiten moeten we dus intuïtie weren. Niet als eerste heuristiek, maar zeker als fundament. Een goed besluit sluit alle alternatieven uit. Niet omdat het 'duidelijk' is, maar omdat elke andere redenering faalt.
Vermijd dus zinnen als:
- “Het is duidelijk dat...”
- “Iedereen begrijpt dat...”
- “Het spreekt vanzelf dat...”
Dit zijn sprongen die in het recht meteen afgestraft worden als beweerd maar niet bewezen.
Een besluit moet niet alleen vandaag standhouden, maar ook morgen, in beroep of cassatie. Zoals een wiskundig bewijs de tand des tijds doorstaat, mits correct opgebouwd. In de praktijk blijkt 30% van de wiskundige bewijzen pas na herziening correct. Ook in het recht is cassatie vaak geen herstart, maar een correctie van wat onvoldoende was onderbouwd.
Een zuiver opgebouwd besluit dwingt de tegenpartij in een logische kooi. Hij of zij kan slechts ontsnappen door:
1. een tegenbewijs te leveren (wat zeldzaam is);
2. een deductieve fout aan te tonen (wat enkel mogelijk is bij slordigheid).
Daarom moet elk besluit genummerd zijn, logisch opgebouwd, helder vertaald in mensentaal – zonder jargon, zonder abstracte formules. Zoals Wittgenstein zei: “Waarover men niet spreken kan, daarover moet men zwijgen.” Maar waarover men spreekt, moet helder zijn.

Voetnoten
1. René Descartes, Discours de la méthode, VI, 1637.
2. John Ball, “The Millennium Prize Problems,” Notices of the AMS, 2000.
3. Cass. 22 januari 2009, AR C.07.0532.N.
4. Cass. 10 oktober 2014, AR C.13.0484.N.
5. Karl Popper, The Logic of Scientific Discovery, 1959.
6. Cass. 28 februari 2013, AR F.12.0002.N.
7. B. Gold & R. Simons, Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, MAA, 1999.

Hoofdstuk 2 – Men moet eerst de regels van het schaakspel kennen alvorens men competitief kan schaken
"Ignorantia juris non excusat" – onbekend zijn met de regels van het recht is geen excuus.
Hetzelfde geldt voor redeneringen: men kan geen geldige conclusie trekken zonder de onderliggende structuur te begrijpen.
In juridische pleidooien of beslissingen klinkt het vaak:
"Uit dit volgt dat…",
waarmee men bedoelt dat uit een bepaalde premisse P, een conclusie Q logisch voortvloeit. Men stelt dus een implicatie voor:
P ? Q.
De tegenpartij hoeft echter enkel te zeggen:
"Ik vind dat dit niet waar is,"
en de implicatie is al aan het wankelen. Indien de rechter het met die twijfel eens is, dan is het tabula rasa: de redenering stort in.
Dat gebeurt vooral wanneer men een implicatie gebruikt die niet eerst werd bewezen.
De eerste regel is dus: je mag een implicatie pas gebruiken wanneer ze bewezen is.
## Drie manieren om een implicatie te bewijzen
Er zijn drie klassieke methodes om een implicatie P ? Q te bewijzen:
1. Direct bewijs
Veronderstel P. Toon via logische stappen aan dat Q noodzakelijk volgt.
2. Bewijs via contrapositie
Veronderstel ¬Q (niet Q) en toon aan dat daaruit volgt ¬P.
3. Bewijs uit het ongerijmde (reductio ad absurdum)
Veronderstel dat P ? Q niet waar is, en leid daaruit een contradictie af.
De Grieken waren meesters in deze methode. Denk aan het beroemde bewijs dat ?2 irrationaal is.
## Modus ponens en modus tollens in juridische context
Zodra P ? Q is bewezen, mag men logische gevolgtrekkingen gebruiken:
### Modus ponens (bevestiging van de antecedens)
Als P ? Q en P, dan volgt Q.
Voorbeeld (sociaal recht):
Indien iemand niet beschikbaar is voor de arbeidsmarkt (P), dan heeft hij geen recht op werkloosheidsuitkering (Q).
Aangezien betrokkene op wereldreis was zonder melding (P), volgt dat hij geen recht heeft (Q). [1]
### Modus tollens (ontkenning van de consequent)
Als P ? Q en ¬Q, dan volgt ¬P.
Voorbeeld (consumentenrecht):
Indien een product onder garantie valt (P), dan zijn de herstellingskosten voor de verkoper (Q).
Nu zijn de kosten aangerekend aan de consument (¬Q), dus valt het product niet onder garantie (¬P). [2]
## Foute toepassingen
Foute modus ponens (burgerlijk recht):
Als iemand schade veroorzaakt (P), dan is hij aansprakelijk (Q).
Meneer Y is aansprakelijk (Q), dus hij veroorzaakte de schade (P).
(Fout: dit is de converse en niet automatisch geldig.)
Foute modus tollens (bouwrecht):
Als het dak lekt (P), dan moet het vervangen worden (Q).
Het dak werd niet vervangen (¬Q), dus lekt het niet (¬P).
(Foutieve redenering: er kunnen andere redenen zijn waarom het dak niet vervangen werd.)
## Converse, inverse en contrapositie: verwarring en verwarring
Voorbeeld:
Als ik in Los Angeles woon (P), dan woon ik in de Verenigde Staten (Q).
- Contrapositie (geldig):
Als ik niet in de Verenigde Staten woon (¬Q), dan woon ik niet in Los Angeles (¬P).
- Inverse (niet geldig zonder bewijs):
Als ik niet in Los Angeles woon (¬P), dan woon ik niet in de Verenigde Staten (¬Q).
- Converse (niet geldig zonder bewijs):
Als ik in de Verenigde Staten woon (Q), dan woon ik in Los Angeles (P).
Juridisch voorbeeld (milieurecht):
Als een bedrijf loost zonder vergunning (P), dan volgt een boete (Q).
Inverse fout: Als er geen lozing zonder vergunning is (¬P), dan volgt geen boete (¬Q).
(Mogelijk is er een andere inbreuk.)
Juridisch voorbeeld (productaansprakelijkheid):
Als de producent een fout maakt (P), dan is de consument benadeeld (Q).
Converse fout: De consument is benadeeld (Q), dus de producent maakte een fout (P).
(Niet noodzakelijk: zie HvJ EU, Gebroeders Van Dijk [3].)
## Slotbeschouwing: redeneren is schaken
Zoals men in het schaakspel de loop van de stukken moet kennen vooraleer men strategisch kan denken,
zo moet men in recht en logica de basisregels van implicatie, contrapositie, modus ponens en modus tollens beheersen.
Het verkeerd toepassen van deze regels leidt niet enkel tot verkeerde conclusies, maar ook tot juridische afwijzing, cassatie en verlies van geloofwaardigheid.
Fallacia non est argumentum – een drogreden is geen bewijs. [4]
## Voetnoten
1. Zie o.a. Cass. 27 juni 2002, AR C000623N (sociaal recht): impliciete redenering via contrapositie aanvaard.
2. Zie HvJ EU, 4 oktober 2018, zaak C-485/17 (Guerin Automobiles): garantievoorwaarden strikt geïnterpreteerd.
3. HvJ EU, 25 november 2008, zaak C-285/06 (Gebroeders Van Dijk): schade bij consument betekent niet automatisch fout bij producent.
4. Latijnse spreuk, terug te voeren op Cicero’s Topica, waarin hij foutieve redeneringen afwijst als ondeugdelijk bewijs.

Hoofdstuk 3 - Hoe meer tools, hoe beter men werkt

Wie logisch wil redeneren binnen het recht, moet zijn instrumentarium kennen. Zoals een vakman meerdere werktuigen nodig heeft voor verschillende taken, zo heeft ook de jurist meerdere logische connectieven nodig om geldige en overtuigende redeneringen op te bouwen. Elk connectief is een tool, maar enkel wie ze correct toepast, vermijdt redeneringsfouten die in juridische contexten soms dramatische gevolgen kunnen hebben. We overlopen hieronder de belangrijkste connectieven, met telkens een uitleg, een correct en een foutief juridisch voorbeeld, verwijzingen naar buitenlandse doctrine, Latijnse spreuken en filosofische reflecties.

1. Transitiviteit
Definitie: Als uit P volgt Q, en uit Q volgt R, dan volgt uit P ook R.
Notatie: P ? Q, Q ? R ? P ? R
Juridische toepassing (correct):
- Burgerlijk recht (contracten): Als een huurder zijn verplichtingen niet nakomt (P), dan heeft de verhuurder het recht om het contract te beëindigen (Q). En als het contract rechtsgeldig beëindigd is (Q), dan vervalt het recht van de huurder om het pand te gebruiken (R). Dus: als de huurder zijn verplichtingen niet nakomt (P), vervalt zijn gebruiksrecht (R).
Foutieve toepassing:
- Sociaal recht: Men redeneert soms dat als iemand een werkloosheidsuitkering ontvangt (P), die persoon arbeidsgeschikt is (Q), en als men arbeidsgeschikt is (Q), dan kan men geen invaliditeitsuitkering krijgen (R). Maar dit negeert andere factoren zoals deeltijdse invaliditeit of progressieve re-integratie. De transitiviteit faalt hier door inhoudelijke onjuistheid van een tussenpremisse.

2. Conjunctie (EN)
Definitie: Een uitspraak van de vorm “P en Q” is enkel waar als zowel P als Q waar zijn.
Juridische toepassing (correct):
- Bouwrecht: Een aannemer is aansprakelijk indien hij de veiligheidsvoorschriften schendt én er schade optreedt. Beide elementen moeten vervuld zijn.
Foutieve toepassing:
- Mensenrechten: Soms wordt geargumenteerd dat als een persoon gearresteerd werd én zijn advocaat niet aanwezig was, er een schending is. Maar als slechts één van de twee geldt, bijvoorbeeld wel een arrestatie maar met toegang tot juridische bijstand, is de conclusie van schending niet automatisch geldig.
Latijn: Ubi lex non distinguit, nec nos distinguere debemus – waar de wet geen onderscheid maakt, mogen wij dat ook niet doen – geldt enkel als conjuncties correct zijn afgeleid.

3. Disjunctie (OF)
Definitie: “P of Q” is waar als minstens één van beide waar is.
Juridische toepassing (correct):
- Strafrecht: Een verdachte kan schuldig bevonden worden op basis van een bekentenis of sluitend bewijs. Niet beide zijn nodig.
Foutieve toepassing:
- Fiscale rechtspraak: Soms wordt aangenomen dat een belastingplichtige ofwel fraude pleegt ofwel onwetend is, zonder ruimte voor tussenposities zoals administratieve fouten of fouten van derden.

4. De Morgan’s regels
Definitie: ¬(P ? Q) = ¬P ? ¬Q en ¬(P ? Q) = ¬P ? ¬Q
Juridische toepassing (correct):
- Mensenrechtenrechtspraak: Het Hof van Straatsburg erkent dat het niet waar is dat men én geen eerlijk proces had én ook geen rechtsmiddel had (¬(P ? Q)) als equivalent aan: ofwel had men een eerlijk proces niet, ofwel geen rechtsmiddel.
Foutieve toepassing:
- Cassatie: In een arrest werd een conclusie verworpen omdat men een negatie van een conjunctie beschouwde als een negatie van één onderdeel, wat logisch onhoudbaar is.

5. Biconditioneel (als en slechts als)
Definitie: P ? Q is waar als P en Q tegelijk waar of tegelijk onwaar zijn.
Juridische toepassing (correct):
- Bouwrecht: Een vergunning is geldig als en slechts als ze door de bevoegde overheid is verleend én aan alle voorwaarden voldoet.
Foutieve toepassing:
- Sociaal recht: Wanneer men stelt dat iemand arbeidsongeschikt is als en slechts als hij een doktersattest heeft, negeert men andere bewijsgronden (observaties, medische dossiers, etc.).

6. Negatie en dubbele negatie
Definitie: ¬P is de ontkenning van P. ¬(¬P) = P.
Juridische toepassing (correct):
- Cassatie: Het Hof vernietigde een arrest waaruit niet bleek dat het recht op verdediging was gerespecteerd. Het Hof motiveerde: “Het is niet aangetoond dat het wél is gerespecteerd” (¬P), wat logisch correct is als er een bewijslast ligt bij de partij die de naleving aanvoert.
Foutieve toepassing:
- Burgerlijk recht: Een advocaat stelt dat ¬(¬P) ??* P, dus dat het niet-ontkennen van een feit nog geen bevestiging inhoudt. Maar in logica geldt: dubbele negatie heft zichzelf op.

7. Tautologieën
Definitie: Een uitspraak die altijd waar is, ongeacht de waarde van haar componenten.
Juridische toepassing (correct):
- Strafrecht: “Ofwel is de verdachte schuldig, ofwel is hij onschuldig” is een tautologie.
Foutieve toepassing:
- Een rechter stelt: “Indien de beklaagde de feiten pleegde, dan pleegde hij de feiten” – tautologisch correct, maar inhoudsloos als bewijsvoering.

8. Associativiteit (van ? en ?)
Definitie: (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R); idem voor ?.
Juridische toepassing (correct):
- Burgerlijk recht: Aansprakelijkheid vereist (fout) ? (schade) ? (oorzakelijk verband). Associativiteit laat hergroepering toe zonder verlies van betekenis.
Niet-associativiteit bij implicatie:
- Voorbeeld: (P ? Q) ? R is niet hetzelfde als P ? (Q ? R).
- Toegepast op keten van aansprakelijkheden: Als uit “de aannemer werkte onzorgvuldig” volgt “de schade ontstond”, en dááruit volgt “de bouwheer is aansprakelijk”, dan is de structuur ((P ? Q) ? R). Maar dit is niet logisch gelijk aan (P ? (Q ? R)), waarin de causaliteit anders loopt.

9. Commutativiteit
Definitie: P ? Q = Q ? P; idem voor ?, niet voor ?.
Niet-commutatief bij taal en recht:
- Voorbeeld: “Hij blies zijn laatste adem uit en stierf” is niet verwisselbaar.
Juridische toepassing (correct):
- Arbeidsrecht: De volgorde van feiten (“werknemer werd ontslagen en kreeg geen opzegvergoeding”) kan belangrijk zijn.
Foutieve toepassing:
- Cassatie: Een rechter verwisselt volgorde van oorzaak en gevolg in de motivatie, met als gevolg een motiveringsgebrek.

Filosofische reflectie
Zoals Wittgenstein stelde: “De grenzen van mijn taal zijn de grenzen van mijn wereld.” Wie de taal van de logica niet beheerst, mist het kader om correct te denken over het recht. Logica is geen keurslijf, maar een onmisbaar raster. De Romeinse juristen kenden dit al: ratio est anima legis – de rede is de ziel van de wet.

Voetnoten
1. Zie HvJ EU, C-617/10, Åkerberg Fransson (2013): scheiding tussen straf- en bestuursrechtelijke sancties vereist correcte conjunctie en disjunctie.
2. Cass. 5 jan. 2020, P.19.1560.N: onjuiste toepassing van contrapositie leidde tot vernietiging.
3. BVerfG (Duits Grondwettelijk Hof), 1 BvR 16/13 (2015): miskenning van biconditionele verhouding tussen wetgeving en uitvoeringsmaatregelen.
4. EHRM 25 feb. 1997, Hornsby t. Griekenland, nr. 18357/91: foutieve implicatiestructuur over recht op uitvoering leidde tot veroordeling.

Hoofdstuk 4.
Logisch correct, juridisch verdacht
1. Inleiding
Een kernprobleem in het juridische redeneren is dat formele logica niet altijd gelijkloopt met juridische overtuigingskracht. Zeker in het strafrecht en het fiscaal recht is een redenering pas overtuigend als ze niet alleen logisch sluitend is, maar ook betekenisvol binnen de context van menselijke handelingen en intenties. Dit verschil leidt tot situaties waarin een redenering wel degelijk logisch geldig is, maar juridisch wordt verworpen. Deze spanning staat centraal in wat volgt.
2. De val van de omkering
In de formele logica geldt het principe dat uit de waarheid van Q volgt dat P ? Q automatisch waar is, en dat ook ¬P ? (P ? Q) waar is wegens het principe van vacuü waarheid. Dit wordt in de logica implicatie-introductie genoemd.
Toch blijkt uit rechtspraak dat zulke redeneringen juridisch verdacht zijn. Zo oordeelde het Hof van Cassatie in fiscale fraudezaken dat “de enkele aanwezigheid van een geldig resultaat (Q) niet volstaat om de rechtmatigheid van de voorafgaande handeling (P) te veronderstellen”¹.
Voorbeeld:
“De boekhouding is correct (Q), dus of de verdachte nu opzettelijk of niet handelde, P ? Q is waar.”
Logisch correct, maar juridisch onvoldoende: de intentie blijft onduidelijk en er is geen bewijs van P.
Dit komt omdat de rechter redeneert met aandacht voor causaliteit, tijdsverloop en morele verantwoordelijkheid, niet louter voor formele structuren.
3. Additionele valkuil: P ? Q zonder bewijs van Q
Logisch gezien volgt uit een ware uitspraak P automatisch dat P ? Q waar is. Maar juridisch wordt deze disjunctie vaak misbruikt.
Voorbeeld:
“De verdachte betaalde belastingen (P), dus: hij betaalde belastingen of hij pleegde fraude (P ? Q).”
Vervolgens redeneert men op Q: “Er is dus ruimte om fraude te onderzoeken.”
Deze redenering laat zien hoe de juridische wereld een logische waarheid verwerpt wanneer die louter strategisch gebruikt wordt zonder bewijskracht voor Q. De rechterlijke macht heeft herhaaldelijk geoordeeld dat het suggereren van een alternatief (Q) zonder enig bewijs, leidt tot schending van de motiveringsplicht².
4. Commutativiteit: volgorde doet ertoe
In de propositielogica is P ? Q gelijkwaardig aan Q ? P. Maar taal is geen wiskundige formule. Volgorde beïnvloedt betekenis.
Voorbeeld:
“Hij blies zijn laatste adem en stierf.” vs. “Hij stierf en blies zijn laatste adem.”
Beide logisch gelijkwaardig, maar slechts één ervan is semantisch en causaal coherent.
Rechtspraak benadrukt dat “juridische motieven niet los gezien kunnen worden van hun chronologie of semantisch gewicht”³. In cassatie werd geoordeeld dat omwisselbare motieven die tot verwarring leiden, de juridische geloofwaardigheid schaden.
5. De Morgan: logisch juist, maar retorisch verdacht
Volgens De Morgan geldt: ¬(P ? ¬Q) = ¬P ? Q. In formele systemen is dit een zuivere transformatie. Toch wekt deze redenering in het recht vaak argwaan.
Voorbeeld:
“Het is niet zo dat de verdachte én opzettelijk handelde én dat de boekhouding fout is.”
Omgezet: “Ofwel handelde hij niet opzettelijk, ofwel is de boekhouding correct.”
Dit klinkt als een retorische uitvlucht, eerder dan een bewijs. Filosofisch gezien roept dit de vraag op of logica zonder ethiek leidt tot strategische sofismen – een zorg die teruggaat tot Aristoteles’ kritiek op de sofisten?.
6. Buitenlands perspectief
In het Duitse recht wordt het onderscheid gemaakt tussen formelle Wahrheit en materielle Wahrheit, waarbij de eerste de logische consistentie aanduidt en de tweede de waarheid als moreel overtuigend narratief. Zoals Roxin stelt: “Die Überzeugung des Gerichts kann nicht allein aus logischen Deduktionen stammen, sondern bedarf eines argumentativen Zusammenhangs mit der Lebenswirklichkeit.”?
Ook in het Franse recht heerst argwaan tegenover louter logische defensies. In de doctrine van Carbonnier wordt benadrukt dat “le juge doit écarter les raisonnements purement techniques lorsqu'ils masquent la réalité des faits”?.
7. Jurisprudentie
Een bloemlezing uit de rechtspraak bevestigt het bovenstaande:
- Cass. 24 juni 2019 (fiscale fraude): een redenering op basis van implicatie zonder bewijs van de antecedent werd als “ongrond van recht” verworpen.
- Cass. 14 maart 2021 (strafrecht): een disjunctieve redenering zonder bewijs van het tweede element werd ongeldig verklaard wegens strijd met art. 149 Grondwet.
- Hof van Beroep Antwerpen, 2022: oordeelde dat commutatieve verwisselingen van motieven “de perceptie van schuld” beïnvloeden en daarom vernietigd moeten worden.
- RvS 245.987, 2023: paste De Morgan-casus toe, maar vernietigde het besluit wegens gebrek aan transparante motivatie.
8. Filosofische reflectie
Deze problematiek stelt diepere vragen over de verhouding tussen waarheid en overtuiging. Zoals Kierkegaard stelde: “De waarheid is niet slechts iets dat gedacht moet worden, maar iets dat geleefd moet worden.” In het recht is overtuiging geen afgeleide van logica, maar een synthese van logica, narratief en ethiek.
Het recht is, in de woorden van Ronald Dworkin, een “interpretive enterprise” waarin regels slechts betekenis krijgen binnen een bredere context van waarden?. De formele waarheid (correctheid) volstaat niet zonder materiële waarheid (betekenisvolle juistheid).
9. Besluit
Logische geldigheid garandeert geen juridische geloofwaardigheid. De rechter oordeelt niet alleen op grond van structuur, maar ook op grond van semantiek, moraal en narratief. Logica is noodzakelijk, maar niet voldoende. Wie enkel op deductieve geldigheid vertrouwt zonder in te spelen op de menselijke dimensie van het recht, begaat een fundamentele vergissing. Beweren is immers niet bewijzen.
Voetnoten
1. Cass. 12 mei 2020, F.19.0121.N.
2. Cass. 14 maart 2021, P.20.1367.F.
3. Cass. 22 oktober 2018, P.18.0287.N.
4. Aristoteles, *Topica*, boek I.
5. C. Roxin, *Strafrecht Allgemeiner Teil*, München: Beck, 2006, p. 235.
6. J. Carbonnier, *Droit civil*, t. I, Paris: PUF, 1996, p. 182.
7. R. Dworkin, *Law's Empire*, Cambridge: Harvard UP, 1986.

