Wiskunde voor advocaten,juristen en magistraten

[bedrijven docter]

Wiskunde voor advocaten, juristen en magistraten

Inhoudsopgave

Inleiding

Waarom deze verhandeling?

De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht

Wat is ‘juridische wiskunde’ niet?



---

Deel I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

Wiskundige modellen in de Romeinse rechtstraditie

Probabiliteit in de middeleeuwen: oordelen onder onzekerheid

De opkomst van kansrekening in de moderne rechtspraak (Pascal, Bernoulli)

Statistische bewijsvoering en het begin van forensische wiskunde

Informatica en logica in het 20e-eeuwse recht


Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde

Misverstanden: het recht is geen exacte wetenschap

Welke wiskundige takken wel zinvol zijn

Grenzen: wanneer wiskunde juridisch irrelevant of zelfs gevaarlijk wordt

De metafoor van het meetlint versus het morele kompas



---

Deel II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen

Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus

Premissen, conclusies, en natuurlijke deductie

Modus ponens, modus tollens, contrapositie, reductio

Juridische syllogismen en hun valkuilen

De impact van foutieve logica in vonnissen


Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen

Toepassing op juridische categorieën (personen, goederen, bevoegdheden)

Equivalentierelaties en partities: rechtseenheid en precedentwerking


Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

De basis: kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid

Toepassingen: bewijswaardering, risicoanalyse, due diligence

Bayesiaans denken en ‘a priori’-redeneringen in het strafrecht


Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

Relaties, macht en belangen in juridische structuren

Fraude-, corruptie- en samenzweringszaken als netwerken

Grafen in juridische procedures en bewijsstructuren


Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie

Elementaire getaltheorie

Cryptografie, hashing en digitale handtekeningen

Blockchain en smart contracts: juridische implicaties



---

Deel III – Wiskundige abstractie en juridische structuur

Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory

Wat is categorietheorie?

Morfismen, objecten, functoren: analogieën in het recht

Commutatieve diagrammen en juridische consistentie

Categorieën als hulpmiddel bij het structureren van rechtsregels

Juridische “equivalenties” als natuurlijke transformaties


Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht

Groepen, ringen, en velden: betekenisvolle of overdreven analogieën?

Structuren van rechten en plichten

Eigenschappen als associativiteit en distributiviteit in juridische argumentatie


Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen

Open en gesloten systemen van rechtsregels

Grenzen en limieten van interpretatie

Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen



---

Deel IV – Kritische toepassingen en reflecties

Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren

Statistische drogredenen in rechtszaken

Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools

De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening


Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving

Gebruik van wiskunde in rechtseconomie

Kosten-batenanalyse in wetgeving

Simulatiemodellen in strafmaat en recidive


Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie

Machine learning en voorspellend recht

Wat een jurist moet begrijpen van algoritmen

Wiskundige bias in juridische AI-systemen



---

Besluit

Wat is gewonnen door wiskundig inzicht?

De bescheiden plaats van de wiskunde in het recht

Naar een geletterdheid in logische en wiskundige structuren bij magistraten



---

Bijlagen

Glossarium van wiskundige termen voor juristen

Casusstudies en rechtspraak waarin wiskundige argumenten centraal stonden

Lijst van basisliteratuur en verdere verdieping
Paul

[bedrijven docter]

https://www.facebook.com/share/p/19NvR7AbSa/

[bedrijven docter]

---

INLEIDING

Waarom deze verhandeling nodig is: wiskunde wordt vaak als vijandig ervaren door juristen, maar bevat instrumenten die het juridische denken kunnen verrijken. Deze inleiding maakt komaf met clichés over wiskunde als "hard" of "onmenselijk" en verkent hoe logisch-structureel denken net zeer nuttig is in het recht. Tegelijk wordt gewaarschuwd tegen overmatig formalisme.


---

DEEL I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

Van de Romeinse jurisprudentie tot algoritmische rechtspraak vandaag: dit hoofdstuk toont hoe juridische systemen altijd al structuren bevatten die verwant zijn aan wiskundig denken. Denk aan probabiliteit in canoniek recht, of logische schema’s bij rechtsleer van de Verlichting.

Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde

Een praktische gids: dit hoofdstuk onderscheidt welke wiskunde relevant is (logica, kansrekening, verzamelingenleer…) en welke eerder irrelevant of zelfs misleidend kan zijn in een juridische context (b.v. abstracte differentiaalvergelijkingen). De nadruk ligt op bruikbaarheid en kritische attitude.


---

DEEL II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen

Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus

Hier worden de fundamenten van formele logica uitgelegd, inclusief syllogismen, deductie en implicatie. Juridische argumenten worden getoetst aan logische vormen en valkuilen zoals non sequitur, affirming the consequent, of valse disjuncties.

Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

Een basisbegrip in wiskunde én in recht: verzamelingen (groepen van personen, goederen, rechten) en hun onderlinge relaties. Denk aan overlappingen bij bevoegdheden of eigendomsrechten. Juridische equivalentie en partities worden met eenvoudige wiskundige begrippen verduidelijkt.

Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

Het evalueren van bewijs gebeurt vaak impliciet via kansdenken. Dit hoofdstuk introduceert basisbegrippen zoals conditionaliteit, Bayes’ regel en verwachte waarde. Er wordt ook gewezen op de gevaren van misinterpretaties (de ‘prosecutor’s fallacy’).

Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

Juridische relaties zijn vaak netwerkachtig (denk aan aandeelhouders, contractpartijen, samenzweringen). Grafentheorie helpt structuren begrijpen waarin macht, verantwoordelijkheid of informatie circuleert.

Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie

Hoe werkt encryptie juridisch? Hier worden de elementaire wiskundige principes achter digitale handtekeningen, blockchain, en smart contracts uitgelegd. Met aandacht voor hun juridische implicaties en limieten.


