Wiskunde voor advocaten,juristen en magistraten

bedrijven docter · 10 juli 2025, 22:36

Wiskunde voor advocaten, juristen en magistraten

Inhoudsopgave

Inleiding

Waarom deze verhandeling?

De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht

Wat is ‘juridische wiskunde’ niet?

---

Deel I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

Wiskundige modellen in de Romeinse rechtstraditie

Probabiliteit in de middeleeuwen: oordelen onder onzekerheid

De opkomst van kansrekening in de moderne rechtspraak (Pascal, Bernoulli)

Statistische bewijsvoering en het begin van forensische wiskunde

Informatica en logica in het 20e-eeuwse recht

Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde

Misverstanden: het recht is geen exacte wetenschap

Welke wiskundige takken wel zinvol zijn

Grenzen: wanneer wiskunde juridisch irrelevant of zelfs gevaarlijk wordt

De metafoor van het meetlint versus het morele kompas

---

Deel II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen

Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus

Premissen, conclusies, en natuurlijke deductie

Modus ponens, modus tollens, contrapositie, reductio

Juridische syllogismen en hun valkuilen

De impact van foutieve logica in vonnissen

Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen

Toepassing op juridische categorieën (personen, goederen, bevoegdheden)

Equivalentierelaties en partities: rechtseenheid en precedentwerking

Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

De basis: kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid

Toepassingen: bewijswaardering, risicoanalyse, due diligence

Bayesiaans denken en ‘a priori’-redeneringen in het strafrecht

Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

Relaties, macht en belangen in juridische structuren

Fraude-, corruptie- en samenzweringszaken als netwerken

Grafen in juridische procedures en bewijsstructuren

Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie

Elementaire getaltheorie

Cryptografie, hashing en digitale handtekeningen

Blockchain en smart contracts: juridische implicaties

---

Deel III – Wiskundige abstractie en juridische structuur

Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory

Wat is categorietheorie?

Morfismen, objecten, functoren: analogieën in het recht

Commutatieve diagrammen en juridische consistentie

Categorieën als hulpmiddel bij het structureren van rechtsregels

Juridische “equivalenties” als natuurlijke transformaties

Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht

Groepen, ringen, en velden: betekenisvolle of overdreven analogieën?

Structuren van rechten en plichten

Eigenschappen als associativiteit en distributiviteit in juridische argumentatie

Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen

Open en gesloten systemen van rechtsregels

Grenzen en limieten van interpretatie

Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen

---

Deel IV – Kritische toepassingen en reflecties

Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren

Statistische drogredenen in rechtszaken

Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools

De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening

Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving

Gebruik van wiskunde in rechtseconomie

Kosten-batenanalyse in wetgeving

Simulatiemodellen in strafmaat en recidive

Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie

Machine learning en voorspellend recht

Wat een jurist moet begrijpen van algoritmen

Wiskundige bias in juridische AI-systemen

---

Besluit

Wat is gewonnen door wiskundig inzicht?

De bescheiden plaats van de wiskunde in het recht

Naar een geletterdheid in logische en wiskundige structuren bij magistraten

---

Bijlagen

Glossarium van wiskundige termen voor juristen

Casusstudies en rechtspraak waarin wiskundige argumenten centraal stonden

Lijst van basisliteratuur en verdere verdieping
Paul

bedrijven docter · 10 juli 2025, 23:13

https://www.facebook.com/share/p/19NvR7AbSa/

bedrijven docter · 11 juli 2025, 11:13

---

INLEIDING

Waarom deze verhandeling nodig is: wiskunde wordt vaak als vijandig ervaren door juristen, maar bevat instrumenten die het juridische denken kunnen verrijken. Deze inleiding maakt komaf met clichés over wiskunde als "hard" of "onmenselijk" en verkent hoe logisch-structureel denken net zeer nuttig is in het recht. Tegelijk wordt gewaarschuwd tegen overmatig formalisme.

---

DEEL I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

Van de Romeinse jurisprudentie tot algoritmische rechtspraak vandaag: dit hoofdstuk toont hoe juridische systemen altijd al structuren bevatten die verwant zijn aan wiskundig denken. Denk aan probabiliteit in canoniek recht, of logische schema’s bij rechtsleer van de Verlichting.

Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde

Een praktische gids: dit hoofdstuk onderscheidt welke wiskunde relevant is (logica, kansrekening, verzamelingenleer…) en welke eerder irrelevant of zelfs misleidend kan zijn in een juridische context (b.v. abstracte differentiaalvergelijkingen). De nadruk ligt op bruikbaarheid en kritische attitude.

---

DEEL II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen

Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus

Hier worden de fundamenten van formele logica uitgelegd, inclusief syllogismen, deductie en implicatie. Juridische argumenten worden getoetst aan logische vormen en valkuilen zoals non sequitur, affirming the consequent, of valse disjuncties.

Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

Een basisbegrip in wiskunde én in recht: verzamelingen (groepen van personen, goederen, rechten) en hun onderlinge relaties. Denk aan overlappingen bij bevoegdheden of eigendomsrechten. Juridische equivalentie en partities worden met eenvoudige wiskundige begrippen verduidelijkt.

Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

Het evalueren van bewijs gebeurt vaak impliciet via kansdenken. Dit hoofdstuk introduceert basisbegrippen zoals conditionaliteit, Bayes’ regel en verwachte waarde. Er wordt ook gewezen op de gevaren van misinterpretaties (de ‘prosecutor’s fallacy’).

Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

Juridische relaties zijn vaak netwerkachtig (denk aan aandeelhouders, contractpartijen, samenzweringen). Grafentheorie helpt structuren begrijpen waarin macht, verantwoordelijkheid of informatie circuleert.

Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie

Hoe werkt encryptie juridisch? Hier worden de elementaire wiskundige principes achter digitale handtekeningen, blockchain, en smart contracts uitgelegd. Met aandacht voor hun juridische implicaties en limieten.

---

DEEL III – Wiskundige abstractie en juridische structuur

Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory

Categorietheorie biedt een krachtig abstract kader om juridische structuren te analyseren via relaties, transformaties en commutatieve diagrammen. Dit hoofdstuk legt helder uit hoe juridische begrippen als eigendom, bevoegdheid of aansprakelijkheid hierin passen.

Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht

Groepen, ringen en andere algebraïsche structuren worden hier niet uitgediept om hun eigen sake, maar omdat ze als metafoor kunnen dienen om juridische handelingen (combinaties van handelingen, annuleerbaarheid, neutraliteit) te begrijpen.

Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen

Dit hoofdstuk bekijkt het ‘landschap’ van rechtsregels: wat is dicht bij elkaar, wat is geïsoleerd? Wanneer is een norm "continu" toepasbaar en waar treden breuken op? Een juridische toepassing van abstracte topologie.

---

DEEL IV – Kritische toepassingen en reflecties

Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren

Wiskunde kan misbruikt worden om objectiviteit te veinzen. Denk aan statistisch misbruik in forensisch bewijs, of foutieve kansberekeningen bij DNA-analyse. Dit hoofdstuk toont hoe kritisch juristen moeten blijven.

Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving

Modellen worden vaak gebruikt in het bestuursrecht en de rechtseconomie. Dit hoofdstuk bespreekt onder meer hoe regressiemodellen, simulaties en economische optimalisaties juridische beslissingen beïnvloeden — en welke problemen dat met zich meebrengt.

Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie

AI en machine learning doen hun intrede in het recht. Dit hoofdstuk legt uit hoe wiskundige algoritmes functioneren en waarom het cruciaal is dat juristen hun aannames en beperkingen begrijpen, zeker inzake transparantie en bias.

---

BESLUIT

Een reflectie op de plaats van wiskunde in de rechtspraktijk. Geen dogma’s, wel een pleidooi voor helderheid, structuur en consistentie. Wiskunde is geen vervanging voor het recht, maar een taal die het denken van de jurist kan aanscherpen.

---

BIJLAGEN

Glossarium: toegankelijke verklaringen van wiskundige termen

Casusstudies: juridische voorbeelden waar wiskunde doorslaggevend was

Literatuurlijst: verder studiemateriaal voor geïnteresseerde juristen

bedrijven docter · 12 juli 2025, 10:02

INLEIDING

Waarom deze verhandeling?

Deze verhandeling is geschreven voor wie het recht ernstig neemt, en daarom ook helderheid nastreeft in zijn redeneringen. Want het recht heeft nood aan precisie, en precisie heeft baat bij structuur. En net dat is de kern van de wiskunde: niet cijfers of formules, maar helder gestructureerd denken.