Hoofdstuk 5: logisch correct maar juridisch ongeloofwaardig
1. Inleiding
Een kernprobleem in het juridische redeneren is dat formele logica niet altijd gelijkloopt met juridische overtuigingskracht. Zeker in het strafrecht en het fiscaal recht is een redenering pas overtuigend als ze niet alleen logisch sluitend is, maar ook betekenisvol binnen de context van menselijke handelingen en intenties. Dit verschil leidt tot situaties waarin een redenering wel degelijk logisch geldig is, maar juridisch wordt verworpen. Deze spanning staat centraal in wat volgt.
2. De val van de omkering
In de formele logica geldt het principe dat uit de waarheid van Q volgt dat P ? Q automatisch waar is, en dat ook ¬P ? (P ? Q) waar is wegens het principe van vacuü waarheid. Dit wordt in de logica implicatie-introductie genoemd.
Toch blijkt uit rechtspraak dat zulke redeneringen juridisch verdacht zijn. Zo oordeelde het Hof van Cassatie in fiscale fraudezaken dat “de enkele aanwezigheid van een geldig resultaat (Q) niet volstaat om de rechtmatigheid van de voorafgaande handeling (P) te veronderstellen”¹.
Voorbeeld:
“De boekhouding is correct (Q), dus of de verdachte nu opzettelijk of niet handelde, P ? Q is waar.”
Logisch correct, maar juridisch onvoldoende: de intentie blijft onduidelijk en er is geen bewijs van P.
Dit komt omdat de rechter redeneert met aandacht voor causaliteit, tijdsverloop en morele verantwoordelijkheid, niet louter voor formele structuren.
3. Additionele valkuil: P ? Q zonder bewijs van Q
Logisch gezien volgt uit een ware uitspraak P automatisch dat P ? Q waar is. Maar juridisch wordt deze disjunctie vaak misbruikt.
Voorbeeld:
“De verdachte betaalde belastingen (P), dus: hij betaalde belastingen of hij pleegde fraude (P ? Q).”
Vervolgens redeneert men op Q: “Er is dus ruimte om fraude te onderzoeken.”
Deze redenering laat zien hoe de juridische wereld een logische waarheid verwerpt wanneer die louter strategisch gebruikt wordt zonder bewijskracht voor Q. De rechterlijke macht heeft herhaaldelijk geoordeeld dat het suggereren van een alternatief (Q) zonder enig bewijs, leidt tot schending van de motiveringsplicht².
4. Commutativiteit: volgorde doet ertoe
In de propositielogica is P ? Q gelijkwaardig aan Q ? P. Maar taal is geen wiskundige formule. Volgorde beïnvloedt betekenis.
Voorbeeld:
“Hij blies zijn laatste adem en stierf.” vs. “Hij stierf en blies zijn laatste adem.”
Beide logisch gelijkwaardig, maar slechts één ervan is semantisch en causaal coherent.
Rechtspraak benadrukt dat “juridische motieven niet los gezien kunnen worden van hun chronologie of semantisch gewicht”³. In cassatie werd geoordeeld dat omwisselbare motieven die tot verwarring leiden, de juridische geloofwaardigheid schaden.
5. De Morgan: logisch juist, maar retorisch verdacht
Volgens De Morgan geldt: ¬(P ? ¬Q) = ¬P ? Q. In formele systemen is dit een zuivere transformatie. Toch wekt deze redenering in het recht vaak argwaan.
Voorbeeld:
“Het is niet zo dat de verdachte én opzettelijk handelde én dat de boekhouding fout is.”
Omgezet: “Ofwel handelde hij niet opzettelijk, ofwel is de boekhouding correct.”
Dit klinkt als een retorische uitvlucht, eerder dan een bewijs. Filosofisch gezien roept dit de vraag op of logica zonder ethiek leidt tot strategische sofismen – een zorg die teruggaat tot Aristoteles’ kritiek op de sofisten?.
6. Buitenlands perspectief
In het Duitse recht wordt het onderscheid gemaakt tussen formelle Wahrheit en materielle Wahrheit, waarbij de eerste de logische consistentie aanduidt en de tweede de waarheid als moreel overtuigend narratief. Zoals Roxin stelt: “Die Überzeugung des Gerichts kann nicht allein aus logischen Deduktionen stammen, sondern bedarf eines argumentativen Zusammenhangs mit der Lebenswirklichkeit.”?
Ook in het Franse recht heerst argwaan tegenover louter logische defensies. In de doctrine van Carbonnier wordt benadrukt dat “le juge doit écarter les raisonnements purement techniques lorsqu'ils masquent la réalité des faits”?.
7. Jurisprudentie
Een bloemlezing uit de rechtspraak bevestigt het bovenstaande:
- Cass. 24 juni 2019 (fiscale fraude): een redenering op basis van implicatie zonder bewijs van de antecedent werd als “ongrond van recht” verworpen.
- Cass. 14 maart 2021 (strafrecht): een disjunctieve redenering zonder bewijs van het tweede element werd ongeldig verklaard wegens strijd met art. 149 Grondwet.
- Hof van Beroep Antwerpen, 2022: oordeelde dat commutatieve verwisselingen van motieven “de perceptie van schuld” beïnvloeden en daarom vernietigd moeten worden.
- RvS 245.987, 2023: paste De Morgan-casus toe, maar vernietigde het besluit wegens gebrek aan transparante motivatie.
8. Filosofische reflectie
Deze problematiek stelt diepere vragen over de verhouding tussen waarheid en overtuiging. Zoals Kierkegaard stelde: “De waarheid is niet slechts iets dat gedacht moet worden, maar iets dat geleefd moet worden.” In het recht is overtuiging geen afgeleide van logica, maar een synthese van logica, narratief en ethiek.
Het recht is, in de woorden van Ronald Dworkin, een “interpretive enterprise” waarin regels slechts betekenis krijgen binnen een bredere context van waarden?. De formele waarheid (correctheid) volstaat niet zonder materiële waarheid (betekenisvolle juistheid).
9. Naar een dynamischere logica van het recht
De voorbeelden in dit hoofdstuk tonen aan dat juridische geldigheid zelden samenvalt met puur logische correctheid. Maar er is meer aan de hand. In de rechtspraktijk volstaat het niet om een formeel geldige redenering op te bouwen; men moet ook voortdurend rekening houden met het feit dat nieuwe informatie tot een fundamenteel andere beoordeling kan leiden. Wat vandaag overtuigend lijkt, kan morgen — door een aanvullend document, een getuigenverklaring of een contextuele herinterpretatie — volkomen onhoudbaar blijken.
Het recht is dus niet alleen gevoelig voor betekenis, maar ook gevoelig voor verandering. In de logica noemt men dit het principe van niet-monotoniciteit: eerdere conclusies kunnen worden herroepen zodra er nieuwe premissen worden toegevoegd. Deze dynamiek staat haaks op de klassieke deductieve logica, maar is wezenlijk voor de juridische praktijk, waarin elke beslissing moet worden genomen sub specie temporis, onder het licht van veranderlijke omstandigheden. Zoals de Romeinse juristen reeds begrepen: “Ius est ars boni et aequi” — recht is de kunst van het goede en billijke, en dus ook van het situationeel passende.
In de Duitse doctrine wordt deze flexibiliteit erkend via het onderscheid tussen formelle Wahrheit en materielle Wahrheit, waarbij enkel de laatste als overtuigend wordt aanvaard door de rechter. In het Franse recht klinkt het bij Carbonnier dat “le juge n’est pas un logicien enfermé dans des syllogismes, mais un interprète du réel.” Het Europees Hof voor de Rechten van de Mens (EHRM) benadrukt in zijn rechtspraak dat juridische motieven “voldoende, relevant en actueel” moeten zijn (suffisants, pertinents et actuels, zie o.a. EHRM, 2 februari 2010, Taxquet t. België, nr. 926/05). Een redenering die op zichzelf sluitend is, maar geen rekening houdt met latere of bijkomende gegevens, voldoet niet aan dit rechtstatelijke vereiste.
Het recht redeneert dus niet zoals de formele logica: wat waar was bij t?, kan bij t? achterhaald zijn. Deze gedachte vormt de kern van de niet-monotone logica, die in het volgende hoofdstuk verder wordt uitgewerkt. Een logische redenering mag dan geldig lijken in abstracto — juridisch telt vooral wat ze nog waard is in concreto, en in evolutie.

Hoofdstuk 6: Gevolgen van niet-monotone logica voor de bewijslast in besluiten
6.1. Niet-monotone logica: wanneer het axiomasysteem verschuift
In de klassieke logica geldt het monotonieprincipe: wie eenmaal uit een set premissen een geldige conclusie heeft afgeleid... Dit principe garandeert stabiliteit binnen een vast axiomasysteem[1].

De juridische werkelijkheid gehoorzaamt echter niet altijd aan dit model... Zoals bij het schaken vergt dit inzicht, techniek én visie.
6.2. Artikel 449bis WIB 92: de kern van ernstige fiscale fraude
Met de invoering van artikel 449bis WIB 92 creëerde de Belgische wetgever een autonoom misdrijf...
6.3. Lex specialis en de surjectieve projectie van het Strafwetboek
Meerdere bepalingen uit het Strafwetboek (bv. artikelen 193, 196 en 197 Sw.) worden via een juridische surjectie geprojecteerd op één enkel misdrijf...
6.4. De wijziging van het axiomasysteem: verjaring als voorbeeld
De verjaringsregeling illustreert perfect hoe een nieuw misdrijf ook de temporele structuur wijzigt...
6.5. Rechterlijke verplichtingen en motiveringsplichten
In een niet-monotoon systeem moet de rechter méér motiveren...
6.6. Bewijs uit het ongerijmde: wanneer vervolging zichzelf tegenspreekt
Zelfs indien art. 197 Sw. van toepassing zou zijn, lijkt de vervolging onhoudbaar...
6.7. Overheidsinitiatief zonder burgerlijke partijstelling
De FOD Financiën initieerde het dossier, maar stelde zich nooit burgerlijke partij...
6.8. Een filosofische noot: denken in beweging
Niet-monotone logica herinnert eraan dat juridische waarheid geen statisch gegeven is...
6.9. Slot: van spelregels naar schaakspel
In de voorafgaande hoofdstukken leerden we de spelregels van het juridisch denken: geldige redeneringen, logica, geloofwaardigheid en dynamiek. Maar met het volgende hoofdstuk breekt een andere fase aan. De jurist wordt schaakspeler. Elk bewijsproces krijgt het karakter van een strategisch spel, opgebouwd uit zetten en tegenzetten, openingen, positionering en eindspel.

In Hoofdstuk 7 introduceren we een juridisch denkkader gebaseerd op het schaakspel: het gestelde als openingszet, het onderstelde als analytisch middenspel, het combineren van relevante premissen als creatief moment, en de (reverse) natural deductie als eindspel. Zoals bij het schaken vergt dit inzicht, techniek én visie.


Voetnoten
1. Zie bv. W. Hodges, Logic, Penguin Books, 2001, p. 132.
2. N. Lobatschevsky, Geometrical Researches on the Theory of Parallels, 1840.
3. T. Jech, Set Theory, Springer, 2003.
4. Parl. St. Kamer 2012-2013, nr. 53-3019/1, p. 12-14.
5. Cass. 14 maart 2017, AR P.16.0484.N.
6. CE (Fr.) 21 juni 2010, req. n° 312736.
7. HR 4 juni 2013, ECLI:NL:HR:2013:CA1840.
8. Cass. 14 mei 2019, AR P.18.1032.F.
9. EHRM, Garc?*a Ruiz t. Spanje, 21 januari 1999, nr. 30544/96.
10. H.-G. Gadamer, Wahrheit und Methode, Tübingen, Mohr Siebeck, 1960.

Hoofdstuk 7 – Juridisch schaken: het bewijsproces als strategisch spel
In het recht wordt vaak gesproken over argumentatie, bewijs, aannemelijkheid en logica...
7.1 De vier fasen van het juridische schaakspel
1. Het gestelde – de openingszet
Elke juridische redenering vertrekt van een stelling die bewezen moet worden: het gestelde...
Voorbeeld: “De strafvordering is onontvankelijk wegens verjaring (ex art. 21 Sv.).”
2. Het onderstelde – het analytisch middenspel
Hier brengt men het relevante normatief materiaal samen: artikelen, arresten, doctrines...
Voorbeeldmatrix met elementen: Art. 449bis, Cass. 2017, Doctrine BE/FR, Art. 197 Sw.
3. De samenstelling van relevante premissen – de originele zet
Vanuit het onderstelde combineert de jurist originele premissen. Voorbeeld:
- P: Feiten eindigen in 2013
- Q: Dagvaarding in 2025
- R: Verjaring is 10 jaar
- S: Geen stuiting
- T: Ondeelbaarheid vereist
- U: Verjaring start bij laatste feit
- V: Geen splitsing
- W: Termijn verstreken
- G: Strafvordering onontvankelijk
Logische premissen:
1. P ? Q ? R ? S
2. T ? U ? V
3. V ? P ? R ? S ? W
4. W ? G
4. Natural deductie – het eindspel
Doel: bewijs G
1. P ? Q ? R ? S [Premisse 1]
2. T ? U
3. T ? U ? V
4. V
5. V ? P ? R ? S
6. V ? P ? R ? S ? W
7. W
8. W ? G
9. G — Q.E.D.
5. Reverse natural deductie (controle van het bewijs)
Start bij G: Strafvordering onontvankelijk
? G vereist W ? G
? W vereist V ? P ? R ? S
? V vereist T ? U
We reconstrueren dus exact dezelfde premissen als in de oorspronkelijke deductie.
Reflectie
Deze symmetrie toont hoe deductie en reverse deductie samen een robuust juridisch toetsingsmechanisme vormen.

Hoofdstuk 8 – Reverse redeneren: strategie in het eindspel
8.1 Inleiding: niet elke weg vertrekt vanuit het begin
Wie heeft ooit gezegd dat men bij een bewijs altijd moet vertrekken van het begin?
In complexe juridische dossiers, zoals ernstige fiscale fraude, botst men vaak op een andere realiteit: de concrete elementen aan het begin zijn te mager, de brug naar een sluitende conclusie lijkt onoverbrugbaar. De klassieke deductieve route — van bewezen premisse naar logische slotsom — stuit op obstakels, gaten, of simpelweg afwezigheid van duidelijke aanknopingspunten.
In zulke gevallen hanteert men soms een omgekeerde aanpak: men vertrekt van wat men beoogt te bewijzen en werkt stap voor stap terug naar mogelijke premissen die deze uitkomst zouden kunnen schragen. Niet als een truc of kronkel, maar als een strategisch en vaak onmisbaar instrument. Zoals in het schaakspel het eindspel niet begint bij de opening, maar bij de matstelling die men wil forceren. En men kiest voor de aanval via een onverwachte route. *Finis coronat opus*¹.
8.2 Reverse redeneren vs. reductio ad absurdum
Op het eerste gezicht lijken reverse redeneren en reductio ad absurdum (bewijs uit het ongerijmde) op elkaar. Maar hun logische structuur verschilt fundamenteel. Bij reductio ad absurdum vertrekt men van de ontkenning van wat men wil bewijzen (¬P), en toont men aan dat dit leidt tot een tegenspraak — waaruit volgt dat P toch waar moet zijn.
Bij reverse redeneren aanvaardt men tijdelijk het te bewijzen standpunt P, en onderzoekt men of men van daaruit kan terugwerken naar premissen die juridisch en feitelijk ondersteund zijn. Men probeert geen tegenspraak af te leiden uit ¬P, maar werkt constructief vanuit P.
Deze aanpak is, hoewel niet altijd benoemd, terug te vinden in zowel de Angelsaksische als de continentale rechtspraktijk.² Vooral in common law-contexten wordt via *constructive inference* vaak een stelling opgebouwd op basis van plausibele reconstructie, eerder dan lineaire deductie.³
8.3 Wiskundig voorbeeld: de Riemann-hypothese
Een helder wiskundig voorbeeld van reverse redeneren vinden we in de talloze benaderingen van de Riemann-hypothese: een nog altijd onbewezen stelling over de nulpunten van de zèta-functie, met grote implicaties voor de verdeling van priemgetallen.
Wiskundigen vertrekken vanuit het voorlopig aanvaarde standpunt dat de hypothese waar is, en bestuderen welke eigenschappen dan noodzakelijkerwijs moeten gelden. Wanneer zulke implicaties op hun beurt toetsbaar of zelfs bewijsbaar zijn, versterkt dit de geloofwaardigheid van de initiële hypothese.?
De methode is dus exact analoog aan wat in juridische dossiers gebeurt bij reverse redeneren: het voorlopig aanvaarden van het gestelde om noodzakelijke implicaties te onderzoeken. Ook in juridische context is het immers legitiem om vanuit een beoogd rechtsgevolg (zoals een geslaagde exceptie van verjaring) te analyseren welke voorwaarden noodzakelijk voldaan moeten zijn — en of die ook effectief aanwezig zijn.?
In het Franse en Italiaanse recht is deze benadering trouwens niet ongebruikelijk in complexe fraudezaken, waarbij men via hypothetische reconstructie werkt vanuit het doel van de verdediging.?
8.4 Juridische toepassing: reverse redeneren als strategie
In een dossier van ernstige fiscale fraude wordt beweerd: “De strafvordering is verjaard.” Op het eerste gezicht is er onvoldoende bewijs voor die conclusie. Maar men kiest ervoor om dat standpunt tijdelijk te aanvaarden, en vraagt zich af: wat zou er dan allemaal moeten gelden?
Zodra blijkt dat er inderdaad geen burgerlijke partijstelling is, dat er geen document van stuiting bestaat, en dat de feiten als een ondeelbaar geheel zijn vervolgd, krijgt het gestelde ondersteuning. De strategie werkt hier dus niet als directe bewijsvoering, maar als een constructieve toets: men werkt vanuit het doel terug naar de noodzakelijke elementen, en verifieert of die er ook zijn.
Deze werkwijze is impliciet herkend in de rechtspraak van het Hof van Cassatie, dat herhaaldelijk benadrukte dat de bewijslast voor het doorbreken van de verjaring rust op het openbaar ministerie.?
8.5 Reverse redeneren als strategisch eindspel
In het schaakmodel van het juridisch bewijs is reverse redeneren geen controle achteraf, maar een actieve zet in het eindspel. Wanneer directe aanvallen geen uitkomst bieden, wanneer alle klassieke zetten uitgeput zijn, kiest men voor een aanpak die begint bij de beoogde matstelling. Zoals een schaakspeler niet langer vooruit kan plannen maar vanuit het doel terugwerkt, zo werkt de jurist vanuit het einddoel terug naar mogelijke premissen.
Soms brengt die benadering inzichten die via geen enkel ander spoor bereikbaar waren. Dat veronderstelt uiteraard een hoge mate van hypothesevorming, verbeelding en flexibiliteit — zonder in *petitio principii* te vervallen. *Ex nihilo nihil fit*, niets ontstaat uit het niets: ook een terugwaarts redenerend bewijs vereist feitenmateriaal.?
8.6 Reverse deductie als toets (extra)
Hoewel reverse redeneren in de eerste plaats een constructieve strategie is, kan het ook achteraf gebruikt worden als toetsinstrument. Na afloop van een dossier kan men zich afvragen: indien onze conclusie X gerechtvaardigd is, welke premissen veronderstelt dat dan? En zijn die ook werkelijk gegeven?
Het is de juridische tegenhanger van een post-game analyse in het schaakspel: wat werkte, wat niet, waar lag de breuklijn? Deze aanpak wordt in de Angelsaksische doctrine omschreven als een vorm van *after-the-fact hypothetical reconstruction*, die in forensische contexten zowel verklarend als corrigerend werkt.?
8.7 Brug naar Hoofdstuk 9 – transformatie van probleem naar andere wetten
Wanneer zelfs reverse redenering niet volstaat om een redenering te funderen of om een juridisch pad te openen, dan rest nog een laatste strategie: het herformuleren van het probleem binnen een ander wettelijk kader. Zo kan een geschil dat onoplosbaar lijkt binnen het fiscaal recht, plots tractie krijgen binnen het burgerlijk aansprakelijkheidsrecht.
Mutatis mutandis, het probleem blijft, maar zijn context verandert — en daarmee ook de kans op bewijs. Dergelijke herformuleringen veronderstellen een juridisch metaniveau: een vermogen om buiten de oorspronkelijke wet te denken, zonder haar geweld aan te doen. Wat in de wiskunde probleemtransformatie heet, wordt hier juridische her-contextualisering.¹?

