Abstracte wiskunde

[bedrijven docter]

Hoe ik de abstracte wiskunde ontdekte

Mijn eerste confrontatie met abstracte wiskunde vond niet plaats in een klaslokaal, maar voor de televisie. In de jaren tachtig bracht de BBC een uitzending waarin de wiskundeprofessor Cornwall voor een verbaasd publiek een Rubik’s kubus binnen minder dan een minuut oploste. Tot dat moment gold het oplossen van een willekeurig verdraaide kubus als praktisch onmogelijk: men benadrukte steevast dat het aantal mogelijke posities — ruim — groter was dan het aantal sterren in het heelal.

Cornwall verklaarde dat zijn aanpak niet steunde op brute kracht of eindeloos proberen, maar op de toepassing van abstracte wiskunde, en meer bepaald de theorie van permutatiegroepen. Het inzicht was even eenvoudig als revolutionair: elke beweging van de kubus correspondeert met een permutatie van de hoek- en randstukken. Door deze permutaties systematisch te bestuderen en te groeperen, kan men een oplossingsmethode ontwikkelen die niet berust op toeval, maar op structuur. Voor mij was dit een openbaring: een spel dat ik als chaotisch en ondoorgrondelijk had ervaren, bleek volledig beheerst door een strakke algebraïsche logica.

Diezelfde week trok ik naar de universiteit, waar men mij verwees naar het standaardwerk Topics in Algebra van I.N. Herstein.¹ Dit boek, dat generaties studenten in de abstracte algebra heeft ingewijd, behandelde op systematische wijze de fundamenten van de groepentheorie, ringtheorie en veldentheorie. Omdat ik geen formele wiskundige opleiding had genoten, begon ik letterlijk van nul. Paradoxaal genoeg was dit een voordeel: ik werd niet gehinderd door voorkennis van calculus of complexe analyse, en kon mij rechtstreeks richten op de zuivere algebraïsche structuren.

Later zette ik mijn zelfstudie voort met Contemporary Abstract Algebra van Joseph A. Gallian,² dat sindsdien in talrijke edities is verschenen en bekendstaat om zijn didactische helderheid. Gallian doorspekte de algebra met voorbeelden uit de Rubik’s kubus, symmetrieën van veelvlakken, en toepassingen in cryptografie. Deze concrete toepassingen maakten de abstracte concepten tastbaar. Langzaam leerde ik de taal begrijpen waarmee Cornwall die kubus had ontrafeld.

Dit pad voerde mij uiteindelijk terug naar de negentiende eeuw, naar het werk van Évariste Galois.³ Op 29 mei 1832, de avond voor zijn duel, schreef Galois in uiterste haast zijn ideeën neer over de relatie tussen algebraïsche vergelijkingen en de structuren die wij nu groepen noemen.? Zijn brief aan Auguste Chevalier — haastig, chaotisch, maar visionair — vormde de geboorteakte van de moderne groepentheorie. Pas jaren later werd dit manuscript, dankzij Joseph Liouville, gepubliceerd en naar waarde geschat.

De twintigste-eeuwse wiskundige Hermann Weyl beschreef dit document als “perhaps the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind”.? Zijn lofrede was niet louter retoriek, maar een erkenning van de uitzonderlijke impact van Galois’ ideeën. In een paar bladzijden werd de fundering gelegd voor de theorie van velden, de oplossing van algebraïsche vergelijkingen, en de structuur van eindige groepen — thema’s die vandaag hun weg vinden naar uiteenlopende domeinen zoals de Rubik’s kubus, coderingstheorie, kwantummechanica en moderne cryptografie.

Voor mij kreeg deze geschiedenis een persoonlijke dimensie. De abstracte algebra die ik via Herstein en Gallian leerde kennen, bleek niet louter een wiskundige discipline, maar ook een denkkader dat ik later zou toepassen in mijn eigen werk, met name bij de ontwikkeling van de Brunello-reeks, waarin wiskunde en recht elkaar kruisen.

Mijn reis in de abstracte wiskunde begon dus niet in de collegebanken, maar thuis, voor de televisie. Wat startte als fascinatie voor een professor die een kubus oploste, groeide uit tot een levenslange zoektocht naar orde in schijnbare chaos. Het pad voerde van Cornwall en de Rubik’s kubus, via Herstein en Gallian, naar Galois en Weyl — en mondde uit in een persoonlijke synthese waar wiskunde en recht elkaar vinden.


---

Noten

1. I.N. Herstein, Topics in Algebra, 2de ed., Wiley, New York, 1975.


2. J.A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 1ste ed., D.C. Heath, Lexington (MA), 1986; latere edities bij Cengage Learning.


3. Zie E.T. Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. 348-372, voor een klassiek portret van Galois.


4. É. Galois, Écrits et mémoires mathématiques d’Évariste Galois, uitgegeven door R. Bourgne en J.-P. Azra, Gauthier-Villars, Parijs, 1962.


5. H. Weyl, geciteerd in T. Hawkins, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, New York, 1950, inleiding.

[bedrijven docter]

“Het recht is een structuur, geen chaos — wie de structuur begrijpt, kan beter navigeren.”

In het dagelijkse juridische werk lijken wiskundige begrippen veraf. Nochtans biedt de abstracte algebra – met haar groepen, ringen en andere structuren – krachtige metaforen om juridische handelingen te analyseren en structureren. Deze verhandeling stelt dat abstracte algebra niet slechts een zuiver theoretische tak van de wiskunde is, maar een bruikbaar denkkader voor advocaten, juristen en magistraten.

