"Moderne Wiskunde".
 

Wie heeft dat destijds gehad in de humaniora en wat vond U ervan ?

(moderne wiskunde was gebaseerd op verzamelingenleer en algebraische structuren, groep, ring, lichaam, veld, vectorruimte, ...)

Ik ... en heel interessant, want logisch ...

ik, kon het goed, maar lijkt me totaal nutteloos.

Wat een kak. Jij bent vast zo eentje die gaat verkondigen dat "ikke rechteuh doen, ikkeuh wiskunde nie nodeg".

... eindelijk wat poëzie op dit forum ...

Ik niet. Kreeg zelfs geen integralen in't middelbaar. Talenrichting.

Die van de acht uren kregen wel die concepten te zien. Vectorruimten werden diep behandeld, de andere zaken werden oppervlakkig gezien.

Hoewel: ik weet niet hoe dat in de praktijk aan toe ging. Ik ben voordat ik school verliet binnengeglipt in hun locaal en heb mijzelf enkele van hun boeken, ahum, toegeeigend.

Het gaat hier om de serie Studiepakket E.Jennekens - G.Deen (uitgeverij de Sikkel).
Daarin zien ze zelfs bij oefeningen de Dirichletfunctie.

Of de concepten werkelijk in de lessen werden gegeven, en zo ja, hoe, weet ik helaas niet. Wat ik wel weet is dat de wiskunde in't middelbaar steeds minder en minder rigoreus wordt.

Define and rule. ;-)

ikke boekhouden doen, ikke dus heel hard wiskunde nodig hebben.

maar verzamelleer, neen dat niet....

Heb je altijd nodig.

Een mens zonder wiskunde kan niet correct denken. En verzamelingenleer en abstracte algebra is een bijzonder goede manier om je denkvermogen te structureren.

verzamelleer heeft niets te maken met wiskunde. het is trouwens nu afgeschaft, dacht ik. terecht. algebra is iets anders, dat is effectief een goede manier om je denkvermorgen te structureren.

Ik weet niet goed wat de "toestand" van de moderne wiskunde is in Vlaanderen, maar als ik het goed heb begrepen, is dat al een hele tijd "afgeschaft" en is men terug naar meer klassieke dingen gekomen.

Als je naar wiskunde didaktiek besprekingen gaat, wordt moderne wiskunde meestal als voorbeeld beschouwd van een grandioos mislukte hervorming.

Maar ik heb daar zelf hele goeie herinneringen aan en heb me dus altijd afgevraagd wat men daar nu verkeerd aan vond - behalve dat het inderdaad de bedoeling duidelijk had om abstract leren te denken en in de wiskunde de formele strukturen leren te herkennen, eerder dan de "band met de dagelijkse werkelijkheid".

Maar ik hou nu eenmaal van die dingen, en ik wilde daarom eens horen hoe anderen daarover dachten.

Wtf?

Het onderwijs in Vlaen'dren gaat een kant uit: zoveel mogelijk band met de "dagelijkse werkelijkheid" en zo weinig mogelijk "elitair gedoe".

Mensen zijn pas gelukkig als ze weinig leren en veel vrije tijd hebben, en daarom dienen ze niet meer krijgen dan het noodzakelijke.

Illustratie: logica wordt volgend jaar afgeschaft bij rechten.

Verzamelingenleer - tenminste de "naieve" verzamelingenleer die destijds werd onderwezen (en niet de axiomatische verzamelingenleer van Fregge en co, die natuurlijk veel te moeilijk is op humaniora niveau), die einde lagere school begonnen werd en dan in de eerste jaren van de humaniora werd uitgewerkt, had het voordeel van ten eerste een struktuur te zijn die analoog is aan de propositielogica (of word de unie van verzamelingen, en word de doorsnede, niet wordt het complement....), maar die ook de onderbouw is voor elk wiskundig concept. Als dusdanig heeft men een unificatie van alle wiskundige concepten (in de "echte" wiskunde is dat nogaltijd zo). Alle wiskundige begrippen zijn niks anders dan verzamelingen, en operaties op verzamelingen. Het had, voor mij altans, het grote voordeel van heel duidelijk te zijn.

Een natuurlijk getal was niks anders dan een partitie (dus een deelverzameling) bekomen door de equivalentierelatie "bijectie" tussen verzamelingen met een eindig aantal elementen. Ik vond dat mooi als idee, en het geeft inderdaad echt aan wat het getal "drie" distilleert als abstract concept: beschouw alle verzamelingen met een eindig aantal elementen, beschouw dan alle mogelijke bijecties (1-1 relaties) tussen deze verzamelingen, en dan deel je de verzameling van al die verzamelingen met een eindig aantal elementen op in verschillende klassen waarin de verzamelingen onderling verbonden zijn. Wel, die klassen, die deelverzamelingen, zijn wat men een natuurlijk getal noemt.