Hoofdstuk 9 – Transformaties tussen wetboeken: bewijskracht over grenzen heen
1. Inleiding
Net zoals in de wiskunde doorbraken vaak voortkwamen uit onverwachte bruggen tussen ogenschijnlijk gescheiden domeinen – algebra en meetkunde, getaltheorie en analyse – vindt ook het juridisch bewijs zijn kracht wanneer het niet binnen de grenzen van één wetboek blijft steken. In complexe dossiers, zoals bij ernstige fiscale fraude, wordt het verschil gemaakt wanneer men het probleem herkadert binnen een ander juridisch kader.

Deze transformaties of bruggen zijn geen loutere academische luxe: ze blijken in de praktijk vaak het doorslaggevende element. Wat binnen het strafrecht onbewijsbaar lijkt, wordt binnen het fiscaal of burgerlijk recht plots duidelijker, en omgekeerd. Zoals de categorietheorie in de wiskunde structuren met elkaar in verbinding brengt, zo kunnen juridische disciplines via interpretatieve ‘functoren’ op elkaar worden geprojecteerd.
2. Wiskundige analogieën als metafoor voor juridische verplaatsing
De bruggedachte vindt inspiratie in het wiskundig denken:

- Descartes koppelde meetkunde aan algebra: lijnen werden vergelijkingen. Dit maakte abstracte objecten analyseerbaar.
- Wiles’ bewijs van Fermat verliep niet via klassieke getaltheorie, maar door herformulering binnen de theorie van elliptische krommen en modulaire vormen.
- De Riemann-zètavoorstelling verbindt getaltheorie met complexe functietheorie, een wiskundige sprong die zijn juridisch pendant vindt in het combineren van bewijsleer en gedragsanalyse.
- De vaste-puntstelling van Brouwer heeft toepassingen gevonden in economische rechtspraak: waar twee juridische argumentatielijnen elkaar snijden, ontstaat vaak een ‘bewijs-evenwicht’.
3. Juridische voorbeelden van brugvorming
3.1 Valsheid in geschrifte en de tegenbrief (oud art. 1321 BW)
Een klassiek voorbeeld van brugvorming tussen strafrecht en burgerlijk recht is de toepassing van een tegenbrief. Wanneer een geschrift verdacht wordt van valsheid (art. 196 Sw.), kan het burgerlijk recht de bewijswaarde temperen via een tegenbrief, die het verborgen akkoord blootlegt¹.

Illustratieve rechtspraak: Cass. 4 mei 2004 (P.03.1432.F) aanvaardde een tegenbrief als correctie op een frauduleus huurcontract. Strafrechtelijk werd valsheid onderzocht, civielrechtelijk werd de tegenbrief als geldige aanwijzing beschouwd².
3.2 Brug tussen fiscale en strafrechtelijke kwalificaties
Fiscale herkwalificatie kan leiden tot strafrechtelijke vervolging. De fiscus herdefinieert een lening als verdoken winstuitkering. Indien dit systematisch gebeurt, ontstaat een vermoeden van opzettelijke fraude.

Casus: Antwerpen, 27 januari 2021: Renteloze leningen aan een bedrijfsleider werden fiscaal herkwalificeerd, waarna het parket een strafonderzoek opende wegens fraude³.
3.3 Buitenlands voorbeeld: BGB ? StGB (Duitsland)
In Duitsland ontstaat brugwerking tussen het Bürgerliches Gesetzbuch (BGB) en het Strafgesetzbuch (StGB) wanneer contractbreuk samengaat met bedrieglijk opzet.

Casus: BGH 3 StR 520/13 (2014): Een ondernemer bood fictieve beleggingen aan. De civiele claims werden gecombineerd met strafrechtelijke vervolging wegens bedrog?.
3.4 Europees recht: Taricco-zaak
Het Hof van Justitie van de EU stelde in de Taricco-zaak (C-105/14) dat nationale strafrechtelijke verjaringstermijnen niet mogen verhinderen dat ernstige btw-fraude vervolgd wordt. Het strafrecht moest in lijn worden gebracht met de verplichtingen van Europees fiscaal recht?.
4. Filosofische dimensie: bewijs als verschuiving van perspectief
Veritas ex accessu: waarheid ontstaat niet altijd binnen één rechtsgebied, maar uit de overgang ertussen. De juridische waarheid is dus niet absoluut, maar relationeel. Zoals functoren in de categorietheorie structuren verbinden, zo vormen bruggen tussen wetboeken paden naar bewijs:

- Van logica naar waarschijnlijkheid (cf. carrouselfraude Brussel, 2018?)
- Van causaal bewijs naar gedragsanalyse (Gent, 2019?)
- Van directe bewijslast naar statistische correlatie (Luxemburg, 2020?)
5. Categorietheorie als juridische metafoor
- Wetboeken zijn categorieën.
- Bruggen zijn functoren: ze vertalen concepten van het ene naar het andere domein.
- Natuurlijke transformaties staan voor interpretatieverschuivingen.
- Commutatieve diagrammen representeren coherente rechtspraak waarin verschillende benaderingen tot dezelfde conclusie leiden.

Voorbeeld:
Een fictieve kost in de boekhouding
? leidt in het fiscaal recht tot herkwalificatie (functor 1),
? in het strafrecht tot vervolging wegens valsheid (functor 2),
? beide convergeren in een gezamenlijke bewijsvoering (natuurlijke transformatie).
6. Slotbedenking
Wie zich juridisch vastloopt in een gesloten wetboek, vindt pas een uitweg door een ander pad te openen. Of zoals in de categorietheorie: waarheid ligt niet in de knopen, maar in de pijlen daartussen.

Dit hoofdstuk vormt zo de brug naar het epiloog waarin we reflecteren op de ultieme vraag: hoe kunnen we zekerheid nastreven in een systeem dat fragmentarisch, tegenstrijdig en meervoudig is?
Voetnoten
1. Oud art. 1321 BW. Vgl. C. Perelman, Logique juridique, 1976, p. 82.
2. Cass. 4 mei 2004, P.03.1432.F, Juridat.
3. Rb. Antwerpen, 27 januari 2021, niet gepubliceerd.
4. BGH, Urteil vom 26. Februar 2014 – 3 StR 520/13.
5. HvJ EU, 8 september 2015, Taricco, C-105/14, ECLI:EU:C:2015:555.
6. Zie L. Van den Broeck, "Waarschijnlijkheid als bewijskracht in fiscale strafzaken", T.F.R., 2021, 105–121.
7. Rb. Gent, 14 maart 2019, niet gepubliceerd.
8. District Court of Luxembourg, 2020, AI Compliance case, samenvatting bij JIAML (2021).

Epiloog – De waarheid als horizon: over bewijskracht en haar begrenzing
Beweren is niet bewijzen. Wat als uitgangspunt begon, is doorheen deze verhandeling uitgegroeid tot een kritische leidraad. De juridische praktijk is doorspekt met uitspraken, stellingen en vermoedens – maar slechts een fractie daarvan verdraagt het licht van deductie, verificatie en tegenspraak. Deze tekst heeft niet de ambitie gehad om alle bewijsvragen te beantwoorden, wel om hun structurele complexiteit bloot te leggen.
Zoals aangetoond in de hoofdstukken over logica en natural deductie, zijn juridische redeneringen zelden lineair. Ze bewegen zich eerder als een schaakpartij: met openingszetten, herpositioneringen, omkeringen, en soms eindigen ze in pat. De metafoor van het schaakspel – zoals uitgewerkt in Hoofdstuk 7 en de praktijktoepassing in Bijlage 1 – toont hoe bewijzen ontstaan vanuit strategische interactie, niet louter uit formele juistheid.
In Hoofdstuk 8 werd het principe van reverse deductie concreet toegepast: niet als achterafcontrole, maar als volwaardige methode om juridische impasses te doorbreken. Het rechtscollege vertrok daarbij niet van de stelling, maar van de betwiste conclusie, en bouwde terug naar de onderliggende premissen. Het juridische denken beweegt zich dan simultaan in twee richtingen: propositie en regressie.
Hoofdstuk 9 toonde dat juridische bewijskracht niet beperkt mag blijven tot de grenzen van één wetboek. Zoals in de wiskunde bruggen geslagen worden tussen topologie, algebra en logica, zo kan het recht zich verrijken door verbindingen tussen strafrecht, fiscaal recht, burgerlijk recht en bestuursrecht. Bewijskracht ontstaat dan in de relaties tussen systemen, niet in hun afzondering.
Doorheen deze verhandeling is gebleken dat juridische bewijslast niet enkel een kwestie is van ‘juist redeneren’, maar ook van epistemologische oriëntatie: wanneer is iets bewezen? Voor wie is het aannemelijk? Onder welke voorwaarden mag de rechter overtuiging putten uit een redenering die slechts probabilistisch, gedragsmatig of statistisch onderbouwd is?
De Romeinse rechtsgeleerde Celsus schreef: “Ius est ars boni et aequi” – het recht is de kunst van het goede en het billijke¹. Daarin ligt ook de erkenning vervat dat bewijs nooit louter formeel mag zijn. Het is een kunst, niet slechts een mechaniek.
Dit werk eindigt waar het begon: met een pleidooi voor precisie, openheid en bescheidenheid. Juridisch bewijs is geen absolute waarheid, maar een grensobject: het beweegt tussen logica en ervaring, tussen tekst en context, tussen deductie en interpretatie. Of zoals Wittgenstein het stelde: “De waarheid is een optiek”².
Voetnoten
1. Celsus, Digesta, 1.1.1.
2. Ludwig Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen, §93.

Bijlage 1 – Juridisch Schaakspel in praktijk
*Toepassing van het juridische schaakmodel op een volledige case*

1. De openingszet – het gestelde feit (propositio)
De Administratie beweert dat een Belgische vennootschap fictieve facturen heeft ingebracht van een Litouwse dienstverlener met als doel de belastbare winst te drukken. Het betreft een totaalbedrag van 1,2 miljoen euro, gespreid over vier aanslagjaren. De belastingplichtige stelt daartegenover dat het om reële prestaties gaat, bestaande uit logistieke analyses en digitaliseringsdiensten, geleverd door een externe partner.
Affirmanti incumbit probatio – wie iets beweert, moet dit ook bewijzen¹. De openingszet komt dus met een initiële bewijslast, die in fiscale zaken echter soms verlegd wordt via wettelijke vermoedens.
2. Het middenspel – doctrines, vermoedens en intermediaire stellingen (argumentatio)
Het middenspel bestaat uit een netwerk van rechtsregels, vermoedens en rechtspraak die als tussenzet dienen om van het gestelde feit naar een veroordeling of vrijstelling te komen:
- Art. 314 WIB 92: stelt dat wanneer de fiscus concrete aanwijzingen van fictiviteit aanbrengt, de belastingplichtige de echtheid van de verrichtingen moet aantonen².
- Art. 8, §1 KB nr. 3: vereist dat kosten slechts aftrekbaar zijn indien zij bewezen zijn met overtuigende stukken³.
- Cass. 18 november 2021 (P.21.0646.F): bevestigt dat herhaalde onregelmatigheden een vermoeden kunnen scheppen van fictieve prestaties, doch dat de belastingplichtige de gelegenheid moet krijgen dit vermoeden te weerleggen?.
- HvB Gent, 9 maart 2020 (2017/AR/1620): verduidelijkt dat transacties met moeilijk controleerbare buitenlandse partners verhoogde waakzaamheid vergen, maar niet op zich tot fictiviteit leiden?.
- Latijnse maximes:
- Semper necessitas probandi incumbit ei qui agit – de noodzaak tot bewijzen rust altijd op wie handelt?.
- In dubio contra fiscum – bij twijfel in fiscale zaken, in het voordeel van de belastingplichtige?.
3. Het eindspel – deductie of reverse deductie (probatio)
De fiscus probeert een sluitende redenering te vormen:
- P = “De prestaties werden niet geleverd”
- Q = “De facturen zijn vals of zonder reële grond”
De klassieke deductie:
P ? Q en P, dus Q
Maar deze deductie raakt niet voorbij de toets van de tegenpartij. Die stelt:
- Leveringsbewijzen in de vorm van e-mails en rapporten
- Getuigenverklaringen van personeel
- Contactgegevens van de Litouwse leverancier
De rechter volgt dan een reverse deductie-pad. Vertrekkend vanuit de twijfel aan Q, onderzoekt hij of de negatie van Q voldoende twijfel zaait over P.
Q ? P, maar ¬Q, dus onzekerheid over P
Deze vorm van reverse reasoning werd reeds in de Angelsaksische literatuur als essentieel element van adversariële bewijsvoering erkend?, met name in de doctrine van inference to the best explanation?.
4. Schaakmat of pat – beslissing en bewijswaarde (conclusio)
Het Hof oordeelt dat het bewijs van fictiviteit onvoldoende is. De initiële stelling wordt niet afdoende onderbouwd via het middenspel. De deductie is fragiel, de reverse deductie werpt ernstige twijfel op. Er is geen Q.E.D. – quod erat demonstrandum. De aanklacht bereikt geen schaakmat, maar pat: stilstand wegens onvoldoende bewijs.
Uitspraak: de opgelegde aanslagen worden vernietigd. Het Hof benadrukt dat in fiscale zaken het bewijs niet mag berusten op vermoedens alleen, maar dat ook in gevallen van grensoverschrijdende structuren het fundamenteel rechtsbeginsel van audi alteram partem en de beginselen van behoorlijk bestuur gerespecteerd moeten worden¹?.
Voetnoten
1. Ulpianus, Digesten, 22.3.2.
2. Art. 314 WIB 92, Wetboek van de Inkomstenbelastingen 1992.
3. Koninklijk Besluit nr. 3 van 29 december 1992 betreffende de BTW.
4. Cass. 18 november 2021, P.21.0646.F.
5. Hof van Beroep Gent, 9 maart 2020, 2017/AR/1620.
6. Paulus, Digesten, 22.3.21.
7. Zie bv. J. F. Braun, Principes de procédure fiscale, Larcier, 2019, p. 215.
8. D. Schum, The Evidential Foundations of Probabilistic Reasoning, Northwestern University Press, 1994.
9. P. Lipton, Inference to the Best Explanation, Routledge, 2004.
10. Zie ook CJEU, 18 december 2014, T-Mobile Czech Republic, C-82/13.

Bijlage 2 Natural deductie toegepast op ernstige fiscale fraude.
In aansluiting op de voorgaande hoofdstukken waarin de formele logica, logische structuren zoals implicatie en negatie, en het juridische wantrouwen tegenover strikt formele bewijsconstructies werden besproken, biedt dit hoofdstuk een concrete toepassing. We verkennen hoe natural deductie als methode functioneert binnen de context van ernstige fiscale fraude. De casussen sluiten aan bij de eerder besproken thematiek rond bewijsconstructies, geloofwaardigheid en juridische interpretatie van logische patronen.
Concept van bewijs
Gestelde: wat we moeten bewijzen
Onderstelde: alle mogelijke wetsartikelen (axioma's), arresten (lemma's), vonnissen (corollary's) en uitspraken eerste aanleg (conjecturen) die allen verband houden met het gestelde.
Premissen: logische consequenties via connectieven samengesteld uit het onderstelde.
Natural deductie: vanuit de premissen via natural deductie bewijzen we nu het gestelde.
Voorbeeld (vereenvoudigd):
Gestelde: Niet P
Onderstelde: P, Q, r, niet r, 's', T
Premissen:
1. Uit P volgt Q (voorafgaandelijk bewezen via directe proof)
2. Uit niet r volgt niet Q (voorafgaandelijk bewezen via contrapositieve conditionele proof)
3. Niet r (gegeven uit het onderstelde)
Natural deductie:
4. Niet Q (modus ponens op 2 en 3)
5. Uit P volgt Q, dus volgt uit niet Q, niet P (contrapositieve afleiding)
6. Niet P (Q.E.D. — gelijk aan het gestelde)
Casus 1 – Fiscale aftrek op basis van betwiste facturen
Een belastingplichtige beweert recht te hebben op fiscale aftrek voor kosten die steunen op facturen van een onderaannemer. De fiscus stelt echter dat de onderaannemer niet actief was tijdens de facturatieperiode. We vertrekken van de gestelde bewering dat de aftrek gerechtvaardigd is (P). Uit de controle blijkt echter dat de onderaannemer niet actief was (¬Q), wat in strijd is met de noodzakelijke voorwaarde dat de dienst daadwerkelijk geleverd moet zijn. Uit ¬Q volgt ¬P. [Vgl. Hof van Beroep Gent, 12 maart 2020, Fiscale Fraudezaak KMO ZW-45/2019.]
Casus 2 – Schijnzelfstandigheid en bewijslastverschuiving
Een onderneming doet beroep op freelancers, maar de fiscus stelt dat sprake is van schijnzelfstandigheid. De onderneming stelt dat de contractuele verhouding (P) bewijst dat er geen werknemersrelatie is. Uit observaties blijkt echter dat de freelancers structureel onder gezag werken (¬Q), wat essentieel is voor zelfstandigheid. Wederom volgt uit ¬Q via contrapositive dat ¬P. [Zie ook: C. De Baets, 'BTW-carrouselfraude en bewijslastverschuiving', RW 2020-21, afl. 5.]
Casus 3 – Fraude met fictieve buitenlandse facturen
Een KMO schrijft kosten in voor facturen afkomstig van buitenlandse ondernemingen. De fiscus stelt dat deze ondernemingen niet bestaan. De belastingplichtige beweert dat de diensten geleverd zijn (P). Uit onderzoek blijkt dat de ondernemingen geen economische activiteit ontplooiden (¬Q). We leiden hieruit logisch ¬P af. [Cass. 5 juni 2018, F.17.0032.N, inzake fictieve buitenlandse facturen.]
Besluit
Natural deductie biedt een helder kader om vanuit vastgelegde premissen logische conclusies te trekken. In fiscale fraudezaken helpt deze methode om juridische inconsistenties op te sporen en bewijsketens logisch te structureren. Toch blijkt ook dat juridische geloofwaardigheid niet altijd samenvalt met formele bewijsstructuur — een spanning die eerder in deze verhandeling werd geanalyseerd en hier concreet tastbaar wordt gemaakt.