Waar logisch redeneren in het recht al langer een plaats heeft, komt het idee dat ook algebraïsche structuren toepasselijk zijn minder vanzelfsprekend over. Toch worden in de juridische praktijk voortdurend elementen gecombineerd, geannuleerd, herleid tot neutraliteit of gestructureerd volgens vaste operaties – precies datgene wat algebra bestudeert.

Het klassieke hoofdstuk 9 uit Wiskunde voor advocaten vormde de leidraad voor deze uitwerking. Daarin werd gesteld dat we algebraïsche structuren niet beschouwen om hun eigen structuur, maar omdat ze als juridische metafoor bruikbaar zijn:

Een groep als model voor omkeerbare juridische handelingen met een neutrale standaard (bijv. betaling en terugbetaling).

Een ring waarin twee operaties samengaan, zoals verplichtingen (optellen) en sancties (vermenigvuldiging).

Een magma of semigroep die minder eisen stelt, maar toch nuttig is in contexten van cumulatie of volgorde (zoals bij vonnissen of bevelen).

We nemen deze structuren ernstig als denkmodellen en niet als formules. Ze helpen niet om wetten op te lossen zoals een algebraïsche vergelijking, maar om juridische redeneringen te organiseren, toetsen en structureren. De meerwaarde ligt niet in het formalisme, maar in het houvast dat abstracte denkvormen kunnen bieden in complexe of dubbelzinnige rechtscontexten.

Deze verhandeling is opgebouwd in hoofdstukken die telkens een algebraïsche structuur voorstellen en de toepassing ervan illustreren met juridische voorbeelden uit het burgerlijk recht, het strafrecht en het bestuursrecht. We sluiten telkens af met een reflectie over de beperkingen van het model en de nood aan interpretatie.

[bedrijven docter]

In dit baanbrekende werk tilt Paul Van Der Es de toepassing van wiskundige structuren naar het domein van rechtspraak en wetgeving. Op overtuigende wijze wordt uitgelegd hoe abstracte algebraïsche concepten — zoals conjugacy classes, centrale centralisatoren én de inbedding van logische operatoren — kunnen dienen als denkkader om juridische normen, interpretaties en onderlinge verbanden te analyseren.

Gebaseerd op praktijkervaringen en methodes beschreven in discussies als die van “bedrijven docter” op Politics.be — waar wetboeken worden gereduceerd tot algebraïsche groepen en via logische permutaties een rijk gelaagde interpretatie van recht ontstaat — ontvouwt Van Der Es een helder model:

Begin met een geselecteerd ‘referentiewetboek’ (bv. het BW),

Ontsluit er conjugacy classes in, breid uit met negaties, centralisatoren en logische operators,

Breng structuur in juridische argumentaties met behulp van n?adische relaties.

Het resultaat is een innovatieve toolkit — een “Q(spec)” — waarmee academici, juristen en magistraten systematisch juridische teksten kunnen modelleren, toetsen en interpreteren. Dit werk vormt een brug tussen abstracte wiskunde en juridisch denken en biedt een krachtige methodologie om complexiteit inzichtelijk te maken.

Voor wie?

Advocaten en rechters die hun analyse willen verdiepen met logisch-algebraïsche inzichten.

Juridische onderzoekers die een formeler, rigoureus denkkader nastreven.

Studenten en docenten op het snijvlak van formele logica en recht.

Waarom lezen?

Verheldert en structureert juridische argumenten.

Biedt een frisse, mathematisch gefundeerde lens op interpretatie en jurisprudentie.

Brug tussen theorie en praktijk: van forumdiscussie naar professionele juridische toepassing.

[bedrijven docter]

Een pleidooi voor de herwaardering van redenerende wiskunde

1. Inleiding: wiskunde als redeneervorm, niet als rekentechniek

Wiskunde is in het huidige onderwijs vaak verworden tot een reeks bewerkingen. Leerlingen worden beoordeeld op hun vermogen om formules correct toe te passen, tabellen af te lezen of grafieken te tekenen. Hoewel dit ongetwijfeld nuttig is voor technische beroepen, is het voor een groot deel van de leerlingen — zij die niet richting ingenieurswetenschappen of fysica willen — een bron van frustratie, faalangst en zelfs aversie geworden.

Nochtans was dat niet altijd zo. In de oudheid en de middeleeuwen werd wiskunde vooral gewaardeerd om haar vermogen tot abstractie, zuivere redenering en logische helderheid. Plato stelde in zijn Republiek dat de ziel slechts dan tot ware kennis kan komen wanneer zij de zintuiglijke wereld overstijgt en zich richt op de vormen — waarvan de wiskundige vormen de zuiverste zijn¹. Ook in het middeleeuwse curriculum van de septem artes liberales — de zeven vrije kunsten — behoorde wiskunde (rekenkunde, meetkunde, astronomie en muziek) tot de quadrivium, de voorbereiding op hogere vormen van denken zoals recht en theologie².

Tegen die achtergrond is het paradoxaal dat in de moderne school het "denken zonder cijfers" — de wiskunde van het redeneren — vrijwel verdwenen is. De focus ligt op berekening in plaats van op deductie, op numeriek kunnen in plaats van logisch onderscheidingsvermogen. Dat is niet enkel pedagogisch problematisch, maar ook maatschappelijk zorgwekkend.

