Speciale relativiteit voor beginners leren.

[patrickve]

Ik stel hier voor van de basisbeginselen van de speciale relativiteit uit de doeken te doen voor mensen die dat willen leren.

We beperken ons tot speciale relativiteit, dus niks zwarte gaten en dergelijke.
Een beetje wiskunde stijl algemene humaniora zal nodig zijn.
Speciale relativiteit is wiskundig niet moeilijk, maar conceptueel, als men het niet kent, wel vaak het eerste contact met "moderne natuurkunde" (ttz, natuurkunde die totaal haaks staat op elke vorm van normale intuitie), en kan dus wel serieus schokkend, ontnuchterend en zelfs totaal krankzinnig overkomen. Maar stel U gerust, het is basis leerstof voor elke natuurkundige.

De bedoeling is niet van hier op morosofen te antwoorden, daar zijn genoeg andere draden over. Hier gaat het hem er om om de basis principes van de theorie, incluis de eigenaardigheden, te leren.

Dat de geinteresseerden zich aanmelden (evenals de experten).

[Xenophon]

Ik meld me als geïnteresseerde.

[The Paulus Experience]

meldt aan

[Frank51]

kust mijn zak

[Xenophon]

Dat duurde niet lang.

[Eduard Khil]

ik ben relatief geinteresseerd

[orfeus5412]

Ben ook geïnteresseerd, jammer genoeg wellicht niet genoeg wiskundekennis, interesse genoeg; zie wel hoever we meekunnen.

[Libro]

Aanwezig, meester.

[patrickve]

Om Einstein's relativiteit te begrijpen, moeten we eerst de relativiteit van Galileo begrijpen. En om die te begrijpen, moeten we terug gaan naar de meetkunde. Sinds de oudheid heeft men een mengeling gekend tussen "wiskundige" en "natuurkundige" meetkunde.

De meetkunde start eigenlijk als een natuurkundige theorie: die van de beschrijving van de fysische ruimte. In de oudheid had dat aanvankelijk een praktische betekenis: afmeten van akkers, bouwen van piramides, en dergelijke meer. Men "ontdekte" allerlei eigenschappen van afstanden, hoeken, rechte lijnen, cirkels en zo voort *in de fysische ruimte*.
Dat was eigenlijk een vorm van natuurkunde. Als je een driehoek vormt op een stuk land met 3 palen A B en C, en de afstand tussen palen A en B is 300 stappen, en de afstand tussen palen A en C is 400 stappen, en er is een rechte hoek tussen de lijn AB en de lijn AC, dan zal de afstand tussen palen B en C 500 stappen zijn. Dat is iets dat je EXPERIMENTEEL kan vaststellen.
De Grieken hebben zich geamuzeerd met daar een *wiskundige* theorie naar te bouwen: de Euclidische meetkunde.
Die vertrekt van een paar axioma's over abstracte dingen die "punten", "lijnen" en "cirkels" heten, en daaruit wordt LOGISCH allerlei eigenschappen afgeleid. Wat daar logisch, wiskundig wordt afgeleid, komt prima overeen met wat EMPIRISCH wordt vastgesteld in de akkers van Egypte (en elders).

Het lijkt er dus op dat de Euclidische meetkunde, als wiskundige theorie, heel goed overeenkomt met de eigenschappen van de FYSISCHE RUIMTE.

Voor de akkers werkt de 2-dimensionele Euclidische meetkunde prima ; van zodra "hoogte/volume" van belang wordt, moeten we overschakelen op de 3-dimensionele Euclidische meetkunde.

Heel veel later heeft Descartes ontdekt dat de 3-dimensionele Euclidische ruimte overeenkomt met de verzameling van alle tripletten van reële getallen. Dat is een louter wiskundige zaak. De 3-dimensionele Euclidische wiskunde is equivalent aan de verzameling van tripletten van reele getallen ; hierbij stelt elk triplet van getallen een punt voor in die 3-dimensionele Euclidische ruimte.

Dat is wat men "analytische meetkunde" noemt. Punten in de ruimte zijn een triplet van getallen. (7.3 ; -8/3 ; pi+5) is een punt in de meetkundige ruimte.

