Vraagstukjes deel 2
 

Omdat Marco zo vriendelijk is geweest enkele vraagstukjes te geven in verband met leerstof waarover ik volgende donderdag examen moet afleggen, enkele vraagstukjes in return.

Marco, een uitdaging voor jou: beantwoord ze goed en je mag je "mea culpa" uit je onderschrift halen ;-) . Het onderwerp is nog zeer gemakkelijk: elementaire combinatoriek en de inclusie en exclusieprincipes. Het blijft politics echter, dus... :


1. Vier VB topmannen, waaronder Philippe De Winter, worden na hun laatste speech bekogeld met in totaal 8 slagroomsoezen en 5 tomaten. Hoe groot is de kans dat Philippe het moet stellen met slechts 1 slagroomsoes en 2 tomaten, gegeven dat iedere topman minstens 1 slagroomsoes te verwerken krijgt?

2. Steve Stevaert gaat naar een conferentie in Mongolië die 12 weken duurt. 7 partijslaafjes zijn meegegaan en gaan af en toe met Steve lunchen. Tijdens deze periode zal ELK van zijn slaafjes 35 keer met hem geluncht hebben. IEDER tweetal slaafjes zal 16 maal met hem de lunch gedeeld hebben, ieder drietal 8 maal, ieder viertal 4 maal, ieder vijftal 2 maal en elk zestal éénmaal. Steve heeft nooit geluncht met alle 7 partijslaafjes tegelijk. Heeft Steve ooit alleen geluncht, tijdens deze periode van 84 dagen, ermee rekening houdende dat hij elke dag geluncht heeft?

3. Vier ongelukkige N-VA'ers staan voor het vuurpeleton en er worden 11 identieke kogels afgevuurd (eigenlijk 11,3 maar een deel wordt door wrijving in de loop afgeschuurd, dit terzijde). Elke kogel raakt een van de 4 doelen. Op hoeveel manieren kan dit gebeuren, zodat er juist 2 personen niet geraakt worden?

4. Yves Leterme is net aangenomen als koffiemadam in het federaal parlement. Daar heeft hij als taak om 5 PS'ers op tijd en stond hun kopje koffie te schenken, mét koekjes. Hij heeft een assortiment van 20 koekjes die hij willekeurig verdeelt over de 5 schoteltjes met koffiekopjes. Wat hij echter niet weet is dat een PS'er incontournable wordt na het eten van meer dan 4 koekjes, en dat hij wordt overgeplaatst naar de toiletten als er meer dan 2 PS'ers incontournable worden. Hoe groot is de kans dat de nietsvermoedende Yves naar de toiletten wordt overgeplaatst?

Good luck ;)

p(filiep verwerkt 1 slagroomsoes en 2 tomaten, gegeven dat iedere topman minstens 1 slagroomsoes te verwerken krijgt)
= p(filiep verwerkt 1 slagroomsoes | iedere topman verwerkt minstens 1 slagroomsoes ) * p (filiep verwerkt 2 tomaten)

p(filiep verwerkt 2 tomaten)
= (5*4/2 * 3^3) / 4^5
= 270/1024

p(filiep verwerkt 1 slagroomsoes | iedere topman verwerkt minstens 1 slagroomsoes)
= 8*(3^7-3*(2^7-2)-3) / (4^8-4*(3^8-3*(2^8-2)-3)-6*(2^8-2) -4)
= 14448/40824

8O

Als juist 2 peronen niet geraakt worden, dan worden juist 2 personen wel geraakt. Er kunnen 6 koppeltjes gevormd worden van 2 N-VA'ers. 11 identieke kogels kunnen op 10 manieren verdeeld worden tussen 2 N-VA'ers zo dat ze elk minstens 1 kogel krijgen.

Er zijn dus 6*10 = 60 manieren.

bah, wiskunde...

Hoewel de anciens in de Vlaamse Beweging wel meer weten van het afmaken van groepjes mensen. Ze hebben er hun eigen manieren voor.

bv:

je hebt 10 arme drommels in Breendonk, je hebt 1 kanaal, en je hebt 3 kogels.
Op hoeveel verschillende manieren hebben de aanhangers van Staf De Clercq deze tien arme drommels kunnen van kant maken, wetende dat het enige gebruikte wapen de 3 kogels zijn?

