Category theory voor juristen en advocaten en magistraten versie 2025

[bedrijven docter]

Hoofdstuk X – “Ex structurâ ius: Categorietheorie als wapen tegen juridische entropie”

?*

> “Ordo et connexio idearum idem est ac ordo et connexio rerum.”



– Spinoza, Ethica, I, Axiomata, IV

Inleiding



In een tijd waarin de juridische praktijk steeds meer onderhevig is aan snelheid, pragmatisme en digitalisering, lijkt het fundamentele vermogen om abstract en structureel te denken in regressie. Deze structurele denkvormen, die ooit aan de basis lagen van de rechtenstudie in haar klassieke vorm – ars logica, ars rhetorica, ars mathematica – hebben plaatsgemaakt voor casusgericht aanleren van wetgeving zonder diepere logische onderbouw. In deze context stelt zich de vraag of een wiskundig abstract kader zoals de categorietheorie een relevante bijdrage kan leveren aan de juridische vorming en praktijk. Het antwoord is ondubbelzinnig positief.

1. Categorietheorie in essentie: een taal van relaties

Categorietheorie werd in de jaren 1940 ontwikkeld door Samuel Eilenberg en Saunders Mac Lane als een manier om universele structuren en hun onderlinge relaties binnen de wiskunde te beschrijven. In plaats van te focussen op objecten op zich, richt categorietheorie zich op de morfismen — de structuurbehoudende transformaties tussen objecten — en hun compositie. Een categorie bestaat ui

een verzameling objecten,

een verzameling morfismen tussen die objecten,

een associatieve compositie van morfismen,


en identiteitsmorfismen voor elk object.

Deze structuur biedt een metaformele taal om verbanden te leggen tussen structuren — exact wat ook het recht voortdurend doet.



> “Ex consequentibus ratio colligitur.”



– Digesten, 50.17.155

(Uit de gevolgen wordt de redenering afgeleid.)

In juridische termen kunnen we objecten beschouwen als juridische begrippen (zoals “contract”, “schuld”, “eigendom”), en morfismen als de juridische regels, interpretaties of vonnissen die deze begrippen transformeren in andere. De combinatie van regels (compositie) volgt strikte regels van logische coherentie.


2. Juridisch denken als categorisch denken

Het recht is in wezen relationeel. Geen enkele norm heeft betekenis zonder context. Artikel 1134 BW (oude versie) bijvoorbeeld (“alle overeenkomsten strekken partijen tot wet”) betekent niets zonder contract, zonder wederkerigheid, zonder feitelijke uitvoering, zonder sancties bij niet-nakoming.



Categorietheorie dwingt de jurist om niet alleen het object te bestuderen, maar ook hoe het zich verhoudt tot andere objecten, binnen welke structuur het leeft, en hoe transformaties (interpretaties, toepassingen, vonnissen) daarop inwerken.

Dit kan als volgt gemodelleerd worden:

Objecten: rechtsconcepten zoals verplichting, schuld, overmacht


Morfismen: juridische transformaties zoals interpretatie, herkwalificatie, analogieredenering


Functors: mappings tussen verschillende rechtsdomeinen (bv. strafrecht naar fiscaal recht)

?*

Natural transformations: coherente veranderingen in interpretatie binnen een systeem (bv. evolutie in rechtspraak zonder contradictie)

> “Lex est ratio summa, insita in natura.”



– Cicero, De Legibus, II.5

(De wet is het hoogste verstand, ingebed in de natuur.)