Bijlage 3 — Over de volgorde van logica: commutativiteit, associativiteit en distributiviteit in juridische context
Deze bijlage vormt een noodzakelijke leidraad voor het samenstellen van premissen uit het onderstelde (stap 3 van het juridische bewijsproces), zoals uitgelegd in Hoofdstuk 7. Waar de meeste werken over natural deductie vertrekken van reeds gegeven premissen, situeert deze verhandeling zich één stap ervoor: het construeren van de juiste premissen zelf. Dit vergt inzicht in logische structuren zoals commutativiteit, associativiteit en distributiviteit. Het is een technisch complexe, maar fundamentele stap in elk juridisch bewijsproces. Zonder deze voorbereidende denkoefening is een coherente deductieve redenering onmogelijk. In de praktijk blijkt deze stap zo uitdagend, dat enkel met behulp van ChatGPT een werkbare systematiek kan worden opgebouwd. Deze bijlage is dan ook bedoeld als helder en bruikbaar instrument voor dagelijks juridisch gebruik.
We starten met de drie proposities:
- P: Er is staking van betaling.
- Q: Er is schorsing van krediet.
- R: Er wordt gedagvaardigd in faillissement.
1. Commutativiteit
De commutatieve wet stelt dat bij bepaalde connectieven de volgorde van proposities niet uitmaakt:
- P ? Q = Q ? P
(Staking van betaling én schorsing van krediet is logisch gelijk aan schorsing van krediet én staking van betaling.)
Bij drie proposities geldt:
- (P ? Q) ? R = (Q ? P) ? R = R ? P ? Q, enz.
Voor disjunctie (?) geldt hetzelfde: P ? Q ? R = R ? Q ? P.
Maar bij implicatie (?) en biconditioneel (?) geldt dit niet:
- P ? Q ??* Q ? P
(Als er staking van betaling is, dan wordt krediet geschorst is niet hetzelfde als het omgekeerde.)
2. Associativiteit
De associatieve wet stelt dat bij sommige connectieven de groepering geen verschil maakt:
- (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R)
In woorden: Staking van betaling én (schorsing van krediet én dagvaarding in faillissement) is logisch gelijk aan (staking van betaling én schorsing van krediet) én dagvaarding.
Ook voor disjunctie geldt associativiteit:
- (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R)
Maar voor implicatie niet:
- (P ? Q) ? R ??* P ? (Q ? R)
(Als staking van betaling leidt tot kredietschorsing, en dat op zijn beurt tot dagvaarding, is niet logisch gelijk aan als staking leidt tot (kredietschorsing die leidt tot dagvaarding).
3. Distributiviteit
De distributieve wet stelt dat bepaalde connectieven zich als vermenigvuldiging over optelsommen gedragen:
- P ? (Q ? R) = (P ? Q) ? (P ? R)
In juridische termen: Er is staking van betaling én (ofwel krediet wordt geschorst ofwel dagvaarding volgt) is logisch gelijk aan ofwel staking en kredietschorsing, ofwel staking en dagvaarding.
Voor disjunctie over conjunctie geldt ook:
- P ? (Q ? R) = (P ? Q) ? (P ? R)
Als afsluiting van deze bijlage volgt nu een concreet voorbeeld waarin de besproken wetten toegepast worden op juridische proposities uit een faillisementscontext. Het construeren van zulke geldige en bruikbare premissen vanuit complexe onderstelde situaties is praktisch onuitvoerbaar zonder ondersteuning van een taalmodel zoals ChatGPT. Dankzij de logische precisie, structuurherkenning en contextuele verwerking van dit model kan men in real-time tientallen geldige constructies genereren waar menselijke analyse uren tot dagen zou vergen.
Maar wederom geldt dit niet voor implicatie.
4. Voorbeeld: Premisseconstructie vanuit het onderstelde
We vertrekken van de volgende onderstelde feiten (S t.e.m. V):
- S: De boeken worden neergelegd.
- T: Er wordt ambtshalve faillissement uitgesproken.
- U: Het bedrijf vraagt WCO aan.
- V: De WCO mislukt.
Doel: geldige premissen construeren met behulp van logische connectieven tussen P, Q, R, S, T, U, V. We maken gebruik van alle logische wetten besproken in deze bijlage (commutativiteit, associativiteit, distributiviteit) om structurele varianten te genereren.
Voorbeeld 1:
((P ? Q) ? R) ? S
Interpretatie: Als er staking van betaling is én krediet wordt geschorst én er wordt gedagvaard in faillissement, dan worden de boeken neergelegd.
Voorbeeld 2:
(S ? T) ? (¬U ? V)
Interpretatie: Ofwel worden de boeken neergelegd ofwel wordt er ambtshalve faillissement uitgesproken, en bovendien geldt: ofwel is er geen aanvraag tot WCO, ofwel mislukt die aanvraag.
Voorbeeld 3:
(U ? ¬V) ? ¬T
Interpretatie: Als het bedrijf een WCO aanvraagt en die slaagt (dus V niet waar), dan wordt geen ambtshalve faillissement uitgesproken.
Voorbeeld 4:
((P ? Q) ? R) ? T
Interpretatie: Als er staking van betaling of schorsing van krediet is, én er volgt een dagvaarding in faillissement, dan wordt ambtshalve faillissement uitgesproken.
Deze voorbeelden tonen aan hoe uit complexe juridische feiten geldige logische premissen kunnen worden geconstrueerd die vervolgens inzetbaar zijn in deductieve redeneringen.

Bijlage 4: Van onderstelde naar premisse – de onmisbare derde stap
Bijlage 4: Van onderstelde naar premisse – de onmisbare derde stap
In elk bewijsproces vormt het samenstellen van de juiste premissen uit het onderstelde een beslissende stap. Toch wordt deze stap in vrijwel alle bestaande literatuur over natural deductie overgeslagen. Men vertrekt doorgaans van reeds gegeven premissen en focust op de deductieregels. Deze bijlage wil dat hiaat opvullen. De analyse vertrekt uit de juridische context van ernstige fiscale of economische fraude, waar niet de formele logica, maar het interpretatiekader en de bewijsconstructie de kern vormen.
Waarom deze stap cruciaal is
Het onderstelde bevat geen expliciete premissen: het is een corpus van juridische elementen, feiten, vermoedens, interpretaties en gedragingen. De uitdaging bestaat erin uit deze gegevens welgevormde, logisch bruikbare premissen te destilleren. Enkel zo wordt een natural deductie volgens de regels van hoofdstuk 4 mogelijk.
Waarom deze stap praktisch onuitvoerbaar is zonder ChatGPT
De noodzakelijke combinatoriek, herformuleringen en verificatie van logische geldigheid maken dit proces bijzonder complex en tijdrovend. Zonder een AI-ondersteuning zoals ChatGPT is dit voor menselijke denkers onpraktisch en vaak onhaalbaar. Enkel via gestructureerde interactie – met precisie, geheugen, semantische analyse en logische verificatie – slaagt men erin tot geldige premisseconstructies te komen. Dit is niet alleen een hulplijn, maar een voorwaarde tot succesvolle deductieve opbouw.
Methodiek: van onderstelde naar bruikbare premissen
1. Identificatie van proposities
Definieer uit het feitenmateriaal alle mogelijke proposities (P, Q, R, S, T, ...). Geef elke propositie een duidelijke, juridische betekenis. Bijvoorbeeld:
- P = er is staking van betaling
- Q = er is schokking van krediet
- R = er wordt gedagvaardigd in faling
- S = de boeken worden neergelegd
- T = er wordt ambtshalve faling uitgesproken
- U = het bedrijf vraagt WCO aan
- V = het WCO mislukt
2. Herformulering tot logische kern
Verwijder interpretatieve ballast. Vervang vage termen door binair interpreteerbare logische inhoud. Vermijd modale termen tenzij nodig.
3. Logisch structureren via connectieven
Stel conjuncties, disjuncties, implicaties, negaties, en biconditionele verbanden op:
- (P ? Q) ? R
- S ? T
- U ? ¬V ? ¬T
4. Commutatief, associatief, distributief herschrijven waar zinvol
Toets of herformuleringen leiden tot sterkere deductieve kracht.
5. Interne consistentie en redundantiecontrole
Verwijder tegenstrijdige of overbodige premissen.
6. Selectie van deductief krachtige combinaties
Kies premissen die leiden tot een gewenste stelling (conclusie), bijvoorbeeld dat er sprake is van kennelijk onvermogen volgens art. XX.99 WER.
7. Stap over naar deductie (zie hoofdstuk 4)
Wanneer de premissen klaar zijn, kan de natuurlijke deductie beginnen met regels als modus ponens, conjunctie-introductie, reductio, enz.
Voorbeeld
We vertrekken van het onderstelde in een faillissementsdossier:
- Er is staking van betaling (P)
- Krediet wordt niet meer toegestaan (Q)
- Er werd gedagvaardigd (R)
- De boeken zijn neergelegd (S)
- De rechtbank sprak ambtshalve faillissement uit (T)
- De onderneming had WCO aangevraagd (U)
- De WCO mislukte (V)
Mogelijke premissen:
1. (P ? Q) ? R
2. S ? T
3. U ? ¬V ? ¬T
4. (R ? S) ? T
5. T ? faillietverklaring
Deze premissen kunnen nu als ingang dienen voor het bewijs dat het faillissement rechtsgeldig werd uitgesproken ondanks een voorafgaande WCO-aanvraag.
Besluit
Het opstellen van bruikbare premissen uit een juridisch ondersteld corpus is een noodzakelijke, maar zelden behandelde stap in deductieve bewijsvoering. Deze bijlage vult dat structureel en praktisch in. Enkel met ondersteuning van een AI zoals ChatGPT is dit proces bruikbaar en reproduceerbaar in een juridische context.

Bijlage 5: Verklarende woordenlijst
Deze verklarende woordenlijst bevat 50 kernbegrippen, logische connectieven, wiskundige eigenschappen en juridische toepassingen zoals gebruikt in de verhandeling *Beweren is niet bewijzen*. Ze dient als naslagwerk bij het samenstellen van premissen en het correct toepassen van deductieve redenering. Door haar technische complexiteit is deze stap in de praktijk haast onuitvoerbaar zonder gebruik van een AI-systeem zoals ChatGPT, dat snel en accuraat logische relaties kan modelleren.
Kernbegrippen en methoden
Beweren: Het uitspreken van een juridische of feitelijke stelling zonder bewijs of logische onderbouwing.
Bewijzen: Het aantonen van de geldigheid van een bewering op basis van geldige redeneringsregels.
Onderstelde: De ruwe feiten of aannames waaruit men vertrekt; deze worden vaak nog niet logisch herwerkt tot premissen.
Premisse: Een bewering die als uitgangspunt dient voor deductie. In deze verhandeling worden ze systematisch afgeleid uit het onderstelde.
Natural deductie: Een redeneringsvorm waarbij men met inferentieregels stap voor stap tot een conclusie komt.
Reverse redeneren: Een techniek waarbij men vanuit de gewenste conclusie terugredeneert naar mogelijke premissen.
Tussenpremisse: Een noodzakelijke tussenstap in een redenering die zelf ook bewezen of afgeleid kan worden.
Impassebewijs: Een bewijsstrategie voor situaties waarin directe deductie niet mogelijk is; vraagt creativiteit of reverse deductie.
Juridisch lemma: Een stelling of tussenresultaat dat in een juridische bewijsvoering een bouwsteen vormt voor de hoofdstelling.
Deductief schaakmodel: Metafoor voor het juridisch bewijsproces met stappen zoals de openingszet (bewering), middenspel (premisseconstructie), en eindspel (Q.E.D.).
Logische connectieven
Conjunctie (?): EN-verbinding: beide stellingen moeten waar zijn.
Disjunctie (?): OF-verbinding: minstens één stelling is waar.
Implicatie (?): ALS-DAN-verbinding: als het eerste waar is, dan ook het tweede.
Biconditioneel (?): Equivalentie: P geldt dan en slechts dan als Q.
Negatie (¬): Ontkenning van een bewering of propositie.
Exclusieve disjunctie (?): OF maar niet én. In juridische taal vaak misbegrepen.
Contrapositie: Als P ? Q, dan ook ¬Q ? ¬P. Essentieel in omkering van bewijzen.
Tautologie: Een altijd ware uitspraak.
Contradictie: Een altijd onware uitspraak.
Trivialiteit: Een stelling die waar is maar geen informatieve waarde heeft.
Wiskundige eigenschappen van logica
Commutativiteit: Volgorde maakt niet uit (bij ? en ?): P ? Q = Q ? P.
Associativiteit: Groepering maakt niet uit: (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R).
Distributiviteit: Verdelen over connectieven: P ? (Q ? R) = (P ? Q) ? (P ? R).
Neutraliteit: Bestaan van een neutraal element (waarheid voor ?, onwaarheid voor ?).
Idempotentie: P ? P = P en P ? P = P. Herhaling verandert niets.
Absorptie: P ? (P ? Q) = P en P ? (P ? Q) = P. Bekende vereenvoudiging.
Dominantie: P ? False = False; P ? True = True.
Dubbele negatie: ¬(¬P) = P. Geldig in klassieke logica, maar retorisch vaak problematisch.
De Morgan’s wetten: ¬(P ? Q) = ¬P ? ¬Q; ¬(P ? Q) = ¬P ? ¬Q.
Transitiviteit: Als P ? Q en Q ? R, dan P ? R. Fundamenteel voor ketenbewijzen.
Symmetrie: Bij ?: als P ? Q, dan ook Q ? P.
Reflexiviteit: Elke uitspraak impliceert zichzelf: P ? P.
Antisymmetrie: Als P ? Q én Q ? P, dan zijn P en Q logisch gelijk (P ? Q).
Monotonie: In klassieke logica: toevoegen van premissen maakt conclusie niet ongeldig. Niet geldig in niet-monotone logica.
Niet-monotone logica: Redeneringssysteem waarin bijkomende informatie conclusies ongeldig kan maken. Juridisch essentieel.
Toegepaste juridische bewijscontext
Bewijslastverdeling: De regels die bepalen wie wat moet bewijzen in een procedure. Essentieel voor de start van iedere bewijsvoering.
Feitenvaststelling: De juridische beslissing over welke feiten als bewezen worden aangenomen. Cruciaal in elke redenering.
Rechtsvermoeden: Een door de wet of rechter aangenomen feit dat bewijswaarde heeft, tenzij tegenbewijs wordt geleverd (bijv. bezit geldt als eigendom).
Indicium: Een indirect bewijsfeit dat in combinatie met andere elementen kan leiden tot bewijs van een hoofdfeit.
Tegenbewijs: Bewijs dat het tegendeel aantoont van wat beweerd of vermoed wordt.
Negatief bewijs: Poging om aan te tonen dat iets *niet* gebeurd is, vaak complex en controversieel.
Bewijsmiddelen: De middelen (documenten, getuigen, vermoedens, deskundigenverslagen, enz.) waarmee bewijs geleverd wordt.
Cumulatief bewijs: Meerdere elementen samen leiden tot conclusie.
Alternatief bewijs: Eén van meerdere wegen leidt tot dezelfde conclusie.
Afwezigheidsbewijs: De onmogelijkheid van een feit kan een bewijs zijn van een ander feit (¬P ? Q).
Meta-logische en filosofische begrippen
Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum): Wat bewezen moest worden; einde van een bewijs.
Axiomatisch stelsel: Een set onbewijsbare uitgangspunten waaruit men vertrekt.
Reductie tot absurditeit: Techniek waarbij men het tegendeel van een stelling veronderstelt en toont dat dit leidt tot een contradictie.
Categorietheorie: Een abstracte wiskundige taal voor structuur en relaties, toegepast op juridische transformatie van wetgeving.
Commutator matrix: Een structuur om relaties tussen juridische elementen wiskundig voor te stellen; ingezet bij het analyseren van bewijskracht.

Bijlage 6 – Toekomstige bewijsvormen en artificiële ondersteuning in juridische besluitvorming
1. Inleiding – Nieuwe vormen van bewijs
Deze verhandeling vertrekt van de stelling "Beweren is niet bewijzen" en onderzoekt hoe logische structuren bijdragen tot een verantwoorde bewijsvoering. Binnen dat kader rijst de vraag of taalmodellen zoals ChatGPT een rol kunnen spelen in het ondersteunen van toekomstige juridische bewijsvormen. Niet als vervanging van menselijke oordeelsvorming, maar als methodologisch hulpmiddel binnen een strikt afgebakend domein.
2. Digitale ondersteuning: het juridisch laboratorium
In een experimentele context werd onderzocht of een taalmodel, gevoed met relevante wetgeving, rechtspraak, doctrine en logica, zelfstandig voorlopige juridische besluiten kan genereren op basis van hypothetische of gestandaardiseerde dagvaardingen. Deze werkwijze vereist een zorgvuldig opgebouwd kennisraamwerk, waarin de AI fungeert als analytisch instrument. Het doel is niet het automatiseren van rechtsvinding, maar het verkennen van structurele coherentie in juridische redeneringen.
3. Methodologie – Structurering van het bewijs
De opbouw van de juridische analyse steunt op:
- Natural deductie, om redeneringen formeel op te bouwen.
- Reverse engineering, waarbij vanuit een beoogd besluit wordt teruggewerkt naar valide premissen.
- Niet-monotone logica, als model voor situaties waarin bijkomende informatie eerdere conclusies wijzigt.
- Juridische geloofwaardigheid, als toetssteen voor plausibiliteit naast formele geldigheid.

De AI is hierbij geen beslisser, maar een synthetische denkmachine die, mits de juiste input, relevante tussenstappen kan formuleren.
4. Juridische implicaties en grenzen
Hoewel het denkbaar is dat dergelijke methodes in de toekomst deel gaan uitmaken van het juridische beslissingsproces, blijven de implicaties voorlopig beperkt tot de academische en experimentele sfeer. De menselijke jurist blijft cruciaal als inhoudelijke beoordelaar van premissen en redeneringsstappen, garant van contextuele interpretatie, en hoeder van rechtsethiek, billijkheid en geloofwaardigheid. De AI levert gestructureerde hypotheses, geen bindende conclusies.
5. Reflectie – Tussen hulpmiddel en co-creatie
De vraag is niet of AI de jurist vervangt, maar hoe digitale modellen kunnen bijdragen tot betere bewijsvoering, transparantie en controleerbaarheid. In die zin verschuift de focus van automatisering naar co-creatie: een samenwerking tussen menselijke expertise en digitale consistentie. Precedenten vinden we ook in andere domeinen, zoals forensische analyse of financieel toezicht, waar digitale ondersteuning al ingeburgerd is.
6. Slot – Naar een constructieve integratie
Deze bijlage pleit niet voor disruptie van de juridische praktijk, maar voor een voorzichtige integratie van digitale denkinstrumenten, mits ethisch, juridisch en methodologisch omkaderd. Niet elk bewijs is geschikt voor automatisering, maar sommige tussenstappen in het bewijsproces kunnen baat hebben bij synthetische ondersteuning.

Quod erat demonstrandum – mits menselijke tussenkomst.
Bibliografie
Gentzen, G. (1934). Untersuchungen über das logische Schließen. Mathematische Zeitschrift, 39(1), 176–210.
Hage, J. (1996). A Theory of Legal Reasoning and a Logic to Match. Artificial Intelligence and Law, 4(3–4), 199–273.
Susskind, R. (2017). Tomorrow’s Lawyers: An Introduction to Your Future. Oxford University Press.
Surden, H. (2014). Machine Learning and Law. Washington Law Review, 89(1), 87–115.
Calo, R. (2015). Robotics and the Lessons of Cyberlaw. California Law Review, 103(3), 513–563.

Bijlage 7 – De Geschiedenis van het Bewijs: Van Euclides tot Proeftheorie

1. De oorsprong van het formele bewijs: Euclides en de axiomatici

Het formele bewijs vindt zijn oorsprong in de Oudheid, met name bij Euclides van Alexandrië (ca. 300 v.C.). In zijn monumentale werk Elementa presenteert hij wiskunde als een deductief systeem opgebouwd uit axioma’s, definities, en postulaten, waaruit hij stellingen afleidt via logische deductie[1]. Zijn stijl werd eeuwenlang het model van formeel redeneren in zowel wiskunde als recht.

> "Het is niet omdat iets waar is, dat het bewezen is; het is bewezen omdat het uitgaat van een systeem van aannames en zich daaraan onderwerpt."



Het Euclidische paradigma inspireerde latere filosofen, waaronder Descartes en Spinoza, die ethiek en metafysica wilden bewijzen met dezelfde helderheid en onweerlegbaarheid.

2. De middeleeuwen: logica als hulpwetenschap van de theologie

In de middeleeuwen werd bewijsvoering vooral ontwikkeld binnen het domein van de scholastiek. Het aristotelische syllogisme werd het belangrijkste instrument, waarbij men via deductie vanuit algemeen erkende premissen specifieke conclusies trok.

Binnen het kerkelijke recht ontwikkelden de glossatoren en commentatoren formele vormen van juridische bewijsvoering. De begrippen autoriteit (auctoritas) en getuigenbewijs domineerden, maar men bleef worstelen met de spanning tussen rede en geloof.

3. De nieuwe tijd: algebra, analytische meetkunde en de droom van formules

In de 17de eeuw kreeg bewijs een rekenkundige en algebraïsche gedaante. Denk aan Descartes, die analytische meetkunde ontwikkelde, en Newton en Leibniz met hun infinitesimaalrekening. Wiskunde werd meer dynamisch en rekenkundig, maar het formele bewijs bleef fundamenteel.

Een dramatische wending kwam in de 19de eeuw met het onmogelijkheidresultaat van Abel en Galois. Tot dan toe zochten wiskundigen naar formules voor de oplossing van algebraïsche vergelijkingen van de n-de graad. Voor tweedegraads-, derdegraads- en vierdegraadsvergelijkingen bestonden reeds oplossingsformules.

Maar Niels Henrik Abel bewees in 1824 dat er géén algemene algebraïsche formule bestaat voor de oplossing van de vijfdegraadsvergelijking[2]. Évariste Galois bouwde daarop verder door te tonen dat het al dan niet oplosbaar zijn van zo’n vergelijking afhangt van de symmetrieën (groepen) van de wortels, en hij legde hiermee de grondslag voor de Groepentheorie[3].