Ik opteer voor de volgende strategie: bindt ze alle 10 aan elkaar vast en zet ze op een loopbrug over het kanaal. Schiet er 3 dood. De groep raakt uit evenwicht door de 3 vallende lijken en valt in zijn geheel in het kanaal. Ze zijn aan elkaar vastgebonden, dus ze verdrinken alle 10.

Andere manier is eventueel: onder bedreiging van 3 kogels laat ge ze het kanaal graven, als het af is doorbreekt ge de dam terwijl ze er alle 10 nog in zitten, en dan schiet ge uw 3 kogels in de lucht...

dat zijn twee interessante mogelijkheden. het is niet mijn specialiteit, ik zal eens navraag doen op het madouplein. Wat ik nog in gedachten had, en dat scheen in het verleden een techniek te zijn:

Men plaatst de arme drommels in groepjes van drie (1 groepje van vier), op een rijtje
vervolgens schiet men hen door het hoofd. Indien goed gericht zou de kogel 3 tot vier mensen kunnen raken, omdat hij doorheen het hoofd schiet. Mocht er nog een leven, geen probleem, die smijt je mee in het kanaal onder bedreiging van het lege pistool. Die arme drommel weet toch niet dat het leeg is.

Kan een oude knar uit de Vlaamse beweging enige bevestiging geven over de voorgestelde technieken?

Weet'k niet, moet je die mensen uit de Koppen uitzending van daarnet eens contacteren.

Maar kom, back on topic: wiskunde, geen toegepaste krijgskunst.

goed, wiskunde is mijn ding niet, sorry. Van vierkantswortels krijg ik punthoofden, en België zit al in de zesde macht, staatshoofd niet meegerekend.

1. Philippe Dewinter is zo slim geweest langs de achteruitgang te gaan en weet van geen roomsoesen of tomaten.

2. Na 2 dagen moet Stevaert terugkeren voor wat heibel binnen zijn partij op te lossen en zijn de "lunchplannen" opgedoekt.

3. De NV-A'ers bekennen kleur. Twee gaan naar het Belang, twee naar de CD&V ... Door deze kleurbekenning zijn ze "vrij van zonden" en kunnen de kogels terug opgeborgen worden.

4. Elio Di Rupo ziet Leterme staan en denkt dat hij een indringer, een spion is. Hij roept de security en daar gaat de job van Leterme! De overige PS'ers worden kwaad omdat ze geen koffie krijgen, die Verhofstadt dan maar inschenkt.

Ben blij dat ik niet de enige ben! ;)