De idee dat wiskunde iets is voor ingenieurs of natuurkundigen, maar niet voor juristen of magistraten, is diepgeworteld en wordt zelden bevraagd. Toch is de overlap tussen beide groter dan men op het eerste gezicht vermoedt. Het recht werkt met definities, gevolgtrekkingen, uitzonderingen, analogieën, implicaties, zelfs transformaties — net als de wiskunde. De juridische praktijk wemelt van regels die lijken op logische connectieven, of structuren die verwant zijn aan verzamelingenleer of grafentheorie, zonder dat dit expliciet wordt benoemd.

Deze verhandeling is geen wiskundeboek voor specialisten, maar een gids voor juristen. Ze wil geen omvorming tot wiskundige opleggen, maar net een beter begrip geven van hoe wiskundige denkwijzen het juridische redeneren kunnen ondersteunen, verrijken of verduidelijken. En evengoed: hoe verkeerde toepassingen tot misleiding kunnen leiden.

De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht

De relatie tussen recht en wiskunde is vaak gekenmerkt door wantrouwen. Wiskunde wordt als te abstract, te rigide, te "onmenselijk" beschouwd. Het recht daarentegen beweegt zich in een wereld van menselijke omstandigheden, billijkheid en nuance. Waar juristen vaak zoeken naar het redelijke, lijkt de wiskunde slechts te zoeken naar het zekere.

Deze tegenstelling is echter grotendeels cultureel en historisch gegroeid. Ze wordt gevoed door clichés: het beeld van de wiskundige als wereldvreemde rekenaar, en de jurist als pragmatische redeneerder. In werkelijkheid vertonen beide disciplines diepe verwantschap in hun streven naar consistentie, argumentatieve geldigheid en gestructureerde probleemoplossing.

De angst voor wiskunde onder juristen is deels begrijpelijk — ze wordt vaak onderwezen op een afstandelijke manier, los van context. Maar wie ooit met logische inconsistenties, onduidelijke regelgeving of bewijsvoering heeft geworsteld, voelt intuïtief aan dat heldere structuur soms broodnodig is. Daarin kan wiskundig denken, mits goed gedoseerd, een bondgenoot zijn.

Wat is ‘juridische wiskunde’ niet?

Voor alle duidelijkheid: deze verhandeling is geen pleidooi voor een mathematisering van het recht in de zin van algoritmisch denken, automatisering of het vervangen van menselijk oordeel door berekeningen. Ze is ook geen poging om het recht onder te brengen in een strak wiskundig systeem, zoals logisch positivisten dat ooit droomden. En ze wil al helemaal niet suggereren dat wiskunde “objectiever” is dan recht — want objectiviteit zonder interpretatie bestaat niet.

‘Juridische wiskunde’ is in deze verhandeling geen formuleleer, geen algebra van schuld, geen numerieke benadering van rechtvaardigheid. Het is vooral:

een denkhouding die helderheid bevordert

een verzameling tools om structuren te herkennen

een taal om inconsistenties bloot te leggen

een manier om de grenzen van het redeneren zichtbaar te maken

We tonen dus niet “hoe wiskunde het recht kan oplossen”, maar wel hoe ze het juridisch denken kan ondersteunen, verhelderen en kritisch uitdagen.

Paul

bedrijven docter · 13 juli 2025, 20:32

Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context

1.1. Inleiding

Wie denkt dat de integratie van wiskunde in het recht een recent fenomeen is, vergist zich. Hoewel het recht zelden expliciet beroep doet op wiskundige formules, is de geschiedenis van de juridische praktijk doorspekt met vormen van structurering, formalisering en abstrahering die verwant zijn aan wiskundig denken. Dit hoofdstuk schetst een kort historisch overzicht van die wisselwerking — van Romeins recht tot hedendaagse algoritmische rechtspraak.

---

1.2. Romeins recht: classificatie en deductie

Het Romeins recht bevatte reeds een sterk logisch-structurele benadering. Rechtsgeleerden zoals Gaius en Ulpianus ontwierpen juridische systemen die werkten met indelingen, definities en analogieën — instrumenten die vandaag ook wiskundige methodes typeren. Denk aan de klassieke driedeling: res corporales – res incorporales, of het onderscheid tussen obligatio ex contractu en obligatio ex delicto. Dit zijn in wezen verzamelingen met onderverdelingen en eigenschappen — een embryonale vorm van verzamelingenleer.