---

DEEL III – Wiskundige abstractie en juridische structuur

Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory

Categorietheorie biedt een krachtig abstract kader om juridische structuren te analyseren via relaties, transformaties en commutatieve diagrammen. Dit hoofdstuk legt helder uit hoe juridische begrippen als eigendom, bevoegdheid of aansprakelijkheid hierin passen.

Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht

Groepen, ringen en andere algebraïsche structuren worden hier niet uitgediept om hun eigen sake, maar omdat ze als metafoor kunnen dienen om juridische handelingen (combinaties van handelingen, annuleerbaarheid, neutraliteit) te begrijpen.

Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen

Dit hoofdstuk bekijkt het ‘landschap’ van rechtsregels: wat is dicht bij elkaar, wat is geïsoleerd? Wanneer is een norm "continu" toepasbaar en waar treden breuken op? Een juridische toepassing van abstracte topologie.


---

DEEL IV – Kritische toepassingen en reflecties

Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren

Wiskunde kan misbruikt worden om objectiviteit te veinzen. Denk aan statistisch misbruik in forensisch bewijs, of foutieve kansberekeningen bij DNA-analyse. Dit hoofdstuk toont hoe kritisch juristen moeten blijven.

Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving

Modellen worden vaak gebruikt in het bestuursrecht en de rechtseconomie. Dit hoofdstuk bespreekt onder meer hoe regressiemodellen, simulaties en economische optimalisaties juridische beslissingen beïnvloeden — en welke problemen dat met zich meebrengt.

Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie

AI en machine learning doen hun intrede in het recht. Dit hoofdstuk legt uit hoe wiskundige algoritmes functioneren en waarom het cruciaal is dat juristen hun aannames en beperkingen begrijpen, zeker inzake transparantie en bias.


---

BESLUIT

Een reflectie op de plaats van wiskunde in de rechtspraktijk. Geen dogma’s, wel een pleidooi voor helderheid, structuur en consistentie. Wiskunde is geen vervanging voor het recht, maar een taal die het denken van de jurist kan aanscherpen.


---

BIJLAGEN

Glossarium: toegankelijke verklaringen van wiskundige termen

Casusstudies: juridische voorbeelden waar wiskunde doorslaggevend was

Literatuurlijst: verder studiemateriaal voor geïnteresseerde juristen

[bedrijven docter]

INLEIDING

Waarom deze verhandeling?

Deze verhandeling is geschreven voor wie het recht ernstig neemt, en daarom ook helderheid nastreeft in zijn redeneringen. Want het recht heeft nood aan precisie, en precisie heeft baat bij structuur. En net dat is de kern van de wiskunde: niet cijfers of formules, maar helder gestructureerd denken.

De idee dat wiskunde iets is voor ingenieurs of natuurkundigen, maar niet voor juristen of magistraten, is diepgeworteld en wordt zelden bevraagd. Toch is de overlap tussen beide groter dan men op het eerste gezicht vermoedt. Het recht werkt met definities, gevolgtrekkingen, uitzonderingen, analogieën, implicaties, zelfs transformaties — net als de wiskunde. De juridische praktijk wemelt van regels die lijken op logische connectieven, of structuren die verwant zijn aan verzamelingenleer of grafentheorie, zonder dat dit expliciet wordt benoemd.

Deze verhandeling is geen wiskundeboek voor specialisten, maar een gids voor juristen. Ze wil geen omvorming tot wiskundige opleggen, maar net een beter begrip geven van hoe wiskundige denkwijzen het juridische redeneren kunnen ondersteunen, verrijken of verduidelijken. En evengoed: hoe verkeerde toepassingen tot misleiding kunnen leiden.

De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht

De relatie tussen recht en wiskunde is vaak gekenmerkt door wantrouwen. Wiskunde wordt als te abstract, te rigide, te "onmenselijk" beschouwd. Het recht daarentegen beweegt zich in een wereld van menselijke omstandigheden, billijkheid en nuance. Waar juristen vaak zoeken naar het redelijke, lijkt de wiskunde slechts te zoeken naar het zekere.

Deze tegenstelling is echter grotendeels cultureel en historisch gegroeid. Ze wordt gevoed door clichés: het beeld van de wiskundige als wereldvreemde rekenaar, en de jurist als pragmatische redeneerder. In werkelijkheid vertonen beide disciplines diepe verwantschap in hun streven naar consistentie, argumentatieve geldigheid en gestructureerde probleemoplossing.

De angst voor wiskunde onder juristen is deels begrijpelijk — ze wordt vaak onderwezen op een afstandelijke manier, los van context. Maar wie ooit met logische inconsistenties, onduidelijke regelgeving of bewijsvoering heeft geworsteld, voelt intuïtief aan dat heldere structuur soms broodnodig is. Daarin kan wiskundig denken, mits goed gedoseerd, een bondgenoot zijn.

Wat is ‘juridische wiskunde’ niet?

Voor alle duidelijkheid: deze verhandeling is geen pleidooi voor een mathematisering van het recht in de zin van algoritmisch denken, automatisering of het vervangen van menselijk oordeel door berekeningen. Ze is ook geen poging om het recht onder te brengen in een strak wiskundig systeem, zoals logisch positivisten dat ooit droomden. En ze wil al helemaal niet suggereren dat wiskunde “objectiever” is dan recht — want objectiviteit zonder interpretatie bestaat niet.

‘Juridische wiskunde’ is in deze verhandeling geen formuleleer, geen algebra van schuld, geen numerieke benadering van rechtvaardigheid. Het is vooral:

een denkhouding die helderheid bevordert

een verzameling tools om structuren te herkennen

een taal om inconsistenties bloot te leggen

een manier om de grenzen van het redeneren zichtbaar te maken


We tonen dus niet “hoe wiskunde het recht kan oplossen”, maar wel hoe ze het juridisch denken kan ondersteunen, verhelderen en kritisch uitdagen.

