Abstracte wiskunde

[bedrijven docter]

Hoe ik de abstracte wiskunde ontdekte

Mijn eerste confrontatie met abstracte wiskunde vond niet plaats in een klaslokaal, maar voor de televisie. In de jaren tachtig bracht de BBC een uitzending waarin de wiskundeprofessor Cornwall voor een verbaasd publiek een Rubik’s kubus binnen minder dan een minuut oploste. Tot dat moment gold het oplossen van een willekeurig verdraaide kubus als praktisch onmogelijk: men benadrukte steevast dat het aantal mogelijke posities — ruim — groter was dan het aantal sterren in het heelal.

Cornwall verklaarde dat zijn aanpak niet steunde op brute kracht of eindeloos proberen, maar op de toepassing van abstracte wiskunde, en meer bepaald de theorie van permutatiegroepen. Het inzicht was even eenvoudig als revolutionair: elke beweging van de kubus correspondeert met een permutatie van de hoek- en randstukken. Door deze permutaties systematisch te bestuderen en te groeperen, kan men een oplossingsmethode ontwikkelen die niet berust op toeval, maar op structuur. Voor mij was dit een openbaring: een spel dat ik als chaotisch en ondoorgrondelijk had ervaren, bleek volledig beheerst door een strakke algebraïsche logica.

Diezelfde week trok ik naar de universiteit, waar men mij verwees naar het standaardwerk Topics in Algebra van I.N. Herstein.¹ Dit boek, dat generaties studenten in de abstracte algebra heeft ingewijd, behandelde op systematische wijze de fundamenten van de groepentheorie, ringtheorie en veldentheorie. Omdat ik geen formele wiskundige opleiding had genoten, begon ik letterlijk van nul. Paradoxaal genoeg was dit een voordeel: ik werd niet gehinderd door voorkennis van calculus of complexe analyse, en kon mij rechtstreeks richten op de zuivere algebraïsche structuren.

Later zette ik mijn zelfstudie voort met Contemporary Abstract Algebra van Joseph A. Gallian,² dat sindsdien in talrijke edities is verschenen en bekendstaat om zijn didactische helderheid. Gallian doorspekte de algebra met voorbeelden uit de Rubik’s kubus, symmetrieën van veelvlakken, en toepassingen in cryptografie. Deze concrete toepassingen maakten de abstracte concepten tastbaar. Langzaam leerde ik de taal begrijpen waarmee Cornwall die kubus had ontrafeld.

Dit pad voerde mij uiteindelijk terug naar de negentiende eeuw, naar het werk van Évariste Galois.³ Op 29 mei 1832, de avond voor zijn duel, schreef Galois in uiterste haast zijn ideeën neer over de relatie tussen algebraïsche vergelijkingen en de structuren die wij nu groepen noemen.? Zijn brief aan Auguste Chevalier — haastig, chaotisch, maar visionair — vormde de geboorteakte van de moderne groepentheorie. Pas jaren later werd dit manuscript, dankzij Joseph Liouville, gepubliceerd en naar waarde geschat.

De twintigste-eeuwse wiskundige Hermann Weyl beschreef dit document als “perhaps the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind”.? Zijn lofrede was niet louter retoriek, maar een erkenning van de uitzonderlijke impact van Galois’ ideeën. In een paar bladzijden werd de fundering gelegd voor de theorie van velden, de oplossing van algebraïsche vergelijkingen, en de structuur van eindige groepen — thema’s die vandaag hun weg vinden naar uiteenlopende domeinen zoals de Rubik’s kubus, coderingstheorie, kwantummechanica en moderne cryptografie.

Voor mij kreeg deze geschiedenis een persoonlijke dimensie. De abstracte algebra die ik via Herstein en Gallian leerde kennen, bleek niet louter een wiskundige discipline, maar ook een denkkader dat ik later zou toepassen in mijn eigen werk, met name bij de ontwikkeling van de Brunello-reeks, waarin wiskunde en recht elkaar kruisen.

