Paul Van der Es Facebook pagina

[bedrijven docter]

https://www.facebook.com/share/1CJWfmjmzu/
Hier vind U alles over mijn boeken

[IJsboer]

Op twee vakken was ik altijd gebuisd.

Middelbaar: wiskunde
Hogeschool: rechten

Niets voor mij dus.

Succes met de boeken, echter!

[bedrijven docter]

Das heel vriendelijk ijsboer

Bijlage 1 – Mathematical Toolbox

(Euclidisch wiskundig bewijs – niet de moderne complexe bewijstheorieën)

(Verwijst methodologisch naar Hoofdstuk 2 van “Beweren is niet bewijzen”)

> Deze toolbox is gegrond in de klassieke, Euclidische opvatting van bewijs: vertrekken van vastgelegde premissen (axioma’s of middelen) en daaruit via deductieve regels een noodzakelijke conclusie afleiden.

Ze verwijst naar de hoofdstukken waarin deze methode wordt uitgelegd – met name Hoofdstuk 2 – en distantieert zich bewust van de moderne, complexere bewijstheorieën (zoals modale, fuzzy of probabilistische logica) die buiten de reikwijdte van deze verhandeling vallen.

Het doel is helderheid en controleerbaarheid — het bewijzen zoals Euclides het bedoelde: stap voor stap, zonder sprongen, zonder probabilisme.




---

I. De Formele Euclidische Tools

1. Modus Ponens / Modus Tollens

Formules:

P \rightarrow Q,\; P \vdash Q \quad\text{(modus ponens)}

P \rightarrow Q,; \neg Q \vdash \neg P \quad\text{(modus tollens)} ?
Toelichting:
Vanuit een voorwaardelijke premisse kan men, zodra de voorwaarde vervuld is, het gevolg concluderen. In juridische bewijsvoering: “indien de voorwaarden van artikel X zijn vervuld, dan volgt aansprakelijkheid”.


---

2. Transitiviteit

Formule:

(P \rightarrow Q) \wedge (Q \rightarrow R) \Rightarrow (P \rightarrow R)

Wanneer één juridische stelling leidt tot een tweede, en die tot een derde, geldt ook de afgeleide relatie tussen eerste en derde. Dit waarborgt de coherentie van opeenvolgende wetsartikelen of argumentatieve schakels.


---

3. Contrapositief

Formule:

(P \rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P)

Een stelling kan via haar tegendeel bewezen worden. Wanneer het gevolg niet optreedt, kan ook de oorzaak niet aanwezig zijn. Veel gebruikt bij causale redeneringen in rechtspraak.


---

4. Reductio ad absurdum (Indirect Proof)

Formule:

\neg C \Rightarrow (R \wedge \neg R) \Rightarrow C

Wanneer het ontkennen van de conclusie tot een tegenspraak leidt, moet de conclusie waar zijn. Dit is de basis van tegensprekelijke rechtspraak: men elimineert onmogelijke tegenstellingen.


---

5. Case Distinction (Disjunctieve opdeling)

Formule:

(Case_1 \Rightarrow C) \wedge (Case_2 \Rightarrow C) \wedge \dots \Rightarrow C

Wanneer de stelling in alle onderscheiden gevallen geldt, geldt zij algemeen. Juridisch wordt dit vaak toegepast bij alternatieve feitenscenario’s.


---

6. De Morgan’s Laws

Formules:

\neg (P \wedge Q) \Leftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)

\neg (P \vee Q) \Leftrightarrow (\neg P \wedge \neg Q) ?
Toelichting:
De correcte behandeling van negaties vermijdt misverstanden zoals “niet bewezen dat A en B” (wat betekent: minstens één van beide is niet bewezen).


---

7. Biconditioneel bewijs

Formule:

P \Leftrightarrow Q \equiv (P \Rightarrow Q) \wedge (Q \Rightarrow P)

Voor een wederkerige rechtsregel (zoals wederkerige verbintenissen) moet men beide richtingen afzonderlijk aantonen.


---

8. Associativiteit en Commutativiteit

Formules:

(P \wedge Q) \wedge R = P \wedge (Q \wedge R)

P \wedge Q = Q \wedge P ?
Toelichting:
Sommige logische bewerkingen laten herschikking toe, andere niet. In recht is volgorde soms semantisch bepalend (“Hij blies zijn laatste adem uit en stierf” ??* “Hij stierf en blies zijn laatste adem uit”).