---

2. Rekenen versus redeneren: een noodzakelijke tweesporigheid

Vanaf het lager middelbaar onderwijs is het vanzelfsprekend dat elke leerling een basis krijgt in algebra, breuken, procenten en eenvoudige vergelijkingen. Dat is functionele wiskunde, nuttig voor het leven. Maar na die gemeenschappelijke basis zou het curriculum moeten splitsen, niet in moeilijk en makkelijk, maar in praktisch en structureel:

Het praktische spoor (voor toekomstige ingenieurs, wetenschappers, economen, technologen) verdiept zich in calculus, vectoranalyse, complexe getallen, statistiek en toegepaste modellen.

Het structurele spoor (voor toekomstige juristen, historici, pedagogen, beleidsmakers, kunstenaars) richt zich op propositielogica, verzamelingenleer, transitiviteit, oorzaak-gevolg, kanslogica, inductie en deductie.

Het tweede spoor is geen verarming van wiskunde. Het is juist een terugkeer naar haar oorspronkelijke functie: de geest leren denken in structuren. Zoals George Boole het verwoordde:

> “Mathematics is not about numbers, equations, computations, or algorithms: it is about understanding.”³

---

3. Toepassingen buiten de techniek: recht, beleid en burgerschap

In veel domeinen buiten de techniek is het vermogen tot logisch redeneren van essentieel belang:

In het recht: redeneren in termen van noodzakelijkheid, contradictie, implicatie en tegenvoorbeeld is dagelijks werk. Denk aan de bewijsvoering in strafzaken of het toetsen van wetteksten aan hogere normen.

In beleid en economie: correlatie is geen causaliteit. Wie dat verschil niet begrijpt, trekt verkeerde conclusies uit statistieken of beleidsmodellen.

In burgerschap: argumenten herkennen, drogredenen ontmaskeren en consistent oordelen vormen de basis van democratische besluitvorming.

Toch wordt in de school nauwelijks getraind op deze vaardigheden. Wie slecht is in algebra, krijgt nauwelijks de kans te schitteren in logisch inzicht. Dat is niet alleen oneerlijk, maar ook inefficiënt.

---

4. Persoonlijk traject: zelfstudie als ontdekking van redenerende wiskunde

Als iemand die slechts lager middelbaar onderwijs heeft genoten, heb ik zelf ondervonden wat het betekent om wiskunde te ontdekken buiten het klassieke schoolsysteem. Ik koos voor zelfstudie, en begon — intuïtief — niet met formules, maar met de geschiedenis van de wiskunde: met de Grieken, met Euclides, met de getaltheorie van Gauss.

Al snel begreep ik dat er een vorm van wiskunde bestaat die niet gericht is op berekening, maar op inzicht. Ik noem het de wiskunde van het redeneren — verwant aan logica, wijsbegeerte en zelfs theologie. Deze vorm van denken heeft mij geen enkele dag in mijn carrière verlaten. Ze was nuttig in juridische dossiers, beleidsanalyses, morele vraagstukken en strategisch denken.

Ik geloof dan ook sterk dat vele leerlingen, als ze dit pad zouden mogen volgen, de wiskunde zouden herontdekken als iets zinvols, en niet als een reeks frustrerende toetsen.

---

5. Concreet voorstel: hertekening van het curriculum

Vanaf de tweede graad secundair:

Gemeenschappelijke basis:
Algebra, eenvoudige vergelijkingen, kansbegrip, metriek, functiebegrip.

Keuzecomponent 1: Rekenkundige verdieping

Calculus, functies en limieten

Differentiëren en integreren

Grafieken en modellen

Toegepaste statistiek

Keuzecomponent 2: Redenerende verdieping

Propositielogica (waarheidstabellen, implicaties, contradicties)

Verzamelingenleer en functies

Klassieke drogredenen en foutieve redeneringen

Kanslogica en modale logica

Elementaire wiskundige bewijsstrategieën (inductie, contradictie, reductie)

Abstracte wiskunde. zoals beschreven in dit boek.

Deze tweede richting moet gelijkwaardig gewaardeerd worden en leiden naar hoger onderwijs in humane wetenschappen, recht, filosofie, geschiedenis en communicatie.

---

6. Slotbeschouwing: terug naar de essentie

De kern van het probleem ligt niet bij de leerlingen. Ze zijn niet ‘slecht in wiskunde’, ze zijn vaak enkel in aanraking gekomen met een type wiskunde dat hen niet aanspreekt. Door opnieuw ruimte te geven aan redenerende wiskunde — zoals die ooit bedoeld was in de klassieke vorming — herstellen we niet alleen het vertrouwen van duizenden jongeren, maar versterken we ook de cognitieve en democratische fundamenten van onze samenleving.

Want wie leert redeneren, leert onderscheiden. En wie leert onderscheiden, leert ook beoordelen.

> Fiat veritas, ruat caelum.
Laat de waarheid geschieden, al stort de hemel in.

---

Voetnoten

1. Plato, Politeia (The Republic), Boek VII: De allegorie van de grot.

2. Zie M. Lutz, The Quadrivium: Number, Geometry, Music, Heaven (London: Wooden Books, 2010).

3. Geciteerd door Ian Stewart in From Here to Infinity: A Guide to Today's Mathematics, Oxford University Press, 1996.

[bedrijven docter]

Erratum Hoofdstuk: Over de BBC-uitzending en John Horton Conway

Tijdens eerdere versies van dit werk werd in herinnering gebracht dat een professor in een BBC-uitzending in de jaren 1980 een Rubik’s kubus binnen enkele minuten oploste en dat deze persoon zogenaamd “Cornwall” heette, en dat hij drie uitzonderlijke groepen op een zondag ontdekte. Nadere controle van historische en wiskundige bronnen corrigeert deze identificatie: de professor was John Horton Conway (1937–2020), een invloedrijke Britse wiskundige.