Het antwoord op deze vraag is: 100% kans dat jij het beter weet dan ik.
Door deductie:
- voor Foundation: morgen examen
- voor marco: minus 20 jaar examen.
- Voor Foundation: boeken aanwezig
- Voor Marco: verdomme waar zit diene boek.
Zal ik nodig hebben.
Mijn antwoorden zijn dan ook zonder formules maar enkel met redeneringen.
En ik die dacht op een stil moment dat er geruisloos van tussen te halen. Je hebt mij in de hoek.
Ik ga er van uit dat de 13 projectielen doel hebben getroffen.
De volgorde van raken is onbelangrijk. Dirty is dirty. Maar ik reken wel met hits in volgorde. (hier en daar)
Ik begin met de slagroomsoezen.
Ik begin met elk er eentje raak te smijten. Blijven er nog 4 over die ik mag smijten waar ik wil maar niet op FDW. Mijn totaal aan mogelijkheden zijn (in volgorde) 4 VB-ers tot de macht 4 smoezen = 256 mogelijke hits.
Als ik FDW niet mag raken dan is het 3 VB-ers tot de macht 4 smoezen = 81 mogelijke hits. Smoezenkans = 81/256
Tomaten dan.
Ik smijt 5 keer. Ik neem er 2 beurten uit waarmee ik FDW tomateer. 2 beurten kiezen in volgorde uit 5 beurten maar onderling niet verwisselbaar kan op 5*4 = 20 mogelijkheden.
De drie andere beurten kan ik op 3 vb-ers tot de macht 3 tomaten werpen = 27 mogelijke hits in volgorde.
27*20 = 540 mogelijke combinaties.
In totaal kan ik op 4 vb-ers tot de macht 5 tomaten scoren = 1024 manieren.
Tomatenkans = 270/1024
Hoofdprijs smoezen en tomaten: 81/256*270/1024=21870/262144 = ong. 8% kans.
Vooreerst is de vraag of Steve wel toekomt met zijn 25.000 € budget aan Visa-eten. Vanf 76 € per kop zal hij niet meer toekomen. Ik gun ze wel een broodje. Ten tweede wist ik niet of als ze met zes eten we dan ook de 6 vijftallen moeten 'tellen'. Moest dit niet zo zijn dan had ik aan 7 * 35 al meer one-on-one lunchen dan er dagen waren. Maar ken ik wel het eetgedrag van Steve niet. Ik veronderstel dat hij wat lunchen betreft wél een normaal mens is en slechts één maal op onze kosten eet per dag. :-)
Ik begin met de zestallen. Aangezien ELK zestal 1 keer luncht moeter er ook zoveel als dergelijke lunchen zijn. Combinatie van 6 uit 7 is 7. Maar elk zestal heeft ook vijftallen, viertallen enz. In een zestal zitten ook 6 vijftallen, 15 viertallen enz.
Met 7 zestallen zijn er al voldoende vijftallen (x2) maar nog 35 viertallen te kort. enz.
Kortom hij eet nooit alleen maar wel 7 keer met zes slaven, 35 keer met vier slaven, 21 keer met 2 slaven en 21 keer one-on-one. 7+35+21+21 = 84 dus niet alleen. In totaal zijn 84+ 7 *35 lunches van Steve zijn Visa afgegaan aan pakweg 75 € per lunch = 24.675 €. Weg jaarbudget.
Kenmerkend voor een vuurpeloton is dat ze gelijktijdig vuren. De volgorde van sterven is dus onbelangrijk. (Ze zijn toch dood hé!)
Vooreerst zijn er zes mogelijke koppels die gaan sterven. Het stervend koppel ontvangt 11 kogels. Elk ééntje en de negen andere naar voorkeur. Elke dode kan van 0 tot 9 extra kogels krijgen, het saldo is voor zijn compaan. Tien mogelijkheden maal zes koppels is zestig mogelijkheden.
Ik ga er van uit dat die walen alles opeten. :-) 1 - 3121/10626 ofwel 71% kans dat Yves toiletten mag doen.De lkans dat hij ze niet moet doen is ofwel als geen enkel 5 of meer koekjes krijgt. Dat is in één geval zo. Of als er slechts 1 meer dan vier koekjes heeft. Dat is dan als de anderen maximaal er vier hebben. dat zijn voor elk 5 mogelijkheden (0 inbegrepen) 5 to de 4e is 625 minus het geval dat ze allemaal 4 koekjes hebben is 624 maal 5 omdat de veelvraat dan één van de vijf kan zijn. = 3120 + 1 = de kans dat het niet toiletten wordt.
Maar als ervaren politicus zou Yves nu al moeten weten dat hij best de koekjes zelf opeet. :-)


Ik hoop dat ik niet gebuist ben en ik moet nu toch eens dringen op zoek naar mijn wiskundeboeken van welleer. (Een goede link volstaat echter ook.)

Der moeten van alle soorten BUB'ers zijn he :-D

Hoog tijd voor de juiste antwoorden, gezien niemand anders nog pogingen doet ;)

1)
Gezien er reeds 4 slagroomsoezen doel hebben getroffen, schieten er nog maar 4 over. Ook zijn er nog 5 tomaten. Deze 4 soezen en 5 tomaten dienen nog verdeeld te worden over de 4 topmannen. Het aantal manieren waarop het mogelijk is om 4 slagroomsoezen en 5 tomaten te verdelen onder 4 man, is

(7) (8)
(4) * (5)

in binomiaalcoëfficiëntnotatie, uitgerekend is dit 35 * 56 = 1960 manieren.

Om de kans te berekenen dat Philippe slechts 2 tomaten krijgt, moeten we uit dit aantal mogelijkheden de mogelijkheden halen dat dit gebeurt. Dus: we bedelen 2 tomaten toe aan Philippe, en moeten nu nog 4 soezen en 3 tomaten verdelen onder 3 mensen. Dit kan op:

(6) (5)
(4) * (3)

verschillende manieren. Uitgerekend is dit: 15 * 10 = 150 manieren.

Dus: 150 van de 1960 manieren om de 4 topmannen te raken zijn manieren waarbij Philippe exact 1 roomsoes en 2 tomaten op zich gegooid krijgt. De kans dat Philippe geraakt wordt door enkel 1 roomsoes en 2 tomaten is dus: 150/1960 oftewel 7,65 %.

