Wiskunde voor advocaten,juristen en magistraten

[bedrijven docter]

Hieronder volgt de derde case study, toegespitst op het gebruik van simulatiemodellen bij recidive-inschatting binnen het jeugd(straf)recht, met verwijzingen naar Belgische rechtspraak, EHRM-jurisprudentie, buitenlandse doctrine en kritische reflectie over wiskundige benadering van menselijke gedragingen in een juridische context.


---

Case Study 3: Simulatiemodellen voor recidive-inschatting in het jeugd(straf)recht

Kritische vergelijking tussen België, Duitsland en de Verenigde Staten


---

1. Belgische praktijk: Risicotaxatie-instrumenten in de jeugdbescherming

In Vlaanderen en Wallonië wordt sinds 2017 geëxperimenteerd met risicotaxatie-instrumenten zoals YPRA (Youth Probation Risk Assessment) voor jongeren met een jeugddelinquentiestatuut.¹ Deze tools hanteren voorspellende algoritmen gebaseerd op factoren als schoolverzuim, gezinssituatie, eerder gedrag en leeftijd.

In het arrest van het Grondwettelijk Hof nr. 118/2022, waarin een jongere op basis van een hoog risicoprofiel in een gesloten instelling werd geplaatst zonder ernstig feit op dat moment, oordeelde het Hof:

> “Een plaatsing louter op basis van een risico-inschatting, zonder concrete gedraging of actuele bedreiging, miskent de proportionaliteit en kan leiden tot schending van het recht op vrijheid.”



De uitspraak verwijst impliciet naar art. 5 EVRM, waarin het EHRM oordeelt dat preventieve detentie slechts geoorloofd is indien ze gebaseerd is op actuele en toetsbare feiten, niet op statistische waarschijnlijkheid.²

Latijnse spreuk: Probatio non supplet iniustitiam — Bewijsmateriaal mag onrecht niet legitimeren.


---

2. Duitsland: Kritische integratie in het jeugdrecht

Duitsland heeft een voorzichtigere benadering. In de JGG (Jugendgerichtsgesetz) wordt wel ruimte gelaten voor risicobeoordeling, maar enkel als ondersteunende factor bij een individuele rechterlijke beslissing.³

In 2019 wees het Bundesverfassungsgericht een klacht af over risicoprofilering, maar benadrukte dat algoritmen:

> “Nur im Lichte der Persönlichkeit des Angeklagten interpretiert werden dürfen — kein mechanisches Ergebnis darf die richterliche Verantwortung ersetzen.”?



De nadruk ligt dus op het menselijke oordeel en de constitutionele opdracht tot individuele afweging.


---

3. VS: COMPAS en het debat over raciale bias

In de VS is het gebruik van het COMPAS-algoritme voor risicotaxatie al jaren onderwerp van discussie. In State v. Loomis (2016) bevestigde het Hooggerechtshof van Wisconsin het gebruik van COMPAS, maar onder strikte voorwaarden: de rechter mocht het algoritmisch risico niet als beslissend beschouwen.?

Nadien toonden meerdere studies aan dat COMPAS discriminerende effecten heeft ten aanzien van Afro-Amerikaanse jongeren.? De ACLU en Harvard Law Review pleiten daarom voor radicale transparantie en toetsbaarheid van de gebruikte variabelen, iets wat in veel staten ontbreekt.


---

4. Juridisch-wiskundige reflectie: beperkingen van kwantificering

In Hoofdstuk 11 van deze reeks zagen we reeds het gevaar van schijnexactheid (fallacy of precision): een score van 72,3% kans op recidive is niet juridisch relevant als de normatieve grond ontbreekt.

Bayesiaanse probabiliteit (cf. Hoofdstuk 5) toont bovendien dat een hoge kans slechts waardevol is bij een duidelijke prior — iets wat bij jongeren vaak ontbreekt.

Verwijzing naar "Beweren is niet bewijzen", hoofdstuk 6 en 11: daar werd duidelijk gemaakt dat omkeren van kans en schuld een fundamentele denkfout is, ook al is ze wiskundig correct binnen een model.

Latijnse spreuk:

Salus populi suprema lex esto — Maar ook: Nulla poena sine culpa — Geen straf zonder schuld.


---

5. Synthese en aanbeveling

Wiskundige modellen kunnen ondersteuning bieden, maar juridische beslissingen mogen nooit louter numeriek geïnformeerd worden, zeker niet bij kwetsbare groepen zoals minderjarigen. De rechterlijke vrijheid moet gegarandeerd blijven, en het gebruik van simulatiemodellen dient expliciet toetsbaar en proportioneel te zijn.

> Numeri docent, sed iudex decernit — Cijfers informeren, de rechter beslist.




---

Voetnoten

1. Agentschap Opgroeien, Handleiding YPRA voor praktijkprofessionals, 2021.


2. EHRM, Léger v. Frankrijk, 11 april 2006, nr. 19324/02.


3. § 10–15 JGG, Bundesministerium der Justiz.