Mijn reis in de abstracte wiskunde begon dus niet in de collegebanken, maar thuis, voor de televisie. Wat startte als fascinatie voor een professor die een kubus oploste, groeide uit tot een levenslange zoektocht naar orde in schijnbare chaos. Het pad voerde van Cornwall en de Rubik’s kubus, via Herstein en Gallian, naar Galois en Weyl — en mondde uit in een persoonlijke synthese waar wiskunde en recht elkaar vinden.


---

Noten

1. I.N. Herstein, Topics in Algebra, 2de ed., Wiley, New York, 1975.


2. J.A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 1ste ed., D.C. Heath, Lexington (MA), 1986; latere edities bij Cengage Learning.


3. Zie E.T. Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. 348-372, voor een klassiek portret van Galois.


4. É. Galois, Écrits et mémoires mathématiques d’Évariste Galois, uitgegeven door R. Bourgne en J.-P. Azra, Gauthier-Villars, Parijs, 1962.


5. H. Weyl, geciteerd in T. Hawkins, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, New York, 1950, inleiding.

[bedrijven docter]

“Het recht is een structuur, geen chaos — wie de structuur begrijpt, kan beter navigeren.”

In het dagelijkse juridische werk lijken wiskundige begrippen veraf. Nochtans biedt de abstracte algebra – met haar groepen, ringen en andere structuren – krachtige metaforen om juridische handelingen te analyseren en structureren. Deze verhandeling stelt dat abstracte algebra niet slechts een zuiver theoretische tak van de wiskunde is, maar een bruikbaar denkkader voor advocaten, juristen en magistraten.

Waar logisch redeneren in het recht al langer een plaats heeft, komt het idee dat ook algebraïsche structuren toepasselijk zijn minder vanzelfsprekend over. Toch worden in de juridische praktijk voortdurend elementen gecombineerd, geannuleerd, herleid tot neutraliteit of gestructureerd volgens vaste operaties – precies datgene wat algebra bestudeert.

Het klassieke hoofdstuk 9 uit Wiskunde voor advocaten vormde de leidraad voor deze uitwerking. Daarin werd gesteld dat we algebraïsche structuren niet beschouwen om hun eigen structuur, maar omdat ze als juridische metafoor bruikbaar zijn:

Een groep als model voor omkeerbare juridische handelingen met een neutrale standaard (bijv. betaling en terugbetaling).

Een ring waarin twee operaties samengaan, zoals verplichtingen (optellen) en sancties (vermenigvuldiging).

Een magma of semigroep die minder eisen stelt, maar toch nuttig is in contexten van cumulatie of volgorde (zoals bij vonnissen of bevelen).

We nemen deze structuren ernstig als denkmodellen en niet als formules. Ze helpen niet om wetten op te lossen zoals een algebraïsche vergelijking, maar om juridische redeneringen te organiseren, toetsen en structureren. De meerwaarde ligt niet in het formalisme, maar in het houvast dat abstracte denkvormen kunnen bieden in complexe of dubbelzinnige rechtscontexten.

Deze verhandeling is opgebouwd in hoofdstukken die telkens een algebraïsche structuur voorstellen en de toepassing ervan illustreren met juridische voorbeelden uit het burgerlijk recht, het strafrecht en het bestuursrecht. We sluiten telkens af met een reflectie over de beperkingen van het model en de nood aan interpretatie.

[bedrijven docter]

In dit baanbrekende werk tilt Paul Van Der Es de toepassing van wiskundige structuren naar het domein van rechtspraak en wetgeving. Op overtuigende wijze wordt uitgelegd hoe abstracte algebraïsche concepten — zoals conjugacy classes, centrale centralisatoren én de inbedding van logische operatoren — kunnen dienen als denkkader om juridische normen, interpretaties en onderlinge verbanden te analyseren.

Gebaseerd op praktijkervaringen en methodes beschreven in discussies als die van “bedrijven docter” op Politics.be — waar wetboeken worden gereduceerd tot algebraïsche groepen en via logische permutaties een rijk gelaagde interpretatie van recht ontstaat — ontvouwt Van Der Es een helder model:

Begin met een geselecteerd ‘referentiewetboek’ (bv. het BW),

Ontsluit er conjugacy classes in, breid uit met negaties, centralisatoren en logische operators,

Breng structuur in juridische argumentaties met behulp van n?adische relaties.