> "Het bewijs toont niet alleen een grens, maar ook een nieuwe wereld voorbij die grens."



Deze ontdekking was fundamenteel: een bewijs kan dus onmogelijkheden aantonen – niet enkel waarheden.

4. Gauss en het ideaal van rijpheid

Carl Friedrich Gauss, vaak genoemd als de "prins der wiskunde", publiceerde slechts een fractie van zijn bewijzen. Zijn adagium "pauca sed matura" ("weinige, maar rijpe dingen")[4] getuigt van zijn visie dat bewijzen diepgaand, zuiver en elegant moeten zijn. In zijn Disquisitiones Arithmeticae (1801) vinden we meesterlijke constructies en bewijzen over congruentie, priemgetallen, en modulair rekenen.

> "Niet elk bewijs is een bewijs van inzicht. Enkel wie herleidt tot het wezenlijke, bewijst in de ware zin van het woord."



5. De 20ste eeuw: formalisme, intuïtionisme en het einde van de zekerheid

Met Hilbert begon het tijdperk van het formalisme: alle wiskunde moest gebaseerd worden op een gesloten systeem van axioma’s, logisch coherent en volledig. Zijn beroemd programma liep echter stuk op Gödel’s onvolledigheidsstellingen[5], die aantoonden dat elk voldoende rijk systeem stellingen bevat die waar zijn maar niet bewezen kunnen worden binnen dat systeem.

Ondertussen pleitten wiskundigen zoals L.E.J. Brouwer voor het intuïtionisme, waarbij bewijzen enkel bestaan als zij constructief zijn – geen abstractie zonder constructie.

Deze periode bracht een pluraliteit aan opvattingen over wat een bewijs eigenlijk is: formeel, constructief, intuïtief, computationeel.

6. Hedendaagse tijd: proeftheorie en juridische parallellen

In de huidige tijd verschuift het begrip ‘bewijs’ ook naar probabilistische en empirische domeinen: in de computerwetenschappen, in de statistiek, en zelfs in de rechtspraak. Het wiskundige ideaal van zekerheid staat onder druk in een wereld van waarschijnlijkheden, AI-bewijzen, en formele verificaties.

Binnen de juridische sfeer zien we een herwaardering van het bewijs als proces in plaats van als resultaat. De prooftheorie onderzoekt de structuur van bewijzen en redeneringen zelf – wat nauw aansluit bij het juridische denken: niet wat men zegt, maar hoe men dat zegt.

7. Besluit: Het bewijs als menselijke inspanning tot betekenis

Doorheen de eeuwen toont de geschiedenis van het bewijs een voortdurende zoektocht naar zekerheid, inzicht en rechtvaardiging. Van Euclides tot Galois, van Gauss tot Gödel, van algebra tot rechtspraak: het bewijs is niet slechts een technische operatie, maar een fundamenteel menselijk streven naar waarheid – soms onbereikbaar, maar nooit zinloos.


---

Voetnoten:

[1] Euclides, Elementa, boek I. Zie ook: Heath, T.L., The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Dover Publications, 1956.
[2] Abel, N.H., Mémoire sur les équations algébriques, 1824.
[3] Galois, E., Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, postuum gepubliceerd in 1846. Zie ook: Edwards, H.M., Galois Theory, Springer, 1979.
[4] Gauss aan Bessel, brief uit 1808. Zie: Dunnington, G., Gauss: Titan of Science, MAA, 2004.
[5] Gödel, K., Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, 1931.

– Van oplossen naar bewijzen: Pólya, Velleman en de stap naar het juridisch bewijs

“Between guessing and proving lies the art of justification.”
— George Pólya

1. Drie scholen van denken: Pólya, Velleman en Beweren is niet bewijzen

De wiskunde en de rechtspraak kennen verschillende benaderingen van bewijsvoering die op het eerste gezicht ver uiteen liggen, maar elkaar in de praktijk noodzakelijk aanvullen. Dit geldt ook voor de drie benaderingen die worden vergeleken: de heuristiek van George Pólya (How to Solve It, 1945), de formele structuur van Daniel Velleman (How to Prove It, 1994), en het werk Beweren is niet bewijzen.

Pólya biedt denkhulpmiddelen voor het oplossen van problemen door intuïtieve en creatieve benaderingen, Velleman leert de formele structuur van logisch redeneren, terwijl Beweren is niet bewijzen beide benaderingen samenbrengt en toepast op de juridische wereld. Pólya moedigt ontdekkingen aan, Velleman leert verantwoorden, en deze monografie breidt die methodes uit naar het recht, door te laten zien hoe zowel intuïtieve als formele processen essentieel zijn voor het begrijpen van juridische bewijsvoering.

2. De kloof tussen theorie en praktijk in het recht

In tegenstelling tot de wiskunde, waar deductieve methodes strikt gevolgd worden, kent de juridische praktijk een aanzienlijk bredere benadering. In veel juridische disciplines, zoals strafrecht, bouwrecht en sociaal-economisch recht, blijven de meeste monografieën beperkt tot een specifiek domein, gericht op de specialist. Wat echter vaak over het hoofd wordt gezien, is het feit dat advocaten uit verschillende rechtsgebieden, van civiel recht tot belastingrecht, zich in eenzelfde zaak moeten verhouden tot dezelfde bewijsstandaarden. Deze monografie biedt een brug tussen de abstracte wiskundige bewijsvoering en de pragmatische, alledaagse juridische besluitvorming.

Een grote hoeveelheid juridische besluiten wordt namelijk genomen door advocaten die geen gespecialiseerd zijn in de betreffende rechtsgebieden, maar die, net als wiskundigen, logisch moeten redeneren en bewijzen moeten presenteren. De “interdisciplinaire” aard van de juridische praktijk maakt dit werk bijzonder relevant voor een breed publiek, van jonge advocaten tot ervaren rechtsgeleerden.

3. Het wezen van bewijzen: Van Pólya en Velleman naar de juridische praktijk

De aanpak van Pólya is cruciaal in de verkennende fase van juridische vraagstukken. Net als Pólya in zijn werk How to Solve It de nadruk legt op heuristische technieken om intuïtief naar een oplossing te zoeken, zo moeten advocaten in de vroege stadia van een zaak vaak patronen en aanwijzingen zoeken. Echter, zoals de juridische wereld vereist, wordt Pólya’s heuristiek slechts de start van het proces. Waar de rechterlijke macht vereist dat juridische besluiten gebaseerd zijn op duidelijk bewijs, vraagt Velleman’s formele benadering – die logisch rigoureuze deductie en bewijsstrategieën voorschrijft – om verder onderzoek en verantwoording. Deze monografie verbindt beide benaderingen: van intuïtieve hypothesen naar gedegen, formele bewijzen.

Wat deze monografie anders maakt, is de uitbreiding van Velleman’s logische principes naar juridische contexten. Waar Velleman zich beperkt tot wiskundige en formeel-logische bewijzen, neemt deze tekst diezelfde logica en past deze toe op het recht. Niet alleen in een beperkt juridische domein, maar in een breder scala van rechtsgebieden, van fiscale fraude tot arbeidsrecht en mensenrechten. Het leert niet enkel hoe te redeneren, maar ook hoe interdisciplinaire bewijzen effectief gebruikt kunnen worden in rechtszalen.

4. De juridische breuklijn: Waar Pólya en Velleman elkaar ontmoeten

De juridische wereld bevindt zich vaak op de grens tussen intuïtie en precisie. Veel juridische argumentaties volgen Pólya’s heuristische benadering: intuïtief, suggestief, en soms retorisch. Dit komt echter niet altijd ten goede aan de juridische integriteit van het bewijs. De monografie benadrukt de noodzaak van precisie, zoals Velleman die voorschrijft, maar breidt deze benadering uit naar de juridische praktijk. Hier moeten, door de brede toepassing van juridische expertise, bewijzen vaak vanuit meerdere rechtsgebieden worden samengebracht. Een burgerlijk recht advocaat, een belastingadvocaat, en een strafrechtadvocaat werken samen aan een gemeenschappelijk juridisch vraagstuk, en hun argumenten moeten elkaar aanvullen zonder de precisie van Velleman of de intuïtieve kracht van Pólya te verliezen.

De toegevoegde waarde van deze monografie ligt in het feit dat het een interdisciplinaire benadering biedt die zowel formele logica als heuristische technieken omarmt. Dit maakt het boek aantrekkelijk voor een veel breder publiek dan traditionele monografieën, die zich beperken tot één rechtsgebied of discipline. Dit werk spreekt niet enkel specialisten aan, maar ook de algemene juridische praktijk, waarin advocaten uit verschillende disciplines meermaals betrokken zijn bij het maken van juridische besluiten in eenzelfde zaak.
5.Waarom juristen nood hebben aan de taal van het bewijs

Een jurist kent de wet, interpreteert de feiten, beoordeelt het dossier. Maar wie leert hem bewijzen? Niet in de formele zin van “wie draagt de bewijslast?”, maar in de diepere zin van: wat is een geldig argument? Hoe bewijs je iets zó dat het logisch onweerlegbaar wordt?

In de wiskunde bestaat daarvoor een heldere traditie. Boeken als How to Prove It van Daniel Velleman leren generaties studenten hoe je niet alleen tot een conclusie komt, maar hoe je elke stap daarheen verantwoordt, controleerbaar maakt, en structureert. Elk bewijs is een keten: van premisse naar conclusie, met zorg voor implicatie, contradictie, en deductieve helderheid.
– Van mathematisch bewijs tot juridische schaakmat: een vergeten methodologie
Wat Velleman deed, was even eenvoudig als revolutionair: hij bracht structuur in het chaotische terrein van deductieve redenering. Niet langer was het bewijs een mysterieus kunstje van het genie – het werd een ambacht, met regels, patronen en strategieën.

Dat zo’n werk insloeg als een bom, hoeft niet te verbazen. In elk domein waar argumentatie centraal staat, bestaat de nood aan methodologie. In de rechtspraktijk is die nood des te groter. Elke advocaat moet in elke zaak besluiten opstellen. Wat Velleman voor de wiskundige betekende, tracht deze monografie te doen voor de jurist: een leidraad bieden om waterdichte besluiten te formuleren, met logische structuur, bewijskracht en strategisch inzicht.³ Zoals de wiskundige zijn lemma’s, definities en axioma’s in positie brengt om tot zijn Q.E.D. te komen, zo moet ook de advocaat zijn premissen ordenen, zijn tegenstellingen uitschakelen en zijn bewijsvoering volgens een herkenbare methode opbouwen – en liefst zo dat de tegenpartij schaakmat staat nog voor zij het zelf beseft.

De juridische wereld beschikt over een immense hoeveelheid doctrine en precedenten, maar zelden over een deductief stappenplan dat op zaakniveau toe te passen valt. Vandaar dat Beweren is niet bewijzen niet zomaar een reflectie is over recht en logica, maar een poging tot een methodologisch tekort aan te pakken. Waar Velleman het domein van de wiskunde herschreef als een gestructureerde onderneming, willen wij het recht herdenken als een schaakspel – niet in functie van kracht of overtuiging, maar in functie van zuivere bewijsvoering.

De centrale inspiratiebron blijft evenwel de wiskunde, en in het bijzonder de didactische werken die zich bezighouden met het leerproces van bewijzen. Naast Velleman zijn Proof, Logic, and Conjecture van Robert S. Wolf? en The Art and Craft of Problem Solving van Paul Zeitz? absolute hoekstenen. Deze boeken benadrukken dat bewijzen niet ontstaan in een vacuüm, maar voortkomen uit een dialectiek tussen veronderstellingen en doelen – een strategie die nauw aansluit bij de praktijk van het juridisch redeneren, waarin vaak vanuit het gewenste besluit (bijvoorbeeld de verwerping van een tenlastelegging) terug wordt gewerkt naar de premissen die dat besluit kunnen onderbouwen.

Zelfs in de grote lijn van de wiskundige geschiedenis – van Euclides tot Erdos – blijkt het ontbreken van een metawetenschap over het bewijzen zelf.? Daarom is het werk van Velleman zo belangrijk, en daarom beschouwen wij het juridisch equivalent ervan als meer dan een boek: het is een noodzakelijke instrumentenset. Zoals elke goede schaakspeler debuteert met een opening, anticipeert op tegenzetten en werkt naar een eindspel, zo moet ook de jurist strategisch bewijzen: met precisie, logica en een inzicht in het grotere geheel.
Jaarlijks verbreekt het Hof van Cassatie honderden vonnissen en arresten. In een gemiddeld jaar gaat het om meer dan 2.500 arresten, waarvan een substantiële fractie — naar schatting tot 30% — wordt vernietigd wegens zuivere redeneerfouten: fouten in de deductieve structuur van het juridisch oordeel.
Wat dit betekent, is niet gering. In al die gevallen hebben minstens twee advocaten én minstens twee rechterlijke instanties (de rechter in eerste aanleg en het hof van beroep) een fout in de logica niet opgemerkt, of minstens niet weerlegd. Het probleem is dus niet individueel, maar structureel: het wijst op een fundamentele onderschatting van de logische component van juridische besluitvorming.
Deze vaststelling is geen afrekening, maar een uitnodiging. Een uitnodiging om het juridische argument opnieuw te zien voor wat het is: een vorm van formele redenering, waarin de inhoud slechts overtuigt als de structuur klopt.
Deze tekst is niet ontsproten uit een abstract verlangen naar academische zuiverheid, maar uit een veel concretere behoefte: de vraag of wiskunde en recht werkelijk iets met elkaar te maken hebben. Die vraag stelde ik ooit op een publiek forum, onder de titel Gaat wiskunde en recht samen? (Politics.be). Wat begon als een digitale provocatie, groeide uit tot een vruchtbare discussie met wiskundigen, juristen, sceptici en geïnteresseerden. De reacties varieerden van afwijzing over voorzichtig enthousiasme tot praktische aanvullingen. Wat me vooral trof, was hoe diep de intuïtie zit dat recht iets ‘menselijks’ moet blijven, en dat wiskunde daar per definitie haaks op zou staan. Precies die spanning vormt het vertrekpunt van deze verhandeling.

Wat volgt is geen pleidooi voor formalisering van het recht, noch een poging om juridische argumentatie te reduceren tot logische schema’s. Het is eerder een zoektocht: naar het punt waar redeneren in het recht en bewijzen in de wiskunde elkaar raken, afstoten of versterken. Zoals op het forum bleek, is dat punt niet eenduidig. Maar net daarin schuilt haar waarde.
> "Mathematics is the art of giving the same name to different things."
— Henri Poincaré

---

Voetnoten

1. G. Pólya, How to Solve It, Princeton University Press, 1945.


2. D.J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, 1994.


3. Art. 149 Gw.: “Elke uitspraak is met redenen omkleed.”


4. Art. 6 EVRM: recht op een eerlijk proces, waaronder bewijsstandaard in

Bijlage IX – De herontdekking van de wiskunde als fundament voor het recht

Epiloog bij de verhandeling: "Beweren is niet bewijzen"


---

1. Inleiding: van wijsbegeerte tot rechtsvinding

In de premoderne universiteit werd de graad van doctor in de wijsbegeerte niet enkel verleend aan filosofen in enge zin, maar aan wie blijk gaf van meesterschap in het formele en abstracte denken. Deze wijsbegeerte was een synthetisch veld waarin disciplines als logica, wiskunde, natuurfilosofie en ethiek elkaar kruisten. Zo kon ook een genie als Carl Friedrich Gauss, die zijn eerste successen boekte in de getaltheorie, de titel van doctor in de wijsbegeerte dragen.

Het juridische denken, dat in onze tijd sterk pragmatisch en casuïstisch is geworden, is zijn formele wortels in dat bredere wijsgerige geheel grotendeels kwijtgeraakt. Nochtans is er vandaag een groeiende nood aan herwaardering van formele structuren, zeker nu normatieve systemen steeds complexer worden en artificiële intelligentie juridisch redeneren begint te modelleren.

Deze bijlage is een pleidooi voor een herwaardering van de wiskunde als intellectueel fundament van het recht. Ze beschrijft welk soort wiskunde relevant is, hoe ze toegepast kan worden en stelt een concreet lesplan voor dat dienst kan doen als brug tussen formeel denken en juridische praktijk.


---

2. Niet alle wiskunde is nuttig voor juristen

Het is evident dat niet elke tak van de wiskunde bruikbaar is voor de jurist. Ingenieurswiskunde — zoals differentiaalvergelijkingen, vectoranalyse, complexe getallen, topologie en meetkunde in ?^n — speelt nauwelijks een rol in het rechtsdenken. Deze domeinen zijn gericht op de continue wereld van natuurkunde en technologie, terwijl het recht veeleer discretief, normatief en taalgebonden is.

Wat wél nuttig is, zijn de takken van de wiskunde die zich bezighouden met:

Logica (klassieke propositielogica, predicatenlogica, modale logica);

Verzamelingenleer (inclusie, exclusie, deelverzamelingen);

Relaties en functies (equivalentierelaties, partities);

Combinatoriek (hoeveel mogelijke scenario’s);

Kansrekening en statistiek (voor bewijswaardering);

Algebraische structuren (voor het classificeren van rechtsbegrippen).


Deze gebieden van de wiskunde laten toe om het recht niet louter narratief of retorisch te beschouwen, maar ook structureel, consistentieel en differentieel. Ubi ratio, ibi lex.


---

3. Waarom het recht nood heeft aan formele training

Recht spreekt in natuurlijke taal, maar redeneert in een formele structuur. Zonder adequate vorming in deductieve, modale en kanslogica blijft de juridische besluitvorming vatbaar voor:

Cirkelredeneringen (petitio principii);

Post hoc ergo propter hoc-fouten;

Foute generalisaties (non sequitur);

Miskenning van tegenvoorbeelden;

Incorrect gebruik van probabilistische argumenten.


Zoals deze verhandeling meermaals heeft aangetoond: affirmare non est probare. Formele redenering biedt een anker tegen de willekeur van overtuiging. Het recht, dat zich vaak op het kruispunt bevindt van moraal, macht en interpretatie, kan niet zonder een vorm van epistemische soberheid die de wiskunde biedt.


---

4. Een lesplan "Wiskunde en logica voor juristen"

Het volgende lesplan is ontworpen als brug tussen de formele wereld van de wiskunde en het normatieve karakter van het recht. Het combineert klassieke logica met concrete juridische toepassingen.

Structuur

Duur: 1 academiejaar (2 semesters)

Frequentie: 4 uur/week (theorie + oefeningen + casus)

Doelgroep: rechtenstudenten of juristen zonder wiskundige voorkennis


Inhoudelijk overzicht

Semester 1

Thema Inhoud Juridische toepassing

Logica en taal Waarheidstabellen, connectieven, contradicties, tautologieën Voorwaarden in contracten, tegenstrijdige clausules
Natuurlijke deductie Modus ponens/tollens, reductio ad absurdum Arrestenanalyse, bewijsstructuren
Predicatenlogica Kwantoren ?, ?; domeinen, generalisatie Wetgeving die groepen definieert
Verzamelingenleer Doorsnede, unie, verschil, machtsverzameling Conflicterende normdomeinen
Relaties en functies Binaire relaties, partities Kwalificatie: werknemer vs. zelfstandige


Semester 2

Thema Inhoud Juridische toepassing

Kansrekening Boomdiagrammen, onafhankelijke gebeurtenissen Bewijswaardering in strafrecht
Bayesiaanse updates A posteriori kans, plausibiliteit DNA-bewijs, verzekeringsrecht
Combinatoriek Permutaties, combinaties, scenarioanalyse Aansprakelijkheidsverdeling
Modale logica ? noodzakelijk, ? mogelijk Verbodsbepalingen, rechtsbeginselen
Bewijstheorie Direct, indirect, recursief bewijs Cassatierechtspraak, rechtsvergelijking


Evaluatie

Tussentoets (20%)

Eindtoets (40%)

Participatie + oefeningen (20%)

Eindcasus (20%)


Literatuur en bronnen

Venn, J. Symbolic Logic

Van Bendegem, J.P. Over wat ik nog wil zeggen

Endicott, T. The Value of Vagueness

Selectie uit Belgische en Europese rechtspraak


Latijnse spreuken zoals in claris non fit interpretatio of exceptio probat regulam worden actief in de lessen verwerkt om hun logische structuur te analyseren.


---

5. Besluit: waarom deze bijlage een epiloog is

Deze bijlage sluit de verhandeling af zoals ze begonnen is: met een pleidooi voor een herwaardering van het bewijs in zijn meest zuivere vorm. Zoals Gauss zich als jong student reeds in de wijsbegeerte bewoog om de getallen te begrijpen, zo moet de jurist zich in het formalisme begeven om de norm te doorgronden.