2)
Volgens de officiële wiskundige methode is het aantal dagen dat Steve met niemand heeft geluncht, gelijk aan het #lunchdagen,
- (#lunchdagen met 1 * #combinaties van 1 uit 7)
+ (#lunchdagen met 2 * #combinaties van 2 uit 7)
- (#lunchdagen met 3 * #combinaties van 3 uit 7)
+ (#lunchdagen met 4 * #combinaties van 4 uit 7)
- (#lunchdagen met 5 * #combinaties van 5 uit 7)
+ (#lunchdagen met 6 * #combinaties van 6 uit 7)
- (#lunchdagen met 7 * #combinaties van 7 uit 7)

Vergelijk deze methode met: het aantal elementen in 2 elkaar snijdende verzamelingen is het aantal elementen in de ene + het aantal elementen in de andere, maar - het aantal elementen in beide (doorsnede) omdat deze dubbel geteld zijn.

Het antwoord is dus:

84 -245 +336 -280 +140 -42 +7 -0
= 0

Dus: Steve had steeds gezelschap !!!

Foundation, ik begin schrik van u te krijgen! 8O ;)

3)
Het vuurpeleton probleem is analoog aan het slagroomsoezenprobleem, en is misschien zelfs gemakkelijker. Als er 2 personen niet geraakt worden, zijn er nog 11 kogels te verdelen onder 2 man. Daarvan moet elk er 1 krijgen, dus zijn er nog 9 kogels te verdelen onder 2 personen. Dit komt overeen met (10 over 9) in binomiaalcoëfficiënten, dit is gelijk aan 10.

Maar uiteraard hebben we nu onze 2 mensen vaststaand genomen. Itt tot in vraagstuk 1, waar Philippe wel degelijk uitgekozen was, mogen hier 2 willekeurige N-VA'ers gespaard worden. Er zijn (4 over 2) = 6 mogelijkheden om zo'n 2 mensen te kiezen,

dus het totaal aantal mogelijkheden is 60.

Georganiseerd leren schieten doen we ze later wel, want de beschreven hit ratio is bedroevend voor een peloton ;)

Het laatste is een tricky probleem, want hier speelt een combinatie van de 2 vorige problemen.

De kans dat meer dan 2 PS'ers incontournable worden is het aantal mogelijke koekjesverdelingen waarbij dit gebeurt, gedeeld door het totale aantal koekjesverdelingen mogelijk. Als er meer dan 2 incontournable worden, wil dat zeggen dat er 3 PS'ers reeds elk 5 koekjes hebben gekregen. Dan zijn er nog 5 te verdelen over 5 PS'ers, dit kan op (9 over 5) manieren, dus 126 manieren.

Er zijn 10 manieren om 3 PS'ers te kiezen uit 5 om incontournable te laten worden, dus in totaal moeten we dit nog vermenigvuldigen met 10: er zijn welgeteld 1260 manieren waarop Yves Leterme zichzelf tot toiletmadam kan promoveren ! Tenminste, op het eerste zicht, er is immers een complicatie:

Het is immers even goed mogelijk dat er 4 PS'ers elk 5 koekjes krijgen en de ander geen, en gezien 4 PS'ers onder te verdelen zijn in 2 groepjes van 3, hebben we dus enkele keren dubbel geteld (zie probleem 2). Het aantal dubbeltellingen moet er nog vanaf getrokken worden. Dit aantal is: 10*2-5 = 15

(immers: 4 PS'ers zijn 2 groepjes van 3. Zulke 2 groepjes kunnen dus 10 keer gevormd worden. De doorsnede van deze groepjes moeten we er nog aftrekken, dit is het aantal mogelijkheden om groepjes van 4 te vormen uit 5, nl.5)

Het aantal mogelijkheden is na aftrekking van de dubbeltellingen dus nog 1245 .

Om nu uiteindelijk de kans te berekenen dat hij weggepromoveerd wordt, delen we dit getal door het aantal mogelijke verdelingen die Yves kan maken van 20 koekjes over 5 PS'ers. Dit is (24 over 20) = 10626 mogelijkheden.

De kans dat Yves dus weggepromoveerd wordt naar de toiletten, is: 1245/10626 of afgerond 11,72 % !!!

Aan Marco: bij de eerste zat ge in de buurt, de 2e en 3de vragen had ge juist en de 4de er vrij hard naast. Dus: 12/20 zou ik zeggen: geslaagd :D

Oef.

Bij vraag 4 heb ik een redeneerfout gemaakt. Ik dacht vanaf 2 PS-ers in plaats van meer dan 2. Wat een verschil in uitkomst.