Conway was werkzaam aan de Universiteit van Cambridge en later aan Princeton. Hij was bekend om zijn werk op het gebied van groepentheorie, combinatoriek, speltheorie, en wiskundige recreaties, en verscheen meerdere malen in mediaprogramma’s om wiskunde op toegankelijke wijze te demonstreren[^1].

1. Rubik’s kubus en permutatiegroepen

In de BBC-uitzending demonstreerde Conway hoe het oplossen van de Rubik’s kubus kan worden begrepen via permutatiegroepen. Iedere draai van de kubus kan worden voorgesteld als een permutatie van de kubusstukjes, en het algoritme dat tot een oplossing leidt volgt een systematische toepassing van groepsoperaties[^2]. Deze presentatie inspireerde vele jonge wiskundigen, waaronder de auteur, tot verdere zelfstudie in abstracte algebra.

2. Ontdekking van de drie sporadische groepen

Conway maakte een substantiële bijdrage aan de klassificatie van eindige simpele groepen, met name de ontdekking van drie van de 26 sporadische groepen, later bekend als de Conway-groepen Co?, Co? en Co?[^3]. Volgens anekdotische bronnen gebeurde dit in één intensieve werkperiode, wat in de literatuur soms wordt aangeduid als “op één zondagmiddag drie uitzonderlijke groepen ontdekken”[^4]. Deze groepen behoren tot de meest intrigerende structuren binnen de wiskunde, omdat ze buiten de bekende families van cyclische, alternerende en Lie-type groepen vallen.

3. Invloed op zelfstudie in abstracte algebra

De auteur begon na het zien van de uitzending een zelfstudie in abstracte algebra, aanvankelijk met het boek van J.N. Herstein, en later met “Contemporary Abstract Algebra” van Joseph A. Gallian”[^5]. Deze kennis werd uiteindelijk toegepast in de ontwikkeling van de Brunello-reeks, een wiskundig-juridische constructie waarin abstracte algebra en rechtslogica werden gecombineerd.

4. Psychologische context

Conway, ondanks zijn briljante bijdragen, kende later in zijn leven periodes van psychische moeilijkheden, waaronder depressieve episodes[^6]. Dit aspect van zijn persoonlijke geschiedenis werd in eerdere herinneringen gemengd met zijn wiskundige prestaties, maar dient feitelijk gescheiden te worden gepresenteerd.


---

Conclusie

Het corrigeren van deze identificatie naar John Horton Conway geeft historische en wiskundige precisie aan de beschrijving van de BBC-uitzending en zijn invloed op de ontwikkeling van abstracte algebra bij de auteur. De verbinding tussen media, wiskundige ontdekking en persoonlijke inspiratie blijft onveranderd centraal staan.


---

Voetnoten

[^1]: J.H. Conway, On Numbers and Games, Academic Press, 1976; Biografische informatie: obituary Notices of the AMS, Vol. 67, 2020.
[^2]: D. Singmaster, Notes on Rubik’s Magic Cube, Enslow Publishers, 1981.
[^3]: R.T. Curtis, A New Combinatorial Approach to M??, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1976.
[^4]: J.H. Conway, The Atlas of Finite Groups, Oxford University Press, 1985.
[^5]: J.N. Herstein, Topics in Algebra, Wiley, 1975; J.A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 2e editie, 1987.
[^6]: Biografische bronnen: Notices of the AMS, Vol. 67, 2020; Interviewen en archieven van Princeton University.

[Vlad]

Je kan misschien meer verdienen door als consultant voor een bedrijf wat justitionele AI agents ontwikkelt te gaan werken dan door je boeken uit te brengen. Door je boeken uit te brengen voed je de AI agent zowat gratis.

[bedrijven docter]

Appendix: Van radicalen tot takken tellen – de weg van Lagrange tot Abel

1. Historische inleiding

Sinds de Oudheid probeerden wiskundigen algemene formules te vinden voor vergelijkingen van hogere graad. De kwadratische formule was reeds in Babylonische tijden bekend; de oplossingen voor derde- en vierdegraadsvergelijkingen werden in de zestiende eeuw door Cardano en Ferrari expliciet uitgewerkt. Vanaf de achttiende eeuw werd de vraag steeds urgenter of er ook een “algemene formule” in radicalen bestond voor de vijfdegraadsvergelijking (de quintiek).

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) leverde hier een sleutelbijdrage. In zijn Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770–1771)¹ introduceerde hij zogenaamde resolventen: symmetrische combinaties van wortels die onder bepaalde permutaties eenvoudig transformeren. Alhoewel Lagrange de quintiek niet kon oplossen, legde hij wel de kiem voor wat later groepentheorie zou worden. Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796) werkte in dezelfde richting door de rol van permutaties en symmetrie explicieter te maken².

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) toonde in 1801 aan dat cyclotomische vergelijkingen oplosbaar zijn in radicalen³, maar enkel omdat hun symmetrische structuur uitzonderlijk gunstig is. Daarmee werd duidelijk dat de quintiek waarschijnlijk niet in radicalen oplosbaar zou zijn.

Niels Henrik Abel (1802–1829) leverde in 1824 het definitieve bewijs. Zijn Mémoire sur les équations algébriques bevat de eerste formele onmogelijkheidstelling van de moderne wiskunde: de algemene vijfdegraadsvergelijking heeft geen oplossing in radicalen?.