Standaard schrijven we (x, y, z) voor die drie getallen in zo een triplet.

Maar hoe brengen we die tripletten van getallen in relatie met de FYSISCHE ruimte ? Tenslotte, wat we tot dan toe deden, was zoiets als "paal A", en "de hoek tussen de lijn van paal A en paal B enerzijds, en de lijn tussen paal C en de top van de Piramide van Gizeh anderzijds" om de overeenkomst tussen elementen van de wiskundige Euclidische meetkunde, en de fysische ruimte. Maar hoe geraken we aan die drie getallen x,y en z ?

Het antwoord is dat we een REFERENTIESTELSEL nodig hebben. We hebben "3 orthogonale assen X Y en Z en een oorsprong" nodig. Maar dewelke ?

Voor de Egyptenaren was dat geen probleem: "neem als oorsprong deze paal hier, neem de as X in de richting van die paal ginder ; neem als as Y de richting naar de toren van het paleis. De as Z is dan loodrecht hierop, omhoog." Men zou zelfs een wettelijke bepaling van Het Referentiestelsel door de Farao kunnen laten decreteren.

Dissidenten zouden dan een ANDER referentiestelsel kiezen, met een andere oorsprong, en andere assen.

En nu zitten we met een eigenaardigheid: er zijn nu TWEE manieren om die fameuze getallen x, y en z te bepalen die overeenkomen met de top van de derde piramide. Als we de assen van de Farao gebruiken, vinden we drie getallen: x=20,5 ; y=12,2 ; z=23,19

Als we de assen van de dissidenten gebruiken, vinden we x=-12,3 ; y=2,4 ; z=10,2

Wat is 't nu ? Is de top van de derde piramide het eerste of het tweede triplet ?

We merken hier dat een "echt fysisch punt" met twee verschillende wiskundige punten kan overeenkomen.

Dat lijkt triviaal: we hebben gewoon andere assen genomen ! Maar in de wiskundige ruimte van de analytische meetkunde zijn het stel (20,5 ; 12,2 ; 23,19) en het stel (-12,3 ; 2,4 ; 10,2) twee verschillende punten.

Elk verschillend assenstelsel komt dus overeen met een andere "mapping" van onze wiskundige beschrijving op de "echte fysische punten" in de ruimte.

[patrickve]

Het voorgaande kan lijken op een onnozelheid: er is niet de minste twijfel over het feit dat de top van de derde piramide een "echt" punt in de ruimte is, en we gewoon twee equivalente wiskundige beschrijvingen van de ruimte hebben.

Wat we gebruikt hebben, waren MATERIELE elementen om ons ruimtelijk referentiestelsel op te baseren. De Egyptenaren stelden zich niet veel vragen: er waren de akkers, er waren gebouwen, er waren palen. Dat zijn allemaal FYSISCHE voorwerpen die gebruikt worden om een referentiekader mee te definieren.

Maar stel U nu voor dat je ergens in de ruimte hangt zonder materiele referentie punten. Hoe ga je nu een "punt in de ruimte" definieren ? Waar hang je je referentiestelsel aan vast ? Wat is een "echt" punt in de wereldruimte ?
Je hebt altijd een of ander materieel referentiesysteem nodig om te hopen "echte punten" in de ruimte kunnen te mappen op de wiskundige triplets van de analytische meetkunde.

Op aarde is dat niet het minste probleem natuurlijk: referentiepunten genoeg.

In de ruimte is dat wat anders.

We noemen de 3 getallen van zo een triplet de 3 coordinaten van het "fysische punt" dat we erop mappen.

En nu komt de kat op de koord: als we een referentiesysteem hebben, en een punt in de fysische ruimte 3 coördinaten geven (x, y, z), en morgen doen we dat terug, is dat HETZELFDE FYSISCHE PUNT in de ruimte ?

We hebben nu ergens de tijd ingevoerd, maar nog niet te expliciet.