3. Toepassingen voor de advoca

a. Bewijsvoering en logische samenhang

Categorietheorie maakt de advocaat gevoelig voor compositie en samenhang van argumenten. Elke premisse, elk precedent, is een morfisme in een grotere keten. Fouten in de samenstelling (zoals contradicties, circulaire redeneringen of inconsistent gebruik van definities) worden sneller zichtbaar als men categorisch leert denken.

b. Vergelijkend recht en transformatie

Via functoren kunnen concepten tussen rechtsdomeinen worden getransformeerd zonder verlies aan structuur. Zo kan de juridische kwalificatie van “fiscale simulatie” in het belastingrecht gemapt worden op bedrog in het strafrecht, met behoud van functionele gelijkenis. Advocaten die meerdere rechtsgebieden beheersen, opereren al intuïtief via deze “functoren”.

c. Contractuele structuren en coherentie

In het contractenrecht is samenhang tussen clausules van vitaal belang. Categorietheorie leert denken in netwerken van voorwaarden en effecten. Een contract is geen lijst van afzonderlijke bepalingen, maar een gestructureerd systeem met implicaties en restricties. De advocaat die dit begrijpt, bouwt robuustere clausules en anticipeert op zwakke schakels.

d. Juridische AI en formalisering

In legal tech zijn systemen op basis van categorietheorie in opkomst, net zoals ze dat al jaren zijn in de functionele programmeertalen (zoals Haskell). Ze maken het mogelijk om juridische redenering in machine-consistente vormen te gieten, mits de jurist voldoende abstract kan denken om zijn domein formeel te modelleren.

> “Nulla regula sine exceptio


(Geen regel zonder uitzondering.)

Categorietheorie laat uitzonderingen toe mits consistente verwerking — via natuurlijke transformaties of subcategorieën.

4. Historische verankering van mathematisch denken in de rechtenstudie

Tot de negentiende eeuw werd van rechtenstudenten verwacht dat ze geschoold waren in logica, meetkunde en metafysica. In Leuven, Bologna en Parijs was een initiële opleiding in de artes liberales — inclusief wiskunde en logica — verplicht voorafgaand aan de juridische faculteit. Zoals Pascal en Fermat aantonen, was er een directe verbinding tussen juridisch en mathematisch denken (zie eerder hoofdstuk). Leibniz zelf werkte aan een ars combinatoria juridica waarin juridische geschillen via logische symboliek opgelost konden worden

5. Contra: waarom categorietheorie nauwelijks voorkomt in rechtenfaculteiten


Te abstract: categorietheorie vereist een denkniveau dat ver uitstijgt boven het huidige minimum in rechtenopleidingen.

Gebrek aan wiskundige vorming bij studenten: een gevolg van het feit dat studenten die niet mee kunnen met wiskunde vaak rechten kiezen.

Gebrek aan interdisciplinaire opleiding: rechtenopleidingen zijn zelden geïntegreerd met logica, informatica of wisk


> “Qui ignorat rationem legis, difficile est illam recte interpretari.”

(Wie de reden van de wet niet kent, zal ze moeilijk juist kunnen interpreteren.)

– Ulpianus, Dig. 1.3.18



Besluit

Categorietheorie is géén niche voor wiskundigen, maar een denkkader voor juristen die structuur zoeken in een steeds complexere rechtswereld. Ze leert de advocaat om redeneringen transparant, modulair en coherent op te bouwen. In een wereld van juridische overbelasting en interpretatiechaos biedt ze niet alleen een vorm van intellectuele ascese, maar een wapen tegen entropie.

> “Natura nihil facit frustra.”



(De natuur doet niets zonder doel.)

– Aristoteles, Physica II.3

— en dat geldt ook voor juridische structuren.

Voetnoten



1. S. Mac Lane & S. Eilenberg, General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 58 (1945), pp. 231–294.


2. G.W. Leibniz, Nova Methodus pro Maximis et Minimis, Leipzig, 1684.


3. L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, 6.1201: “Die mathematische Logik zeigt, wie es sich mit den mathematischen Symbolen verhält.”