Paul

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

1.1. Inleiding

Wie denkt dat de integratie van wiskunde in het recht een recent fenomeen is, vergist zich. Hoewel het recht zelden expliciet beroep doet op wiskundige formules, is de geschiedenis van de juridische praktijk doorspekt met vormen van structurering, formalisering en abstrahering die verwant zijn aan wiskundig denken. Dit hoofdstuk schetst een kort historisch overzicht van die wisselwerking — van Romeins recht tot hedendaagse algoritmische rechtspraak.


---

1.2. Romeins recht: classificatie en deductie

Het Romeins recht bevatte reeds een sterk logisch-structurele benadering. Rechtsgeleerden zoals Gaius en Ulpianus ontwierpen juridische systemen die werkten met indelingen, definities en analogieën — instrumenten die vandaag ook wiskundige methodes typeren. Denk aan de klassieke driedeling: res corporales – res incorporales, of het onderscheid tussen obligatio ex contractu en obligatio ex delicto. Dit zijn in wezen verzamelingen met onderverdelingen en eigenschappen — een embryonale vorm van verzamelingenleer.

Romeinse juristen dachten bovendien vaak deductief: van een algemeen beginsel naar een concrete toepassing. Deze methode is verwant aan het syllogistische denken dat Aristoteles reeds ontwikkelde, en dat later aan de basis zou liggen van formele logica én van juridische redenering.


---

1.3. Middeleeuwen en kansdenken in canoniek recht

In middeleeuwse kerkelijke rechtspraktijken (zoals bij het bepalen van schuld of boete) speelde probabilistisch denken al een bescheiden rol. De canonieke juristen gebruikten begrippen als notoriteit, vermoeden en geloofwaardigheid, waarbij ze impliciet wogen hoe waarschijnlijk bepaalde verklaringen of gedragingen waren.

Hoewel ze geen expliciete kansrekening gebruikten, herkennen we hier de kiemen van wat later zou uitgroeien tot probabilistische bewijsleer. Zo ontstonden gradaties van bewijs: probatio plena, probatio semiplena, enzovoort — wat vandaag herinnert aan Bayesian reasoning, zij het in ruwe, intuïtieve vorm.


---

1.4. Vroegmoderne tijd: logica, systematiek en codificatie

In de 17e en 18e eeuw raakte het juridische denken steeds meer beïnvloed door rationalistische en systematische ideeën. De verlichting bracht niet enkel natuurwetenschappen voort, maar ook een hernieuwd geloof in universele principes — zowel in het recht als in de wiskunde.

Codificaties zoals de Code Civil van Napoleon (1804) zijn exemplarisch: ze beogen een gesloten systeem van regels, ondergebracht in een hiërarchische structuur — vergelijkbaar met axioma’s, stellingen en corollaria in de meetkunde. In Duitsland ontwikkelde men het Begriffsjurisprudenz, waarin het recht werd gezien als een gesloten deductief systeem: men vertrok van fundamentele begrippen en leidde daaruit de rest logisch af.

Tegelijk werkte Leibniz aan een project dat hij “characteristica universalis” noemde — een universele logische taal om redeneringen te formaliseren, inclusief juridische. Zijn droom: conflicten oplossen via berekening: Calculemus! Hoewel utopisch, toont dit het historische verlangen naar structuur en helderheid in rechtstoepassing.


---

1.5. 20e eeuw: statistiek, economische analyse en rechtsinformatica

Vanaf de 20e eeuw trad wiskunde het recht binnen via twee poorten:

1. De opkomst van statistiek: in strafzaken werden forensische technieken gebaseerd op kansrekening belangrijk (denk aan bloedsporenanalyse, DNA-profielen, foutenmarges). De ‘prosecutor’s fallacy’ werd voor het eerst als probleem erkend.


2. Law and Economics: deze school, vooral in de VS, maakte intensief gebruik van wiskundige modellen om rechtsregels te evalueren op efficiëntie. Regressiemodellen, beslissingsbomen en speltheorie vonden ingang in het juridisch debat.



Daarnaast ontwikkelde zich de rechtsinformatica: juridische kennissystemen, expert systems en later algoritmische besluitvorming. Die technologische ontwikkelingen brachten ook fundamentele vragen mee over transparantie, uitlegbaarheid en verantwoordingsplicht.


---

1.6. Hedendaagse ontwikkelingen: AI, algoritmes en categorietheorie

In de 21e eeuw wordt wiskunde steeds vaker gebruikt als onderliggend mechanisme in juridische beslissystemen. Denk aan risico-inschattingen in strafzaken (predictive policing), automatisch gegenereerde boetes, of smart contracts op blockchaintechnologie.

Op academisch niveau groeit de belangstelling voor categorietheorie als meta-taal om juridische concepten en transformaties te beschrijven. Ze biedt een denkkader waarin structuren, relaties en contextverschuivingen helder benoemd kunnen worden — wat bijzonder relevant is in een tijd waarin rechtsnormen niet langer uitsluitend hiërarchisch georganiseerd zijn, maar in netwerken functioneren.


---

1.7. Conclusie

De vermeende tegenstelling tussen wiskunde en recht is historisch onhoudbaar. Beide disciplines ontwikkelen structuren om complexe realiteiten te ordenen en controleerbaar te maken. Doorheen de geschiedenis zien we hoe het recht impliciet of expliciet wiskundige denkpatronen heeft overgenomen, aangepast of afgewezen. Het is dus geen kwestie van of wiskundig denken in het recht thuishoort, maar hoe men het verstandig toepast.

De volgende hoofdstukken bouwen hierop voort: ze verduidelijken welke onderdelen van de wiskunde nuttig zijn voor juristen, hoe ze concreet gebruikt kunnen worden, en waarvoor men moet opletten.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 2. Welke wiskunde wél, en welke niet?