Natuurlijk kan je stellen dat een materieel punt "hetzelfde" is. In het referentiestelsel van de Farao kan je de top van de derde pyramide gisteren berekenen, en morgen ook, en dat gaat op hetzelfde uitkomen.

Maar wat wil dat eigenlijk gewoon zeggen ? Dat wil gewoon zeggen dat de configuratie van de materiele elementen statisch is.

Beeld U nu eens in dat je in de ruimte hangt, en dat je zelf een materieel referentiestelsel met 3 aluminium buizen hebt gebouwd. Je berekent de coordinaten van een "leeg" punt in de ruimte. En je doet dat morgen nog eens. Is dat HETZELFDE fysische punt ?

Of is dat punt "achtergebleven" ergens, waar je gisteren was ?

[Snerror]

nvm, ik snap het.

[Wapper]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Beeld U nu eens in dat je in de ruimte hangt, en dat je zelf een materieel referentiestelsel met 3 aluminium buizen hebt gebouwd. Je berekent de coordinaten van een "leeg" punt in de ruimte. En je doet dat morgen nog eens. Is dat HETZELFDE fysische punt ?

Of is dat punt "achtergebleven" ergens, waar je gisteren was ?

Ik denk dat ik tot hiertoe mee ben, maar kan men in de ruimte "hangen", wetende dat alles rondom beweegt in allerlei banen, dat het heelal constant uitdijt, enz... heeft het begrip bewegingloos hangen (inclusief de aluminium referentiebuizen) dan wel zin?

[patrickve]

In de analytische meetkunde kan men "een referentiestelsel binnenin de ruimte van de tripletten" invoeren. Dat is op het eerste gezicht een eigenaardigheid.
De tripletten zijn gewoon tripletten van 3 getallen die we schrijven (x,y,z).
We hebben daar geen referentiestelsels nodig op het eerste gezicht.

Maar we kunnen dat wel doen. We kunnen een oorsprong kiezen, voorgesteld door een triplet: (Ox, Oy, Oz). We kunnen 3 orthogonale rechten kiezen die door dat punt gaan en die we 3 assen X', Y', en Z' noemen.
En dan kunnen we elk "origineel" triplet (x,y,z) zijn coordinaten gaan uitrekenen in dat referentiestelsel: we komen dan uit op 3 andere getallen (x', y', z').

Er is uiteraard een wiskundige formule die de getallen x', y' en z' laat uitrekenen als functie van de gekozen nieuwe oorsprong en assen, en de drie getallen x, y en z.

Die wiskundige formule heet een Euclidische coordinatentransformatie.

Ze komt op het volgende neer:

x' = a11 * x + a12 * y + a13 * z + b1
y' = a21 * x + a22 * y + a23 * z + b2
z' = a31 * x + a32 * y + a33 * z + b3

Hierbij zijn de aij en bj getallen die afhangen van de gekozen referentieassen. De aij zijn niet willekeurig: zij moeten aan zekere condities voldoen (een orthonormale matrix).

Nu blijkt dat als er twee referentiestelsels zijn (dat van de Farao, en dat van de dissidenten), dat er ALTIJD een Eucidische coordinatentransformatie bestaat die de coordinaten van een gegeven "fysisch punt" in het ene systeem kan omzetten in de coordinaten van datzelfde fysische punt in het andere systeem.

Tussen het systeem van de Farao, en dat van de dissidenten, bestaat er dus ook zo een transformatie.

Als we dus weten waar de assen zijn en waar de oorsprong zit van een ander referentiestelsel ten aanzien van datgene dat WIJ gebruiken, kunnen we perfect uitrekenen welke de coordinaten gaan zijn van elk punt dat wij beschouwen, in dat andere systeem.

En nu komt de kat op de koord:

Denk aan onze astronaut die ergens in de ruimte hangt, met zijn 3 aluminium buizen als referentiestelsel. Waar was zijn eigen aluminium buizen referentiestelsel gisteren, in zijn huidig referentiestelsel ?

Kan hij zeggen dat zijn buizen gisteren "vijf meter meer in de richting van de X-as zaten" dan nu ? Dat zijn referentiestelsel, met andere woorden, 5 meter opgeschoven is "in de ruimte" ?