---

2. Het idee van takken tellen

De cruciale stap in Abels redenering was wat hij zelf “obvious” noemde, maar wat moderne lezers zonder context moeilijk vatten: takken tellen.

2.1 Wat is een “tak”?

Wanneer men een oplossing probeert uit te drukken in radicalen (wortels, machten, enz.), krijgt men een uitdrukking die niet één maar meerdere waarden kan aannemen. Bijvoorbeeld:

De vierkantswortel heeft twee mogelijke waarden: en .

De derdemachtswortel heeft drie mogelijke waarden, omdat er drie complexe derde-machtswortels bestaan.


Elke keuze leidt tot een “tak” van de oplossing. De volledige formule voor een kubieke vergelijking (Cardano) heeft dus:

3 \text{ keuzes voor de derde wortel} \times 2 \text{ keuzes voor het teken van de vierkantswortel} = 6 \text{ takken}.

Dit komt exact overeen met het aantal mogelijke permutaties van drie wortels: de symmetrische groep , die 6 elementen telt. Daarom werkt de Cardano-formule perfect: het aantal takken van de radicale uitdrukking dekt het aantal mogelijke permutaties van de oplossingen.

2.2 Abel en de quintiek

Abel construeerde een mogelijke vorm voor een quintiek-oplossing in radicalen, in de gedaante van een som van machten van een vijfdemachtswortel, gecombineerd met een tekenkeuze bij een vierkantswortel. Schetsmatig:

y = \sum_{k=0}^{4} \big(a_k \pm b_k \sqrt{\Delta}\big)\,(R^{1/5})^k.

Het aantal takken hiervan is:

5 \text{ keuzes voor de vijfde wortel} \times 2 \text{ keuzes voor het teken} = 10 \text{ takken}.

Maar: de volledige groep van permutaties van vijf wortels is , met 120 elementen. Er gaapt dus een kloof: een radicale uitdrukking kan slechts 10 takken opleveren, terwijl de ware algebraïsche structuur 120 vertakkingen vereist.

Deze mismatch vormt de kern van Abels bewijs. Omdat radicale formules te weinig takken genereren, kunnen ze nooit de algemene quintiek beschrijven.


---

3. Historische context van het “obvious”

Waarom vond Abel deze overgang “obvious”?

Voor zijn tijdgenoten was het tellen van takken bij radicale uitdrukkingen een routineoefening. Men wist dat een vierkantswortel twee takken opleverde, een derdewortel drie, enzovoort.

In de traditie van Lagrange en Vandermonde was het vanzelfsprekend dat men deze multiplicaties van vertakkingen in rekening bracht.

Abel hoefde dit dus niet stap voor stap uit te leggen: zijn lezers in de Académie des Sciences waren geoefende algebraïsten die deze ambachtelijke praktijk onmiddellijk herkenden.


Het woord “obvious” betekent hier dus: “een standaardtruc uit het repertoire van de algebraïst”, niet “zonder bewijs”.


---

4. Evolutie naar moderne inzichten

Évariste Galois (1811–1832) maakte kort daarna expliciet wat bij Abel impliciet bleef: de relatie tussen de structuur van de oplossing en de permutatiegroep van de wortels. Waar Abel takken telde, ontwikkelde Galois een volledig formeel criterium: een vergelijking is oplosbaar in radicalen als en slechts als zijn groep oplosbaar is?.

Daarmee kreeg Abels “obvious” stap een solide theoretische fundering. Wat bij Abel een ambachtelijk inzicht was, werd bij Galois een systeem: groepentheorie en monodromie.


---

5. Reflectie en juridische analogie

De techniek van takken tellen heeft een verrassend parallellisme met de bewijsvoering in het recht, zoals besproken in Beweren is niet bewijzen.

Wiskundig: één formule moet alle mogelijke wortels van een vergelijking genereren. Als er te weinig takken zijn, is de formule ontoereikend.

Juridisch: één redenering moet alle relevante scenario’s en varianten van de feiten dekken. Als een argumentatieschema slechts een beperkt aantal gevallen afhandelt en andere mogelijkheden buiten beschouwing laat, is het onvoldoende overtuigend.


Net zoals Abel aantoonde dat radicalen te weinig takken hadden voor de quintiek, zo kan een rechter vaststellen dat een bewijs te weinig mogelijke uitkomsten verklaart om overtuigend te zijn. De eis tot volledigheid – dat het bewijs alle vertakkingen of scenario’s afdekt – vormt zowel in de wiskunde als in het recht de grens tussen schijn en werkelijkheid, tussen beweren en bewijzen.


---

Conclusie

“Takken tellen” is de sleutel om Abels bewijs te begrijpen. Wat hij zelf als “obvious” aanduidde, blijkt een overgang te zijn die diep geworteld was in de algebraïsche praktijk van zijn tijd. Historisch markeert dit de stap van ambachtelijk rekenen met wortels naar de systematische groepentheorie van Galois. Filosofisch illustreert het hoe vanzelfsprekendheid contextafhankelijk is: wat in 1824 “obvious” was, vraagt vandaag om expliciete verantwoording. En juridisch gezien herinnert het ons eraan dat bewijsvoering alleen overtuigt wanneer zij alle mogelijke vertakkingen van de werkelijkheid adequaat omvat.


---

Voetnoten

1. J.-L. Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, in: Oeuvres complètes de Lagrange, Tome III, Gauthier-Villars, Paris, 1869, p. 205–421 (origineel 1771).