En zo heb je een structurele definitie gegeven aan wat een natuurlijk getal is.

Doe hetzelfde met koppels van getallen, en de bijectie (...zijn een veelvoud van...), en die koppels worden ook weer ingedeeld in partities die deze keer de breuken voorstellen. We hebben als dusdanig de verzameling van rationale getallen gedefinieerd.

En zo voort. Alles was een verzameling. Ik vond dat heel duidelijk.

Onder "algebraische structuur" verstaat men niet "algebra doen" maar een stel basis axioma's van operaties over een verzameling definieren, en dan, in 't abstracte, daarvan de eigenschappen afleiden.

De meest elementaire algebraische structuur is natuurlijk de groep en die is gebaseerd op 4 regels:
we hebben een verzameling V, en een "operatie" o, die niks anders is dan een functie van de koppels van V in V.
Als we hebben dat we:
1) voor elk koppel (v1, v2) wel degelijk een beeld hebben onder o(v1,v2) in V (inwendigheid)
2) voor elk 3-tal elementen van V, v1, v2, en v3, hebben dat:
o(o(v1,v2),v3) = o(v1,o(v2,v3)) (associativiteit)
3) er een element v0 is in V, zodat voor elke v1 in V, o(v0,v1) = v1 = o(v1,v0) (neutraal element)
4) er voor elk element v1 in V, er een element v2 in V bestaat, zodat o(v1,v2) = v0 = o(v2,v1) (invers element)

wel, dan heb je een groep.

Als er bovendien nog geldt dat
5) o(v1,v2) = o(v2,v1)

dan heb je een commutatieve groep.

Er zijn natuurlijk veel voorbeelden van commutatieve groepen:
optelling in de gehele getallen, vermenigvuldiging in de rationale getallen, maar nog vele andere voorbeelden, zoals de cyclische groepen.

Dat soort spul werd dan in het tweede jaar humaniora gegeven, en het voordeel is dat als je abstract gewoon van de bovenstaande eigenschappen uitgaat, dat je dan eens en voor goed de rekenregels hebt afgeleid en dat die dus meteen bewezen zijn voor ALLE voorbeelden van groepen.

Een lichaam was niks anders dan twee groepen (twee operaties) over dezelfde verzameling (allez, de tweede uitgezonderd het neutraal element van de eerste), en een distributiviteitseigenschap tussen de twee. Een veld, idem, maar voor commutatieve groepen.

Het blijkt dat de gewone "algebra" niks anders is dan de algebra van een veld. Als je dus een veld structuur hebt, weet je dat alle gewone rekenregels van toepassing zijn.

Een ring was een groep, en een "halve groep" (enkel maar inwendigheid en associativiteit, maar geen eenheidselement of geen invers element).

Met andere woorden, je leert de rekenregels herkennen als eigenschap van de abstracte structuur "groep" en niet als "eigenschap van de reele getallen" of zoiets.

Eens je Euclidische meetkunde hebt ingevoerd, kan je deze strukturen dan heel snel aanwenden om geometrische operatoren te beschouwen. Dat was het werk van het 4de en 5de jaar.

Bertrand Russell enters game.

Bertrand Russell casts Russell's Paradox

Superwapens stonden af.

sorry, heb maar TSO gedaan, ik snap hier niets van.

wij hadden ook algebra, was er heel goed in op mijn niveau, maar dat is het ook.

Wel, gelieve dan niet te beweren dat bepaalde dingen nutteloos of niet wiskundig zijn.

Waarvoor dank

Ja, dat is het probleem met de naieve verzamelingenleer, maar dat verandert niks aan wat men er mee doet/deed.

Het enige wat je niet mag doen is *te* grote verzamelingen bedenken, he.

Ik weet dus nu niet goed wat men wel onderwijst. Als ik hier in Frankrijk kijk, dan kan het moeilijk triester: de meetkunde wordt afgeschaft in de humaniora tot in 't 4de jaar, en enkel zij die de optie wiskunde nemen zullen nog iets horen over een "euclidisch vlak".

Maar, zoals ik zegde, ik had goeie herinneringen aan die moderne wiskunde, en ik had niet het idee dat veel leerlingen daar problemen mee hadden, in 't tegendeel.

Als je wilt kan ik een mailtje sturen naar mijn vroegere leerkracht wiskunde. Ze weet er vast meer over.

Ik weet alleen dat wiskunde in't middelbaar in athenea er tegenwoordig als volgt uitziet:

-meetkunde (carthesiaans)

-analyse (afleiden en integreren)

-combinatoriek en kansrekening

-lichte statistiek van de beschrijvende soort

-algebra (matrices en lineaire transformaties in't vlak)


De vectorruimten worden uitgebreid gezien bij de 8 uren, de algebraische structuren worden gegeven met hun eigenschappen.

Venn-diagrammen komen aan bod in kansrekening (axioma's van Kolmogorov worden zo besproken).