Het antwoord is dat hij dat niet kan. Het enige wat hij kan doen is stellen dat hij opgeschoven is TEN AANZIEN VAN EEN ANDER MATERIEEL REFERENTIESTELSEL. Als er een tweede astronaut is, ene met ijzeren buizen, dan kan hij natuurlijk vaststellen dat het ijzeren buizenstelsel opgeschoven is in zijn referentie systeem, ten aanzien van gisteren. En de astronaut met de ijzeren buizen zal eerder vinden dat die met zijn aluminium buizen opgeschoven is.

Maar het is onmogelijk een "vast punt in de fysische ruimte" te beschouwen, onafhankelijk van een willekeurige materiele referentie.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Wapper

Ik denk dat ik tot hiertoe mee ben, maar kan men in de ruimte "hangen", wetende dat alles rondom beweegt in allerlei banen, dat het heelal constant uitdijt, enz... heeft het begrip bewegingloos hangen (inclusief de aluminium referentiebuizen) dan wel zin?

Nee, dus niet. Dat is net het punt dat ik wil maken

[patrickve]

Op het eerste gezicht lijkt het er dus op dat:

1) een referentiestelsel enkel maar kan gebaseerd zijn op materiële punten/constructies ("aluminium buizen") om de mapping te leggen tussen de triplets van de analytische meetkunde enerzijds, en "fysische ruimtepunten" anderzijds.

2) alle denkbare referentiestelsels a priori even goed zijn, en we de triplets berekend in een, kunnen omrekenen naar die in een ander, via een Euclidische transformatie

3) er totaal geen manier is om nu te zeggen of een fysisch punt "hetzelfde" is gisteren en vandaag.

Om even te duiden waar we zijn: we zijn bijlange nog niet aan Einstein. We zijn min of meer bijna aangekomen bij Galileo.... nog niet helemaal trouwens.

We hebben gezien dat als er twee astronauten in de ruimte hangen, een met een aluminium buizen referentiestelsel, en een andere met een ijzeren buizen referentiestelsel, de ene gaat zeggen dat het de andere is die "opgeschoven is sinds gisteren".

(in dit gedanken experiment moet je je geen twee astronauten in een baan om de aarde inbeelden, maar twee astronauten in de totaal lege ruimte, ver weg van elke galaxie of zo - het is een gedanken experiment, he, vraag mij niet hoe ze daar geraakt zijn, en waarom ze zo zot geweest zijn om die opdracht te aanvaarden louter voor de fun dat ik iets zou kunnen schrijven op politics.be he).

Om te zeggen dat iets 'beweegt' zou je naief kunnen zeggen dat dat wil zeggen dat het 'van fysisch ruimtepunt verandert'.

Maar we hebben gezien dat we totaal geen idee hebben hoe na te gaan of een ruimtepunt "hetzelfde is gebleven".

Bijgevolg kunnen we enkel maar zeggen dat iets beweegt IN EEN ZEKER REFERENTIESTELSEL. We kunnen nooit van iets zeggen dat het beweegt in het absolute. Want we kunnen niet bepalen dat een ruimtepunt nu "hetzelfde punt is" als gisteren.

Tenzij....

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Ik stel hier voor van de basisbeginselen van de speciale relativiteit uit de doeken te doen voor mensen die dat willen leren.

Deze leek probeert te volgen tot het zijn petje te boven gaat.

[Mambo]

Oorspronkelijk geplaatst door Supe®Staaf

Deze leek probeert te volgen tot het zijn petje te boven gaat.

Niks mee inzitten.
Voor ons leken bestaat er geometrische meetkunde die hetzelfde doet maar op 2 minuten.

[patrickve]

... tenzij we zouden ontdekken dat er manieren zijn om een zeker referentiestelsel te onderscheiden van een ander.