4. BVerfG, Beschluss 1 BvR 2366/17 vom 29. März 2019.


5. State v. Loomis, 881 N.W.2d 749 (Wis. 2016).


6. Julia Angwin et al., “Machine Bias,” ProPublica, 2016; zie ook Harvard L. Rev., vol. 132 (2019), p. 1197–1234.

[bedrijven docter]

Hier volgt de vierde case study binnen het kader van Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving in de reeks Wiskunde voor advocaten, juristen en magistraten. De focus ligt op kosten-batenanalyse in milieurecht en mensenrechten, met verwijzingen naar Belgische rechtspraak, internationale doctrine en Romeinse spreuken.


---

Case Study 4: Kosten-batenanalyse in milieurecht en mensenrechtenbalans

1. Situering: Milieuverplichtingen versus economische rechten

Kosten-batenmodellen worden almaar vaker ingezet bij wetgevingsimpactstudies (RIA's) en bij de toetsing van milieuwetten aan economische grondrechten. Ze worden ook gebruikt in strategische procedures waarin overheden zich verdedigen tegen aantijgingen van disproportionele milieuregulering.

In deze context ontstaat een spanning tussen:

Het publieke belang van milieu- en klimaatmaatregelen

Individuele rechten, zoals eigendomsrechten (art. 1 Eerste Protocol EVRM) en economische vrijheid



---

2. Belgische context: Klimaatzaak en grondrechtenafweging

In het vonnis van de Klimaatzaak (Brussel, 17 juni 2021) veroordeelde de rechtbank de Belgische overheden wegens schending van de zorgplicht (art. 1382 BW) én art. 2 en 8 EVRM.¹ De rechtbank wees kostenargumenten af als ontoereikend:

> “De complexiteit en budgettaire afwegingen [...] kunnen geen rechtvaardiging zijn voor het niet-nemen van doeltreffende maatregelen.”



Het is een expliciete verwerping van een louter utilitaristische afweging. Dit staat in contrast met beleidsnota’s waarin economische kosten zwaar wegen.


---

3. EHRM-rechtspraak: Balans mensenrechten en algemeen belang

Het Europees Hof voor de Rechten van de Mens hanteert wel een proportionaliteitstoets, waarin kosten-batenelementen impliciet meespelen. In Hatton v. Verenigd Koninkrijk (2003) werd geluidsoverlast door nachtvluchten in Heathrow geëvalueerd:

> “The State has a wide margin of appreciation [...] but the benefits for the community must be balanced against the severe detriment for individuals.”²



Hoewel het Hof de staat gelijk gaf, erkende het expliciet de rol van maatschappelijke baten — in dit geval economische activiteit — maar enkel indien het individuele nadeel niet onevenredig is.

Latijnse spreuk: Fiat justitia ruat caelum — Laat gerechtigheid geschieden, al stort de hemel in.


---

4. Internationale doctrine: Economisch denken als hulpmiddel, niet als substituut

In zijn werk Law and Economics stelt Richard Posner dat:

> “Efficiency is not the only goal of the legal system — but a valuable proxy when rights cannot be defined or enforced.”³



Toch groeit in milieurecht de kritiek dat dergelijke modellen te weinig rekening houden met intergenerationele schade. De Oostenrijkse rechtsfilosoof Ulrich Körtner stelt in dit verband:

> “Rekenen is niet gelijk aan wegen: normatieve evaluatie vergt rechtvaardigheidsargumenten, geen spreadsheets.”



Het is dezelfde kritiek die ook werd besproken in hoofdstuk 11 (fallacy van schijnexactheid) en in hoofdstuk 10 (grenzen van interpretatie).


---

5. Voorbeeld: Duitse Urgenda – Bundesverfassungsgericht 2021

In een baanbrekend arrest (24 maart 2021) oordeelde het Duitse Grondwettelijk Hof dat het Klimaaschutzgesetz onvoldoende rekening hield met toekomstige generaties:

> “De wet legt onevenredig veel klimaatlasten bij de generaties na 2030. Dat is strijdig met artikel 20a GG.”?



Kosten-batenmodellen die toekomstige schade disconteren, zijn op die basis constitutioneel problematisch. Dit arrest is een mijlpaal in de erkenning van intergenerationele grondrechten — iets dat puur economische modellen niet vatten.


---

6. Reflectie: Wanneer modellen te eng redeneren

Kosten-batenanalyses kunnen niet de enige grondslag zijn voor fundamentele rechtenafweging. De sleutel ligt in de vraag:

> Zijn kosten legitiem als reden om rechten te beperken? Of slechts als context voor hun uitvoering?



Bij impact op mensenrechten is de juridische proportionaliteitstoets essentieel: zie ook Hoofdstuk 5 over conditionele waarschijnlijkheid en Hoofdstuk 9 over juridische algebra: de ‘som’ der belangen is geen automatische rechtvaardiging.