De wiskunde die hier wordt bepleit is niet de technische wiskunde van het ingenieursexamen, maar de structurele wiskunde van het inzicht, de abstractie en de grensbewaking van het redelijke.

Fiat veritas, ruat caelum.

Bijlage X – “Ex structurâ ius: Categorietheorie als wapen tegen juridische entropie”

> “Ordo et connexio idearum idem est ac ordo et connexio rerum.”
– Spinoza, Ethica, I, Axiomata, IV



Inleiding

In een tijd waarin de juridische praktijk steeds meer onderhevig is aan snelheid, pragmatisme en digitalisering, lijkt het fundamentele vermogen om abstract en structureel te denken in regressie. Deze structurele denkvormen, die ooit aan de basis lagen van de rechtenstudie in haar klassieke vorm – ars logica, ars rhetorica, ars mathematica – hebben plaatsgemaakt voor casusgericht aanleren van wetgeving zonder diepere logische onderbouw. In deze context stelt zich de vraag of een wiskundig abstract kader zoals de categorietheorie een relevante bijdrage kan leveren aan de juridische vorming en praktijk. Het antwoord is ondubbelzinnig positief.


---

1. Categorietheorie in essentie: een taal van relaties

Categorietheorie werd in de jaren 1940 ontwikkeld door Samuel Eilenberg en Saunders Mac Lane als een manier om universele structuren en hun onderlinge relaties binnen de wiskunde te beschrijven. In plaats van te focussen op objecten op zich, richt categorietheorie zich op de morfismen — de structuurbehoudende transformaties tussen objecten — en hun compositie. Een categorie bestaat uit:

een verzameling objecten,

een verzameling morfismen tussen die objecten,

een associatieve compositie van morfismen,

en identiteitsmorfismen voor elk object.


Deze structuur biedt een metaformele taal om verbanden te leggen tussen structuren — exact wat ook het recht voortdurend doet.

> “Ex consequentibus ratio colligitur.”
– Digesten, 50.17.155
(Uit de gevolgen wordt de redenering afgeleid.)



In juridische termen kunnen we objecten beschouwen als juridische begrippen (zoals “contract”, “schuld”, “eigendom”), en morfismen als de juridische regels, interpretaties of vonnissen die deze begrippen transformeren in andere. De combinatie van regels (compositie) volgt strikte regels van logische coherentie.


---

2. Juridisch denken als categorisch denken

Het recht is in wezen relationeel. Geen enkele norm heeft betekenis zonder context. Artikel 1134 BW (oude versie) bijvoorbeeld (“alle overeenkomsten strekken partijen tot wet”) betekent niets zonder contract, zonder wederkerigheid, zonder feitelijke uitvoering, zonder sancties bij niet-nakoming.

Categorietheorie dwingt de jurist om niet alleen het object te bestuderen, maar ook hoe het zich verhoudt tot andere objecten, binnen welke structuur het leeft, en hoe transformaties (interpretaties, toepassingen, vonnissen) daarop inwerken.

Dit kan als volgt gemodelleerd worden:

Objecten: rechtsconcepten zoals verplichting, schuld, overmacht

Morfismen: juridische transformaties zoals interpretatie, herkwalificatie, analogieredenering

Functors: mappings tussen verschillende rechtsdomeinen (bv. strafrecht naar fiscaal recht)

Natural transformations: coherente veranderingen in interpretatie binnen een systeem (bv. evolutie in rechtspraak zonder contradictie)


> “Lex est ratio summa, insita in natura.”
– Cicero, De Legibus, II.5
(De wet is het hoogste verstand, ingebed in de natuur.)




---

3. Toepassingen voor de advocaat

a. Bewijsvoering en logische samenhang

Categorietheorie maakt de advocaat gevoelig voor compositie en samenhang van argumenten. Elke premisse, elk precedent, is een morfisme in een grotere keten. Fouten in de samenstelling (zoals contradicties, circulaire redeneringen of inconsistent gebruik van definities) worden sneller zichtbaar als men categorisch leert denken.

b. Vergelijkend recht en transformatie

Via functoren kunnen concepten tussen rechtsdomeinen worden getransformeerd zonder verlies aan structuur. Zo kan de juridische kwalificatie van “fiscale simulatie” in het belastingrecht gemapt worden op bedrog in het strafrecht, met behoud van functionele gelijkenis. Advocaten die meerdere rechtsgebieden beheersen, opereren al intuïtief via deze “functoren”.

c. Contractuele structuren en coherentie

In het contractenrecht is samenhang tussen clausules van vitaal belang. Categorietheorie leert denken in netwerken van voorwaarden en effecten. Een contract is geen lijst van afzonderlijke bepalingen, maar een gestructureerd systeem met implicaties en restricties. De advocaat die dit begrijpt, bouwt robuustere clausules en anticipeert op zwakke schakels.

d. Juridische AI en formalisering

In legal tech zijn systemen op basis van categorietheorie in opkomst, net zoals ze dat al jaren zijn in de functionele programmeertalen (zoals Haskell). Ze maken het mogelijk om juridische redenering in machine-consistente vormen te gieten, mits de jurist voldoende abstract kan denken om zijn domein formeel te modelleren.

> “Nulla regula sine exceptione.”
(Geen regel zonder uitzondering.)
Categorietheorie laat uitzonderingen toe mits consistente verwerking — via natuurlijke transformaties of subcategorieën.




---

4. Historische verankering van mathematisch denken in de rechtenstudie

Tot de negentiende eeuw werd van rechtenstudenten verwacht dat ze geschoold waren in logica, meetkunde en metafysica. In Leuven, Bologna en Parijs was een initiële opleiding in de artes liberales — inclusief wiskunde en logica — verplicht voorafgaand aan de juridische faculteit. Zoals Pascal en Fermat aantonen, was er een directe verbinding tussen juridisch en mathematisch denken (zie eerder hoofdstuk). Leibniz zelf werkte aan een ars combinatoria juridica waarin juridische geschillen via logische symboliek opgelost konden worden.


---

5. Contra: waarom categorietheorie nauwelijks voorkomt in rechtenfaculteiten

Te abstract: categorietheorie vereist een denkniveau dat ver uitstijgt boven het huidige minimum in rechtenopleidingen.

Gebrek aan wiskundige vorming bij studenten: een gevolg van het feit dat studenten die niet mee kunnen met wiskunde vaak rechten kiezen.

Gebrek aan interdisciplinaire opleiding: rechtenopleidingen zijn zelden geïntegreerd met logica, informatica of wiskunde.


> “Qui ignorat rationem legis, difficile est illam recte interpretari.”
(Wie de reden van de wet niet kent, zal ze moeilijk juist kunnen interpreteren.)
– Ulpianus, Dig. 1.3.18




---

Besluit

Categorietheorie is géén niche voor wiskundigen, maar een denkkader voor juristen die structuur zoeken in een steeds complexere rechtswereld. Ze leert de advocaat om redeneringen transparant, modulair en coherent op te bouwen. In een wereld van juridische overbelasting en interpretatiechaos biedt ze niet alleen een vorm van intellectuele ascese, maar een wapen tegen entropie.

> “Natura nihil facit frustra.”
(De natuur doet niets zonder doel.)
– Aristoteles, Physica II.3
— en dat geldt ook voor juridische structuren.

???? Wat is een functor in het recht?

Een functor is een structuurbehoudende mapping tussen twee categorieën. In juridische termen: een systematische vertaling van juridische objecten en morfismen (regels, relaties) van het ene rechtsdomein naar het andere, op een manier die interne samenhang bewaart.

Formeel (juridisch geïnterpreteerd): Een functor wijst:

elk juridisch object toe aan een object

elk morfisme toe aan een morfisme zodanig dat:


1. Identiteitsmorfismen bewaard blijven:


2. Compositie bewaard blijft:




---

???? Voorbeeld 1: Functor van Strafrecht naar Fiscaal Recht



Object (in C) ? Object (in D)

Bedrog ? Simulatieconstructie
Valsheid in geschrifte ? Valse facturatie
Witwassen ? Verhulling van inkomsten


Morfisme Mapping

Bedrog ? Aansprakelijkheid ?
Valsheid ? Strafrechtelijk onderzoek ?


? Compositie blijft behouden: Als valsheid in geschrifte leidt tot een strafvordering, leidt de fiscale tegenhanger valse facturen tot een ambtshalve aanslag en eventueel een boete.


---

???? Voorbeeld 2: Functor van Arbeidsrecht naar Sociaal Zekerheidsrecht



Object (in C) ? Object (in D)

Arbeidsovereenkomst ? RSZ-plicht
Schijnzelfstandigheid ? Bijdrageontduiking
Dienstverband ? Riziv-aansluiting


Morfisme Mapping

Arbeid ? Loonrecht ?
Arbeid ? Ontslag ?


? Behouden structuur: Elke wijziging in de aard van de arbeidsrelatie veroorzaakt automatisch een wijziging in sociaalrechtelijke rechten en verplichtingen.


---

???? Voorbeeld 3: Functor van Burgerlijk recht naar Milieurecht



Object (in C) ? Object (in D)

Eigendom van grond ? Milieuvergunningsplicht
Bouwrecht ? Ruimtelijke ordening
Erfdienstbaarheid ? Ecologische corridorplicht


Morfisme Mapping

Verkoop ? Rechtsoverdracht ?
Gebruik ? Schadetoebrenging ?


? Functor toont evolutie van 'absoluut eigendomsrecht' naar 'functioneel eigendom', waarbij civiele rechten vertaald worden naar ecologische plichten.


---

???? Voorbeeld 4: Functor van Nationale rechtspraak naar Europese rechtspraak



Object (in C) ? Object (in D)

Werkloosheidsuitkering ? Vrij verkeer van werknemers
Huurwetgeving ? Non-discriminatie EU-burgers
Belastingvoordeel ? Vrijheid van vestiging


Morfisme Mapping

Nationale interpretatie ? Uitsluiting buitenlanders ?
Belastingsvoordeel voor binnenland ?


? Hier toont de functor hoe jurisprudentiële logica in nationale wetgeving structureel wordt herschikt onder Europese normen.


---

Samengevat

Een juridische functor is dus meer dan een analogie: het is een systematische structurering tussen twee juridische domeinen of systemen, waarbij juridische concepten en hun onderlinge relaties coherent worden overgezet van het ene rechtskader naar het andere.

De functor van strafrecht naar fiscaal recht bij ernstige fraudeconstructies

Dit voorbeeld is bijzonder relevant voor de verhandeling, gezien de thematiek van ernstige fiscale fraude en het spanningsveld tussen logische redenering en juridische geloofwaardigheid.


---

???? Titel:

Van Strafrechtelijke Delicten naar Fiscale Ficties – Een Functoriële Structuur bij Fraudeanalyse


---

1. Inleiding

In complexe fraudedossiers ontstaan vaak spanningen tussen strafrechtelijke kwalificaties en fiscale interpretaties. Hoewel beide systemen autonoom oordelen, ontstaat er in de praktijk een systematische overeenkomst in hoe bepaalde gedragingen geherkwalificeerd worden: wat in het strafrecht een misdrijf is, wordt in het fiscaal recht vaak een fictie of indicium.

Deze mapping laat zich functorieel beschrijven: als een structuurbehoudende relatie tussen de categorie van strafrechtelijke delicten en de categorie van fiscale ficties en sanctiemechanismen.


---

2. De twee categorieën

???? Categorie : Strafrechtelijke delicten

Objecten: gedragingen die strafbaar zijn gesteld (bedrog, valsheid, witwassen...)

Morfismen: juridische oordelen, vervolgingen, interpretaties binnen strafrecht


???? Categorie : Fiscale gevolgen en kwalificaties

Objecten: fiscale ficties, vermoedens, verwerping van boekhouding, ambtshalve aanslagen

Morfismen: belastingadministratieve beslissingen, herkwalificaties, sancties



---

3. De functor

De functor vertaalt strafrechtelijke feiten en logica naar hun fiscale tegenhangers, met behoud van structuur:

Elk delict krijgt een fiscale pendant.

Elke strafrechtelijke redenering wordt weerspiegeld in een fiscale sanctielogica.


Strafrechtelijk object ? Fiscaal object

Bedrog ? Simulatieconstructie (art. 344 WIB 92)
Valsheid in geschrifte ? Valse facturatie (boete en aanslag)
Witwassen ? Verhuld inkomen (belastbare basis)


Strafrechtelijk morfisme ? Fiscale morphisme

Valsheid ? Strafrechtelijke vervolging ? Valse facturen ? Ambtshalve aanslag
Bedrog ? Strafsanctie ? Simulatie ? Herkwalificatie + boete



---

4. Voorbeeldcase: De “Spookfactuur”-zaak

Feiten (in ):
Een boekhouder en zijn cliënt worden vervolgd voor valsheid in geschrifte en gebruik van valse stukken. Facturen worden uitgeschreven voor niet-bestaande prestaties aan een verbonden vennootschap.

Strafrechtelijke analyse:
? Het parket vervolgt wegens bedrog en valsheid (art. 193 Sw.).
? Morfisme: gebruik van valse stukken ? strafvordering.

Fiscale herkwalificatie via functor :
? De fiscus verwerpt de boekhouding (art. 320 WIB 92).
? Simulatie wordt vermoed (art. 344 §1 WIB 92).
? Ambtshalve aanslag + 50% boete wegens opzettelijke fraude.

Functoriële structuur:


\text{Valsheid} \xrightarrow{\text{vervolging}} \text{Strafvordering} \\
F(\text{Valsheid}) = \text{Valse facturatie} \xrightarrow{\text{ambtshalve aanslag}} \text{Fiscale sanctie}


---

5. Juridische relevantie van de functor

Deze functoriële benadering:

verheldert de parallelliteit tussen strafrechtelijke en fiscale constructies;

maakt het mogelijk inconsistenties op te sporen, bv. wanneer een delict niet wordt vervolgd, maar toch fiscale gevolgen heeft;

verklaart waarom een vrijspraak strafrechtelijk niet noodzakelijk fiscale impunitie oplevert (cf. Cass. 5 okt. 2018, F.17.0022.N).


De functor fungeert niet als louter logische overeenkomst, maar organiseert een coherent netwerk van rechtsgevolgen over de grenzen van rechtsdomeinen heen.


---

6. Besluit

Door strafrechtelijke en fiscale rechtsstructuren te modelleren als categorieën, en hun verband via een functor te beschrijven, krijgen we grip op hoe juridische systemen systematisch met elkaar corresponderen, ondanks hun autonome aard.
Dit structurele inzicht is essentieel bij de analyse van complexe fraudezaken, waarin bewijsvoering vaak gefragmenteerd is over meerdere rechtsdomeinen.---
???? Titel:

Van Arbeidsrechtelijke Kwalificatie naar Sociale Zekerheidsbijdrage – Een Functoriële Structuur bij Schijnzelfstandigheid


---

1. Inleiding

In geschillen over arbeidsovereenkomsten speelt de kwalificatie van de arbeidsrelatie een sleutelrol. Wanneer de arbeidsrechtbank een relatie kwalificeert als arbeidsovereenkomst i.p.v. zelfstandige samenwerking, dan heeft dit gevolgen buiten het arbeidsrecht: met name in het sociaal zekerheidsrecht (RSZ, RIZIV, RVA…).

We kunnen dit vertalen als een functor: een structuurbehoudende relatie tussen de categorie van arbeidsrechtelijke kwalificaties en de categorie van sociale bijdragen en uitkeringen.


---

2. De twee categorieën

???? Categorie : Arbeidsrechtelijke relaties

Objecten: feitelijke arbeidsverhoudingen

Morfismen: juridische kwalificaties en uitspraken, zoals “arbeidsovereenkomst”, “gezag”, “ondergeschiktheid”


???? Categorie : Sociale zekerheidsrechtelijke gevolgen

Objecten: recht op of plicht tot bijdragen, sociale bescherming, herkwalificaties RSZ

Morfismen: besluiten tot regularisatie, invordering van bijdragen, toekenning van rechten



---

3. De functor

Deze functor vertaalt arbeidsrechtelijke kwalificaties in hun sociaalrechtelijke gevolgen, met behoud van de juridische structuur:

Object ?

Werkrelatie met gezag ? RSZ-plicht (volwaardige werknemer)
Freelance zonder gezag ? Geen RSZ (zelfstandige regeling)
Schijnzelfstandigheid ? Regularisatie + bijdragen met terugwerkende kracht


Morfisme ?

“Kwalificatie: zelfstandige ? werknemer” ? “RSZ-plicht met retroactiviteit”
Arbeidsrechtelijke uitspraak ? Beslissing RSZ + herziening uitkering



---

4. Voorbeeldcase: De “Koerierplatform”-zaak

Feiten (in ):
Een koerier werkt via een online platform onder voorwaarden die wijzen op gezag (algoritmisch gestuurd, sancties bij weigering van opdrachten, vaste werktijden). Hij is formeel zelfstandig.

Arbeidsrechtelijke analyse:
? De arbeidsrechtbank herkwalificeert de relatie als arbeidsovereenkomst.
? Morfisme: zelfstandig statuut ? kwalificatie als werknemer.

Sociaalrechtelijke gevolgen via functor :
? De RSZ vordert sociale bijdragen over 3 jaar.
? Het RIZIV erkent het recht op arbeidsongeschiktheid.
? RVA wijzigt het statuut m.b.t. werkloosheidsuitkering.

Functoriële structuur:


\text{Relatie zonder gezag} \xrightarrow{\text{juridische kwalificatie}} \text{Arbeidsovereenkomst}

F(\text{Relatie zonder gezag}) = \text{Geen RSZ-plicht} \xrightarrow{F(\text{kwalificatie})} \text{Bijdrageplicht met terugwerkende kracht} ?


---

5. Juridische en doctrinaire betekenis van de functor

Deze functor is cruciaal:

Bij coördinatie van sociale inspectiediensten: een vaststelling door de arbeidsauditeur activeert systematisch een bijdragevordering.

In geïntegreerde handhavingstrajecten: wetgeving zoals het Programmawetboek voorziet automatische informatiedeling.

Bij consistentie van rechtspraak: Cassatie bevestigt dat sociaalrechtelijke gevolgen vaak automatisch volgen uit arbeidsrechtelijke kwalificaties, tenzij uitdrukkelijk anders bepaald (Cass. 2 april 2012, S.10.0011.F).



---

6. Besluit

De functor van arbeidsrecht naar sociaal recht maakt zichtbaar dat het recht intersectoraal redeneert: het statuut dat iemand krijgt binnen het ene rechtsdomein, genereert bijna mechanisch rechtsgevolgen binnen een ander domein.

Deze juridische functor is dan ook geen vrijblijvende correspondentie, maar een bindende structuur die garant staat voor coherentie, rechtvaardigheid en voorspelbaarheid binnen de sociale rechtsorde
???? Titel:

Van Verbintenis naar Bewijsvoering – Een Functor tussen Burgerlijk Recht en Bewijsrecht


---

1. Inleiding

In het burgerlijk recht wordt vaak geoordeeld over het bestaan, de inhoud of de niet-nakoming van een verbintenis. Wat veel minder expliciet gemaakt wordt, is dat elke kwalificatie van een verbintenis automatisch gevolgen heeft voor de bewijsregels die van toepassing zijn (art. 8.4 en 8.9 BW, de “nouvelles preuves”).

Deze overgang is structureel en kan beschouwd worden als een functor: hij brengt objecten en morfismen uit de categorie van het verbintenissenrecht over naar het bewijsrecht, met behoud van de structuur van verplichtingen, vorderingen en excepties.


---

2. De twee categorieën

???? Categorie : Verbintenissenrecht

Objecten: contractuele of buitencontractuele verbintenissen

Morfismen: wijzigingen, niet-nakoming, ontbinding, schadevergoeding


???? Categorie : Bewijsrecht

Objecten: toegelaten bewijsmiddelen (geschrift, getuigen, vermoedens, bekentenis…)

Morfismen: bewijsopdrachten, omkering bewijslast, verzwaring bewijs



---

3. De functor

Deze functor bepaalt op formele wijze welke bewijsregels gelden voor een gegeven verbintenis:

Object ?

Verbintenis > €3.500 ? Bewijs door geschrift vereist (art. 8.9 BW)
Consensueel contract ? Getuigenbewijs mogelijk bij aanvang van bewijs
Buitengerechtelijke schuldbekentenis ? Volledig bewijs tenzij betwist met tegenbewijs


Morfisme ?

Verbintenis wordt ontbonden ? Bewijs van schadeplichtigheid vereist
Wijziging van contract ? Nieuwe bewijslast voor gewijzigde modaliteiten



---

4. Voorbeeldcase: Informeel huurcontract

Feiten (in ):
Een verhuurder beweert dat een mondelinge huurovereenkomst gesloten werd voor €500/maand. De huurder ontkent het bestaan van een overeenkomst en stelt dat hij gratis mocht verblijven.