We blijven nog in het Galileaanse gedachtengoed (want in feite bevat het 90% van de relativiteitstheorie - vandaar dat ik er zo lang bij blijf hangen: dit moet heel goed begrepen zijn alvorens Einstein aan te pakken). We gaan er dus van uit dat tijd dezelfde is voor iedereen (ttz, dat als iedereen zijn uurwerk gelijk heeft geregeld, al die uurwerken ook gelijk blijven lopen voor iedereen).

Twee referentiestelsels in de ruimte zijn perfect equivalent. Het referentiestelsel van de Farao is even goed, of even slecht, als dat van de dissidenten. Maar dat gaat op voor "statische" referentiestelsels.

De vraag is of gelijk welk "bewegend" referentiestelsels equivalent zijn, of of er daar een of meerdere zijn die "eruit springen".

Het antwoord is "ja", er zijn er die eruit springen. Niet alle referentiestelsels zijn gelijkwaardig. Dewelke ?

Wel, er zijn SPECIALE REFENTIESTELSELS waarin de beweging van een stuk materie WAAROP GEEN KRACHTEN WERKT, een uniforme rechtlijnige beweging is.

Ik wijs erop dat je "beweging" pas kan definieren nadat je een referentiestelsel hebt ingevoerd, en dus nadat je voorwerp COORDINATEN heeft. Aangezien we nu dingen in de tijd beschouwen, zijn die coordinaten x, y en z functie van de tijd.

Een uniforme, rechtlijnige beweging is er een waarvan de coordinaten zo afhangen van de tijd:

x = v1 * t + x0
y = v2 * t + y0
z = v3 * t + z0

waarbij v1, v2, v3 en x0, y0 en z0 6 getallen zijn.

Je ziet al dat als een steen waarop geen krachten werken, in het referentiestelsel van de astronaut met de aluminium buizen inderdaad een rechtlijnige uniforme beweging heeft, en als de astronaut met de ijzeren buizen ronddraait, die steen in het referentie systeem van de ijzeren buizen GEEN rechtlijnige uniforme beweging zal beschrijven (maar eerder zoiets als een spiraalveer of zo).

Natuurlijk is het zo dat als je een rechtlijnige uniforme beweging hebt in een zeker referentiestelsel, dat alle andere referentiestelsels die gewoon maar een andere maar vaste referentie hebben ten aanzien van het eerste, ook een rechtlijnige uniforme beweging zullen zien. Als een kameel een uniforme rechtlijnige beweging heeft in het systeem van de Farao, zal de kameel ook een uniforme rechtlijnige beweging hebben in het systeem van de dissidenten. Maar die twee systemen zijn "vast" ten opzichte van elkaar.

Het is nu ook zo dat als je twee referentiesystemen hebt waarbij het ene ZELF uniform rechtlijnig, en zonder draaibeweging, beweegt in het andere, dat je daar OOK hebt dat een rechtlijnige beweging van een steen in de ene, ook een rechtlijnige beweging van de steen in de andere zal hebben.

Maar als een referentiesysteem aan 't draaien is ten opzichte van een ander, gaat dat niet op.

==> er is dus een klasse van referentiesystemen, waarin voorwerpen waarop geen kracht uitgeoefend wordt, een uniforme, rechtlijnige beweging maken.
Die referentiesystemen bewegen ZELF uniform rechtlijnig ten opzichte van elkaar.

Die speciale klasse van referentiesystemen noemt men INERTIAALSTELSELS.

Zij pinnen nog het beste vast wat "de ruimte" is. De ruimte heeft geen "vaste punten" in de tijd, maar heeft wel "rechtlijnige bewegingen" in de tijd.

Het bovenstaande is cruciaal om goed te begrijpen alvorens verder te gaan.

[Dadeemelee]

De relativiteitstheorie is wiskundige masturbatie.

Een loodgieter is veel nuttiger.

[Eduard Khil]

patrick patrick patrick, ge doet mij wat aan. Ik ga helemaal terug naar mijn thesisperiode, waar ik (eigen voorstel van thesis) bezig was met het maken van een alt-az sturing van mijn telescoop en constant bezig was met coordinatentransformaties tussen de hemelcoordinaten en de coordinaten die we afmeten tov het oosten/horizon.

Ik wil niet terug naar die periode