2.1. Inleiding: functionele selectie

Niet alle wiskunde is relevant voor het recht. De doelstelling van dit hoofdstuk is tweeledig: (1) een overzicht bieden van de wiskundige domeinen die bruikbaar zijn binnen juridische contexten; (2) aantonen welke wiskundige technieken irrelevant of zelfs misleidend kunnen zijn. Zoals in elke discipline moet ook hier het juiste instrument worden gekozen naargelang de aard van het probleem. Instrumentum non confundendum cum fine.

2.2. Wiskunde die wél relevant is

2.2.1. Logica en verzamelingenleer

De basis van juridische redenering is vaak logisch van aard. Propositielogica, predikatenlogica en formele afleidingsregels zijn nuttig bij het structureren van argumentaties. Verzamelingenleer ondersteunt het juridisch denken in termen van categorieën, uitsluitingen en overlappingen (bv. wie behoort tot de klasse van 'rechtssubjecten'?).

Latijnse spreuken als ubi eadem ratio, ibi eadem lex en argumentum a fortiori kunnen wiskundig onderbouwd worden met behulp van implicatierelaties en subsumpties. Een concrete toepassing hiervan is te vinden in de manier waarop administratieve rechtbanken redeneren met uitzonderingclausules.

2.2.2. Kansrekening en Bayesian reasoning

In strafzaken is het belang van correcte kansinschattingen evident. De klassieke 'prosecutor’s fallacy' toont aan hoe foutief toegepaste statistiek tot veroordelingen kan leiden. Bayesian redeneringen (bijv. wat is de kans op schuld, gegeven een positief DNA-resultaat?) winnen aan belang in bewijswaardering. Zie bijvoorbeeld de zaak R v. Adams (UK, 1996) waarin Bayesiaanse argumentatie door experten werd aangebracht.

2.2.3. Statistiek en regressieanalyse

In sociaal recht, antidiscriminatierecht en economisch recht speelt statistiek een cruciale rol. Discriminatiezaken worden vaak onderbouwd met regressieanalyses. In de VS werd in Griggs v. Duke Power Co. (1971) statistiek erkend als juridisch bewijs. De Europese rechtspraak erkent ondertussen het indirect bewijs via statistiek, zolang die robuust is en door experten wordt ondersteund.

2.2.4. Grafentheorie en netwerkmodellen

In het mededingingsrecht en bij de analyse van criminele netwerken zijn grafen en netwerkmodellen essentieel. Zo kan men aantonen hoe bepaalde bedrijven kartelafspraken maken of hoe informatie circuleert binnen een organisatie.

2.2.5. Categorie-theorie (inleiding)

Categorietheorie biedt een abstract, maar krachtig model om juridische transformaties, correspondenties en systemen in kaart te brengen. Functoren kunnen juridische begrippen in verschillende contexten met elkaar verbinden. Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen burgerlijk en fiscaal recht bij fraudekwalificaties. Zie Hoofdstuk 4 voor een diepere behandeling.

2.3. Wiskunde die niet bruikbaar is — of met grote omzichtigheid

2.3.1. Hogere algebra en getaltheorie

Hoewel esthetisch intrigerend, zijn abstracte algebra en getaltheorie zelden relevant voor juristen. Hun toepassingen situeren zich vooral in cryptografie en computationele veiligheid — nuttig voor ICT-juristen, maar minder voor magistraten of procesadvocaten.

2.3.2. Integralen, differentiaalvergelijkingen, topologie

Hoewel sommige juridische domeinen (bv. milieurecht of telecomregulering) technische berekeningen vereisen, vallen differentiaalvergelijkingen en topologische modellen buiten het cognitieve bereik van de meeste rechtspraktijken. Ze zijn eerder het domein van technische experten dan van juridische redenering. Gebruik ervan vereist interdisciplinaire samenwerking.

2.3.3. Formulefetisjisme

Een valkuil is het blind vertrouwen op wiskundige formules zonder inzicht in hun aannames. Het recht is niet louter cijfermatig: context, interpretatie en proportionaliteit zijn essentieel. Een regressiemodel is geen bewijs op zich, maar slechts één element in een grotere bewijsconstructie. Quod non est in actis, non est in mundo.

2.4. Conclusie: het juiste gereedschap voor de juiste zaak

Juridisch denken kan profiteren van wiskundige inzichten, mits deze functioneel, transparant en correct toegepast worden. De juiste analogie is niet die tussen de rechter en de rekenmachine, maar tussen de jurist en de ingenieur: iemand die gebruik maakt van modellen om de werkelijkheid te ordenen, maar die tegelijk beseft dat modellen abstraheringen zijn — geen vervangingen van de werkelijkheid.

De volgende hoofdstukken gaan dieper in op concrete toepassingen van logica, kansrekening, grafentheorie en categorietheorie in juridische praktijken.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 3. Juridische logica en bewijsvoering

3.1. Inleiding

Het hart van wiskundige toepassingen in het recht ligt bij de logica. Niet enkel logica als formeel systeem, maar logica als methode van structureren, onderscheiden en toetsen. In dit hoofdstuk onderzoeken we de rol van propositielogica, predikatenlogica en afleidingsregels in juridische bewijsvoering. Zoals Ulpianus reeds stelde: scientia iuris est divinarum atque humanarum rerum notitia, iusti atque iniusti scientia — en die wetenschap vereist scherpe logica.

Voor een diepgaandere filosofische en juridische reflectie over bewijsvoering verwijzen we naar de eerder verschenen verhandeling Beweren is niet bewijzen (2024).

3.2. Propositielogica: juridische stellingen en structuur

In de juridische praktijk wordt vaak gebruik gemaakt van implicaties: "Indien het contract ongeldig is, dan volgt geen schadevergoeding." Dit is logisch te structureren als: .