2. A.-T. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, Histoire de l’Académie royale des sciences, Paris, 1771.


3. C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig, 1801 (Engelse vertaling: Yale University Press, 1966).


4. N.H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où on démontre l’impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième degré, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle’s Journal), 1826 (geschreven 1824).


5. É. Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, postuum gepubliceerd in Journal de mathématiques pures et appliquées, 1846.

[bedrijven docter]

Appendix: Van “Obvious” tot Onoplosbaar – De historische evolutie van takken tellen

1. Inleiding

Wanneer Abel in zijn beroemde bewijs (1824) stelt dat een bepaalde omzetting van de algemene vijfdegraadsvergelijking in een nieuwe vorm “obvious” is, lijkt dit voor de moderne lezer allesbehalve vanzelfsprekend. Toch gold deze stap in zijn tijd als een standaardtechniek, goed ingeburgerd bij de lezers die vertrouwd waren met de algebra van de achttiende eeuw. De sleutel ligt in wat men later takken tellen is gaan noemen: het systematisch nagaan hoeveel verschillende waarden een radicale uitdrukking kan aannemen door de verschillende keuzes van worteltakken te doorlopen.


---

2. De vroege traditie: Cardano en Vieta

De Italiaanse algebraïsten van de zestiende eeuw (Cardano, Ferrari, Bombelli) waren de eersten die een scherp besef ontwikkelden dat worteluitdrukkingen meerdere waarden konden aannemen. Zo heeft een kwadratische wortel steeds twee mogelijke waarden (), een derdemachtswortel drie, enzovoort. Toch bleef dit inzicht vooral een rekenkundige waarschuwing: de opeenvolgende vertakkingen werden niet systematisch geteld.

François Viète (1540–1603) voegde hier een belangrijke notatiekundige en conceptuele stap aan toe. Hij benaderde wortels van vergelijkingen via symmetrische uitdrukkingen, wat de weg opende naar een systematisch onderzoek van de structuren die zich achter radicalen verbergen.


---

3. Lagrange en Vandermonde: het zaad van takken tellen

De echte sprong kwam in de achttiende eeuw, bij Joseph-Louis Lagrange en Alexandre-Théophile Vandermonde.

Lagrange (1771) publiceerde zijn Réflexions sur la résolution algébrique des équations. Daar introduceerde hij het idee van resolventen: combinaties van wortels die symmetrisch bleven onder bepaalde permutaties. Hij merkte op dat zulke resolventen niet willekeurig veel waarden aannemen, maar een eindig aantal dat overeenkomt met de onderliggende worteltakken. Dit is de kiem van systematisch takken tellen.

Vandermonde (1771) wees erop dat bij de oplossing van de derdemachtvergelijking de cruciale stap was dat sommige radicale combinaties slechts een beperkt aantal vertakkingen toelaten. Daarmee koppelde hij de dubbelzinnigheden van radicalen expliciet aan permutaties van wortels.


In deze werken ontstaat het inzicht dat de kracht van radicale methoden niet enkel in berekening ligt, maar in het tellen van de mogelijke vertakkingen van worteluitdrukkingen.


---

4. Abel en het “obvious”

Toen Niels Henrik Abel in 1824 zijn bewijs formuleerde dat de algemene vijfdegraadsvergelijking niet oplosbaar is door radicalen, gebruikte hij een overgang naar een vorm zoals:

y = p_1 R^{1/m} + p_2 R^{2/m} + \dots

Waarom vond hij dit vanzelfsprekend? Omdat in de traditie van Lagrange en Vandermonde iedereen wist dat een uitdrukking met een -de machtswortel, gecombineerd met andere wortels, takken oplevert die systematisch geteld kunnen worden. Een m-de machtswortel geeft m mogelijkheden, een kwadraatwortel 2, enzovoort. Het totale aantal mogelijke waarden volgt door multiplicatie van deze factoren.

In Abels bewijs komt dit neer op de vaststelling dat de linkerkant van zijn constructie slechts 10 takken toelaat, terwijl de algemene vergelijking van de vijfde graad een volledige symmetriegroep van 120 permutaties heeft. Het verschil in aantallen takken toont dat geen enkele combinatie van radicalen de volle complexiteit kan omvatten: de quintiek is onoplosbaar in radicalen.


---

5. Van Abel naar Galois en Riemann

Na Abel werd het principe verder geformaliseerd:

Augustin Cauchy ontwikkelde in de jaren 1820–1830 de systematische studie van substituties, wat de brug sloeg naar de groepsstructuren die impliciet al in het takken tellen aanwezig waren.

Évariste Galois (1830–1832) maakte expliciet dat de essentie van Abels telling lag in de vergelijking tussen het aantal takken van radicale uitdrukkingen en de omvang van de onderliggende permutatiegroep. Waar Abel aantallen vergeleek, gaf Galois de volledige groepsstructuur: radicalen werken slechts als de bijbehorende groep oplosbaar is.

Bernhard Riemann (1850’s) vertaalde dit naar de taal van de analyse: takken zijn de verschillende analytische voortzettingen van een functie bij het rondgaan rond singulariteiten. Het takken tellen werd nu geometrisch zichtbaar op Riemann-oppervlakken.



---

6. Juridische analogie: takken tellen in het recht

Het juridische bewijsproces kent een frappante parallel.

