Rekenkundig raadseltje

[Firestone]

Daar het forum voorlopig zijn primordiale functie (quizzen) niet vervult, een raadseltje tussendoor.

Het departement wiskunde van een universiteit is onlangs naar een nieuw gebouw verhuisd.
Zowel het oude als het nieuwe gebouw hebben 9 verdiepingen, en de kantoren hebben allen nummers van 3 cijfers, waarbij het eerste de verdieping voorstelt.

Toen ik aan professor Z vroeg in welk kantoor hij nu zat, vond hij het beneden zijn waardigheid het nummer zomaar te zeggen.

"Wel, beste Firestone," zei hij, "het nummer van mijn kantoor in het oude gebouw ken je. Als je nu van dat oude nummer het eerste cijfer (dat van de honderdtallen) weglaat, en wat overblijft vemenigvuldigt met dat eerste cijfer, en dan met 2, dan krijg je het nummer van mijn nieuwe kantoor."

Ik deed de berekening, en merkte toen op dat zijn nieuwe nummer gewoon het oude nummer achterstevoren was.

Wat is zijn nieuwe nummer?

Het is gemakkelijk dit tot 8 mogelijkheden te herleiden, en dan gewoon checken welke tot een oplossing leidt.
Een elegante oplossing zou echter leuker zijn.

(Voor de duidelijkheid, stel dat zijn oude nummer 367 was. De berekening die professor Z opgaf zou dan zijn 67*3*2 = 402.)

[Knipp]

Fantastische definitie van waardigheid !

[driewerf]

het raadsel kan je als volgt opschrijven:
ON= Oud Nummer
NN= Nieuw nummer
ON=100x+10y+z (met x, y en z< 10 en € IN)

We vervolledigen zijn raadsel

ON=100x+10y+z
NN= (10y+z)*2*x

Na berekeningen kom je op:
NN=100z + 10y + x
We kunnen nog een vierde vergelijking opschrijven, immers:
(10y+z)*2*x=100z + 10y + x
verder stelsel als een matrix schrijven en oplossen.

[Knipp]

Moet eleganter kunnen denk ik.

Bij omkeren van een getal ABC, blijft het middenste getal altijd op z'n plaats.

En A moet een paar getal zijn. Want het nieuwe nummer CBA ontstaat door vermenigvuldiging met een veelvoud van 2.

We zijn in de buurt van de genoemde acht mogelijkheden.
Nu alleen nog een lampje ?

[Djiezes]

Kon je die prof nu niet gewoon eens goed bij zijn ballen pakken en dat nummer eruit knijpen?

[Mitgard]

Oorspronkelijk geplaatst door Firestone

Toen ik aan professor Z vroeg in welk kantoor hij nu zat, vond hij het beneden zijn waardigheid het nummer zomaar te zeggen.

jee, wat een eikel.

[Knipp]

Oorspronkelijk geplaatst door Knipp

En A moet een paar getal zijn.

We zijn in de buurt van de genoemde acht mogelijkheden.
Nu alleen nog een lampje ?

Met als beeld voor ogen ABC en CBA.

A is dus 2,4,6 of 8.

In casu A=2, moet je stuk BC vermenigvuldigen met vier en als laatste cijfer van die nobele daad terug 2 krijgen.
Dat kan alleen als C drie is of acht is.
Idem, zo blijkt voor A=4 en vermenigvuldigen met 8.
Idem, idem.
C moet drie of acht zijn.

Een beetje 'trial and error' geeft dan snel de oplossing.

Maar het moet dus eleganter ?

[Andy]

We hebben de vergelijking:
2x*(10y+z) = 100z + 10y + x
En aangezien beide getallen slechts bestaan uit 3 cijfers hebben we de beperkingen:
x<=9
y<=9
z<=9

Met elk cijfer uiteraard integer >=0

Ik moet wel bekennen dat ik voor de eigenlijke berekeningen een computerprogrammaatje gebruikte (Lingo om precies te zijn). Ik had immers zo'n vermoeden (3 parameters en slechts 1 zinvolle vergelijking, dus nog 1 vrijheidsgraad) dat handmatige berekeningen enorm veel tijd zouden opslorpen. Hieronder de formulering:

Oorspronkelijk geplaatst door Lingo

min=x+y+z;
100*x+10*y+z>=1;
100*z+10*y+x>=1;
20*x*y+2*x*z-100*z-10*y-x=0;
x<=9;
y<=9;
z<=9;
@gin(x);
@gin(y);
@gin(z);
end

Na 744 (!) stappen is de oplossing uit de bus gekomen:

Oorspronkelijk geplaatst door Oplossing

Local optimal solution found at iteration: 744
Objective value: 11.00000


Variable Value Reduced Cost
X 4.000000 0.000000
Y 4.000000 0.1764704
Z 3.000000 2.082353

Het oude nummer was 443, het nieuwe 344. Het is tevens de enige driecijfercombinatie waarvoor dit geldig is. (ik draaide het programmaatje om=max xyz, en de uitkomst was opnieuw 344) Een knap raadseltje.