Het resultaat is een innovatieve toolkit — een “Q(spec)” — waarmee academici, juristen en magistraten systematisch juridische teksten kunnen modelleren, toetsen en interpreteren. Dit werk vormt een brug tussen abstracte wiskunde en juridisch denken en biedt een krachtige methodologie om complexiteit inzichtelijk te maken.

Voor wie?

Advocaten en rechters die hun analyse willen verdiepen met logisch-algebraïsche inzichten.

Juridische onderzoekers die een formeler, rigoureus denkkader nastreven.

Studenten en docenten op het snijvlak van formele logica en recht.

Waarom lezen?

Verheldert en structureert juridische argumenten.

Biedt een frisse, mathematisch gefundeerde lens op interpretatie en jurisprudentie.

Brug tussen theorie en praktijk: van forumdiscussie naar professionele juridische toepassing.

[bedrijven docter]

Een pleidooi voor de herwaardering van redenerende wiskunde

1. Inleiding: wiskunde als redeneervorm, niet als rekentechniek

Wiskunde is in het huidige onderwijs vaak verworden tot een reeks bewerkingen. Leerlingen worden beoordeeld op hun vermogen om formules correct toe te passen, tabellen af te lezen of grafieken te tekenen. Hoewel dit ongetwijfeld nuttig is voor technische beroepen, is het voor een groot deel van de leerlingen — zij die niet richting ingenieurswetenschappen of fysica willen — een bron van frustratie, faalangst en zelfs aversie geworden.

Nochtans was dat niet altijd zo. In de oudheid en de middeleeuwen werd wiskunde vooral gewaardeerd om haar vermogen tot abstractie, zuivere redenering en logische helderheid. Plato stelde in zijn Republiek dat de ziel slechts dan tot ware kennis kan komen wanneer zij de zintuiglijke wereld overstijgt en zich richt op de vormen — waarvan de wiskundige vormen de zuiverste zijn¹. Ook in het middeleeuwse curriculum van de septem artes liberales — de zeven vrije kunsten — behoorde wiskunde (rekenkunde, meetkunde, astronomie en muziek) tot de quadrivium, de voorbereiding op hogere vormen van denken zoals recht en theologie².

Tegen die achtergrond is het paradoxaal dat in de moderne school het "denken zonder cijfers" — de wiskunde van het redeneren — vrijwel verdwenen is. De focus ligt op berekening in plaats van op deductie, op numeriek kunnen in plaats van logisch onderscheidingsvermogen. Dat is niet enkel pedagogisch problematisch, maar ook maatschappelijk zorgwekkend.

---

2. Rekenen versus redeneren: een noodzakelijke tweesporigheid

Vanaf het lager middelbaar onderwijs is het vanzelfsprekend dat elke leerling een basis krijgt in algebra, breuken, procenten en eenvoudige vergelijkingen. Dat is functionele wiskunde, nuttig voor het leven. Maar na die gemeenschappelijke basis zou het curriculum moeten splitsen, niet in moeilijk en makkelijk, maar in praktisch en structureel:

Het praktische spoor (voor toekomstige ingenieurs, wetenschappers, economen, technologen) verdiept zich in calculus, vectoranalyse, complexe getallen, statistiek en toegepaste modellen.

Het structurele spoor (voor toekomstige juristen, historici, pedagogen, beleidsmakers, kunstenaars) richt zich op propositielogica, verzamelingenleer, transitiviteit, oorzaak-gevolg, kanslogica, inductie en deductie.

