een meloenenprobleem
 

vrede,

niet zo lang geleden legde capable me een interessant probleem voor. als student verdiende hij bij door het fruit in de universiteitscantine te stapelen. het was een interessante job, die hem vaak voor plezante uitdagingen stelde. als mathofiel raakte hij vaak behoorlijk opgewonden van de tientallen grote en kleine problemen die hij dagelijks mocht oplossen.

op een dag was er een enorme lading meloenen aangekomen. de chef van de kantine gaf de opdracht om al die meloenen in de vorm van een vierkante piramide op te stapelen. toen capable hem vroeg hoeveel meloenen er precies waren, antwoordde de chef dat hij dat zelf maar moest uitzoeken, hij vond de bestelbon niet meer.

capable besloot om proef-ondervindelijk vast te stellen hoeveel meloenen er waren, door alvast te experimenteren met piramides. eerst legde hij vier rijden van vier meloenen, daarboven drie rijen van drie, dan twee van twee en tenslotte een laatste meloen op de top. toen hij klaar was, zag hij dat hij nog enorm veel meloenen over had.



hij besloot het opnieuw te proberen met een groter grondvlak. dit keer legde hij eerst tien rijen van tien meloenen, daarboven legde negen rijen van negen meloenen en zo voort. toen hij echter de laatste meloen op het vierkant van twee keer twee meloenen had gelegd, merkte hij weer dat er nog heel veel meloenen over bleven.

hij probeerde het een derde keer, dit keer met een nog groter vierkant als grondvlak. laag na laag bouwde hij de grote piramide. het koste hem een halve voormiddag. toen hij eindelijk klaar was, merkte hij echter dat er nog steeds heel veel meloenen over waren.

de moed zakte hem in zijn schoenen. moest hij het blijven proberen en zo enorm veel tijd verspillen? hij wou dat hij de juiste afmetingen van het grondvlak wist, zodat hij gewoon meteen de juiste piramide kon bouwen.

net op dat moment kwam de chef binnen. hij had de bestelbon gevonden. hij keek even naar de piramide die capable net gebouwd had en zei: "dat is toevallig. in de piramide die je nu gemaakt hebt zitten precies het aantal meloenen die je nodig hebt voor het grondvlak van de uiteindelijke piramide."

hoeveel meloenen bevat die uiteindelijke piramide?

vrede,

redwasp

Gij moet onze kerstmis nie proberen te vergallen met uwe wiskunde.
Een beetje verdraagzaamheid...

Domme chef.
Je laat uwe capable toch niet een hele dag voor niets werken hé.:-P

vrede,

voor niets? het bracht hem verdomme een mooie puzzel op.

vrede,

redwasp

Ontbreekt er niet wat informatie? Er staat nergens iets over de afmetingen van de derde piramide, behalve dat deze groter is dan een piramide met een grondvlak van 10x10 meloenen.

295

vrede,

jep. en dat het totaal aantal meloenen in die piramide precies het aantal is dat nodig is voor het grondvlak van de uiteindelijke piramide.

dat is op zich genoeg informatie. het soort piramides waarvan alle meloenen samen ook weer een vierkant vormen is namelijk heel zeldzaam. er is er maar 1 met grondvlak groter dan 10 X 10.

vrede,

redwasp

vrede,

een piramide met grondvlak 10 X 10 bevat al 10 X 10 + 9 X 9 + 8 X 8 + ... + 1 X
1 meloenen. dat is al een pak meer dan 295.

de uiteindelijke piramide is nog een heel pak groter.

vrede,

redwasp

Ach ja. :(

Hoe los je zoiets op zonder gebruik te maken van de methode 'trial and error'?
Oei, ik dacht dat het correcte antwoord al gegeven was. Niet dus.

Ik vind meloenen leuk, maar niet zo. :-(

vrede,

er zijn twee piramides waarvan het totaal aantal meloenen een kwadraat is en ze dus in een vierkant kunnen gelegd worden. de eerste is de triviale piramide met 1 meloen, de tweede heeft een groter grondvlak.

het is bewijsbaar dat alleen deze twee piramides die eigenschap hebben. je moet dus niet met trial en error te werk gaan, je kunt ook gewoon proberen het bewijs op te stellen, dan krijg je automatisch het juiste resultaat. het is echter een nogal technisch en moeilijk bewijs, trial en error (zeker geholpen met een rekenmachine of een spreadsheet) lossen het probleem sneller op.

maar ik geef toe, het bewijs zoeken is leuker. ik laat het hier echter gewoon als een oefening voor de geinteresseerde lezer.

vrede,

redwasp

Antwoord: 116795


Methode: trial and error.

:-D

Dat is interessant. Post het bewijs later maar, ik ben benieuwd. Om er zelf aan te beginnen is mijn wiskundekennis te sterk verwaterd. Helaas, want ik heb altijd erg graag wiskunde gedaan.

Sorry, my bad.
Die piramide van 10 x 10 meloenen als basis bestaat uit totaal 385 meloenen, waarvan de vierkantswortel 19,621416 is.
Hoe verdeel je dat in een vierkantig grondoppervlak ?

Dat is de tweede piramide. Je moet dus niet de vierkantswortel van 385 nemen. De vierkantswortel van het totale aantal meloenen neem je wel bij de derde piramide, die dus volgens de gegevens al een grondvlak heeft van minstens 11x11 meloenen.

Een pyramide met basis van 24 koppen, pardon, meloenen heeft, als ik goed gerekend heb, een totaal aantal meloenen gelijk aan 4900, dat is het kwadraat van 70 en zou dus een vierkant van 70 vormen.

Gevonden met trial en error, maar wel met een herinnering aan de formule voor het volume van een stapel meloenen.

Al zou het goed kunnen dat die herinnering fout is, want sinds ik meereed met de Mongoolse krijgsheer Tamerlan die afgehakte hoofden in pyramides stapelde heb ik die formule niet meer gebruikt.

Ah ja de formule die ik gebruikte was ik nog vergeten te vermelden.

Formule: excel.

:-D

vrede,

dat is een enorme stap in de goede richting. alle verdere stappen zijn natuurlijk triviaal.

wie geinteresseerd is in het totale aantal meloenen kan natuurlijk altijd uitrekenen hoeveel er op de piramide van 70 X 70 liggen.

vrede,

redwasp

Ah, ok. Ik ging ervan uit dat er slechts 1 piramide mocht gebouwd worden.