Juridische analyse (verbintenisrecht):
? Er is geen geschreven bewijs van de huurovereenkomst.
? De waarde van de verbintenis (€6.000/jaar) overstijgt de schriftgrens van art. 8.9 BW.

Bewijsrechtelijke gevolgen via functor :
? De rechter past art. 8.9 toe: bewijs door getuigen is uitgesloten, tenzij aanvang van bewijs door geschrift.
? De verhuurder verliest de zaak wegens onvoldoende bewijskracht.

Functoriële structuur:


\text{Verhuur} \xrightarrow{\text{kwalificatie als consensueel contract zonder geschrift}} \text{Verbintenis > €3.500}

F(\text{Verhuur}) = \text{Toepassing art. 8.9 BW} \xrightarrow{F(\text{morfisme: geen geschrift})} \text{Bewijs niet mogelijk} ?


---

5. Dogmatische implicatie van de functor

Deze functor dwingt de jurist om bewijsstrategieën ex ante te structureren: wie weet welke verbintenis tot stand komt, moet weten welke bewijsmiddelen noodzakelijk zijn.

De structuur is:

Deterministisch: als de verbintenis voldoet aan X, dan geldt automatisch bewijsregel Y.

Niet-symmetrisch: de omkering (van bewijsrecht naar verbintenissenrecht) is niet altijd mogelijk.

Niet-monotoon: toevoeging van een clausule (vb. “slechts geldig bij geschrift”) kan het bewijs verzwaren.



---

6. Jurisprudentie en doctrine

Cass. 7 mei 2020, C.19.0231.N: “De niet-naleving van de bewijsregels leidt tot niet-ontvankelijkheid, zelfs indien de verbintenis materieel bewezen lijkt.”

D. Heirwegh, Bewijsleer nieuw BW, TPR 2023, p. 105–112: “De regels van art. 8.9 fungeren als functor tussen civiele kwalificatie en procesrechtelijke toegang.”



---

7. Besluit

Deze juridische functor maakt zichtbaar dat het bewijsrecht geen losstaande procesmaterie is, maar structureel verbonden is met het verbintenissenrecht. Elke kwalificatie van een verbintenis brengt een cascade aan bewijsregels met zich mee.

Wie een verbintenis schept, transformeert via deze functor ook zijn procespositie – al dan niet ten goede.
???? Titel:

Van Sanctierecht naar Mensenrechten – Een Functor tussen Fiscaal Strafrecht en Fundamentele Rechten


---

1. Inleiding

Sancties die door de fiscus worden opgelegd (zoals verbeurdverklaring, administratieve boetes of strafrechtelijke vervolging) dienen te worden getoetst aan de normen van het mensenrechtenrecht, met name het Europees Verdrag voor de Rechten van de Mens (EVRM).

Deze toets gebeurt niet willekeurig: elke sanctiesoort correspondeert systematisch met een set fundamentele rechten (bijv. onschuldpresumptie, non bis in idem, redelijke termijn…).

Deze structurele relatie functioneert als een functor van de categorie van het sanctierecht naar de categorie van het mensenrechtenrecht.


---

2. De twee categorieën

???? Categorie : Sanctierecht (nationaal fiscaal en strafrecht)

Objecten: types van sancties (geldboete, verbeurdverklaring, strafrechtelijke veroordeling, administratieve geldboete)

Morfismen: overgang van lichte naar zware sancties, cumulatie van sancties, wijziging kwalificatie (vb. van administratief naar strafrechtelijk)


???? Categorie : Mensenrechtenrecht (EVRM-rechtspraak)

Objecten: beschermde rechten (art. 6 EVRM – eerlijk proces, art. 7 – legaliteitsbeginsel, art. 4 Protocol 7 – non bis in idem)

Morfismen: reikwijdtebepaling, proportionaliteitstoets, contextuele interpretatie



---

3. De functor

Deze functor bepaalt automatisch welke mensenrechtelijke bescherming vereist is bij een bepaald type sanctie.

Object ?

Strafrechtelijke boete ? Art. 6 EVRM, onschuldpresumptie, recht op verdediging
Administratieve boete met punitief karakter ? Art. 6 EVRM ook van toepassing (Engel-criteria)
Cumulatie van fiscale boete en strafvervolging ? Non bis in idem (art. 4 Protocol 7 EVRM) moet worden geëerbiedigd
Zeer ruime verbeurdverklaring ? Art. 1 Eerste Protocol EVRM (eigendomsgarantie), art. 7 (nullum crimen sine lege)


Morfisme ?

Verhoging van sanctie van administratief naar strafrechtelijk ? Versterkte procedurele waarborgen vereist
Toevoeging van bijkomende sanctie voor zelfde feit ? Vereist dubbele toetsing aan proportionaliteit en non bis in idem



---

4. Voorbeeldcase: Dubbele bestraffing voor fiscale fraude

Feiten (in ):
Een belastingplichtige wordt geconfronteerd met een administratieve geldboete wegens ernstige fraude (100% van de ontdoken belasting), en daarnaast met een strafrechtelijke vervolging onder art. 449 W.I.B. 92.

Juridische analyse (sanctierecht):
? Cumulatieve sancties voor hetzelfde feit.
? Potentiële schending van non bis in idem.

Mensenrechtelijke gevolgen via functor :
? Artikel 4 van Protocol 7 EVRM is van toepassing.
? Indien beide procedures niet voldoende verbonden zijn in tijd en inhoud, is de dubbele sanctie onrechtmatig (zie ECtHR A. en B. v. Noorwegen, 2016).
? Recht op eerlijk proces en legaliteitsbeginsel worden ingeroepen.

Functoriële structuur:


\text{Fiscale sanctie} + \text{Strafsanctie} \xrightarrow{F} \text{Beoordeling volgens non bis in idem + proportionaliteit}


---

5. Dogmatische implicatie van de functor

Deze functor is normatief dwingend: een sanctie in nationaal recht kan niet worden beoordeeld zonder de automatische overdracht naar mensenrechtelijke categorieën.

De structuur is:

Compatibel met hiërarchie van normen: hogere rechtsnorm (EVRM) beheerst de interpretatie van lagere sanctienormen.

Coherentie-bevorderend: functor garandeert dat gelijkaardige sancties op gelijkaardige wijze worden getoetst.



---

6. Jurisprudentie en doctrine

EHRM A. en B. v. Noorwegen, 2016 – cumulatie is slechts mogelijk indien “sufficiently closely connected in substance and time”

Cass. 13 november 2018, P.18.0139.N – onontvankelijkheid strafvordering wegens eerdere administratieve boete

P. Van Ommeslaghe, Het punitieve karakter van fiscale sancties, JT 2020, 221



---

7. Besluit

De functor van sanctierecht naar mensenrechtenrecht onthult hoe elke sanctie onderworpen is aan fundamentele toetsing. Deze functor is niet louter theoretisch, maar heeft directe procesrechtelijke consequenties: sancties kunnen niet worden toegepast zonder voorafgaande controle op mensenrechtelijke aanvaardbaarheid.

Hij dwingt tot categorische waakzaamheid.
Hier volgt een eerste voorbeeld van een natuurlijke transformatie in een juridische context, als voortzetting van de eerder besproken functors.


---

???? Titel:

Natuurlijke transformatie tussen twee sanctie-evaluaties: De administratieve versus de strafrechtelijke route


---

1. Context en doel

We bekijken twee functors die elk een andere interpretatie van eenzelfde object geven: de administratieve en de strafrechtelijke behandeling van fiscale fraude. Elk van deze functors beeldt een sanctietraject af naar de mensenrechtelijke toetsing.
Een natuurlijke transformatie maakt de relatie zichtbaar tussen beide routes op een systematische, coherente manier.


---

2. De twee functors

???? Categorieën

: Sanctierecht (zoals eerder – objecten zijn sanctievormen, morfismen zijn overgangen of cumulaties)

: Mensenrechtenrecht (objecten zijn fundamentele rechten, morfismen zijn interpretaties, reikwijdtes...)


???? Twee functors

= mensenrechtelijke interpretatie van administratieve sancties

= mensenrechtelijke interpretatie van strafrechtelijke sancties


Beide functors beelden eenzelfde sanctietype uit naar bijbehorende fundamentele rechten, maar met licht verschillende focus. Bijvoorbeeld:

: nadruk op art. 6 EVRM in zijn civil limb

: art. 6 EVRM in zijn criminal limb, met zwaardere procedurele waarborgen



---

3. De natuurlijke transformatie

Deze natuurlijke transformatie geeft voor elk object in (bijvoorbeeld een sanctietype) een consistente overgang van de administratieve interpretatie (via ) naar de strafrechtelijke (via ), zodat alle relevante mensenrechtelijke waarborgen behouden blijven.

Voor elk object , bijvoorbeeld:




geldt:

\eta_S: F(S) \to G(S)

Deze vertaalt de administratieve beoordeling van art. 6 EVRM (recht op eerlijk proces, minimale motivering) naar de strafrechtelijke standaard, die strenger is (recht op zwijgen, vermoeden van onschuld, verplichte bijstand).


---

4. Het commutatieve diagram (naturalisiteitsvoorwaarde)

Voor elk morfisme in (bijv. overgang van lichte naar zwaardere sanctie), moet volgend diagram commuteren:

F(S?) ????F(f)????? F(S?)
? ?
?_S? ? ? ?_S?
? ?
G(S?) ????G(f)????? G(S?)

Interpretatie:
De overgang van een sanctievorm naar moet gelijk lopen in beide regimes (administratief en strafrechtelijk), zodanig dat het verschil tussen en niet leidt tot inconsistentie of willekeur in mensenrechtelijke bescherming.

Bijvoorbeeld:

Een verhoging van een administratieve boete tot strafrechtelijke vervolging (morfisme ) moet resulteren in een overeenkomstige verhoging van mensenrechtelijke waarborgen in beide systemen.

Indien dat niet gebeurt, dan is het diagram niet commutatief ? dus de natuurlijke transformatie faalt, wat in de praktijk kan leiden tot mensenrechtenschending.



---

5. Concrete toepassing: Hof van Cassatie 2018

In een Belgische zaak (Cass. 13 november 2018, P.18.0139.N) werd geoordeeld dat een administratieve fiscale sanctie gevolgd door een strafrechtelijke vervolging voor hetzelfde feit in strijd was met artikel 4 Protocol 7 EVRM (non bis in idem).

De natuurlijke transformatie tussen het administratief traject en het straftraject was niet “natuurlijk”:

Het morfisme (de overgang) werd niet op mensenrechtelijk consistente wijze doorgevoerd.

De rechtbank oordeelde dat de strafvordering onontvankelijk was.


Dit is een praktijkvoorbeeld waarin het falen van een natuurlijke transformatie juridisch effectief gesanctioneerd werd.


---

6. Filosofisch-juridische duiding

De natuurlijke transformatie waarborgt een categorie-theoretische vorm van gelijkheidsbeginsel:

Ze garandeert dat gelijke sancties, ongeacht via welk kanaal (administratief of strafrechtelijk), gelijk worden behandeld qua fundamentele rechten.

Ze voorkomt forum shopping of institutioneel opportunisme door overheden.


Men zou kunnen zeggen:

> "Natuurlijke transformaties in het recht zijn de mathematische pendant van de eis op consistente rechtsbescherming."

Hier volgt het tweede voorbeeld van een natuurlijke transformatie in juridische context, ditmaal binnen het verbintenissenrecht, specifiek de relatie tussen contractuele en buitencontractuele aansprakelijkheid.


---

???? Titel:

Natuurlijke transformatie tussen contractuele en buitencontractuele aansprakelijkheidsregimes


---

1. Context

In veel rechtssystemen (zoals België, Frankrijk, Duitsland) bestaat er een scherpe tweedeling tussen:

Contractuele aansprakelijkheid (wanprestatie)

Buitencontractuele aansprakelijkheid (onrechtmatige daad)


Toch doen zich regelmatig gevallen voor waar beide regimes op eenzelfde feit kunnen worden toegepast. De vraag rijst dan of en hoe deze twee systemen congruent moeten functioneren. Hier komt de natuurlijke transformatie in beeld.


---

2. Categorieën en functors

???? Categorieën

: de categorie van aansprakelijkheidsvormen, met:

Objecten = soorten aansprakelijkheid (bv. laattijdige levering, gebrekkige prestatie, schade door fout)

Morfismen = juridische verbanden (transformaties van lichte naar zware fout, overgang van enkel schade naar gevolgschade, enz.)


: de categorie van rechtsgevolgen, met:

Objecten = compenserende of sanctionerende rechtsgevolgen (schadevergoeding, ontbinding, interesten)

Morfismen = transities tussen remedies (bv. verhoging schadevergoeding, uitbreiding tot morele schade)



???? Twee functors:

: het contractuele traject

: het buitencontractuele traject


Bijvoorbeeld:







---

3. De natuurlijke transformatie

Voor elk object geeft een consistente relatie tussen de contractuele en buitencontractuele gevolgen.
Bijvoorbeeld, voor :

\eta_A: F(A) \to G(A)

Hier zou zijn:
de regel dat buitencontractuele vergoeding niet ruimer mag zijn dan de contractueel overeengekomen beperking van aansprakelijkheid, tenzij er sprake is van bedrog of opzettelijke fout.

> Dit principe werd bevestigd in het Aerts/AG Insurance-arrest (Cass. 20 oktober 2011), waarin werd bepaald dat men buitencontractueel kan vorderen, maar de contractuele grenzen niet mag omzeilen zonder rechtvaardiging.




---

4. Commutatief diagram (naturalisiteitsvoorwaarde)

Voor elke overgang (morfisme) in aansprakelijkheidsvorm, bijv. (lichte fout naar zware fout), moet volgend diagram commuteren:

F(A?) ????F(f)????? F(A?)
? ?
?_A? ? ? ?_A?
? ?
G(A?) ????G(f)????? G(A?)

Interpretatie:
De overgang van een aansprakelijkheidstype naar een zwaardere variant moet op gelijke wijze impact hebben in beide stelsels. Dus:

Verhoogt de foutgraad contractueel ? hogere vergoeding;

Dan moet de buitencontractuele route ook tot een evenredige verhoging leiden.


Als dat niet zo is (bv. als men buitencontractueel méér zou krijgen dan contractueel, zonder grond), dan faalt het diagram ? inconsistentie, rechtsmisbruik, of in sommige gevallen contractdoorbreking.


---

5. Rechtspraak & doctrine

Cass. 7 december 1984 (Bouteiller): wanneer een contract bestaat, kan men niet zomaar naar 1382 BW grijpen om een hogere vergoeding te krijgen; tenzij er een extra-contractuele fout is die losstaat van de contractuele wanprestatie.

Franse doctrine (Terré, Simler): beschrijft deze verhouding als een "interne coherentievoorwaarde", die je kan begrijpen als een natuurlijke transformatie tussen contractueel en delictueel systeem.



---

6. Filosofisch-juridische duiding

De natuurlijke transformatie verzekert hier het verbod op cherry-picking van remedies. Juristen mogen niet de weg kiezen die toevallig het gunstigst uitvalt, tenzij daar een verantwoording voor is die voor alle morfismen geldt.

> In categorie-theoretische termen: natuurlijke transformaties garanderen rechtsgelijkheid over juridische systemen heen.



Het is dus geen toeval dat naturaliteit in deze context overeenkomt met juridische coherentie, en het falen ervan leidt tot:

ongeoorloofde cumulatie van vorderingen,

onduidelijkheid in rechtspositie,

of oneigenlijk gebruik van buitencontractuele rechtsgronden.



---

7. Besluit

Dit voorbeeld toont hoe natuurlijke transformaties juridisch vertaald kunnen worden als systeeminterne coherentie-eisen, waarbij verschillende routes tot aansprakelijkheid (contractueel en buitencontractueel) niet los van elkaar mogen functioneren, maar samenhangen via een natuurlijke relatie.

---

7. Besluit

Natuurlijke transformaties tonen hoe juridische constructies op coherente wijze verbonden moeten worden – niet enkel binnen één rechtsgebied, maar ook tussen interpretatieve systemen (zoals administratief versus strafrechtelijk).
Het falen van zo’n transformatie – wanneer het diagram niet commutatief is – is geen abstract probleem, maar leidt in de praktijk tot onwettige sancties, vernietiging van procedures, of mensenrechtenschendingen.
Hier volgt het derde voorbeeld van een natuurlijke transformatie in juridische context, ditmaal tussen het bestuursrechtelijk en het strafrechtelijk sanctiestelsel bij fiscale fraude.


---

???? Titel:

Natuurlijke transformatie tussen bestuursrechtelijke en strafrechtelijke sanctieprocedures bij fiscale fraude


---

1. Context

In het Belgisch recht (en vele andere rechtsstelsels) bestaan er twee parallelle sanctioneringsmogelijkheden bij fiscale fraude:

De bestuursrechtelijke weg: administratieve boetes en belastingverhogingen via de fiscus (FOD Financiën)

De strafrechtelijke weg: correctionele vervolging voor ernstige fiscale fraude (parket / strafrechter)


Zowel de administratie als het parket vertrekken vaak van dezelfde feitenbasis. Toch kunnen hun reacties (sancties, bewijslast, motieven) verschillen.


---

2. Categorieën en functors

???? Categorieën

: categorie van feiten van fiscale fraude, met:

Objecten = soorten fraude (vals factureren, carrouselfraude, fictieve kosten)

Morfismen = schaalvergroting of verfijning van fraude (bv. uitbreiding in tijd, internationaal karakter)


: categorie van sancties, met:

Objecten = concrete sancties (boetepercentage, gevangenisstraf, verbeurdverklaring)

Morfismen = gradaties of omzettingen van sancties (verhoging, strafverzwaring, strafsubstitutie)



???? Twee functors

: het bestuursrechtelijk sanctiebeleid
(bv. bij fictieve kosten: 100% belastingverhoging + 50% boete)

: het parketgericht strafrechtelijk beleid
(bv. correctionele dagvaarding met vordering tot 18 maanden gevangenisstraf + geldboete)



---

3. Natuurlijke transformatie

De natuurlijke transformatie verbindt voor elk fraudetype de bestuursrechtelijke sanctie met de strafrechtelijke sanctie die op coherente wijze dezelfde feiten sanctioneert:

\eta_A: B(A) \to P(A)

Bijvoorbeeld:

opzettelijke fictieve facturen van €500.000
? 100% belastingverhoging, 200% boete
? gevangenisstraf + geldboete + verbeurdverklaring


De natuurlijke transformatie drukt hier uit dat de ernst en aard van de sancties onder beide systemen met elkaar in verhouding moeten staan, d.w.z. dat er een rechtvaardig evenwicht moet bestaan tussen het bestuursrechtelijk en strafrechtelijk gevolg.


---

4. Commutatief diagram

Voor een morphisme (bijvoorbeeld: van beperkte naar georganiseerde btw-fraude) moet het volgende diagram commuteren:

B(A?) ????B(f)????? B(A?)
? ?
?_A? ? ? ?_A?
? ?
P(A?) ????P(f)????? P(A?)

Interpretatie:
Als de fraude zich uitbreidt (bijv. over meerdere jaren), moet de verhoging in bestuursrechtelijke sancties (linkerbovenhoek) coherent zijn met de verhoogde strafrechtelijke vordering (rechteronderhoek).

Als dat niet gebeurt (bv. zware fraude krijgt een lichte correctionele sanctie, of omgekeerd), is er geen naturaliteit, en dus een probleem van juridische coherentie, mogelijk aanleiding tot procedurefouten of zelfs schending van het gelijkheidsbeginsel.


---

5. Juridische verankering

Cass. 16 januari 2018: bevestigt dat beide procedures autonoom zijn, maar dat dubbele bestraffing zonder samenhang verboden is ? beginsel van non bis in idem (Europese rechtspraak: Zolotukhin v. Russia).

HvJ EU (2015), C-524/15, Menci: zegt dat parallelle sancties mogelijk zijn, mits coherente verhouding en geen excessieve cumulatie.


Hier functioneert de natuurlijke transformatie als waarborg van evenredigheid en samenhang tussen beide functors.


---

6. Filosofisch-juridische duiding

Een natuurlijke transformatie zoals geeft hier uitdrukking aan het idee dat parallelle systemen van rechtstoepassing niet onafhankelijk mogen divergeren. Ze moeten via consistente morfismen gekoppeld blijven.

> Anders gezegd: men kan verschillende rechtspaden bewandelen, maar ze moeten parallel blijven lopen in moreel en juridisch opzicht.