---

Romeinse spreuken

Non numerantur, sed ponderantur — Ze worden niet geteld, maar gewogen.

Salus publica suprema lex esto — Het algemeen belang is de hoogste wet.

Iustitia ante utilitatem — Gerechtigheid vóór bruikbaarheid.



---

Voetnoten

1. Klimaatzaak v. Belgische Staat, Rb. Brussel, 17 juni 2021, nr. 2015/4585/A.


2. EHRM, Hatton v. UK, 8 juli 2003, nr. 36022/97.


3. Richard Posner, Economic Analysis of Law, Wolters Kluwer, 2014.


4. BVerfG, Beschluss vom 24. März 2021 – 1 BvR 2656/18, ‘Klimabeschluss’.

[bedrijven docter]

Hier volgt de vijfde case study voor Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving, met de focus op blockchaintechnologie, smart contracts en de juridische validiteit ervan binnen het Belgische en internationale recht. , deze case bevat verwijzingen naar buitenlandse rechtspraak, doctrine, Belgische context, Romeinse spreuken en voorgaande hoofdstukken (met name hoofdstuk 7 en hoofdstuk 9).


---

Case Study 5: Smart contracts, blockchain en de juridische status van automatisch uitgevoerde verbintenissen

1. Situering: Wiskunde als motor van rechtszekerheid?

Smart contracts zijn computerprotocollen die automatisch de voorwaarden van een overeenkomst uitvoeren zodra aan bepaalde voorwaarden voldaan is. Ze steunen op:

Cryptografische hashing (zie hoofdstuk 7)

Transacties op de blockchain

Wiskundige zekerheid in plaats van juridische interpretatie


De belofte is: minder interpretatie, meer zekerheid. Maar kunnen wiskundig sluitende protocollen ook juridisch bindende overeenkomsten zijn?


---

2. Belgisch recht: Consensualisme versus automatisering

Volgens het Belgisch verbintenissenrecht (art. 5.51 BW) komt een overeenkomst tot stand door wilsovereenstemming. Een smart contract kan dus juridisch geldig zijn, op voorwaarde dat:

De bedoeling van partijen ondubbelzinnig blijkt (zie ook hoofdstuk 10: grenzen en limieten van interpretatie)

Er geen strijdigheid is met dwingend recht

De uitvoeringswijze (automatisch) niet leidt tot onredelijke gevolgen


In de doctrine wordt hierbij verwezen naar de Belgische wet van 4 november 2020 rond elektronische bewijsvoering, die de digitale handtekening gelijkstelt met de geschreven handtekening, mits voldoende authenticiteit (zie hoofdstuk 7).

> “Wat digitaal is, moet ook bewijsrechtelijk analoog aanvaard kunnen worden.” — (X. Devroey, 2021)




---

3. Buitenlandse rechtspraak: Verenigde Staten & Singapore

In de zaak Matter of Quoine Pte Ltd v. B2C2 Ltd (Singapore Court of Appeal, 2020) oordeelde het Hof dat een automatisch uitgevoerde cryptotransactie niet werd opgeheven, ook al was die gebaseerd op een menselijke fout:

> “Automated execution is not a bar to contract enforceability. Parties who use code must bear the consequences of their algorithmic design.”¹



Hetzelfde standpunt zien we in U.S. v. Coinbase (2022), waar het Hof oordeelde dat on-chain gedragingen in sommige gevallen volstaan als bewijs van instemming.

Maar dat impliceert een verschuiving: van interpretatie naar computationele gedragsanalyse (zie hoofdstuk 9 over algebraïsche structuren en impliciete relaties).


---

4. Wiskundige logica versus menselijke nuance

De automatische uitvoering van een smart contract gebeurt zonder menselijke beoordeling. Dat creëert juridische risico’s:

Geen ruimte voor interpretatie of overmacht

Geen mogelijkheid tot rechterlijke matiging

Eventuele nulliteit van delen van het contract leidt niet tot opschorting van uitvoering


Dit vormt een contrast met het klassieke leerstuk van gedeeltelijke nietigheid en conversie (art. 5.77 BW), dat menselijke afweging toelaat.

> Summum ius, summa iniuria — Strikte toepassing van het recht kan leiden tot het grootste onrecht.




---

5. Internationale doctrine: De juridische status is contextueel

Volgens Kevin Werbach (Wharton School) zijn smart contracts geen contracten in de klassieke zin, maar "self-executing codes with contractual effects".² Hij pleit voor een hybride benadering:

Code as law (Lawrence Lessig): de uitvoering gebeurt via software

Maar ook: Law over code — het recht moet altijd prevaleren


In UNCITRAL Working Paper 2019 wordt opgeroepen tot een normatief kader waarin de interactie tussen juridische wil en technische uitvoerbaarheid centraal staat.