Wanneer een rechter geconfronteerd wordt met een bewijsmiddel, lijkt het soms “obvious” dat er slechts twee mogelijke interpretaties zijn: de verdachte is aanwezig of afwezig, het document is authentiek of vals. Maar net zoals bij Abel kunnen de onderliggende structuren veel complexer zijn:

er kunnen meerdere verklaringen circuleren,

er zijn gradaties van betrokkenheid,

er bestaan alternatieve juridische kwalificaties.


Net als Abel die aantoonde dat radicale expressies te weinig takken tellen om de quintiek te vatten, kan men in de rechtspraak vaststellen dat een te simplistische “obvious” tweedeling de rijkdom van de realiteit tekortdoet.

Beweren is niet bewijzen betekent hier: een rechter die niet alle mogelijke takken van interpretatie meeneemt, kan een vals gevoel van sluitend bewijs creëren. De geschiedenis van de algebra leert ons dat pas wanneer de volledige structuur in kaart gebracht is – alle vertakkingen, alle groepen, alle scenario’s – men kan beoordelen of een oplossing werkelijk bestaat.


---

7. Conclusie

Abels “obvious” stap is geen raadselachtige sprong, maar de erfgenaam van een eeuwenlange traditie:

van de intuïtieve meerwaardigheid van wortels bij Cardano,

via de symmetrieën van Viète,

tot de resolventen van Lagrange en Vandermonde.


Wat voor ons een cruciale wending lijkt, was voor zijn publiek een bekende routine: het takken tellen van radicale uitdrukkingen. De moderne lezer mag uit dit verhaal leren dat in zowel de wiskunde als het recht, “obvious” vaak een codewoord is voor “door traditie en vakgemeenschap gedragen, maar voor buitenstaanders allerminst evident.”

[bedrijven docter]

Appendix: Abels “Obvious Form” en het bewijsrecht

1. Van de vierkantsvergelijking naar de quintiek

De klassieke vierkantsvergelijking

x^2 + bx + c = 0

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2}.

Deze formule kan herschreven worden als een zogenoemde obvious form, waarbij de onbekende wordt uitgedrukt als een lineaire combinatie van machten van een wortel:

x = p_1 \cdot \sqrt{D} + p_0,

Deze herschrijving lijkt banaal, maar bevat een cruciaal inzicht: de oplossing bestaat uit een wortel en haar lineaire combinaties. De wortel kent slechts twee takken (de positieve en negatieve wortel), en dit stemt exact overeen met het aantal oplossingen van de vierkantsvergelijking. De telling klopt: aantal takken = aantal oplossingen.

Niels Henrik Abel (1802–1829) maakte deze observatie tot fundament van zijn beroemde bewijs dat de algemene vergelijking van graad vijf niet oplosbaar is met radicalen. Zijn redenering was: als men een vergelijkbare obvious form voor de quintieke zou opschrijven,

y = p_1 R^{1/m} + p_2 R^{2/m} + \dots,


---

2. Het principe van “takken tellen”

De methode die Abel hanteerde staat bekend als takken tellen: men telt het aantal verschillende waarden dat een bepaalde worteluitdrukking kan aannemen, rekening houdend met de meervoudige keuzes (plus/minus, verschillende m-de machtswortels, enzovoort).

Voor de vierkantsvergelijking: 2 takken ? 2 oplossingen.

Voor de derdemachtsvergelijking: 6 takken ? 3 oplossingen (via de Cardano-formule).

Voor de vijfdemachtsvergelijking: maximaal 10 takken via radicale expressies, maar in werkelijkheid 120 oplossingen.


Deze discrepantie was Abels sleutel tot zijn onmogelijkheidstelling. Historisch gezien vond men deze redenering reeds impliciet bij Joseph-Louis Lagrange en Alexandre-Théophile Vandermonde, maar Abel was de eerste die het systematisch toepaste en de onvermijdelijke kloof expliciet benoemde.¹


---

3. Juridische analogie: takken tellen in het bewijsrecht

Het mechanisme van takken tellen is niet louter een algebraïsche curiositeit, maar biedt een treffende analogie voor het bewijsrecht.

a. Eenvoudige casus (vierkantsvergelijking)

In een eenvoudige rechtszaak bestaan er slechts twee juridische scenario’s, bijvoorbeeld “schuld” of “onschuld”. De rechter telt twee takken, en de juridische werkelijkheid biedt ook slechts twee mogelijkheden. Hier is de zaak oplosbaar: de telling stemt overeen met de werkelijkheid.

b. Complexe casus (quintieke vergelijking)

In een complexe fiscale fraudezaak, met internationale vennootschappen, schijnconstructies en opeenvolgende transacties, lijkt de aanklager de feiten te kunnen reduceren tot een handvol mogelijkheden. De juridische werkelijkheid is echter veel rijker: er bestaan tientallen mogelijke interpretaties, uitzonderingen en combinaties van wetsartikelen. Wanneer men slechts een beperkte set scenario’s onderzoekt (de “obvious form”), maar de realiteit vraagt een veelvoud, dan ontstaat een bewijslek.²


---

4. Beweren is niet bewijzen

Het kerninzicht is dat men niet mag vertrouwen op een ogenschijnlijk evidente vorm (“obvious”) wanneer de complexiteit van het systeem veel groter is. In de wiskunde leidt dit tot de onoplosbaarheid van de quintieke; in het recht leidt dit tot onvolledige of gebrekkige bewijsvoering.

Het adagium Beweren is niet bewijzen krijgt hier een formele vertaling:

Beweren = het opstellen van een obvious form, waarbij men denkt dat twee of drie takken volstaan.