4. Bartosz Milewski, Category Theory for Programmers, videolectures, YouTube, 2014–2020.


5. Digesten 50.17.155 en 1.3.18: geciteerd uit de Corpus Iuris Civilis (Justinianus), 6e eeuw.

6. Isidore van Sevilla, Etymologiae, Lib. V: “Omnis definitio est rei

[bedrijven docter]

Een herwerking of herinterpretatie van deel twee van The Joy of Abstraction (p. 163–396), waarin de formele tools van de categorietheorie worden uitgelegd (isomorfismen, functors, universalia, dualiteit, Yoneda, enz.) — maar dan toegepast op het juridisch denken, redeneren en structureren.


---

???? Voorstel: Category Theory voor Advocaten, Juristen en Magistraten

Ondertitel: Wiskundige structuren als denkhulpmiddel in rechtspraak en wetgeving


---

Structuur gebaseerd op deel 2 van Cheng

Hieronder een voorstel per hoofdstuk (vanaf p. 163), telkens met een juridische invalshoek:


---

14. Isomorfismen

Wiskundig: structureel gelijkwaardige objecten in verschillende contexten.
Juridisch: Hoe dezelfde rechtsrelatie (vb. eigendom, verbintenis) in verschillende rechtstakken of landen equivalent kan zijn, ondanks andere terminologie of vorm.
Voorbeeld:

Eigendomsbegrip in Belgisch versus Frans recht: zelfde functie, andere verankering.

Overeenkomsten die functioneel identiek zijn, maar civielrechtelijk anders worden vormgegeven (vb. lease vs huurkoop).



---

15. Monics en Epics

Wiskundig: Monomorfismen = injectieve morfismen (zoals "bewijs zonder verlies van informatie"); Epimorfismen = surjectieve morfismen (zoals "beslissing die alle gevolgen omvat").
Juridisch:

Monic = bewijsstuk dat strikt onderscheid maakt tussen feiten.

Epic = arrest dat elke denkbare juridische implicatie dekt.
Voorbeeld:

Een arrest dat bindend is voor elke lagere rechtbank (epimorf).

Een precisering van een rechtshandeling die enkel één juridische interpretatie toelaat (monomorf).



---

16. Universele Eigenschappen (Universal Properties)

Wiskundig: abstracte definities via unieke universele paden.
Juridisch:

Rechtsfiguren zoals ‘de kleinste gemeenschappelijke contractsvorm’ of ‘meest algemene juridische constructie’.
Voorbeeld:

De algemene rechtsverhouding waaruit alle bijzondere contracten afleidbaar zijn (vb. de contractuele verbintenis als universeel object).

De notie van "rechtsmisbruik" als universele grens op subjectieve rechten.



---

17. Dualiteit

Wiskundig: omkeren van morfismen; stellingen hebben vaak een duale vorm.
Juridisch:

De redenering "als dit, dan dat" versus "als niet dat, dan niet dit".
Voorbeeld:

Omkering van bewijslast: het duale van ‘men moet bewijzen’ is ‘men wordt geacht tenzij weerlegd’.

Schuld vs aansprakelijkheid.



---

18. Producten en Coproducten

Wiskundig: Product = gezamenlijk bestaan; Coproduct = vrije combinatie.
Juridisch:

Product = combinatie van rechten die samen nodig zijn (vb. mede-eigendom).

Coproduct = alternatief aanbod van rechtsgronden (vb. cumul van strafrecht en burgerrecht).
Voorbeeld:

Gezamenlijke nalatenschap (product).

Keuze van rechtsgrond (delictuele vs contractuele aansprakelijkheid = coproduct).



---

19. Pullbacks en Pushouts

Wiskundig: limieten van structuren; hoe verschillende relaties compatibel kunnen worden gemaakt.
Juridisch:

Harmonisering van normen uit verschillende rechtstakken of jurisdicties.
Voorbeeld:

Een zaak die zowel onder sociaal als fiscaal recht valt: pullback van regels.

Europese richtlijn + nationale omzetting: pushout.