---

6. Reflectie: Is perfectie wenselijk?

De fascinatie voor smart contracts berust op het idee van volledige controle door wiskunde. Maar:

Niet alle juridische interpretaties zijn binary

Niet alles is vooraf modelleerbaar (zie hoofdstuk 11 over schijnexactheid)

Het recht vereist ruimte voor herinterpretatie, billijkheid en context


> Dura lex, sed lex — De wet is hard, maar het is de wet.
Ex facto oritur ius — Het recht vloeit voort uit de feiten, niet uit een algoritme.




---

7. Samenvatting

Aspect Smart contract Klassiek contract

Vorm Code op blockchain Schriftelijk of mondeling
Interpretatie Geen, enkel uitvoering Ja, rechterlijke controle
Matiging mogelijk? Neen Ja
Rechtskracht Enkel bij voldoende instemming Altijd, mits wilsuiting
Voorbeeld: Quoine Singapore Bindend Zou mogelijks deels nietig zijn



---

Voetnoten

1. Quoine v. B2C2, [2020] SGCA(I) 02.


2. Kevin Werbach, The Blockchain and the New Architecture of Trust, MIT Press, 2018.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie

Machine learning en voorspellend recht

De opkomst van kunstmatige intelligentie (AI) in de rechtspraktijk heeft geleid tot toepassingen waarin algoritmen op basis van data beslissingen ondersteunen. Denk aan voorspellende modellen die recidive inschatten (zoals COMPAS in de VS), of algoritmen die de kans op succes in een zaak evalueren. Zulke systemen gebruiken technieken uit de machine learning, die wiskundige modellen (zoals regressies, beslisbomen of neurale netwerken) trainen op historische gegevens.

Deze aanpak sluit aan bij eerdere hoofdstukken, met name hoofdstuk 12 (simulatiemodellen) en hoofdstuk 5 (conditionele waarschijnlijkheid). Een AI-systeem berekent immers hoe waarschijnlijk het is dat een bepaalde uitkomst volgt op een verzameling kenmerken. Deze vorm van a posteriori-redeneren lijkt objectief, maar is vaak gevoelig voor historische vertekening.

> Ex falso sequitur quodlibet – Uit iets onjuists volgt eender wat. Een fout in de dataset leidt tot foute beslissingen.



Wat een jurist moet begrijpen van algoritmen

De kernvraag voor juristen is niet of zij zelf moeten programmeren, maar of zij:

1. Begrijpen welke input het algoritme gebruikt;


2. Weten welk model toegepast wordt;


3. Kunnen nagaan hoe de output tot stand komt.



Zonder inzicht in deze drie stappen is er risico op ondoorzichtige bewijsvoering. Het juridische equivalent van het black box-probleem in AI is dat de rechter zich baseert op een oordeel dat hij niet kan controleren, wat indruist tegen het recht op motivering (art. 149 Grondwet; art. 6 EVRM).

In Hoofdstuk 11 zagen we reeds het gevaar van schijnexactheid. AI kan dit versterken, omdat de uitkomst numeriek precies lijkt, maar fundamenteel afhankelijk blijft van keuzes die niet juridisch getoetst zijn.

Wiskundige bias in juridische AI-systemen

Bias ontstaat in AI op verschillende niveaus:

In de data (bepaalde groepen zijn over- of ondervertegenwoordigd);

In het model (keuze van features, wegingen);

In de interpretatie (men neemt de output als absoluut waar).


In de Belgische context is er (nog) geen bindend wettelijk kader rond AI in justitie. Toch waarschuwt doctrine (o.a. De Herdt, 2022) dat elk gebruik van AI in bewijsvoering onderworpen moet worden aan due process en auditability. Rechtspraak van het Europees Hof voor de Rechten van de Mens benadrukt het belang van transparantie en equality of arms (zie Sant'Agata v. Italy, 2022).

> Fiat justitia, ruat caelum – Laat het recht geschieden, al stort de hemel in. Dit geldt ook voor geautomatiseerde rechtspraak: de juridische beginselen gaan voor op technische efficiëntie.



Verwijzing naar "Beweren is niet bewijzen"

In hoofdstuk 6 en 11 van Beweren is niet bewijzen wordt diepgaand ingegaan op de structurele en methodologische fouten die kunnen ontstaan bij het overschatten van geautomatiseerde bewijssystemen. Daar wordt onder meer het verschil besproken tussen logische geldigheid en juridische betrouwbaarheid van bewijs. Deze analyse is essentieel bij de inzet van AI, waar het juridische vertrouwen in uitkomsten vaak berust op statistische correctheid, maar niet op bewijsrechtelijke toelaatbaarheid.

Internationale doctrine en aanbevelingen

Council of Europe CAHAI (2021): pleit voor AI-toepassingen die lawful, ethical en robust zijn.

OECD AI Principles: benadrukken transparantie, rechtvaardigheid en accountability.