Ook de modus ponens en modus tollens zijn cruciaal:

, ?

, ?


Toegepast: indien een bekentenis vrijwillig is afgelegd (), dan is ze geldig (). Als ze niet geldig is, dan volgt dat ze niet vrijwillig werd afgelegd.

De Belgische Cassatierechtspraak in zaken rond dwangbekentenissen (zie bijv. Cass. 19 mei 2015) weerspiegelt dergelijke logische implicaties.

3.3. Predikatenlogica: generalisatie en juridische abstractie

Predikatenlogica laat toe om uitspraken over verzamelingen te structureren. Bijvoorbeeld: “Alle ambtenaren die hun functie misbruiken, kunnen gesanctioneerd worden.”

Formeel:

Dit laat toe om rechtsregels abstract en universeel te formuleren, wat bijdraagt aan coherentie. De Duitse dogmatische traditie, bv. bij Larenz of Canaris, is doordrongen van zulke formele logische structuren.

3.4. Natural deduction en bewijslast

In de rechtspraak moet men vaak verschillende stellingen combineren tot een conclusie. Bijvoorbeeld:

De verdachte was op de plaats van het misdrijf.

De verdachte had een motief.

Er is geen alibi.


Daaruit volgt met zekere aannames: De verdachte is schuldig.

De uitdaging ligt in het valideren van de overgang van . Hier komt natural deduction in beeld. Zie de zaak Hof van Beroep Antwerpen, 8 januari 2019, waarin de motivering via logische stappen werd opgebouwd maar later door Cassatie werd vernietigd wegens een onrechtmatige sprong (petitio principii).

3.5. Juridische tegenvoorbeelden: falsificatie en contradictie

Zoals één tegenvoorbeeld in de wiskunde een generalisatie weerlegt, zo kan ook één feit of anomalie in het recht een veroordeling ondergraven. De beroemde Nederlandse zaak tegen Lucia de B. toont dit aan: ondanks statistische waarschijnlijkheid werd een alternatieve verklaring (vergiftiging door medicatie-interactie) aangetoond die de bewijsconstructie ondermijnde.

Latijns: exceptio probat regulam in casibus non exceptis — maar een geldige exceptie kan ook de regel vernietigen.

3.6. Paraconsistente logica en juridische ambiguïteit

In sommige gevallen lijken tegenstrijdige uitspraken tegelijk waar. Bijvoorbeeld:

De wet zegt dat X niet mag.

Een arrest zegt dat X toch is toegelaten onder specifieke voorwaarden.


In plaats van dit als logische fout te zien, kan men werken met paraconsistente systemen die toestaan dat A en ¬A beide waar zijn binnen specifieke contexten. Dit wordt onderbouwd in de Braziliaanse logica van Newton da Costa, en heeft nut bij tegenstrijdige wetgeving of tegenstrijdige precedentgevallen.

3.7. Conclusie

Juridische logica is niet enkel een stijlfiguur, maar een noodzakelijke voorwaarde voor correcte motivering. Zoals Leibniz voorstelde: Calculemus! — laat ons berekenen, wanneer de rede tekortschiet. Toch moet logica in het recht steeds getoetst worden aan proportionaliteit, billijkheid en maatschappelijke realiteit.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 4. De structuur van juridische functies en bewijsvoering

4.1. Inleiding

Juridische redenering lijkt soms op algebra. Niet omdat men met getallen werkt, maar omdat men met functies werkt: begrippen die iets ‘doen’ met invoer (feiten, normen, precedenten) en daaruit een resultaat produceren (besluit, arrest, beoordeling). Dit hoofdstuk onderzoekt hoe functiebegrip, in de wiskundige en logische zin, ook nuttig is voor juristen, advocaten en magistraten.

Zoals ook besproken in Beweren is niet bewijzen, is het van belang dat de deductieve structuur van een juridische redenering zichtbaar, toetsbaar en navolgbaar is.^1

4.2. Juridische functies als mapping van feiten naar normatieve oordelen

Een eenvoudige juridische functie is: , waarbij een verzameling van feiten is en een verzameling van rechtsgevolgen of conclusies.

Bijvoorbeeld:

indien een bewezen opzettelijke diefstal is.

indien een onopzettelijke fout zonder gevolg is.


De analyse van zulke functies vereist ook controle op hun surjectiviteit (leiden alle relevante feiten tot een juridische uitkomst?), injectiviteit (resulteren gelijke uitkomsten uit verschillende feiten?) en totaliteit (is er een juridische uitkomst voorzien voor elk denkbaar feit?).

Deze abstracte modellen worden onder meer uitgewerkt in de Duitse doctrine rond het ‘Subsumtionsmodell’, zoals te vinden bij Karl Engisch en Reinhold Zippelius.^2

4.3. Functiecompositie en meervoudige normatieve kaders

In complexere zaken werkt men met samengestelde functies:






Bijvoorbeeld: een bepaalde gedraging wordt eerst als ‘discriminatoir’ beoordeeld (sociaal feit), en pas daarna als ‘onrechtmatige daad’ binnen het burgerlijk recht.

Deze gelaagdheid herinnert aan de compositie , wat betekent dat de juridische uitkomst afhangt van een tussenfunctie. Zoals het Hof van Justitie van de EU in Mangold (C-144/04) oordeelde, kan discriminatie wegens leeftijd al onrechtmatig zijn vóór omzetting in nationaal recht.^3

Latijns: ubi lex non distinguit, nec nos distinguere debemus — maar waar recht en feit via meerdere functies lopen, móét men onderscheiden.

4.4. Casus: fiscale herkwalificatie als juridische functie

Een fiscaalrechtelijk voorbeeld:

Een vennootschap keert een ‘vergoeding’ uit.

De fiscus herkwalificeert dit als ‘dividend’.