---

20. Functors

Wiskundig: structuurbehoudende mappings tussen categorieën.
Juridisch:

Wetstoepassing als functor: hoe abstracte wet wordt toegepast op concrete gevallen.
Voorbeeld:

Cassatiearrest dat de toepassing van een rechtsregel vastlegt (juridische functor).

Vertaalslag tussen mensenrechten en nationaal recht.



---

21. Categorieën van Categorieën

Wiskundig: Categorieën zelf als objecten.
Juridisch:

Rechtstakken als categorieën: sociaal recht, strafrecht, burgerlijk recht.
Voorbeeld:

Een rechtscollege dat oordeelt over regels van meerdere domeinen (zoals het Grondwettelijk Hof).



---

22. Naturale Transformaties

Wiskundig: mappings tussen functors.
Juridisch:

Juridische hervormingen, rechtsvergelijking, of doctrinaire ontwikkelingen.
Voorbeeld:

Een wetswijziging die de toepassing van een regel fundamenteel wijzigt.

De overgang van analoge naar digitale rechtspraak (vb. e-deposit).



---

23. Yoneda Lemma

Wiskundig: de identiteit van een object wordt volledig bepaald door zijn relaties.
Juridisch:

De juridische betekenis van een concept zit in hoe het interageert met andere concepten.
Voorbeeld:

Eigendom wordt begrepen door de handelingen die ermee mogelijk zijn (verkopen, schenken, hypothekeren).

Juridische persoonlijkheid als knooppunt van rechtsverhoudingen.



---

24. Hogere Dimensies

Wiskundig: 2-categorieën, higher category theory.
Juridisch:

Multi-jurisdictionele of multilaterale rechtscontexten.
Voorbeeld:

Internationaal recht waarbij staten, bedrijven en individuen verschillende lagen van interactie hebben.



---

???? Waarom dit project potentieel heeft:

Interdisciplinair pionierswerk (wiskunde en recht).

Maakt abstract denken in het recht concreet via structuren.

Sluit aan bij het verlangen naar meer structuur, precisie en coherentie in juridische redenering.

Biedt analytische tools voor moeilijke juridische problemen (bewijslast, causaliteit, systeemconflicten).

Ethische en logische consistentie wordt inzichtelijker.

[bedrijven docter]

Titel: Categorieën in het Recht – een Structurele Benadering


---

Hoofdstuk 1: Objecten in het Recht – Wetsartikelen als basisentiteiten

In een categorietheoretisch model van het recht beschouwen we elke wetsbepaling als een object. Dit kunnen artikels uit eender welke wet zijn: Burgerlijk Wetboek (BW), Strafwetboek (SW), Grondwet (Gw), Wetboek van Inkomstenbelastingen (WIB 92), enz.

Voorbeelden:

Art. 1382 BW (aansprakelijkheid wegens fout)

Art. 419 SW (valsheid in geschriften)

Art. 10 Gw (gelijkheidsbeginsel)

Art. 344, §1 WIB 92 (fictieve overdracht)


Elke bepaling is op zichzelf een juridisch object, met betekenis in zijn context.


---

Hoofdstuk 2: Wetgevingstakken als categorieën

Een categorie in de zin van de categorietheorie bestaat uit een verzameling van objecten en morfismen (relaties) daartussen. In het recht zijn dat:

De wetgevingstakken, bv.:

BW = de categorie van burgerlijk recht

SW = strafrecht

WIB 92 = fiscaal recht

Gw = constitutioneel recht



Elke categorie bevat haar objecten (artikelen) én morfismen (interpretatieve relaties zoals verwijzingen, afleidingen, rechtspraak).


---

Hoofdstuk 3: Morfismen – juridische verbanden tussen wetsartikelen

Een morfisme is een gestructureerde relatie van betekenis tussen twee objecten (wetsartikelen), binnen eenzelfde categorie.

