hartslag

redwasp · 10 maart 2012, 16:54

vrede,

de rij van priemgetallen is de hartslag van de getaltheorie.

op een rechte construeren we een rij cirkels van gelijke diameter. iedere cirkel heeft een middelpunt op de rechte en iedere cirkel heeft een raakpunt met de volgende cirkel.

merk op dat iedere cirkel de rechte in twee punten snijdt. precies in die punten raakt iedere cirkel ook de volgende cirkel. de eerste cirkel in onze rij heeft echter maar 1 raakpunt, er is dus een 'vrij snijpunt' met de rechte. dat punt noemen we de oorsprong. het raakpunt van de eerste cirkel met de tweede noemen we n, het raakpunt van de tweede cirkel met de derde 2n... het snijpunt van de i'de cirkel met de i+1'ste noemen we in.

we construeren weer een rij cirkels die mekaar wederzijds raken en die hun middelpunt op de rechte hebben, maar dit keer zorgen we ervoor dat de eerste cirkel van de rij door de oorsprong gaat en door het punt 2n. de diameter van de cirkels is nu dubbel zo groot als die van de cirkels uit de eerste rij.

we doen nu steeds opnieuw hetzelfde met rijen die beginnen met een cirkel door 3n, 4n, 5n...

het resultaat is een schitterend patroon van cirkels, een patroon dat natuurlijk ook mooi toont waar we de priemgetallen moeten vinden.

als we namelijk de rechte goed bekijken, zien we dat het punt n slechts tot 1 rij cirkels behoort, tegelijk behoort de oorsprong tot alle rijen. dat zijn de extremen.

we zien dat sommige punten tot bijzonder veel rijen behoren (12n bijvoorbeeld, of 24n), terwijl andere punten slechts tot twee rijen behoren. die laatste soort zijn priemgetallen. als het punt p een priemgetal is, dan behoort het alleen tot de eerste rij cirkels (want ieder punt behoort tot die eerste rij) en tot de rij cirkels met diameter p.

op mijn tekening staan de priemgetallen met verticale lijnen aangeduid. we zien mooi dat alle priemgetallen (behalve 2n) precies in het midden van een cirkel met diameter 2 vallen. als p een priemgetal is, dan heb ik de cirkel door de oorsprong en p ook rood gekleurd.

dit is niet alleen een mooit prentje om naar te kijken, er zit ook nog een plezante vraag aan vast:

zoals boven reeds gezegd staan er twee soorten objecten rood gekleurd op mijn tekening: verticale lijnen en cirkels. als p en q priemgetallen zijn en p<q, dan snijdt de rechte P die door p gaat de cirkel Q die door q gaat in twee punten.

bestaan er punten p en q waarvoor de rechte P loodrecht staat op de raaklijn aan Q door het snijpunt van P en Q?

zo ja: geef een voorbeeld
zo nee: waarom niet

vrede,

redwasp

10 maart 2012, 16:54	#1
redwasp Staatssecretaris Geregistreerd: 18 november 2005 Berichten: 2.691	hartslag vrede, de rij van priemgetallen is de hartslag van de getaltheorie. op een rechte construeren we een rij cirkels van gelijke diameter. iedere cirkel heeft een middelpunt op de rechte en iedere cirkel heeft een raakpunt met de volgende cirkel. merk op dat iedere cirkel de rechte in twee punten snijdt. precies in die punten raakt iedere cirkel ook de volgende cirkel. de eerste cirkel in onze rij heeft echter maar 1 raakpunt, er is dus een 'vrij snijpunt' met de rechte. dat punt noemen we de oorsprong. het raakpunt van de eerste cirkel met de tweede noemen we n, het raakpunt van de tweede cirkel met de derde 2n... het snijpunt van de i'de cirkel met de i+1'ste noemen we in. we construeren weer een rij cirkels die mekaar wederzijds raken en die hun middelpunt op de rechte hebben, maar dit keer zorgen we ervoor dat de eerste cirkel van de rij door de oorsprong gaat en door het punt 2n. de diameter van de cirkels is nu dubbel zo groot als die van de cirkels uit de eerste rij. we doen nu steeds opnieuw hetzelfde met rijen die beginnen met een cirkel door 3n, 4n, 5n... het resultaat is een schitterend patroon van cirkels, een patroon dat natuurlijk ook mooi toont waar we de priemgetallen moeten vinden. als we namelijk de rechte goed bekijken, zien we dat het punt n slechts tot 1 rij cirkels behoort, tegelijk behoort de oorsprong tot alle rijen. dat zijn de extremen. we zien dat sommige punten tot bijzonder veel rijen behoren (12n bijvoorbeeld, of 24n), terwijl andere punten slechts tot twee rijen behoren. die laatste soort zijn priemgetallen. als het punt p een priemgetal is, dan behoort het alleen tot de eerste rij cirkels (want ieder punt behoort tot die eerste rij) en tot de rij cirkels met diameter p. op mijn tekening staan de priemgetallen met verticale lijnen aangeduid. we zien mooi dat alle priemgetallen (behalve 2n) precies in het midden van een cirkel met diameter 2 vallen. als p een priemgetal is, dan heb ik de cirkel door de oorsprong en p ook rood gekleurd. dit is niet alleen een mooit prentje om naar te kijken, er zit ook nog een plezante vraag aan vast: zoals boven reeds gezegd staan er twee soorten objecten rood gekleurd op mijn tekening: verticale lijnen en cirkels. als p en q priemgetallen zijn en p<q, dan snijdt de rechte P die door p gaat de cirkel Q die door q gaat in twee punten. bestaan er punten p en q waarvoor de rechte P loodrecht staat op de raaklijn aan Q door het snijpunt van P en Q? zo ja: geef een voorbeeld zo nee: waarom niet vrede, redwasp __________________ DENK EROM: EIGEN KARMA EERST! ALTIJD, OVERAL! Laatst gewijzigd door redwasp : 10 maart 2012 om 16:55.