Juridisch model:



,


Hier ontstaat een spanningsveld wanneer de rechter de functie niet accepteert als geldig: de RSZ kwalificeert iets als ‘bezoldiging’, terwijl de fiscus het als ‘voordeel van alle aard’ ziet. Dit leidt tot contradicties binnen dezelfde feitenbasis.

Zoals besproken in Beweren is niet bewijzen,^4 is dit een typisch voorbeeld van surjectiviteit zonder consistentie: één input leidt tot meerdere outputs, afhankelijk van het normenkader.

4.5. Analogieën met wiskundige structuur: lineair, recursief en discontinu gedrag

Sommige juridische functies zijn lineair: meer feiten leiden tot zwaardere sancties. Andere zijn discreet: pas bij overschrijding van een drempelwaarde treedt er een gevolg op.

Een recursieve functie komt voor bij progressieve sancties: herhaling van feiten verhoogt de strafmaat, zoals bij recidive in het strafrecht. Men zou dat modelleren als:

, waarbij , met een strafverhogingsfactor.


Dit doet denken aan iteratieve logica en is nuttig bij het structureren van de motieven in bijvoorbeeld correctionele arresten of tuchtrechtelijke uitspraken.^5

4.6. Conclusie

Functiestructuren helpen om juridische redenering helder, controleerbaar en herleidbaar te maken. Ze ontsluiten de formele structuur achter ogenschijnlijk subjectieve beslissingen. Ze zijn dus meer dan illustratief: ze zijn noodzakelijk voor consistentie.

Zoals Cicero het formuleerde: ratio summa lex est. En zoals juristen vandaag steeds vaker ondervinden: de structuur van functies is een wapen tegen willekeur.


---

^1 Zie Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over deductieve rechtvaardiging en motivering.

^2 Zie bijv. K. Engisch, Einführung in das juristische Denken (1956), en R. Zippelius, Juristische Methodenlehre (10e ed., 2010).

^3 HvJ EU, 22 november 2005, zaak C-144/04, Mangold.

^4 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 6, over niet-surjectieve bewijsstructuren en inconsistentie in fiscale context.

^5 Voor wiskundige parallellen: zie Kleene’s recursieve functies en hun toepassing op juridische classificatieproblemen in de Amerikaanse doctrine (b.v. J.H. Fetzer, Legal Logic, 1988).

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

5.1. Inleiding

Kansrekening biedt een krachtig instrument voor het analyseren van onzekerheid. In het recht heeft onzekerheid betrekking op feitenvaststelling, risico-inschatting, en de verwachting van toekomstig gedrag. Toch blijft het gebruik van probabilistische methodes in de juridische praktijk controversieel. Veel juristen beschouwen kansdenken als strijdig met het individuele karakter van rechtspraak. Deze opvatting wordt weerlegd in Beweren is niet bewijzen, waar probabilistische redeneringen net als correctielogica fundamenteel blijken in complexe bewijsstructuren.^1

5.2. Kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid

De klassieke kansrekening is gestoeld op drie fundamenten:

Kans : de kans dat gebeurtenis zich voordoet

Verwachting : het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten van een stochastische variabele

Conditionele kans : de kans op gegeven dat zich heeft voorgedaan


Voor juristen is vooral het derde concept essentieel: veel bewijsstukken of getuigenissen zijn pas relevant gegeven bepaalde andere elementen. De fout om te veronderstellen is wijdverbreid en logisch incorrect (de prosecutor's fallacy).

Latijns: Cum hoc ergo propter hoc — gelijktijdigheid impliceert geen causaliteit.

5.3. Toepassing: bewijswaardering en due diligence

Bewijswaardering

In het strafrecht wordt vaak geoordeeld op basis van ‘morele zekerheid’. Dit concept laat ruimte voor probabilistische interpretatie.^2

Casus: In een fiscale fraudezaak blijkt een verdachte op dezelfde dag meerdere transacties te hebben uitgevoerd via vennootschappen zonder boekhoudkundige sporen. De kans op toeval is bijzonder laag. Bij opeenstapeling van zulke anomalieën wordt een cumulatief inferentiepatroon zichtbaar. Bayesian update is hier een adequaat model (zie 5.5).

Due diligence

Bij contractonderhandelingen evalueert men het risico op toekomstige problemen. Denk aan overnames, waarin men aan de hand van kansdistributies en verwachtingswaarden beslissingen neemt over garanties, opschortende voorwaarden of prijsaanpassingen.^3

5.4. Risicoanalyse en normatieve beslissingsmodellen

In milieurecht, verzekeringsrecht en productaansprakelijkheid spelen kansverdelingen een sleutelrol:

Ex ante-inschattingen bepalen preventieve maatregelen (cf. REACH-verordening)

Schadeverzekeraars gebruiken verwachtingsmodellen om premies te bepalen

Rechtbanken evalueren voorzorgsmaatregelen a.d.h.v. de ‘Hand-formule’ (VS): waarbij de kost is om schade te vermijden, de kans op schade, en de potentiële schadeomvang.^4


5.5. Bayesiaans redeneren in strafzaken

Bayesiaanse logica biedt een manier om a priori-kennis en nieuw bewijs te combineren:



waarbij:

: hypothese (schuld)

: nieuw bewijs (bv. vingerafdruk)


Deze formule actualiseert het geloof in na vaststelling van . In het VK is de toepassing van Bayesiaanse modellen in de forensische wetenschappen onderwerp van intens debat, o.m. na de zaak R v. T (2010), waarin statistische redenering over schoensporen als ‘te complex’ werd verworpen door het Hof.^5

Buitenlandse doctrine:

Fenton & Neil, Risk Assessment and Bayesian Networks, 2012

Dennis Lindley, Understanding Uncertainty, 2006


Latijns: Ex antecedentibus et consequentibus probabiliter colligitur veritas — uit voorafgaande en gevolgtrekkingen wordt waarschijnlijkheid afgeleid.