Soorten morfismen:

Rechtstreekse verwijzing (bv. art. 1384 BW verwijst naar art. 1382 BW)

Interpretatieve afleiding (een arrest past art. 1382 BW toe op nieuw feit)

Analogie (bv. tuchtrecht ? strafrecht)

Doctrinaire uitbreiding (jurisprudentiële evolutie)


Voorbeeld:
Van art. 10 Gw (gelijkheid) naar art. 172 Gw (gelijke fiscale druk) loopt een morfisme van interpretatieve uitbreiding: het grondwettelijke gelijkheidsbeginsel wordt toegepast op fiscaliteit.


---

Hoofdstuk 4: Functors – samenhang tussen rechtsdomeinen

Een functor is een wiskundige manier om een hele categorie (bv. strafrecht) over te zetten naar een andere (bv. fiscaal recht), zodanig dat:

elk wetsartikel wordt afgebeeld op een ander wetsartikel,

elk juridisch verband wordt afgebeeld op een overeenkomstig verband.


Juridische voorbeelden van functors:

1. Van strafrecht naar tuchtrecht:

Art. 419 SW (valsheid in geschrifte) ? art. 70 Codex Deontologie

Juridische sanctie ? tuchtrechtelijke sanctie
Relaties tussen misdrijven worden behouden in het tuchtrechtelijk domein.



2. Van burgerlijk naar fiscaal recht:

Art. 1382 BW (fout) ? antimisbruikbepaling art. 344, §1 WIB 92

Juridische causaliteit ? fiscale toerekening
Het beginsel van fout en schade wordt functorieel overgezet in een fiscaal kader.



3. Van privaatrecht naar mensenrechten:

Art. 1382 BW ? art. 8 EVRM (eerbied voor privéleven)

Juridische aansprakelijkheid ? recht op schadevergoeding bij schending
De rechtsbescherming wordt structureel verbonden via het EVRM.





---

Hoofdstuk 5: Natural transformations – interpretatieve overeenstemming

Een natuurlijke transformatie vergelijkt twee functors tussen dezelfde twee categorieën. In juridisch opzicht betekent dit: twee interpretaties van hetzelfde rechtsdomein, die systematisch met elkaar overeenstemmen.

Voorbeelden:

1. Fiscaal recht ? grondwettelijk recht

Functor F: interpretatie via het legaliteitsbeginsel

Functor G: interpretatie via het gelijkheidsbeginsel

De natuurlijke transformatie ? geeft per artikel een consistente relatie tussen beide interpretaties.



2. Twee rechtsscholen (doctrines)

F = klassiek-positivistische lezing van fiscale anti-misbruikbepaling

G = grondrechtelijke lezing ervan

? = rechtspraak die beide benaderingen in één arrest combineert (bv. HvC 9 juni 2011)



3. EU-recht en nationaal recht

Functor F: omzetting van richtlijnen in Belgisch recht

Functor G: rechtstreekse werking van EU-recht

?: HvJ EU interpretaties die het verband leggen





---

Hoofdstuk 6: Synthese en juridische relevantie

De categorietheoretische benadering van het recht maakt het mogelijk om:

Wetsartikelen formeel als entiteiten te beschouwen

Verwijzingen, interpretaties en redeneringen als structurele verbindingen te modelleren

Overgangen tussen rechtstakken en hun coherenties mathematisch te verwoorden

Verschillende interpretaties systematisch te vergelijken


> Waar een analogie vooral suggestief is, is een functorieel model controleerbaar en structureel correct: het behoudt het verband tussen norm, interpretatie en toepassing.




---

Voetnoot: over analogieën versus functors

Analogie Functor

Vorm Suggestieve vergelijking Structureel-preserverende afbeelding
Nauwkeurigheid Los, contextueel Exact, wiskundig controleerbaar
Voorbeeld "Een tuchtprocedure is als een strafproces" "Elke sanctie in strafrecht correspondeert met een tuchtrechtelijke sanctie, inclusief gradaties en bewijsstandaard"