UCL Report on Legal AI (2020): pleit voor menselijke controle bij elk juridisch gebruik van AI.


Tot slot sluit dit hoofdstuk naadloos aan bij hoofdstuk 10 (topologie van rechtsregels), waar de nabijheid tussen normen en feitelijke interpretaties cruciaal is. AI kan deze afstand vergroten in plaats van verkleinen, tenzij men bewust wiskundige modellen juridisch begrenst.

> Ratio iuris praevalet artificium – De geest van het recht gaat boven de techniek.

[bedrijven docter]

Epyloog.
Hoe het probleem van wiskunde in het onderwijs op te lossen?

Een pleidooi voor de herwaardering van redenerende wiskunde

1. Inleiding: wiskunde als redeneervorm, niet als rekentechniek

Wiskunde is in het huidige onderwijs vaak verworden tot een reeks bewerkingen. Leerlingen worden beoordeeld op hun vermogen om formules correct toe te passen, tabellen af te lezen of grafieken te tekenen. Hoewel dit ongetwijfeld nuttig is voor technische beroepen, is het voor een groot deel van de leerlingen — zij die niet richting ingenieurswetenschappen of fysica willen — een bron van frustratie, faalangst en zelfs aversie geworden.

Nochtans was dat niet altijd zo. In de oudheid en de middeleeuwen werd wiskunde vooral gewaardeerd om haar vermogen tot abstractie, zuivere redenering en logische helderheid. Plato stelde in zijn Republiek dat de ziel slechts dan tot ware kennis kan komen wanneer zij de zintuiglijke wereld overstijgt en zich richt op de vormen — waarvan de wiskundige vormen de zuiverste zijn¹. Ook in het middeleeuwse curriculum van de septem artes liberales — de zeven vrije kunsten — behoorde wiskunde (rekenkunde, meetkunde, astronomie en muziek) tot de quadrivium, de voorbereiding op hogere vormen van denken zoals recht en theologie².

Tegen die achtergrond is het paradoxaal dat in de moderne school het "denken zonder cijfers" — de wiskunde van het redeneren — vrijwel verdwenen is. De focus ligt op berekening in plaats van op deductie, op numeriek kunnen in plaats van logisch onderscheidingsvermogen. Dat is niet enkel pedagogisch problematisch, maar ook maatschappelijk zorgwekkend.


---

2. Rekenen versus redeneren: een noodzakelijke tweesporigheid

Vanaf het lager middelbaar onderwijs is het vanzelfsprekend dat elke leerling een basis krijgt in algebra, breuken, procenten en eenvoudige vergelijkingen. Dat is functionele wiskunde, nuttig voor het leven. Maar na die gemeenschappelijke basis zou het curriculum moeten splitsen, niet in moeilijk en makkelijk, maar in praktisch en structureel:

Het praktische spoor (voor toekomstige ingenieurs, wetenschappers, economen, technologen) verdiept zich in calculus, vectoranalyse, complexe getallen, statistiek en toegepaste modellen.

Het structurele spoor (voor toekomstige juristen, historici, pedagogen, beleidsmakers, kunstenaars) richt zich op propositielogica, verzamelingenleer, transitiviteit, oorzaak-gevolg, kanslogica, inductie en deductie.


Het tweede spoor is geen verarming van wiskunde. Het is juist een terugkeer naar haar oorspronkelijke functie: de geest leren denken in structuren. Zoals George Boole het verwoordde:

> “Mathematics is not about numbers, equations, computations, or algorithms: it is about understanding.”³




---

3. Toepassingen buiten de techniek: recht, beleid en burgerschap

In veel domeinen buiten de techniek is het vermogen tot logisch redeneren van essentieel belang:

In het recht: redeneren in termen van noodzakelijkheid, contradictie, implicatie en tegenvoorbeeld is dagelijks werk. Denk aan de bewijsvoering in strafzaken of het toetsen van wetteksten aan hogere normen.

In beleid en economie: correlatie is geen causaliteit. Wie dat verschil niet begrijpt, trekt verkeerde conclusies uit statistieken of beleidsmodellen.

In burgerschap: argumenten herkennen, drogredenen ontmaskeren en consistent oordelen vormen de basis van democratische besluitvorming.


Toch wordt in de school nauwelijks getraind op deze vaardigheden. Wie slecht is in algebra, krijgt nauwelijks de kans te schitteren in logisch inzicht. Dat is niet alleen oneerlijk, maar ook inefficiënt.


---

4. Persoonlijk traject: zelfstudie als ontdekking van redenerende wiskunde

Als iemand die slechts lager middelbaar onderwijs heeft genoten, heb ik zelf ondervonden wat het betekent om wiskunde te ontdekken buiten het klassieke schoolsysteem. Ik koos voor zelfstudie, en begon — intuïtief — niet met formules, maar met de geschiedenis van de wiskunde: met de Grieken, met Euclides, met de getaltheorie van Gauss.

