Een niet al te moeilijke maar toch "tricky".

10! ( 10 faculteit) is een korte notatie voor 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10
10! = 39916800
Dit getal eindigt op 2 nullen. Eén ervan is te wijten aan de * 2 * 5
De andere is te wijten aan * 10.

Kan je voorspellen op hoeveel nullen de volgende getallen eindigen ?
1000! 1000000! , ...

3 van 1000 + 6 van 1000000 = 9

Als ik het goed heb
1000! : 12 nullen op het einde
1000 000! : 58 nullen op het einde

Ik denk dat de regel is :
Nx = 2x + Nx-1
Waarbij x het aantal nullen in de gevraagde faculteit (10! : x=1)
en Nx het aantal nullen in de oplossing.

Uit het vuistje en ik heb geen krachtige
rekenmachine, kan het dus niet testen

Hint : Bij 100! (= het product van alle getallen van 1 tot honderd)
heb je al 24 nullen. (elk tiental geeft namelijk ook een nul: *20,*30,40,...)

Dus ga je er bij 1000 minstens 10 maal meer hebben !

De bedoeling is dat je door redeneren een formule vind voor het aantal nullen bij een willekeurige N!

Maar bij diverse combinaties die tientallen vormen heb je dus ook nog een nul bij?

bvb
* 4 * 5 (= 20)
* 5 * 6 (= 30)

enz...

hmm, was inderdaad een aantal combinaties
vergeten:

1000! : 248 nullen op het einde.
1000000! : 249984 nullen op het einde.

Blijkbaar nadert de formule voor het aantal
nullen van de oplossing van N! naar N/4.

U bent in de buurt, maar het blijft een onderschatting.
Wat U gedaan heeft is waarschijnlijk rekenwerk of telwerk.
Geen redeneerwerk.

Klopt! redeneer verder en vind de formule die het aantal nullen geeft !

Elke factor die deelbaar is door 5 levert 1 nul
Elke factor die ook deelbaar is door 25 levert 1 nul meer,
Elke factor die ook deelbaar is door 125 levert nog 1 nul meer , .....
enzv.

bvb 100 :
20 factoren deelbaar door 5 (5,10,15...,100)
4 factoren ook deelbaar door 25 (25,50,75,100)
totaal : 24

Klopt dit dan niet of is het onvolledig ?

Klopt:

De volledige redenering is als volgt.

Eigenlijk is het geen goed idee om de veelvouden van 10 te gaan tellen, want de nul kan ook afkomstig zijn van 5*2.

Als we de getallen gaan ontbinden in priemfactoren dan ziet het probleem er anders uit:
10! = 1*2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5)
= 2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*5*5*7
En als je het dan bekijkt dan merk je dat alle nullen alleen maar afkomstig kunnen zijn van het aantal priemfactoren 5. Er zijn priemfactoren 2 genoeg om met die 5-en te vermenigvuldigen.

De puzzel reduceert zich dus tot de vraag: Hoeveel priemfactoren 5 zijn er in een getal ?
5 op zich telt mee als factor. Maar 25 telt dubbel mee want het is 5*5
125 telt driemaal, want het is 5*5*5 enz.
Voor een gegeven getal N is het aantal factoren 5
de som van N/5 + N/25 + N/125 + N/625 + N/3125 + ....
daarbij telkens opmerkend dat dit delingen zijn binnen de natuurlijke getallen, dus decimalen laten we vallen.

Of Aantal nullen = (sommatieteken 1 tot i ) N/(5 tot de macht i)

Zoals al opgemerkt is de limiet naar oneindig van dat geval 1/4 van het oorspronkelijke getal.
Er doet zich daarbij een eigenaardigheidje voor :
Meestal is het laatste cijfer een 9 maar soms is het een 8 (*):
( Dit is geen fout maar ook logisch te verklaren, omdat einpunt en specifieke veelvouden samenvallen en niet dubbel kunnen geteld worden)

1000! = 249
10000! = 2499
100000! = 24999
1000000! = 249998 (*)
10000000! = 2499999
...

Een zéér goede benadering voor alle getallen N groter dan 100 is dan ook
Aantal nullen in N ! = ( getal/4 ) - 1

Het aantal nullen op't einde is gelijk aan de exponent bij 5 in de priem-ontbinding van het getal (de exponent bij 2 zal immers zowiezo groter zijn dan die bij 5, er zijn zitten al N/2 even getallen tussen de factoren). Elke factor die een veelvoud van 5 is verhoogt de exponent bij 5 met minstens 1 (met 2 als het ook een 25-voud is, met 3 als het ook een 125 is, enzovoort). Het aantal 5-vouden tussen 1 en N is N/5 (afgerond naar beneden). De gezochte formule is dus N/5 + N/25 + N/125 + N/625 +...


1000! zal dus op 200+40+8+1=249 nullen eindigen.
1000000! eindigt op 200000+40000+8000+1600+320+64+12+2=249998 nullen

Als je niet elke term in die som zou moeten afronden zou het een meetkundige reeks zijn met quotiënt 1/5 en beginterm N/5, waarvan de som N/4 is. Alle afrondingen zijn naar beneden dus N/4 is een bovengrens voor het aantal nullen op't einde, en een vrij goede benadering ervan.

oops, blijkbaar tegelijkertijd met Herman een soortgelijke oplossing ingetypt :)

Nog eentje, niet te moeilijk:

Een lerares krijgt een telefoonrekening en stelt vast dat dit een geheel getal is (in Euro) en tevens een factor is van haar klantennummer bij die telefoonmaatschappij. (Klantennummer deelbaar door bedrag dus.)
Dat klantennummer is ook toevallig identiek aan de 5 laatste cijfers van haar telefoonnummer en is 18998.
Wat meer is, de andere factoren die ze krijgt door ontbinding van dat klantennummer corresponderen met het aantal kinderen in haar klasje en met haar eigen aantal kinderen. Bovendien vormen die getallen in die volgorde en gevolgd door haar klantennummer meteen haar ganse telefoonnummer.
Als je ook nog weet dat die mevrouw een oneven aantal kinderen heeft omdat de meisjes met één extra in de meerderheid zijn,
kan je haar dan bellen en zeggen hoeveel dochters dat zij heeft?

18998 = 2 * 7 * 23 * 59

Laat ons veronderstellen dat 59 teveel is voor een klasje, en 23 te veel is om een aantal kinderen te zijn van 1 mevrouw... dan hebben we:

Aantal kinderen in klasje: 23
Aantal kinderen: 7 (4 meisjes, 3 jongens)
Rekening: 118 euro
Telefoonnummer: 23718998

Klopt ! Was ook niet moeilijk.

Ik heb er nag een paar goeie maar ik slaag er niet in een tekening te introduceren.
Ik zou natuurlijk een site daarvoor kunnen gebruiken en de tekening in GIF files zetten, maar dat is eigenlijk misbruik van die site.
Eens zien of het niet anders kan. ..

MathCAD gebruiken mischien?


Oeps foutje - meer dan n*10^307 kan die blijkbaar niet aan bizar.....

Nog een "redelijke"

P is het product van 4 priemgetallen
S is de som van die 4 priemgetallen en gelijk aan 30
De cijfers waaruit P bestaat zijn ook priemgetallen en verschillend van mekaar

Hoeveel is P ?

715

Klopt niet :

1 is alvast geen priemgetal dus het cijfer 1 mag niet.

Moeten die getallen waarvan de som 30 is verschillend zijn van elkaar? Of mag je bv. ook 2 keer het getal 2 en de getallen 19 en 7 nemen?