Het tweede spoor is geen verarming van wiskunde. Het is juist een terugkeer naar haar oorspronkelijke functie: de geest leren denken in structuren. Zoals George Boole het verwoordde:

> “Mathematics is not about numbers, equations, computations, or algorithms: it is about understanding.”³

---

3. Toepassingen buiten de techniek: recht, beleid en burgerschap

In veel domeinen buiten de techniek is het vermogen tot logisch redeneren van essentieel belang:

In het recht: redeneren in termen van noodzakelijkheid, contradictie, implicatie en tegenvoorbeeld is dagelijks werk. Denk aan de bewijsvoering in strafzaken of het toetsen van wetteksten aan hogere normen.

In beleid en economie: correlatie is geen causaliteit. Wie dat verschil niet begrijpt, trekt verkeerde conclusies uit statistieken of beleidsmodellen.

In burgerschap: argumenten herkennen, drogredenen ontmaskeren en consistent oordelen vormen de basis van democratische besluitvorming.

Toch wordt in de school nauwelijks getraind op deze vaardigheden. Wie slecht is in algebra, krijgt nauwelijks de kans te schitteren in logisch inzicht. Dat is niet alleen oneerlijk, maar ook inefficiënt.

---

4. Persoonlijk traject: zelfstudie als ontdekking van redenerende wiskunde

Als iemand die slechts lager middelbaar onderwijs heeft genoten, heb ik zelf ondervonden wat het betekent om wiskunde te ontdekken buiten het klassieke schoolsysteem. Ik koos voor zelfstudie, en begon — intuïtief — niet met formules, maar met de geschiedenis van de wiskunde: met de Grieken, met Euclides, met de getaltheorie van Gauss.

Al snel begreep ik dat er een vorm van wiskunde bestaat die niet gericht is op berekening, maar op inzicht. Ik noem het de wiskunde van het redeneren — verwant aan logica, wijsbegeerte en zelfs theologie. Deze vorm van denken heeft mij geen enkele dag in mijn carrière verlaten. Ze was nuttig in juridische dossiers, beleidsanalyses, morele vraagstukken en strategisch denken.

Ik geloof dan ook sterk dat vele leerlingen, als ze dit pad zouden mogen volgen, de wiskunde zouden herontdekken als iets zinvols, en niet als een reeks frustrerende toetsen.

---

5. Concreet voorstel: hertekening van het curriculum

Vanaf de tweede graad secundair:

Gemeenschappelijke basis:
Algebra, eenvoudige vergelijkingen, kansbegrip, metriek, functiebegrip.

Keuzecomponent 1: Rekenkundige verdieping

Calculus, functies en limieten

Differentiëren en integreren

Grafieken en modellen

Toegepaste statistiek

Keuzecomponent 2: Redenerende verdieping

Propositielogica (waarheidstabellen, implicaties, contradicties)

Verzamelingenleer en functies

Klassieke drogredenen en foutieve redeneringen

Kanslogica en modale logica

Elementaire wiskundige bewijsstrategieën (inductie, contradictie, reductie)

Abstracte wiskunde. zoals beschreven in dit boek.

Deze tweede richting moet gelijkwaardig gewaardeerd worden en leiden naar hoger onderwijs in humane wetenschappen, recht, filosofie, geschiedenis en communicatie.

---

6. Slotbeschouwing: terug naar de essentie

De kern van het probleem ligt niet bij de leerlingen. Ze zijn niet ‘slecht in wiskunde’, ze zijn vaak enkel in aanraking gekomen met een type wiskunde dat hen niet aanspreekt. Door opnieuw ruimte te geven aan redenerende wiskunde — zoals die ooit bedoeld was in de klassieke vorming — herstellen we niet alleen het vertrouwen van duizenden jongeren, maar versterken we ook de cognitieve en democratische fundamenten van onze samenleving.

Want wie leert redeneren, leert onderscheiden. En wie leert onderscheiden, leert ook beoordelen.

> Fiat veritas, ruat caelum.
Laat de waarheid geschieden, al stort de hemel in.

