Paul Van der Es Facebook pagina

[bedrijven docter]

https://www.facebook.com/share/1CJWfmjmzu/

[bedrijven docter]

Bijlage 1 – Mathematical Toolbox
(Euclidisch wiskundig bewijs – niet de moderne complexe bewijstheorieën)
(Verwijst methodologisch naar Hoofdstuk 2 van “Beweren is niet bewijzen”)
Deze toolbox is gegrond in de klassieke, Euclidische opvatting van bewijs: vertrekken van vastgelegde premissen (axioma’s of middelen) en daaruit via deductieve regels een noodzakelijke conclusie afleiden.

Ze verwijst naar de hoofdstukken waarin deze methode wordt uitgelegd – met name Hoofdstuk 2 – en distantieert zich bewust van de moderne, complexere bewijstheorieën (zoals modale, fuzzy of probabilistische logica) die buiten de reikwijdte van deze verhandeling vallen.

Het doel is helderheid en controleerbaarheid — het bewijzen zoals Euclides het bedoelde: stap voor stap, zonder sprongen, zonder probabilisme.
I. De Formele Euclidische Tools
Modus Ponens / Modus Tollens
• P ? Q, P ? Q (modus ponens)
P ? Q, ¬Q ? ¬P (modus tollens)
Vanuit een voorwaardelijke premisse kan men, zodra de voorwaarde vervuld is, het gevolg concluderen.
Transitiviteit
• (P ? Q) ? (Q ? R) ? (P ? R)
Wanneer één juridische stelling leidt tot een tweede, en die tot een derde, geldt ook de afgeleide relatie tussen eerste en derde.
Contrapositief
• (P ? Q) ? (¬Q ? ¬P)
Een stelling kan via haar tegendeel bewezen worden. Wanneer het gevolg niet optreedt, kan ook de oorzaak niet aanwezig zijn.
Reductio ad absurdum
• ¬C ? (R ? ¬R) ? C
Wanneer het ontkennen van de conclusie tot een tegenspraak leidt, moet de conclusie waar zijn.
Case Distinction
• (Case? ? C) ? (Case? ? C) ? … ? C
Wanneer de stelling in alle onderscheiden gevallen geldt, geldt zij algemeen.
De Morgan’s Laws
• ¬(P ? Q) ? (¬P ? ¬Q)
¬(P ? Q) ? (¬P ? ¬Q)
De correcte behandeling van negaties vermijdt misverstanden zoals ‘niet bewezen dat A en B’.
Biconditioneel bewijs
• P ? Q ? (P ? Q) ? (Q ? P)
Voor een wederkerige rechtsregel moet men beide richtingen afzonderlijk aantonen.
Associativiteit en Commutativiteit
• (P ? Q) ? R = P ? (Q ? R)
P ? Q = Q ? P
Sommige logische bewerkingen laten herschikking toe, andere niet. In recht is volgorde soms bepalend.
Natural Deductie
• P, P ? Q ? Q (modus ponens)
¬Q, P ? Q ? ¬P (modus tollens)
Natural deductie biedt de formele onderbouw van logische gevolgtrekking.
Reverse Redeneren
• C ? P?, P ? C
Wanneer directe deductie niet lukt, kan men van de conclusie terugredeneren naar premissen.
II. Diagnostische Tools
Vacuümwaarheden
• ¬P ? (P ? Q)
Een implicatie is formeel waar als de voorwaarde onwaar is. Juridisch blijft dat betekenisloos.
Conversie- en Inversefouten
• (P ? Q) ? (Q ? P)
(P ? Q) ? (¬P ? ¬Q)
Veel juridische redeneringen verwarren richting met equivalentie. De toolbox corrigeert deze fouten.
De Morgan-misbruik
• ¬(P ? Q) ? (¬P ? ¬Q)
Het verschil tussen formele negatie en bewijsontkenning is cruciaal: juridisch mag men niet zomaar concluderen dat A en B onwaar zijn.
Juridische ongeloofwaardigheid bij formele correctheid
• —
Logische geldigheid garandeert geen juridische overtuigingskracht; dit detecteert inconsistenties met het rechtsgevoel.
III. Dynamische Tools
Niet-monotone Logica
• P ? C, maar P ? N ? C
Nieuwe informatie kan vroegere conclusies herroepen.
Tijd- en Contextgevoelige Axioma’s
• A? ? C?, maar A??? ? C?
Wat op tijdstip t geldig is, kan dat later niet meer zijn.
Categorietheoretische Transformatie
• Obj? ? Obj? via Functor
Een juridisch probleem kan getransformeerd worden via een functor, met behoud van structurele geldigheid.
Juridisch Schaakmodel
• Openingszet = Gestelde; Middenspel = Middelen; Eindspel = Deductie
Het bewijsproces verloopt als een schaakspel.
Juridisch Schaak-eindspel
• Alle middelen ingezet, tegenzetten gepareerd, conclusie volgt noodzakelijk ? Q.E.D.
Eindfase van bewijsvoering waarin de conclusie onontkoombaar wordt.
IV. Controlefunctie van de Toolbox
De toolbox dient niet enkel als methodologisch kader maar ook als controle-instrument:
- Zij detecteert ontbrekende deductieve schakels;
- Markeert inverse of conversefouten in rood;
- Signaleert formele correctheid zonder juridische geloofwaardigheid;
- Waarschuwt bij niet-monotone of contextuele instabiliteit.

Zo verzekert zij dat elk besluit voldoet aan het criterium van Hoofdstuk 2: ‘Men moet eerst de regels van het schaakspel kennen alvorens men competitief kan schaken.’
?? Samenvatting
De Mathematical Toolbox vormt de brug tussen wiskundige logica en juridische bewijsvoering. Ze verenigt drie lagen die samen de Euclidische methode van Beweren is niet bewijzen concretiseren:

1. De Formele Euclidische laag – waarin de klassieke regels van deductie, implicatie, equivalentie en redenering worden vastgelegd. Zij garandeert dat elk juridisch besluit een sluitende logische structuur heeft.

2. De Diagnostische laag – die waarschuwt voor formeel correcte maar juridisch onaanvaardbare redeneringen. Zij fungeert als zelfcorrigerend systeem en voorkomt fouten zoals conversie, inverse redenering of schijnargumentatie.

3. De Dynamische laag – die rekening houdt met veranderende feiten, nieuwe informatie of verschuivende rechtscontexten. Zij maakt de toolbox geschikt voor toepassing in niet-monotone en interdisciplinaire juridische omgevingen.

De toolbox is dus meer dan een verzameling formules: zij is een methodologisch en analytisch kader dat de interne consistentie, juridische geloofwaardigheid en transversale toepasbaarheid van een betoog waarborgt. Elk juridisch besluit dat hiermee getoetst wordt, kan worden gecontroleerd op volledigheid, coherentie en redelijke overtuigingskracht — de drie Euclidische pijlers van bewijskracht.

Uiteindelijk vormt deze toolbox het intellectuele kompas van Beweren is niet bewijzen: een instrument dat niet enkel berekent of redeneert, maar vooral bewaakt dat elke stap in het juridisch bewijsproces noodzakelijk, controleerbaar en overtuigend is.

Q.E.D.