---

9. Natural Deductie

Regels (voorbeeld):

P,\; P \rightarrow Q \vdash Q \quad\text{(modus ponens)}

\neg Q,; P \rightarrow Q \vdash \neg P \quad\text{(modus tollens)} ?
Toelichting:
Natural deductie biedt de formele onderbouw van logische gevolgtrekking. Elk juridisch argument kan in zulke regels worden omgezet.


---

10. Reverse Redeneren

Schema:

C \Rightarrow P', \quad P \Rightarrow C

Wanneer directe deductie niet lukt, kan men van de conclusie terugredeneren naar premissen. Waar beide wegen elkaar kruisen, ligt het geldige bewijs.


---

II. Diagnostische Tools

11. Vacuümwaarheden

Formule:

\neg P \Rightarrow (P \rightarrow Q)

Een implicatie is formeel waar als de voorwaarde onwaar is. Juridisch is dat betekenisloos: een bewijs zonder feitelijke basis blijft leeg. De toolbox markeert zulke stellingen als formeel correct maar inhoudsloos.


---

12. Conversie- en Inversefouten

Fouten:

(P \rightarrow Q) \Rightarrow (Q \rightarrow P)\quad\text{(converse – fout)}

(P \rightarrow Q) \Rightarrow (\neg P \rightarrow \neg Q)\quad\text{(inverse – fout)} ?
Toelichting:
Veel juridische redeneringen verwarren richting met equivalentie. De toolbox detecteert en corrigeert deze fouten.


---

13. De Morgan-misbruik

Foutieve toepassing:

\neg (P \wedge Q) \nRightarrow (\neg P \wedge \neg Q)

Het verschil tussen formele negatie en bewijsontkenning is cruciaal: juridisch mag men niet uit “niet bewezen dat A en B” besluiten dat A én B onwaar zijn.


---

14. Juridische ongeloofwaardigheid bij formele correctheid

Principe:
Logische geldigheid garandeert geen juridische overtuigingskracht.
Toelichting:
Een conclusie kan logisch volgen en toch onaanvaardbaar zijn wegens onvolledig feitenmateriaal, onevenwichtige aannames of strijd met billijkheid. De toolbox signaleert dergelijke inconsistenties met het rechtsgevoel.


---

III. Dynamische Tools

15. Niet-monotone Logica

Formule:

(P \vdash C) \;\text{maar}\; (P \wedge N \not\vdash C)

Nieuwe informatie (N) kan vroegere conclusies herroepen. In recht essentieel bij voortschrijdend onderzoek of bijkomende bewijsstukken.


---

16. Tijd- en Contextgevoelige Axioma’s

Schema:

A_t \rightarrow C_t \quad\text{en}\quad A_{t+1} \nRightarrow C_t

Wat op tijdstip t geldig is, kan dat later niet meer zijn. Dit past de toolbox toe bij veranderende wetgeving of gewijzigde feiten.


---

17. Categorietheoretische Transformatie

Schema:

Obj_{recht_1} \xrightarrow{Functor} Obj_{recht_2}

Een juridisch probleem kan getransformeerd worden via een functor (bijvoorbeeld van fiscaal naar strafrecht). Het bewijs blijft structureel geldig als het diagram commutatief is.


---

18. Juridisch Schaakmodel

Fasen:

1. Openingszet: het gestelde (punt II)


2. Middenspel: de middelen (punt III)


3. Strategie: combinaties en transformaties


4. Eindspel: deductie of reverse redenering
Toelichting:
De toolbox gebruikt dit model om elk bewijsproces te structureren.




---

19. Juridisch Schaak-eindspel

Principe:
Alle middelen zijn ingezet, elke zet van de tegenpartij gepareerd, de conclusie volgt noodzakelijk.
Slot:

\therefore\; Q.E.D.


---

IV. Controlefunctie van de Toolbox

De toolbox dient niet enkel als methodologisch kader maar ook als controle-instrument:

Zij detecteert ontbrekende deductieve schakels;

Markeert inverse of conversefouten in rood;

Signaleert formele correctheid zonder juridische geloofwaardigheid;

Waarschuwt bij niet-monotone of contextuele instabiliteit.


Zo verzekert zij dat elk besluit voldoet aan het criterium van Hoofdstuk 2:

> “Men moet eerst de regels van het schaakspel kennen alvorens men competitief kan schaken.”




---

?? Samenvatting:
De Mathematical Toolbox integreert klassieke logica, juridische diagnose en dynamische contextcontrole in één Euclidisch systeem van bewijs.
Ze vormt zowel de fundering als het controlemechanisme van elk besluit binnen Beweren is niet bewijzen.