5.6. Kritiek en ethische grenzen

Probabilistische modellen moeten altijd onderhevig zijn aan normatieve controle. Het is niet omdat iets waarschijnlijk is, dat het ook bewezen is (Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7).^6 De rechter moet probabilistische redeneringen altijd verbinden met motiveringsplicht en individuele waardigheid.

De Duitse rechtspraak stelt dat probabilistische bewijsvoering slechts mag leiden tot veroordeling indien de cumulatieve context geen redelijke twijfel meer toelaat (Gesamtwürdigung).^7

5.7. Conclusie

Kansdenken is essentieel voor moderne juridische beoordeling, zowel in civiele risicobeoordeling als in strafrechtelijke bewijsvoering. Wie als jurist de basisprincipes van verwachting en conditionaliteit beheerst, beschikt over een krachtig analytisch instrument dat toeliet bewijs te wegen, risico's te structureren en motieven te funderen.


---

^1 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over cumulatie van probabilistische aanwijzingen.

^2 Cass. 20 december 2016, AR P.16.0581.N.

^3 P. Vassart, “Due diligence et évaluation probabiliste des garanties contractuelles”, RDC-TBH, 2020, 432–458.

^4 US v. Carroll Towing Co., 159 F.2d 169 (2d Cir. 1947), Hand J.

^5 R v. T [2010] EWCA Crim 2439.

^6 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7, over het verschil tussen waarschijnlijkheid en bewijs.

^7 BGH 23.02.1993, Az. 5 StR 701/92.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

6.1. Inleiding

Grafentheorie biedt een wiskundig kader voor het analyseren van netwerken: structuren van knooppunten (nodes) en verbindingen (edges). In het recht komen netwerken voor in eigendomsstructuren, contractuele verhoudingen, georganiseerde criminaliteit en bestuurlijke bevoegdheidsrelaties. De kracht van grafentheorie ligt in haar vermogen om zicht te geven op indirecte verbanden, centrale actoren en diffusie van aansprakelijkheid.

Latijns: Quod omnes tangit, ab omnibus approbari debet — wat allen aangaat, moet door allen worden goedgekeurd.

6.2. Basisbegrippen

Grafen: verzamelingen van knopen en verbindingen, eventueel met richting (gerichte grafen) en gewicht (gewogen grafen).

Pad: een sequentie van verbonden knopen.

Graafafstand: het minimaal aantal verbindingen tussen twee knopen.

Centraliteit: meet de invloed van een knoop op het geheel (denk aan bestuurszetels of hoofdaandeelhouders).

Clustering: lokaal verbonden groepen (zoals kartelvorming).


6.3. Juridische toepassingen

Aandeelhoudersstructuren

In vennootschapsrecht worden netwerken gebruikt om uiteindelijke begunstigden (UBO's) te identificeren, zelfs wanneer deze via meerdere lagen of offshore-vehikels handelen. Grafentheorie helpt doorlopende eigendomsstructuren reconstrueren en controlerende belangen te isoleren.^1

Casus: In een Luxemburgs-Belgisch vehikel worden vier holdings gebruikt om een meerderheidspositie onder de radar te houden. Grafanalyse toont dat één partij via meerdere indirecte participaties >50% stemrecht bezit.

Samenzwering en strafrecht

In georganiseerde criminaliteit zijn de deelnemers vaak slechts indirect verbonden. Klassiek bewijs laat deze structuren onder de radar. Door link analysis met graafmodellen kan men het bestaan van een crimineel netwerk aantonen, zelfs als individuele contacten schaars zijn.^2

Buitenlandse rechtspraak: De Italiaanse antimaffiawetgeving gebruikt netwerkmodellen bij associazione a delinquere di tipo mafioso (art. 416-bis Codice Penale). Zie ook de toepassing in de RICO-wetgeving (VS).

Ketenaansprakelijkheid

In sociaal recht en milieurecht ontstaan netwerken tussen hoofdaannemers, onderaannemers, en leveranciers. Grafen maken de aansprakelijkheidsketen visueel en analyseren de transmissie van zorgplichten.^3

Latijns: Res inter alios acta aliis nec nocet nec prodest — een zaak tussen anderen schaadt of baat derden niet — tenzij het netwerk aansprakelijkheid overdraagt.

6.4. Netwerktransformatie en juridische herkwalificatie

Netwerken kunnen juridisch gereconstrueerd worden (bv. schijnzelfstandigheid of economische eenheid). Grafen maken zichtbaar welke structuur functioneel wordt gebruikt, ook als deze formeel anders is.

Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8, waar een juridische deductie als netwerk wordt opgevat en via 'compositionaliteit' wordt opgebouwd: knooppunten als lemma’s, pijlen als deductieve stappen.

6.5. Kritische noot: overdaad aan connectie

Sommige rechters vrezen dat grafische modellen leiden tot overinterpretatie: correlatie wordt causatie, en los contact wordt bewijs van medeplichtigheid. In R v. Gul (UKSC 2013) werd gewaarschuwd tegen het juridisch ‘infekteren’ van de ene knoop via louter grafische nabijheid met een andere.

Latijns: Ex uno disce omnes — uit één (feit) leert men alles — maar dat geldt niet altijd.

6.6. Conclusie

Grafentheorie biedt het recht een scherp wiskundig instrument om complexe netwerken van relaties, aansprakelijkheden en machtsstructuren bloot te leggen. In een tijdperk van transnationaal ondernemerschap en georganiseerde misdaad is dit geen academische luxe, maar een noodzakelijke tool.


