de cirkel, onze vriend
 

vrede,

de verzameling van alle punten die op dezelfde afstand van een gegeven middelpunt staan is een fascinerend object, zelfs wanneer we ons tot de twee dimensies van het vlak beperken.

ik stel voor om een ietwat ongewone benadering van de cirkelgroep te bekijken. daar waar die groep meestal analytisch of zuiver algebraïsch wordt besproken, zullen wij ons houden aan simpele meetkunde.

laat R een cirkel zijn die de punten O, A en B bevat en M als middelpunt heeft.



we definiëren nu als volgt een binaire operatie 'x' op de cirkel: het punt AxB is één van de snijpunten tussen de cirkel R en de lijn door O die evenwijdig loopt met de lijn AB, en wel dat snijpunt dat het verst verwijderd ligt van O.

wanneer we die operatie toepassen op de hierboven gekozen punten A en B, zien we het volgende:



we zien meteen dat we voor alle punten A en B op de cirkel het punt AxB kunnen construeren. de operatie is dus gesloten in R.

een lijn die door O en een ander punt van R gaat heeft maar één evenwijdige lijn door O: zichzelf. voor iedere A geldt dus dat OxA = AxO = A. O is het neutraal element van de operatie.

wanneer we A en B zo kiezen dat O en M op de middelloodlijn van AB, dan is AxB = BxA = O. in dat geval zijn A en B inverse van mekaar.



we kiezen een extra punt C op R en onderzoeken waar (AxB)xC ligt (dit punt heet D op de tekening).



met dezelfde punten O,A,B en C onderzoeken we nu waar Ax(BxC) ligt.



we zien dat (AxB)xC in dit geval gelijk is aan Ax(BxC). dit is echter op zich niet zo triviaal als het lijkt. we kunnen het bewijzen op basis van de stelling van pascal, die ons onder andere leert dat bij een zeshoek die in een cirkel ingeschreven is, het zo is dat wanneer twee paar zijden telkens parallel aan elkaar zijn, het derde paar zijden ook parallel moet zijn. de details van het bewijs laten we hier even als een oefening voor de geïnteresseerde lezer.

we hebben nu gezien dat onze operatie gesloten is in R, dat O neutraal element is en dat A en B mekaars inverse zijn als en alleen als O op hun middelloodlijn ligt. daarenboven zagen we dat de operatie associatief is. we hebben dus een groep gedefinieerd, de groep van de cirkel.

het is duidelijk dat deze groep ook commutatief is. de lijn AB is namelijk gelijk aan de lijn BA.

de cirkel is, zoals gezegd, een object dat steeds opnieuw fascineert.

vrede,

redwasp

Wiskunde in de vakantie
AAAAH! 8O

Omdat een cirkel rond is.

Bewijs elegant niet?

Oei, de cirkel is blijkbaar niet echt bgf's vriend.

vrede,

was dat een orgasme? begrijp ik hoor. de cirkel is één van de meest erotische objecten die denkbaar zijn in twee dimensies.

vrede,

redwasp

:rofl:
Ik zit erin
:rofl:
Nu nog meer :cheer:
:rofl:

Penisring...

Burn the witch! Burn the witch!

En niet in drie?

Het pizza theorema.

En daarbovenop : het volume van een pizza met dikte "a" en straal "z" is pi.zz.a :roll:

Span een koord over de evenaar van de aarde en een tweede, één meter boven de grond. Wat is het verschil tussen de lengte van de twee koorden ?

Doe nu hetzelfde met een golfbal. Wat is het verschil tussen de lengte van de twee koorden ?

Cirkels zijn perfect voor nerds. Fun en triest

Daarom hou ik van mijn bierbuik

Mooi :-) Eindige meetkunde in de praktijk :-)

Hier kun je circels in trekken! ;-)

Walgelijk saai.

vrede,

soms is het verbazend hoe listig de cirkel zich kan vermommen in het dagelijks leven. hoe vaak denken wij aan een cirkel wanneer we een ééndimensionele orbitruimte of een knoop in de ruimte tegenkomen? het is een mirakel hoeveel verschillende objecten er homeomorf zijn met die cirkel.

laat ons bijvoorbeeld de orbitruimte van een bepaalde verschuiving T op een rechte R nemen. ieder punt x op de rechte wordt door die verschuiving op T(x) afgebeeld. T(T(x)) noemen we T^2(x). wanneer we dezelfde afstand als T verschuiven in de andere richting, dan zeggen we T^-1(x). we noemen nu de verzameling van alle T^n(x) met n een geheel getal, de 'orbit' van x in R ten opzichte van T.

laat ons nu het interval [0,T(0)] onderzoeken. voor iedere x ∈ [0,T(0)] zien we dat er een element van zijn orbit (namelijk x zelf) in het interval is. maar tegelijk zien we ook dat ieder orbit een element in het interval heeft. [0,T(0)] staat voor de ruimte van alle orbits die door T gegenereerd worden. we noemen het de orbitruimte van T.

we zien dat beginpunt en eindpunt van het interval tot dezelfde orbit behoren. ze zijn als het ware hetzelfde punt ten opzichte van de orbitruimte. we kunnen ze dan ook met mekaar gelijk stellen, ze als het ware aan mekaar plakken. de orbitruimte wordt een gesloten lus, ze is homeomorf met een cirkel.

laat ons nu kijken naar andere simpele vormen die homeomorf zijn met een cirkel. we vinden een topologische transfomatie tussen de cirkel en iedere regelmatige veelhoek. ook onregelmatige veelhoeken en iedere andere gesloten curve in het vlak.

we kunnen dit veralgemenen naar gesloten curves in meerdere dimensies. op die manier zien we dat iedere knoop in drie dimensies eigenlijk een ééndimensioneel pad is dat homeomorf is met de cirkel.

maar we kunnen zelfs heel exotische homeomorfieën ontdekken. een ééndimensionele deelruimte van het vlak is een rechte door de oorsprong. we construeren nu een cirkel door de oorsprong, waarvan het middelpunt op de Y-as ligt. iedere ééndimensionele deelruimte van het vlak snijdt de cirkel in de oorsprong, maar ook nog eens in een tweede punt. ieder punt van de cirkel vertegenwoordigt op die manier één ééndimensionele deelruimte van het vlak op een unieke manier. alleen de X-as snijdt de cirkel slechts in één punt. we zeggen dat beide snijpunten samenvallen in de oorsprong en dat die oorsprong dan ook het punt op de cirkel is dat de X-as vertegenwoordigt. de cirkel is dus homeomorf met de ruimte van ééndimensionele deelruimtes van het vlak.



als dat geen pure schoonheid is.

vrede,

redwasp

Ga uwe zever verkondigen op een wiskunde forum.

vrede,

we kunnen veralgemenen en stellen dat de n-sfeer altijd één van de meest erotische objecten is die we in n dimensies kunnen bedenken.

vrede,

redwasp

vrede,

jouw bierbuik is een bol (een 3-sfeer) en geen cirkel (2-sfeer). als je je verveelt, kun je de analoge groep van de bol ook eens op een meetkundige manier proberen uit te drukken. altijd goed voor een paar uur plezier!

vrede,

redwasp

De cirkel :cheer:

Zeker in combinatie met het roze dier :

'k Zal em wel tweedimensionaal zuipen ;-)