De opera van Poldavië
 

Honderd mensen staan netjes in een rij aan te schuiven om de opera van Poldavië binnen te gaan.
Ze hebben allemaal een genummerde plaats.
De zaal is niet zo groot, er zijn 100 genummerde zitjes.
Maar de eerste man in de rij trekt zich niks aan van het nummer op z'n ticket en gaat zomaar ergens zitten.
Alle andere mensen zijn brave burgers en ze gaan een voor een op de juiste plaats zitten.
Tenzij er daar al iemand zit, dan kiezen ze op goed geluk een plaats.

Hoe groot is de kans dat de laatste persoon van de rij gaat zitten op de plaats die op z'n ticket is vermeld ?

1 kans op 2

zero lijkt me, puur intuitief.

0 %

Zeker niet 0%. Stel dat de eerste persoon op de stoel ging zitten van persoon X. Wanneer die persoon X op de stoel van de eerste gaat zitten, dan kan de laatste alsnog op zijn eigen plaats zitten.

1/2 is idd de juiste kans. De kans dat de tweede persoon op zijn eigen plaats kan gaan zitten is 99/100. De derde persoon zijn kans is 98/99. De kans dat persoon n op zijn plaats kan zitten is (101-n)/(102-n). De laatste persoon heeft dus een kans van 1/2.

De eerste man heeft 99% kans van verkeerd te gaan zitten, indien al de volgende hun best doen om op hun juiste plaats te gaan zitten lijkt me dat in het geval de eerste op de juiste plaats zit (1% dus) iedereen op de juiste plaats zal zitten.

In het geval dat de eerste man verkeerd is gaan zitten, begint de kansrekening van voren af opnieuw : op een bepaald moment zal de uitkomst dus zijn dat iedereen verkeerd zal zitten.

Logisch gezien moet het antwoord tussen de uitersten liggen de kans is dus 1/2

Ik gooi diegene die op mijn plaats zit er zowiezo af,

't is een NWO-complot van Poldavische zionisten tegen Vlamingen.:roll:

Laten we beginnen met vast te stellen dat de kans dat de eerste persoon toch terecht komt op zijn juiste plaats (en dus ook de laatste persoon juist zal zitten) gelijk is aan de kans dat hij op de laatste plaats gaat zitten (en dus de laatste persoon altijd verkeerd zit). Dan kunnen we door middel van recursie bepalen dat de totale kans 1/2 is.

Of meer formeel:
stel x=plaats onbeleefderik
P(x=1) = P(x=100)
stel 1<x<100
dan zitten al personen [2,x-1] juist. persoon x kiest dan tussen posities 1,[x+1,99],100
indien hij positie 1 of 100 kiest is het raadsel gedaan, indien niet, kiest hij positie y ∈ [x+1,99], waarna we bovenstaande redenering opnieuw gebruiken maar voor y ipv x.
Uiteindelijk zal het interval [x+1,99] ledig worden, waarna de keuze gereduceerd wordt tot 1 of 100, waarbij de kans 1/2 is op een goede afloop.

Ik heb mij eens drie keer moeten verzetten in een drie kwart en meer lege filmzaal omdat iedereen persé in zijn aangeduide zetel wou plaats nemen. zaten we daar met zen alle op een hoopje en ik helemaal omsingelt. :(

O wat HAAAAAAAAAAT ik statistiek! Ik heb er altijd een rothekel aan gehad en de kans is groot dat ik het zal blijven haten.

Balkjes en hoogtes en cijferkes en prul :cheer:

Ik ben er gewoon te dom voor of te lui. Of beide, ik ben er nog altijd niet achter hoe dat juist ineen zit.

wat is nou het juiste antwoord, Poldavier?

Ik vind het fascinerend, vooral omdat wat klaar en duidelijk zou moeten zijn, zo dikwijls tegen de intuïtie ingaat of zelfs paradoxaal lijkt.

Je goede recht. Net als boekhouden trouwens... beiden heb ik altijd vreselijk gevonden, maar ik spreek me zeker niet uit over mensen die er goed in zijn of er hun dagelijks sneetje brood meer verdienen. Maar tov. die dingen heb ik echt een afkeer. Ieder waar ie goed in is, zeker?

trouwens, voor de liefhebbers, perl implementatie:

lijkt wel niet helemaal uit te komen, eerste run gaf 50,5 %, dus misschien zit er nog wel een foutje in.

Ik denk ook dat het 50% is.
Moesten er maar 2 plaatsen zijn is't duidelijk. 1 kans op 2 dat de jouwe bezet is.
Als er 3 plaatsen waren, is er 1 kans op 3 dat de zeikerd de plaats van nummer 3 neemt. Indien niet, is er 1 kans op 3 dat hij die van nummer 2 neemt, gevolgd door 1 kans op 2 dat nummer 2 jouw plaats neemt.
Dat is 1/3 + 1/6 kans dat jouw plaats bezet is : in totaal 3/6 = 1/2.

Blijkbaar is de kans dus onafhankelijk van het totaal aantal plaatsen, altijd 1/2.

Bah... Booleans in Perl. Noem dat gewoon $estwaar

:roll:



;-)

Dit vind ik de elegantste uitleg.

In de hoop dat de beroepswiskundigen geen bezwaar opperen.

In elk geval boeiend om de verschillende benaderingen te zien.