[Knipp]

Oorspronkelijk geplaatst door Andy

Na 744 (!) stappen is de oplossing uit de bus gekomen:

Dan was mijn methode sneller.
En heb zelfs geen rekenmachine aangeraakt.
De veertiende 'trial' was raak.

En m'n intuïtie zegt dat het nóg simpeler kan worden beredeneerd.

[fox]

Oorspronkelijk geplaatst door Andy

We hebben de vergelijking:
2x*(10y+z) = 100z + 10y + x
En aangezien beide getallen slechts bestaan uit 3 cijfers hebben we de beperkingen:
x<=9
y<=9
z<=9

Met elk cijfer uiteraard integer >=0

Ik moet wel bekennen dat ik voor de eigenlijke berekeningen een computerprogrammaatje gebruikte (Lingo om precies te zijn). Ik had immers zo'n vermoeden (3 parameters en slechts 1 zinvolle vergelijking, dus nog 1 vrijheidsgraad) dat handmatige berekeningen enorm veel tijd zouden opslorpen. Hieronder de formulering:

Na 744 (!) stappen is de oplossing uit de bus gekomen:

Het oude nummer was 443, het nieuwe 344. Het is tevens de enige driecijfercombinatie waarvoor dit geldig is. (ik draaide het programmaatje om=max xyz, en de uitkomst was opnieuw 344) Een knap raadseltje.

U vergeet dat X = Z. Dan zou Lingo minder dan 744 stappen nodig gehad hebben. 2 vergelijking met 3 onbekenden. ALs het eleganter kan dan betekent dit dat er nog ergens een vergelijking moet zijn

[Firestone]

Hoe weet je dat X=Z?

[fox]

Oorspronkelijk geplaatst door Firestone

Hoe weet je dat X=Z?

oeps, verkeerd gelezen, mijn excuses!

Voor u ist natuurlijk wel gemakkelijk hé want jij kent zijn oude nummer

[Knipp]

Weet niet of het helpt maar je kan vrij makkelijk vinden dat het verschil tussen nieuw getal en oud getal een veelvoud moet zijn van 99.

[L. J. Brutus]

Zo'n klootzak zijn kantoor zou ik al niet meer moeten weten.

[Knipp]

Wat C onpaar maakt. En dus 3. Zie hoger.

[Knipp]

Not.

[Knipp]

Post 15 is niet juist.
Maar alle veelvouden van 99 beneden 1000 hebben wel 9 als tweede cijfer.

[Knipp]

Witte vlag. Ik vind niks eleganter.

Firestone, jij wel ?

[daiwa]

Oorspronkelijk geplaatst door L. J. Brutus

Zo'n klootzak zijn kantoor zou ik al niet meer moeten weten.

2

[Firestone]

Oorspronkelijk geplaatst door Knipp

Witte vlag. Ik vind niks eleganter.

Firestone, jij wel ?

Neen.

Ik was ongeveer zoals jij bezig.

Zij ABC het oude nummer.

Dan hebben we:

2A(10B + C) = 100C + 10B + A
-->
20AB + 2AC = 100C + 10B + A (*)

Nemen we vergelijking (*) modulo 2, dan krijgen we:
0 == A (mod 2)
waaruit dus volgt dat A even is --> A = 2, 4, 6 of 8
(A kan niet nul zijn, want de verdiepingen gaan van 1 tot 9)

Nemen we vergelijking (*) modulo 5, dan krijgen we:
2AC == A (mod 5)
--> (A niet 0 zijnde)
2C == 1 (mod 5)
--> C = 3 of 8

Ik blijf dus over met 2*4 = 8 gevallen.
Uit vergelijking (*) kan men B bepalen in functie van A en C, en slechts in één geval geeft dit een geheel getal.
Er is dus één en slechts één oplossing mogelijk.

8 mogelijkheden mag dan al beter zijn dan 744, het moet toch nog beter kunnen, vind ik.