Iets voor de wiskundigen onder ons
 

De meest courante talstelsels hebben een simpele werking die telkens een element van recursie bevat.

Men definieert een cyclus van n telbeurten. Telkens men een cyclus voltooit, noteert men hoeveel keer de cyclus reeds voltooid is. Elke de hoeveelheid reeds voltooide cycli gelijk wordt aan n, telt men ook dat aan de hand van de cyclus, et cetera.

Nu de vraag:

Is dit de meest eenvoudige manier om talstelsels te ontwerpen? Indien ja, kan men bewijzen dat er geen kortere manier bestaat?

Kan men dit veralgemenen voor andere algoritmes? Kan men een algoritme, een bewijstechniek of iets dergelijk verzinnen die ofwel de meest eenvoudige methode construeert, ofwel aantoont dat een bepaalde methode de kortste is?

Ik begrijp niet precies wat je aan het doen bent, maar volgend mij kan je het sneller doen.
In het tientallig stelsel is het getal 1 10^0, het getal 10 is 10^1, 100 is 10^2 etc. Dit geld voor andere talstelsels ook. Het hexadecimale getal 10h (die h geeft enkel aan dat het hexadecimaal is) is 10h^1, ofwel 16^1, 16, en 100h = 10h^2 = 16^2. En diezelfde vlieger gaat voor alle stelsels op. Ik ben zelf wel fan van het zestallig stelsel.

1234h bijvoorbeeld is dan ook het makkelijkst om te rekenen door te zeggen dat het 1X16^3+2*16^2+3x16^1+4*16^0 is.

Ik bedoel:

A B C D E ...

A is de primaire cyclus. Van 1 tot 10, dus. B telt het aantal keer dat A is voltooid, ook in dezelfde cyclus. C telt het aantal keer B voltooid is, et cetera.

Ja, precies. alleen normaal gesproken staan ze in de omgekeerde volgorde. Het decimale getal 10 heeft waarde 0 voor A (cyclus net voltooid) en waarde 1 voor B. Wat niet wegneemt dat elke stap van A 10^0 groot is, elke stap van B 10^1 groot en elke stap van C 10^2 groot etc. Als dat je vraag niet beantwoord, kan je dan iets duidelijker proberen te zijn?

Dat is inderdaad hoe zo'n stelsel werkt.

Maar mijn vraag was eerder: hoe bewijst men dat dit de meest eenvoudige manier is om stelsels te definieren?

(de grootte van de cyclus speelt geen rol, het is enkel de structuur)

Pfoeh, bewijzen, als de docenten gaan bewijzen haak ik meestal af. Laat ik het zo zeggen: de meest simpele manier om voor welk telstelsel dan ook deze waarden uit te rekenen is er een computerprogramma voor schrijven (nou ja, het schrijven kan even duren, het gebruiken is snel), maar de methode met machten komt voor mij dicht genoeg in de buurt. Maar wat wiskundig misschien nog wel het leukste is is dat je deze getallen pas nodig hebt als je (naar decimaal) gaat omrekenen. 1A3h is namelijk gewoon 1A3h, totdat een van die tientalligen wil weten hoeveel eieren je nou precies probeert te kopen.

En als je een stelsel alleen maar wil definiëren hoef je alleen maar het aantal getallen per cyclus te noemen, de rest is aan de hand daarvan uit te rekenen.

Hoezo deze vraag trouwens?

Bewijzen vind ik doorgaans veel eleganter en verlichtender dan praktische toepassingen.

En bovendien heeft het door mij gezochte bewijs een zeer groot nut: het zou namelijk aantonen of een algoritme de meest efficiente is.

Een beetje een kortste pad-probleem. Tellen van het aantal stappen die nodig zijn om een operatie uit te voeren.

wiskunde:cheer:

Bewijzen vindt ik dubbel werk, het is al eens gedaan, in ieder geval voor de dingen die ik zou kunnen bewijzen, de berekening praktisch toepassen kan nog nuttig zijn.

Bewijzen zijn zeer nuttig om de concepten beter te begrijpen. Het is een oefening, om de wiskundige structuur die men bestudeert volledig te leren begrijpen.

Hé, HBO biologie hier. Ik hoef geen wiskundige structuren volledig te begrijpen, zolang ik ze maar kan toepassen.

Hoeven dit, hoeven dat.

Kennisweigeraar.

Zegt de persoon die net in zijn uitleg nog niet kon melden dat je de waarde van 10 kon berekenen met een macht, in plaats van hem uit te tellen.

Dat was ook niet de bedoeling. 't Ging over notaties.

Precies, en je kan de waarde van 10 in elke willekeurige notatie op die manier uitrekenen, en daar leek je post toch over te gaan.
Maar goed, kennelijk niet, in dat geval heb ik niks gezegd.

Neenee, niet over uitrekenen.

Maar over het systeem op zich. En of dit het meest eenvoudige systeem was om getallen te noteren.

Oooooh, je bedoeld in vergelijking met bijvoorbeeld het Romeinse systeem (of dus elk ander verzinbaar systeem)? Dat is eigenlijk niet echt een puur wiskundig probleem hè? Dat hangt namelijk van de toepassing af. Als je met een krijtje wilt bijhouden hoeveel dagen je nog moet brommen is turven bijvoorbeeld makkelijker dan het "normale" systeem.

Om te tellen is het handiger, maar om getallen uit te drukken is turven iets minder handig, omdat het slechts een keer kan aanduiden dat een cyclus is voltooid.

Bij zeer grote gevangenisstraffen wordt het moeilijk om de 5-blokjes te tellen.

En ja, dat is wat ik bedoel.

Dan zet je de 5-blokjes weer in rijtjes van tien (of 5, of een ander getal), en die weer in blokken van tien hoog, Maar inderdaad, voor grote getallen, niet-gehele getallen en bijvoorbeeld kwadratische verbanden is turven vrij onpraktisch.