Al snel begreep ik dat er een vorm van wiskunde bestaat die niet gericht is op berekening, maar op inzicht. Ik noem het de wiskunde van het redeneren — verwant aan logica, wijsbegeerte en zelfs theologie. Deze vorm van denken heeft mij geen enkele dag in mijn carrière verlaten. Ze was nuttig in juridische dossiers, beleidsanalyses, morele vraagstukken en strategisch denken.

Ik geloof dan ook sterk dat vele leerlingen, als ze dit pad zouden mogen volgen, de wiskunde zouden herontdekken als iets zinvols, en niet als een reeks frustrerende toetsen.


---

5. Concreet voorstel: hertekening van het curriculum

Vanaf de tweede graad secundair:

Gemeenschappelijke basis:
Algebra, eenvoudige vergelijkingen, kansbegrip, metriek, functiebegrip.

Keuzecomponent 1: Rekenkundige verdieping

Calculus, functies en limieten

Differentiëren en integreren

Grafieken en modellen

Toegepaste statistiek


Keuzecomponent 2: Redenerende verdieping

Propositielogica (waarheidstabellen, implicaties, contradicties)

Verzamelingenleer en functies

Klassieke drogredenen en foutieve redeneringen

Kanslogica en modale logica

Elementaire wiskundige bewijsstrategieën (inductie, contradictie, reductie)



Deze tweede richting moet gelijkwaardig gewaardeerd worden en leiden naar hoger onderwijs in humane wetenschappen, recht, filosofie, geschiedenis en communicatie.


---

6. Slotbeschouwing: terug naar de essentie

De kern van het probleem ligt niet bij de leerlingen. Ze zijn niet ‘slecht in wiskunde’, ze zijn vaak enkel in aanraking gekomen met een type wiskunde dat hen niet aanspreekt. Door opnieuw ruimte te geven aan redenerende wiskunde — zoals die ooit bedoeld was in de klassieke vorming — herstellen we niet alleen het vertrouwen van duizenden jongeren, maar versterken we ook de cognitieve en democratische fundamenten van onze samenleving.

Want wie leert redeneren, leert onderscheiden. En wie leert onderscheiden, leert ook beoordelen.

> Fiat veritas, ruat caelum.
Laat de waarheid geschieden, al stort de hemel in.




---

Voetnoten

1. Plato, Politeia (The Republic), Boek VII: De allegorie van de grot.


2. Zie M. Lutz, The Quadrivium: Number, Geometry, Music, Heaven (London: Wooden Books, 2010).


3. Geciteerd door Ian Stewart in From Here to Infinity: A Guide to Today's Mathematics, Oxford University Press, 1996.

[bedrijven docter]

Waarom wiskunde en recht goed samengaan

Inleiding

Hoewel het recht wordt beschouwd als een normatieve wetenschap en de wiskunde als een exacte discipline, blijken beide vakgebieden op fundamenteel niveau opmerkelijk veel overeenkomsten te vertonen. Dit verklaart niet alleen waarom juristen met een wiskundige achtergrond vaak uitblinken in argumentatie en analyse, maar ook waarom formele logica in toenemende mate haar plaats vindt binnen de rechtsdogmatiek, rechtsinformatica en rechtsfilosofie. In wat volgt, worden acht structurele verwantschappen tussen wiskunde en recht uiteengezet, met juridische voorbeelden en verwijzingen naar doctrine en filosofie.


---

1. Logische structuur van het redeneren

Zowel in het recht als in de wiskunde speelt deductief redeneren een centrale rol. In beide domeinen vertrekt men van vastgelegde gegevens — zij het axioma’s of rechtsnormen — en past men logische regels toe om tot geldige conclusies te komen.

> Voorbeeld:
In het Belgisch strafrecht luidt art. 461 Sw.: “Hij die opzettelijk een zaak die geheel of ten dele aan een ander toebehoort, wegneemt, is schuldig aan diefstal.”

Dit laat zich logischerwijze voorstellen als:

Als (opzettelijk wegnemen van andermans zaak), dan (diefstal).

is waar (feitelijke vaststelling).

Dus is waar (juridische conclusie).


Deze geldige vorm is klassiek modus ponens.



De correcte toepassing van zulke vormen vereist, net als in de wiskunde, scherpte in het onderscheiden van noodzakelijke versus voldoende voorwaarden — een onderscheiding die regelmatig fout loopt in juridische argumentatie. Zoals De Vos terecht opmerkt: “De logica van het juridisch syllogisme is fragiel, maar onontbeerlijk.”¹


---

2. Abstractie en generalisatie

Wiskunde vertrekt van concrete gegevens om te komen tot abstracte structuren (bijv. groepen, vectoren). Evenzo gebruikt het recht abstracte begrippen als "schuld", "rechtsbekwaamheid" of "oneigenlijke daad", die worden toegepast op uiteenlopende concrete gevallen. Zowel juristen als wiskundigen dienen dus te denken in termen van modelleerbaarheid, categorisatie en abstractie.