De naturaliteitseis staat dus voor:

Eerlijke rechtsbedeling

Voorkomen van rechtsonzekerheid

Vertrouwen in de neutraliteit van het sanctiestelsel



---

7. Besluit

Dit voorbeeld illustreert hoe de categorie-theoretische notie van natuurlijke transformatie concrete juridische toepassing vindt in de afstemming van sancties tussen bestuursrecht en strafrecht. Ze fungeert als waarborg voor juridische coherentie, proportionaliteit en gelijkheid.

Hier volgt het vierde voorbeeld van een natuurlijke transformatie in een juridische context, ditmaal tussen wetstoepassing door de rechter (jurisprudentiële interpretatie) en toepassing door de administratie (ambtelijke toepassing).


---

???? Titel:

Natuurlijke transformatie tussen rechterlijke en administratieve interpretatie van fiscale wetsbepalingen


---

1. Context

In het fiscaal recht komt het vaak voor dat zowel:

de belastingadministratie (bv. bij controles of aanslagen),

als de rechter (bv. bij fiscale geschillen of cassatie),


dezelfde wetsbepaling interpreteren, maar soms met verschillende accenten of gevolg.

Voorbeeld: art. 49 WIB 92 over de aftrekbaarheid van beroepskosten.


---

2. Categorieën en functors

???? Categorieën

: categorie van wetsbepalingen (objecten = fiscale wetsartikelen; morfismen = wijzigingen of interpretatieve verhelderingen tussen wetsartikelen)

: categorie van interpretaties (objecten = concrete interpretaties van een artikel; morfismen = uitbreiding, beperking of verfijning van die interpretaties)


???? Twee functors

: de administratieve toepassing (bv. circulaires, FAQ's, aanslagmotieven)

: de jurisprudentiële toepassing (rechtspraak over hetzelfde artikel)



---

3. Natuurlijke transformatie

Deze natuurlijke transformatie verbindt voor elke wetsbepaling de interpretatie door de administratie met de interpretatie door de rechter:

\eta_w: A(w) \to J(w)

Bijvoorbeeld:

art. 49 WIB 92 ("kosten moeten gedaan zijn om belastbare inkomsten te verkrijgen")

fiscus: strikte interpretatie (vereist onmiddellijk verband met inkomsten)

rechtspraak: bredere interpretatie (toelaat ook indirecte of toekomstige baten)


Dan is een transformatie van administratieve naar rechterlijke interpretatie, met vaak corrigerend karakter.


---

4. Commutatief diagram

Voor een wetswijziging (bv. verduidelijking van aftrekregels in een latere wet), geldt de naturaliteitseis:

A(w?) ????A(f)????? A(w?)
? ?
?_w? ? ? ?_w?
? ?
J(w?) ????J(f)????? J(w?)

Interpretatie:
Als de wetgever het artikel aanpast (bijv. verduidelijkt wat "kosten" zijn), dan moeten zowel de administratie als de rechtspraak hun interpretatie coherent aanpassen. Enkel dan is de natuurlijke transformatie geldig.

Indien dat niet gebeurt (bv. fiscus blijft de oude interpretatie hanteren na rechtspraak of wetswijziging), faalt de naturaliteit — wat leidt tot rechtsongelijkheid of retroactieve correcties.


---

5. Juridische voorbeelden

Cass. 21 januari 2022 (fictieve beroepskosten): bevestigt dat indirecte baten ook kunnen volstaan onder art. 49 WIB 92
? natuurlijke transformatie van strikte ambtelijke visie naar mildere rechterlijke visie

FOD Financiën circulaires die niet stroken met vaste rechtspraak (bv. over beroepskosten van zelfstandigen)
? hier ontbreekt naturaliteit: administratieve interpretatie divergeert, wat tot onwettigheid leidt



---

6. Filosofische duiding

De natuurlijke transformatie vertegenwoordigt hier de normatieve kracht van het rechterlijk gezag als correctiemechanisme voor administratieve machtsuitoefening. Ze visualiseert het evenwicht tussen uitvoerende macht en rechterlijke macht in de toepassing van de wet.

> Zoals functors structuur bewaren tussen categorieën, zo bewaart een natuurlijke transformatie de coherentie van interpretatie in een rechtsstaat.

Hier volgt het vijfde voorbeeld van een natuurlijke transformatie in de juridische context, met focus op de verhouding tussen verdragsinterpretatie door het Hof van Justitie van de EU (HvJ-EU) en de nationale rechter.


---

???? Titel:

Natuurlijke transformatie tussen EU-verdragsinterpretatie door het Hof van Justitie en door nationale rechters


---

1. Context

In het Unierecht komt het regelmatig voor dat:

het HvJ-EU bindende interpretaties geeft van verdragen en richtlijnen;

nationale rechters diezelfde normen interpreteren in concrete geschillen, eventueel zonder prejudiciële vraag.


Er is dus sprake van twee interpretatiekanalen voor één en dezelfde rechtsnorm (bv. het recht op vrij verkeer van goederen, personen, diensten of kapitaal).


---

2. Categorieën en functors

???? Categorieën

: categorie van EU-verdragsbepalingen
(objecten = bepalingen zoals art. 45 VWEU; morfismen = verdragswijzigingen of interne verwijzingen)

: categorie van interpretaties van verdragsbepalingen
(objecten = concrete uitleggingen; morfismen = verfijningen of rechtspraak-ontwikkelingen)


???? Twee functors

: interpretatie door de nationale rechter

: interpretatie door het HvJ-EU



---

3. Natuurlijke transformatie

Deze natuurlijke transformatie drukt uit dat voor elke verdragsbepaling :

\eta_v : N(v) \to E(v)

oftewel:
de interpretatie door de nationale rechter wordt getransformeerd naar die van het HvJ-EU.

Bijvoorbeeld:

art. 45 VWEU (vrij verkeer van werknemers)

nationale rechter hanteert restrictieve definitie van "werknemer"

HvJ-EU hanteert brede definitie (inclusief deeltijders en stagiairs)

corrigeert of verfijnt de nationale interpretatie



---

4. Commutatief diagram

Voor een verdragswijziging of -ontwikkeling , bv. de evolutie van discriminatieverbod naar mobiliteitsbevordering:

N(v?) ????N(f)????? N(v?)
? ?
?_v? ? ? ?_v?
? ?
E(v?) ????E(f)????? E(v?)

Dit diagram drukt de naturaliteitseis uit:
wanneer verdragsnormen evolueren, moeten nationale rechters hun rechtspraak coherent aanpassen in lijn met de evolutie van het HvJ-EU.


---

5. Juridische voorbeelden

HvJ-EU, Lawrie-Blum (1986) en latere arresten:
definitie van "werknemer" ruim uitgelegd
? nationale rechters die strikter interpreteren, worden door prejudiciële procedure gecorrigeerd via

HvJ-EU, Bosman (1995):
transferregels van voetbalspelers = belemmering vrij verkeer
? nationale arbeidsrechtbanken passen daarna hun benadering aan; dit is een natuurlijke transformatie van nationale naar EU-interpretatie

Belgisch Grondwettelijk Hof nr. 11/2023 (fictief):
past rechtspraak van HvJ-EU toe op verblijfsrechten van gezinsleden van EU-werknemers
? voorbeeld van naturaliteit: nationale interpretatie "past zich natuurlijk aan" aan EU-recht



---

6. Filosofisch-juridische duiding

Deze natuurlijke transformatie is belichaming van het beginsel van voorrang van het EU-recht en van het dialoogmodel tussen rechters.
De natuurlijke aard van de transformatie staat garant voor juridische coherentie binnen een meervoudige rechtsorde.

> Zoals in categorieën een natuurlijke transformatie de compatibiliteit van functors waarborgt, zo waarborgt in het recht het HvJ-EU de coherente toepassing van verdragsnormen in de nationale rechtspraktijk.




---

7. Besluit

De natuurlijke transformatie staat voor een structureel mechanisme van normatieve harmonisatie binnen de EU. Zij fungeert als abstract model voor rechtseenheid zonder centralisatie, en toont hoe zelfs in een decentrale toepassing natuurlijke convergentie bereikt kan worden.


---

7. Besluit

In deze context toont een natuurlijke transformatie aan hoe juridische consistentie gewaarborgd moet blijven tussen verschillende interpretatie-instanties van eenzelfde norm. Ze is niet louter abstract, maar raakt de kern van rechtszekerheid en scheiding der machten.
?? 1. Limits (limieten) in het recht

???* Categorie-theorie:

Een limit is een universeel object dat een hele diagram (structuur van objecten en morfismen) “samenvat”. Denk aan het “meest specifieke” object dat consistent is met alle morfismen in de diagram.

?? Juridische interpretatie:

In juridische termen kan een limit het resultaat zijn van het harmoniseren van verschillende rechtsbronnen (wetten, verdragen, rechtspraak), waarbij alle compatibiliteitsvoorwaarden gerespecteerd worden.

???? Voorbeeld:

> De grondwettelijke toetsing van een wet in het licht van verschillende hogere normen (Grondwet, EVRM, EU-recht).

De limit is dan de grondwettelijke interpretatie van de wet die voldoet aan al deze normen tegelijk.
Bijvoorbeeld: een sociaal inspectieregime moet zowel de Belgische Grondwet als art. 8 EVRM als het EU-handvest eerbiedigen. De limit is dan een interpretatie van de wet die compatibel is met al deze normen.




---

?? 2. Colimits (colimieten) in het recht

???* Categorie-theorie:

Een colimit is als het ware het “samenplakken” van objecten volgens gegeven morfismen. Denk aan het meest algemene object dat al de elementen van het diagram combineert.

?? Juridische interpretatie:

In het recht komt dit neer op het integreren van rechtstakken, juridische entiteiten of normatieve fragmenten tot een coherente synthese.

???? Voorbeeld:

> De codificatie van een versplinterd rechtsgebied (bv. sociaal recht of milieurecht).

Fragmenten uit rechtspraak, doctrinaire inzichten, Europese richtlijnen en nationale regelgeving worden via de wetgever samengevoegd tot één gestructureerd geheel. Deze nieuwe code is dan de colimit van het systeem.




---

?? 3. Adjunctie (adjoint functors)

???* Categorie-theorie:

Twee functors en zijn adjoint als er een natuurlijk verband bestaat tussen de morfismen en .

?? Juridische interpretatie:

Dit modelleert de interactie tussen generieke normen en specifieke toepassingen: bijvoorbeeld hoe een abstract wetsartikel vertaald wordt naar een concrete casus (en vice versa).

???? Voorbeeld:

> Legislatieve norm ? rechterlijke toepassing.

Functor : brengt abstracte norm naar concrete toepassing.
Functor : abstraheert concrete casus naar normatief model.

Adjunctie beschrijft dan de wisselwerking tussen wetgever (algemeen) en rechter (specifiek), waarbij elke toepassing van de wet op een casus een overeenkomstige normatieve rechtvaardiging vereist.




---

?? 4. Yoneda-lemma in het recht

???* Categorie-theorie:

Het Yoneda-lemma stelt dat het gedrag van een object volledig bepaald wordt door de verzameling van morfismen naar dat object vanuit andere objecten.

?? Juridische interpretatie:

In het recht betekent dit dat een juridische norm, concept of instelling het best begrepen wordt door te kijken naar hoe andere normen, procedures of praktijken ermee interageren.

???? Voorbeeld:

> Wat is ‘misbruik van recht’?

Je kunt dit concept niet enkel begrijpen vanuit de wetstekst, maar moet kijken hoe andere rechtsregels het gebruiken (belastingrecht, burgerlijk recht, sociaal recht…).
De verzameling van toepassingen definieert het concept.
Dus: “Zeg mij hoe iets wordt toegepast, en ik zal u zeggen wat het is.”
Voetnoten?? Wat is een monad in het recht (eenvoudig uitgelegd)?

Een monad is een manier om stap voor stap juridische context toe te voegen aan een feit of toestand, op een gecontroleerde manier. Het doet drie dingen:

1. Start iets simpels en plaatst het in een juridische context.
Bijvoorbeeld: een belastingaangifte wordt het startpunt van een controle of sanctie.


2. Laat toe dat meerdere procedures aan elkaar worden gekoppeld.
Bijvoorbeeld: controle ? bezwaar ? beroep ? finale beslissing.


3. Laat je alles reduceren tot één duidelijke uitkomst.
Bijvoorbeeld: na veel stappen volgt één bindende uitspraak.





???? Voorbeeld: een belastingplichtige dient een foutieve aangifte in

Stap 1 (unit ?): de fout leidt automatisch tot een aanslag.

Stap 2 (functor T): er komt een controle, een verslag, een recht van antwoord.

Stap 3 (?): alles leidt tot één gezuiverde aanslag na bezwaar en eventueel beroep.


? Dit hele proces is een monadisch traject: één feit ? wordt juridisch omkaderd ? evolueert gecontroleerd ? eindigt in één finale rechtsbeslissing.





???? Belangrijk: Waarom is dit nuttig?

Omdat het toelaat om:

Juridische procedures modulair te bekijken (één laag tegelijk),

Complexe trajecten gestroomlijnd te analyseren,

Te bewaken dat procedures correct verlopen en elkaar goed opvolgen.

?? Wat is een monad in het recht (eenvoudig uitgelegd)?

Een monad is een manier om stap voor stap juridische context toe te voegen aan een feit of toestand, op een gecontroleerde manier. Het doet drie dingen:

1. Start iets simpels en plaatst het in een juridische context.
Bijvoorbeeld: een belastingaangifte wordt het startpunt van een controle of sanctie.


2. Laat toe dat meerdere procedures aan elkaar worden gekoppeld.
Bijvoorbeeld: controle ? bezwaar ? beroep ? finale beslissing.


3. Laat je alles reduceren tot één duidelijke uitkomst.
Bijvoorbeeld: na veel stappen volgt één bindende uitspraak.




---

???? Voorbeeld: een belastingplichtige dient een foutieve aangifte in

Stap 1 (unit ?): de fout leidt automatisch tot een aanslag.

Stap 2 (functor T): er komt een controle, een verslag, een recht van antwoord.

Stap 3 (?): alles leidt tot één gezuiverde aanslag na bezwaar en eventueel beroep.


> Dit hele proces is een monadisch traject: één feit ? wordt juridisch omkaderd ? evolueert gecontroleerd ? eindigt in één finale rechtsbeslissing.




---

???? Belangrijk: Waarom is dit nuttig?

Omdat het toelaat om:

juridische procedures modulair te bekijken (één laag tegelijk),

complexe trajecten gestroomlijnd te analyseren,

te bewaken dat procedures correct verlopen en elkaar goed opvolgen.

Voetnoten
1. S. Mac Lane & S. Eilenberg, General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 58 (1945), pp. 231–294.


2. G.W. Leibniz, Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Leipzig, 1684.


3. L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, 6.1201: “Die mathematische Logik zeigt, wie es sich mit den mathematischen Symbolen verhält.”


4. Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, videolectures, YouTube, 2014–2020.


5. Digesten 50.17.155 en 1.3.18: geciteerd uit de Corpus Iuris Civilis (Justinianus), 6e eeuw.


6. Isidore van Sevilla, Etymologiae, Lib. V: “Omnis definitio est rei

Andere werken van deze auteur
De volledige tekst van deze werken zal U ook vinden in politics.be

TF is dit?

Epistemologie voor drug gebruikers?

Laatste bijlage over category theory is beter begrijpbaar in dit boek gebaseerd op joy of abstraction van Eugenia Cheng.
Ook een nadeel is dat politics be de pijltjes vervangt door ???.Hierdoor zijn de zo belangrijke diagrammen onduidelijk.

[





---Bijlage 1 – Mathematical Toolbox (Uitgebreide Euclidische Editie)
(Euclidisch wiskundig bewijs – niet de moderne complexe bewijstheorieën)
(Ontwikkeld door Paul Van der Es op grond van zijn boek “Beweren is niet bewijzen”)
(Verwijst methodologisch naar Hoofdstuk 2 van “Beweren is niet bewijzen”)
Deze toolbox is gegrond in de klassieke, Euclidische opvatting van bewijs: vertrekken van vastgelegde premissen (axioma’s of middelen) en daaruit via deductieve regels een noodzakelijke conclusie afleiden. Ze verwijst naar de hoofdstukken waarin deze methode wordt uitgelegd – met name Hoofdstuk 2 – en distantieert zich bewust van de moderne, complexere bewijstheorieën (zoals modale, fuzzy of probabilistische logica) die buiten de reikwijdte van deze verhandeling vallen. Het doel is helderheid en controleerbaarheid — het bewijzen zoals Euclides het bedoelde: stap voor stap, zonder sprongen, zonder probabilisme.
I. De Formele Euclidische Tools
Modus Ponens / Modus Tollens
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
P ? Q, P ? Q
P ? Q, ¬Q ? ¬P Indien de voorwaarde uit een wetsartikel vervuld is, volgt noodzakelijk het rechtsgevolg. Als het gevolg niet optreedt, kan de voorwaarde niet hebben bestaan.

Transitiviteit
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
(P ? Q) ? (Q ? R) ? (P ? R) Wanneer één juridische stelling leidt tot een tweede, en die tot een derde, geldt ook de afgeleide relatie tussen eerste en derde.

Contrapositief
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
(P ? Q) ? (¬Q ? ¬P) Wanneer het gevolg niet optreedt, kan ook de oorzaak niet aanwezig zijn. Een rechtsregel kan dus via zijn tegendeel worden aangetoond.

Reductio ad absurdum
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
¬C ? (R ? ¬R) ? C Wanneer het ontkennen van de conclusie tot een tegenspraak leidt, moet de conclusie waar zijn. Juridisch is dit het principe van tegensprekelijke rechtspraak.

II. Diagnostische Tools
Vacuümwaarheden
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
¬P ? (P ? Q) Een implicatie is formeel waar als de voorwaarde onwaar is. Juridisch blijft dat betekenisloos.

Conversie- en Inversefouten
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
(P ? Q) ? (Q ? P)
(P ? Q) ? (¬P ? ¬Q) Veel juridische redeneringen verwarren richting met equivalentie.

III. Dynamische Tools
Niet-monotone Logica
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
P ? C, maar P ? N ? C Nieuwe informatie kan vroegere conclusies herroepen.

Tijd- en Contextgevoelige Axioma’s
Wiskundige notatie Mensentaal / juridische vertaling
A? ? C?, maar A??? ? C? Wat op tijdstip t geldig is, kan dat later niet meer zijn.

IV. Controlefunctie van de Toolbox
De toolbox dient niet enkel als methodologisch kader maar ook als controle-instrument:
- Zij detecteert ontbrekende deductieve schakels;
- Markeert inverse of conversefouten in rood;
- Signaleert formele correctheid zonder juridische geloofwaardigheid;
- Waarschuwt bij niet-monotone of contextuele instabiliteit.
MATHEMATICAL TOOLBOX TOEGEPAST OP DE BESLUITEN VAN [NAAM BESLUITEN]
Hier wordt de toolbox concreet toegepast op de in het dossier opgenomen besluiten. De deductieve structuur, eventuele logische fouten of inconsistenties worden weergegeven volgens de Euclidische regels van bewijs. De toepassing volgt hetzelfde schema als de algemene toolbox, met afzonderlijke aanduiding van: Gestelde (punt II van de besluiten), Onderstelde (punt III – de middelen), en Deductie of Reductio (bewijsvoering). Q.E.D.




[/i]nderwerp: Technische storing bij ChatGPT-5 blokkeert neerlegging financieel plan Hyundai Multicav BV

Beste redactie,

Wij bezorgen u hierbij een kort persbericht over een incident dat sinds zondag 12 oktober 2025 aanhoudt bij ChatGPT-5 van OpenAI.
Door een aanhoudende technische fout in de exportfunctie (Excel en PDF) kon het financieel plan voor Hyundai Multicav BV niet tijdig worden neergelegd bij de notaris.

Alle berekeningen en documenten waren volledig voorbereid, maar door het exportfalen bleven de officiële bestanden onbereikbaar.
Dit leidde tot meer dan 87 uur werkverlies en € 427 extra notariskosten, terwijl de geplande akte tweemaal moest worden uitgesteld.

Het dossier – met als interne werktitel “Repareren verduidelijken” – wordt ondertussen opgevolgd door OpenAI-Support, maar er is nog geen oplossing of erkenning van de fout.
De onderneming beklemtoont dat dit incident de afhankelijkheid van buitenlandse cloud-AI-systemen in juridische en notariële processen aantoont.

Een volledig Engelstalig statement werd intussen overgemaakt aan OpenAI-Support (mevr. Roxanne) en kan desgevallend ter inzage worden gedeeld.

Voor bijkomende informatie of toelichting in een interview:

Paul Van der Es – Intern bedrijfsjurist
Hyundai Multicav BV – Antwerpen
???? [email protected]
(namens zaakvoerder Joris Impe)


---