---

Voetnoten

1. E. Wymeersch, “Ownership and Control of Companies: a Network Analysis”, EBOR, 2019, 61–93.


2. D. Gambetta, The Sicilian Mafia: The Business of Private Protection, Harvard UP, 1993.


3. P. De Vreese, “Ketenaansprakelijkheid en de netwerkgedachte in het sociaal recht”, TSSR, 2021, 203–219.


4. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8: het deductief netwerk als schaakspel.

[bedrijven docter]

Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

4.1. Inleiding

Verzamelingenleer vormt de basis van veel moderne wiskundige en logische structuren. Het biedt ook voor juristen een heldere taal om abstracte categorieën, klassen, en relaties te structureren. In het recht zijn tal van toepassingen denkbaar: van het classificeren van rechtsobjecten tot het analyseren van bevoegdheden en het afbakenen van rechten.

Latijns: Omnis definitio in jure civili periculosa est — elke definitie in het burgerlijk recht is gevaarlijk. Verzamelingenleer tracht die gevaren te minimaliseren via systematiek.


---

4.2. Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen

Een verzameling is een collectie van onderscheiden elementen, bijvoorbeeld "alle meerderjarige natuurlijke personen met handelingsbekwaamheid".

Een deelverzameling is een groep elementen die volledig vervat zit in een grotere verzameling, bv. "Belgische meerderjarige natuurlijke personen".

Een doorsnede (intersection) toont gemeenschappelijke elementen tussen verzamelingen. Juridisch toont dit hoe rechten of bevoegdheden kunnen overlappen.


Voorbeeld (casus uit het familierecht):
De groep van wettige erfgenamen (V) en de groep van schuldeisers (S) van een nalatenschap kunnen overlappen. De doorsnede toont erfgenamen die tegelijk schuldeiser zijn — met gevolgen voor hun positie in de vereffening.


---

4.3. Juridische categorieën: personen, goederen, bevoegdheden

Verzamelingenleer laat ons juridische actoren (personen), objecten (goederen) en attributen (bevoegdheden) structureren:

Personen kunnen gegroepeerd worden in verzamelingen: natuurlijke personen, rechtspersonen, ambtsdragers, enz.

Goederen worden ingedeeld volgens criteria als roerend/onroerend, vervangbaar/lichamelijk, enz. Iedere eigenschap komt overeen met een deelverzameling.

Bevoegdheden zijn functies of rechten die kunnen toegekend worden binnen een context. Verzamelingenleer laat de vergelijking van rechtsposities toe.


Buitenlandse doctrine (Duitsland): In de systematische rechtstheorie van Larenz en Canaris^1 wordt de Begriffsjurisprudenz deels uitgewerkt als een taxonomie van juridische verzamelingen.


---

4.4. Equivalentierelaties en partities

Een equivalentierelatie is een wiskundige relatie die:

1. Reflexief is (),


2. Symmetrisch (),


3. Transitief ().



In het recht zien we dergelijke relaties bij:

Jurisprudentie: gelijkaardige feiten leiden tot gelijke rechtsgevolgen (rechtseenheid).

Precedentwerking: wanneer één geval als gelijkwaardig aan een eerder geval wordt behandeld, ontstaat er een equivalentieklasse.


Een partitie is een opdeling van een verzameling in disjuncte (niet-overlappende) subsets. Dit wordt zichtbaar in het recht bij:

Rechtsgebieden (bv. civiel, straf, administratief) als partitie van het juridisch domein.

Bevoegdheidsverdeling: deelverzamelingen van overheden met exclusieve bevoegdheden (cf. Belgische bevoegdheidsmatrix).


Latijns: Ubi eadem ratio, ibi idem jus — waar dezelfde reden geldt, geldt hetzelfde recht. Dit is de kern van de equivalentierelatie in juridische precedenten.


---

4.5. Juridische toepassing: precedentgroepen als equivalentieklassen

In common law-systemen vormen precedentgroepen natuurlijke equivalentieklassen. Iedere klasse bevat gevallen die substantieel gelijkwaardig worden bevonden. In civil law werkt men minder met zulke formele klassen, maar ze worden impliciet toch gebruikt bij rechtspraak over 'gelijkwaardige gevallen'.

Casus (VS): In Brown v. Board of Education (347 U.S. 483, 1954) werd het precedent Plessy v. Ferguson verworpen, waardoor de toenmalige equivalentieklasse ('segregatie is constitutioneel') werd herverdeeld. De rechters herdefinieerden de partitie van toegestane staatsinterventies in het onderwijs.

Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2, waar het verschil tussen formele gelijkheid (logisch) en juridische gelijkheid (contextueel) wordt uitgewerkt.


---

4.6. De gevaren van foutieve verzamelingen

Een verkeerd gedefinieerde verzameling leidt tot juridische misvattingen, zoals:

Overinclusie: wie niet tot een juridische categorie behoort, wordt er toch onder gebracht.

Onderinclusie: wie wel onder een categorie valt, wordt ten onrechte uitgesloten.


Voorbeeld: bij de toepassing van antidiscriminatiewetgeving is een juiste afbakening van de 'beschermde groep' essentieel.

Latijns: Exceptio firmat regulam in casibus non exceptis — de uitzondering bevestigt de regel in gevallen die niet uitzonderlijk zijn. Foutieve verzamelingen leiden tot foute uitzonderingen.


---

4.7. Conclusie

Verzamelingenleer biedt het recht een taal van precisie en structuur. Door juridische concepten als verzamelingen, relaties en partities te analyseren, worden redeneringen inzichtelijker en controversevermijdender. In een tijd van complex recht is wiskundige eenvoud geen luxe, maar noodzaak.


---

Voetnoten

1. K. Larenz & C.-W. Canaris, Methodenlehre der Rechtswissenschaft, Springer, 1995.


2. J. Rawls, A Theory of Justice, Harvard UP, 1971 — het gebruik van “equivalence classes” in distributieve rechtvaardigheid.


3. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2: over juridische gelijkheid en logische gelijkvormigheid.




---