> Een onrechtmatige daad (art. 1382 BW) geldt in duizenden verschillende omstandigheden, maar de structuur blijft dezelfde: fout + schade + causaal verband ? aansprakelijkheid.



De classificatie van gedragingen volgens abstracte juridische modellen is analoog aan het indelen van objecten onder een wiskundige definitie.


---

3. Consistentie en coherentie

Zowel in wiskunde als in recht is inwendige samenhang cruciaal. Een tegenstrijdigheid in een formeel systeem ondermijnt de geloofwaardigheid ervan. In het recht leidt incoherentie tot rechtsongelijkheid en onvoorspelbaarheid. Het grondwettelijk beginsel van de gelijkheid vereist immers dat gelijke gevallen gelijk worden behandeld, wat neerkomt op een vorm van logische consistentie binnen het normenstelsel.²

Het Gerechtshof van Luxemburg stelt bijvoorbeeld dat inconsistent gebruik van rechtsbegrippen door belastingautoriteiten een schending van het gelijkheidsbeginsel kan uitmaken (zie HvJ EU, C-279/93, Schumacker).


---

4. Bewijstechniek en strategie

Wiskundige bewijsmethoden — zoals reductio ad absurdum, contrapositie of inductie — vinden ook hun pendant in juridische betooglijnen.

> Reductio ad absurdum in rechtspraak:
“Indien men zou aannemen dat het louter niet melden van een rekening aanleiding geeft tot fiscale boetes zonder enig bewijs van fraude, dan zou ook het overlijden van de titularis of een foutieve boeking leiden tot aansprakelijkheid — wat absurd is.”



Het Hof van Cassatie aanvaardt impliciet dergelijke redeneringen bij het afwijzen van interpretaties die tot “onredelijke of onrechtvaardige uitkomsten” leiden.³


---

5. Precisie in taal en definitie

Wiskundige symboliek biedt maximale precisie. Hoewel recht noodgedwongen met natuurlijke taal werkt, streven juridische teksten en arresten naar een zo precies mogelijke formulering. Ook hier geldt dat definities, interpretatieregels en contextuele afweging essentieel zijn. De logische grammatica van juridische taal kan via formele logica beter begrepen en zelfs geformaliseerd worden.?


---

6. Formaliseerbaarheid en automatisering

De ontwikkeling van expertensystemen, beslisbomen en juridische algoritmes toont aan dat veel juridische structuren zich lenen tot wiskundige modellering. In fiscaal recht, sociaal recht en bij vergunningenbesluiten worden steeds vaker besliskundige modellen toegepast.?

Dit impliceert een structurele gelijkenis met wiskundige logica, waarbij gegevens in een formeel systeem worden ingevoerd en leiden tot bepaalde, reproduceerbare uitkomsten.


---

7. Scepticisme tegenover evidentie

Zowel wiskundigen als juristen zijn getraind in twijfel. Wat "voor de hand ligt" is niet noodzakelijk correct. In beide disciplines geldt: bewijzen gaat boven beweren. Zowel juridische als wiskundige stellingen moeten terug te brengen zijn tot eerste beginselen of precedent, anders blijven ze retoriek of dogma.

> Zoals Karl Popper stelde: "In de wetenschap geldt niet wie het luidst roept, maar wie het toetsbaar maakt." Deze houding is in juridisch bewijsrecht minstens even essentieel.




---

8. Filosofische verwantschap

De fundamenten van de wiskunde (axiomatiek, bewijs, waarheid) en die van het recht (norm, interpretatie, rechtszekerheid) raken aan filosofische kernvragen. Denk aan de rol van axioma’s bij Hilbert, de onvolledigheidsstellingen van Gödel, en aan de rechtspositivistische versus naturalistische debatten in de rechtsfilosofie.?

Beide domeinen delen dus een gemeenschappelijke epistemologische spanning tussen formele juistheid en inhoudelijke rechtvaardigheid.


---

Conclusie

Wiskunde en recht zijn beide normatieve systemen die via logische structuren, abstractie en consistente redenering trachten om orde te scheppen in complexe werkelijkheden. Juristen die zich deze wiskundige denktrant eigen maken, zijn beter gewapend tegen drogredenen, tegenstrijdige interpretaties en bewijsfouten. In een tijdperk van juridificering én digitalisering is hun rol belangrijker dan ooit.


---

Noten

1. De Vos, M., Juridisch redeneren: van syllogisme tot contradictie, Antwerpen, Intersentia, 2021, p. 45.


2. Van Hoecke, M., Rechtsbegrip en rechtsfilosofie, Brugge, Die Keure, 2018, p. 123.


3. Cass. 14 jan. 2000, Arr.Cass. 2000, 52.


4. Sartor, G., Legal Reasoning: A Cognitive Approach to the Law, Springer, 2005.


5. Vermeulen, B., “Besliskunde in het sociaal recht”, RW 2021-22, nr. 16, p. 642-651.


6. Hart, H.L.A., The Concept of Law, Oxford University Press, 1961.

[bedrijven docter]

Besluit

Wat is gewonnen door wiskundig inzicht?