---

Voetnoten

1. Plato, Politeia (The Republic), Boek VII: De allegorie van de grot.

2. Zie M. Lutz, The Quadrivium: Number, Geometry, Music, Heaven (London: Wooden Books, 2010).

3. Geciteerd door Ian Stewart in From Here to Infinity: A Guide to Today's Mathematics, Oxford University Press, 1996.

[bedrijven docter]

Erratum Hoofdstuk: Over de BBC-uitzending en John Horton Conway

Tijdens eerdere versies van dit werk werd in herinnering gebracht dat een professor in een BBC-uitzending in de jaren 1980 een Rubik’s kubus binnen enkele minuten oploste en dat deze persoon zogenaamd “Cornwall” heette, en dat hij drie uitzonderlijke groepen op een zondag ontdekte. Nadere controle van historische en wiskundige bronnen corrigeert deze identificatie: de professor was John Horton Conway (1937–2020), een invloedrijke Britse wiskundige.

Conway was werkzaam aan de Universiteit van Cambridge en later aan Princeton. Hij was bekend om zijn werk op het gebied van groepentheorie, combinatoriek, speltheorie, en wiskundige recreaties, en verscheen meerdere malen in mediaprogramma’s om wiskunde op toegankelijke wijze te demonstreren[^1].

1. Rubik’s kubus en permutatiegroepen

In de BBC-uitzending demonstreerde Conway hoe het oplossen van de Rubik’s kubus kan worden begrepen via permutatiegroepen. Iedere draai van de kubus kan worden voorgesteld als een permutatie van de kubusstukjes, en het algoritme dat tot een oplossing leidt volgt een systematische toepassing van groepsoperaties[^2]. Deze presentatie inspireerde vele jonge wiskundigen, waaronder de auteur, tot verdere zelfstudie in abstracte algebra.

2. Ontdekking van de drie sporadische groepen

Conway maakte een substantiële bijdrage aan de klassificatie van eindige simpele groepen, met name de ontdekking van drie van de 26 sporadische groepen, later bekend als de Conway-groepen Co?, Co? en Co?[^3]. Volgens anekdotische bronnen gebeurde dit in één intensieve werkperiode, wat in de literatuur soms wordt aangeduid als “op één zondagmiddag drie uitzonderlijke groepen ontdekken”[^4]. Deze groepen behoren tot de meest intrigerende structuren binnen de wiskunde, omdat ze buiten de bekende families van cyclische, alternerende en Lie-type groepen vallen.

3. Invloed op zelfstudie in abstracte algebra

De auteur begon na het zien van de uitzending een zelfstudie in abstracte algebra, aanvankelijk met het boek van J.N. Herstein, en later met “Contemporary Abstract Algebra” van Joseph A. Gallian”[^5]. Deze kennis werd uiteindelijk toegepast in de ontwikkeling van de Brunello-reeks, een wiskundig-juridische constructie waarin abstracte algebra en rechtslogica werden gecombineerd.

4. Psychologische context

Conway, ondanks zijn briljante bijdragen, kende later in zijn leven periodes van psychische moeilijkheden, waaronder depressieve episodes[^6]. Dit aspect van zijn persoonlijke geschiedenis werd in eerdere herinneringen gemengd met zijn wiskundige prestaties, maar dient feitelijk gescheiden te worden gepresenteerd.


---

Conclusie

Het corrigeren van deze identificatie naar John Horton Conway geeft historische en wiskundige precisie aan de beschrijving van de BBC-uitzending en zijn invloed op de ontwikkeling van abstracte algebra bij de auteur. De verbinding tussen media, wiskundige ontdekking en persoonlijke inspiratie blijft onveranderd centraal staan.


---

Voetnoten

[^1]: J.H. Conway, On Numbers and Games, Academic Press, 1976; Biografische informatie: obituary Notices of the AMS, Vol. 67, 2020.
[^2]: D. Singmaster, Notes on Rubik’s Magic Cube, Enslow Publishers, 1981.
[^3]: R.T. Curtis, A New Combinatorial Approach to M??, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1976.
[^4]: J.H. Conway, The Atlas of Finite Groups, Oxford University Press, 1985.
[^5]: J.N. Herstein, Topics in Algebra, Wiley, 1975; J.A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 2e editie, 1987.
[^6]: Biografische bronnen: Notices of the AMS, Vol. 67, 2020; Interviewen en archieven van Princeton University.