Bewijzen = het systematisch tellen van alle takken, ook de niet-voor-de-hand-liggende, en vaststellen of de telling overeenstemt met de realiteit.


Wanneer er een discrepantie bestaat tussen het aantal onderzochte scenario’s en het aantal werkelijk mogelijke scenario’s, is er geen geldig bewijs, maar enkel een illusie van evidentie.³


---

5. Conclusie

Wat Abel voor de wiskunde aantoonde, geldt mutatis mutandis voor het recht:

Een eenvoudig systeem (graad 2) is oplosbaar door radicale middelen.

Een complex systeem (graad 5) vraagt een rijkere structuur (groepentheorie in de wiskunde; systematische rechtsvergelijking en doctrine in de rechtspraak).


De stap van de “obvious form” naar het systematisch takken tellen vormt zowel in de algebra als in het bewijsrecht het verschil tussen schijnzekerheid en daadwerkelijk bewijs.

[dewanand]

mooie topic, Wiskunde was mijn geloof vroeger en tot nu toe gebruik ik mijn TU Delft hogere wiskunde kennis.

Juridisch vakgebied werkt met een soort Axioma's denk ik, die je uit het Wetboek van Strafrecht kan destilleren, vb

kijk naar het begrip:

STRAFBARE Teksten???

HOe strafbaar is een Tekst van mij eigenlijk, of een simpele brief??

Maart 2025 stormde een gewapende AGENT met een Sociaal verpleegkundige van de psychiatrie mijn woning binnen zonder afspraak, dus ik liet hen toch binnen,

en de Agent beschuldigde mij dat ik Geert Wilders wil aanvallen, ik werd onderworpen aan een kruisverhoor ok en beneden stond arrestatie wagen gereed.

Ik kon hen overtuigen, en zij konden mij niet meenemen naar de isoleercellen.

IK had namelijk in een harde brief aan The Future Lab geuit dat ik Geert wilders zou aanvallen, ruzie ok, na hun afwijzing om te mogen participeren.

(ik ben psychiatrische patient, schizofrenie en ben GEEN Blanke man, ben van het bruine Bharatiya PV RAS en NIET Arisch Duits, mijn leven is een Totalitaire OORLOG nu tot DOOD in feite. )
=====================

jij moet het begrip Axioma's onderzoeken in de Wiskunde:

Rechtspraak, Recht spreken is gebaseerd op simpele AXIOMA Sets en verzamelingen denk ik

vb neem islamitische Sharia, die heeft hele simpele AXIOMA's, primitieve rechtspraak uit de oudheid.

Het Blank Westers/ Christelijke Rechtsstelsel is nu veel verder gemoderniseerd en verfijnd.

===================== Ik ben een Beruchte persoon en ik ondersteun openlijk White (COCK) Power Nederland met mijn Research zie mijn site.

Ivm mijn poederbrieven strafzaak schrijf ik dit ok

zie hier de lustrum verklaring van mij na vijf jaar sedert RM ontslag Joris kliniek Delft eind 2003:

----------------------
Lustrum herdenking poederbrieven Dewanand van mei 2002



Offeraar Dewanand
Offercode wfor1218
Offerdatum 5 mei 2007

(Epage = 1 of 16) ... Go to next Epage
Intern home: Lustrum herdenking poederbrieven Dewanand wfor1218

Inhoudsopgave hoofdstukken (17)
0. Inleiding algemeen
1. 'Ik heb er geen spijt van'
2. Raszuivere Germaanse Nederlanders
3. Nieuwe laterale inzichten
4. Mijn participatie in Werkgroep Agni, Hindoestrijders organisatie
5. Workshop Vedic Mathematics, hsfn congres hindoeïsme en wetenschap donderdag 20 juni 2002
6. De arrestatie d.d. donderdag 27 juni 2002 om 7:30 uur
7. Enkele herinneringen aan de politiecel in Den Haag
8. Herinnering cel-gedichten. "De ritmische duif" d.d 30 juni 2002
9. Stichting Agni of Hsfn verstuurden mijn poederbrief teksten
10. Herdenking Mahatma Pim Fortuyn
11. Dewanand in Wikipedia genoteerd
12. 'Moslims hebben geen toekomst'
13. Publieke reacties op internet van poederbrieven Dewanand
14. Interview Dewanand: Stop hindoeholocaust
15. Overige publicaties poederbrieven en Dewanand
16. Kans op herhaling?
17. Teksten online ivm lustrum herdenking poederbrieven

Links INTERN (zie onderin)


0. Inleiding algemeen

Heden, 5 mei 2007 herdenk ik een stukje uit mijn woelige verleden. Het is vandaag precies vijf jaar geleden dat ik poederbrieven verstuurde naar vele hindoeorganisaties in Nederland en hiervoor eind juni 2002 gearresteerd werd, waarna in bewaringstelling volgde en verpleging in een gesloten kliniek, op voorschrift van het vonnis. Hier mijn officiële betoog over deze kwalijke gebeurtenis, die ik op geen enkele manier betreur, want treuren is slechts het lot van onwetenden, dwazen en dementerenden.

https://www.dewanand.com/wfor1218.htm

-------------------------

ps ik heb ZWARE criminelen persoonlijk en vriendschappelijk gekend ok ook seriemoordenaars kende ik persoonlijk, vraag je af hoe een professionele Crimineel of maffia over het Strafrecht denkt dan kan je mijn vraag begrjpen??

Verdiep je in OORLOGSRECHT als je de professionele Seriemoordenaars wil begrijpen zou ik zeggen.

-----------------------