De voorbije hoofdstukken hebben aangetoond dat wiskundige structuren – hoe abstract of technisch ze op het eerste gezicht ook lijken – een concrete, zelfs noodzakelijke rol kunnen spelen in het juridische denken. Wiskundige inzichten brengen niet enkel helderheid in redenering (Hoofdstuk 3: Hoe meer tools, hoe beter men werkt), maar maken ook de onderliggende aannames zichtbaar waarop interpretaties, bewijsvoering of normtoepassingen berusten (Hoofdstuk 6: Niet-monotone logica en bewijs).

Of het nu gaat om de betrouwbaarheid van een digitale handtekening (Hoofdstuk 7), de consistentie van juridische begrippen via categorietheorie (Hoofdstuk 8), of de inherente vaagheid in topologische redeneringen over normgrenzen (Hoofdstuk 10), telkens stelt wiskunde de juiste vragen: Wat veronderstellen we? Wat volgt logisch daaruit? En wat blijft onbepaald?

Wiskundig inzicht betekent niet dat men het recht formalistisch benadert, maar wel dat men leert onderscheiden waar precisie noodzakelijk is en waar interpretatie regeert. Zoals Ulpianus het stelde:

> “Ius est ars boni et aequi.” – Het recht is de kunst van het goede en billijke.



De bescheiden plaats van de wiskunde in het recht

Wiskunde is geen vervanging van rechtsvinding. Ze is geen hoogste rechter. Wiskundige modellen kunnen veel simuleren, voorspellen of structureren (Hoofdstuk 12: Simulatiemodellen in wetgeving), maar ze hebben steeds hun beperkingen. In Hoofdstuk 11 werd gewaarschuwd voor de fallacy van schijnexactheid, waarin cijfers meer gezag krijgen dan gerechtvaardigd.

De rechtspraak herinnert ons daaraan. In het arrest R.K. t. België (EHRM, 2020) werd een risicoanalysemodel in vreemdelingenrecht verworpen omdat het “onvoldoende ruimte liet voor menselijke beoordeling van bijzondere omstandigheden.” Ook het Belgisch Grondwettelijk Hof oordeelde in arrest nr. 60/2023 dat een forfaitaire berekening van schadevergoeding op basis van statistiek “onverantwoord is wanneer deze geen ruimte laat voor tegensprekelijk debat over de individuele situatie.”¹

In dit opzicht blijft het adagium geldig:

> “Summum ius, summa iniuria.” – Het hoogste recht is vaak de hoogste onrechtvaardigheid.



De rol van wiskunde is dus dienend, nooit dominerend. Zij biedt de jurist een helderder denkkader, geen eindoordeel.

Naar een geletterdheid in logische en wiskundige structuren bij magistraten

Wat dit werk bepleit, is geen academische luxe maar een vorm van juridische geletterdheid. Wie wiskundige logica begrijpt, leert:

de structuur van juridische redeneringen expliciteren (Hoofdstuk 4);

valkuilen van cirkelredeneringen en foutieve implicaties vermijden (Hoofdstuk 5);

de verleiding van algoritmische objectiviteit kritisch beoordelen (Hoofdstuk 13);

en via categorietheorie of algebra een robuuster denkkader ontwikkelen voor begrippen als eigendom, schuld of bevoegdheid (Hoofdstukken 8 en 9).


Het is precies dit pleidooi dat ook terug te vinden is in de verhandeling Beweren is niet bewijzen, waarin onder meer in Hoofdstuk 9 betoogd wordt dat het recht pas aan kracht wint als het zijn grenzen tegenover logica en structuur erkent én benut.²

Zoals Cicero zei:

> “Ratio est anima legis.” – De rede is de ziel van de wet.



Wiskundige geletterdheid is dus geen optie voor de specialist, maar een verantwoordelijkheid voor elke rechtsbeoefenaar. In een tijd waarin AI, blockchain en big data het recht mee vormgeven, is het de taak van de jurist om structuur te brengen waar automatisering blind is, en om nuance te bewaren waar de wiskunde haar eigen grenzen kent.


---

Voetnoten

1. GwH 60/2023 van 27 april 2023, m.b.t. art. 1382 BW en de statistische schatting van immateriële schade.


2. Zie Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 9, “Van logica naar categorietheorie: het recht als transformatiesysteem”.


3. Zie ook: M. Hildebrandt, Law for Computer Scientists and Other Folk, Oxford University Press, 2020, p. 127-141.


4. Zie: J.-L. Gardies, Logique juridique et mathématiques, PUF, 1992.