Romeinse juristen dachten bovendien vaak deductief: van een algemeen beginsel naar een concrete toepassing. Deze methode is verwant aan het syllogistische denken dat Aristoteles reeds ontwikkelde, en dat later aan de basis zou liggen van formele logica én van juridische redenering.

---

1.3. Middeleeuwen en kansdenken in canoniek recht

In middeleeuwse kerkelijke rechtspraktijken (zoals bij het bepalen van schuld of boete) speelde probabilistisch denken al een bescheiden rol. De canonieke juristen gebruikten begrippen als notoriteit, vermoeden en geloofwaardigheid, waarbij ze impliciet wogen hoe waarschijnlijk bepaalde verklaringen of gedragingen waren.

Hoewel ze geen expliciete kansrekening gebruikten, herkennen we hier de kiemen van wat later zou uitgroeien tot probabilistische bewijsleer. Zo ontstonden gradaties van bewijs: probatio plena, probatio semiplena, enzovoort — wat vandaag herinnert aan Bayesian reasoning, zij het in ruwe, intuïtieve vorm.

---

1.4. Vroegmoderne tijd: logica, systematiek en codificatie

In de 17e en 18e eeuw raakte het juridische denken steeds meer beïnvloed door rationalistische en systematische ideeën. De verlichting bracht niet enkel natuurwetenschappen voort, maar ook een hernieuwd geloof in universele principes — zowel in het recht als in de wiskunde.

Codificaties zoals de Code Civil van Napoleon (1804) zijn exemplarisch: ze beogen een gesloten systeem van regels, ondergebracht in een hiërarchische structuur — vergelijkbaar met axioma’s, stellingen en corollaria in de meetkunde. In Duitsland ontwikkelde men het Begriffsjurisprudenz, waarin het recht werd gezien als een gesloten deductief systeem: men vertrok van fundamentele begrippen en leidde daaruit de rest logisch af.

Tegelijk werkte Leibniz aan een project dat hij “characteristica universalis” noemde — een universele logische taal om redeneringen te formaliseren, inclusief juridische. Zijn droom: conflicten oplossen via berekening: Calculemus! Hoewel utopisch, toont dit het historische verlangen naar structuur en helderheid in rechtstoepassing.

---

1.5. 20e eeuw: statistiek, economische analyse en rechtsinformatica

Vanaf de 20e eeuw trad wiskunde het recht binnen via twee poorten:

1. De opkomst van statistiek: in strafzaken werden forensische technieken gebaseerd op kansrekening belangrijk (denk aan bloedsporenanalyse, DNA-profielen, foutenmarges). De ‘prosecutor’s fallacy’ werd voor het eerst als probleem erkend.

2. Law and Economics: deze school, vooral in de VS, maakte intensief gebruik van wiskundige modellen om rechtsregels te evalueren op efficiëntie. Regressiemodellen, beslissingsbomen en speltheorie vonden ingang in het juridisch debat.

Daarnaast ontwikkelde zich de rechtsinformatica: juridische kennissystemen, expert systems en later algoritmische besluitvorming. Die technologische ontwikkelingen brachten ook fundamentele vragen mee over transparantie, uitlegbaarheid en verantwoordingsplicht.

---

1.6. Hedendaagse ontwikkelingen: AI, algoritmes en categorietheorie

In de 21e eeuw wordt wiskunde steeds vaker gebruikt als onderliggend mechanisme in juridische beslissystemen. Denk aan risico-inschattingen in strafzaken (predictive policing), automatisch gegenereerde boetes, of smart contracts op blockchaintechnologie.

Op academisch niveau groeit de belangstelling voor categorietheorie als meta-taal om juridische concepten en transformaties te beschrijven. Ze biedt een denkkader waarin structuren, relaties en contextverschuivingen helder benoemd kunnen worden — wat bijzonder relevant is in een tijd waarin rechtsnormen niet langer uitsluitend hiërarchisch georganiseerd zijn, maar in netwerken functioneren.

---

1.7. Conclusie

De vermeende tegenstelling tussen wiskunde en recht is historisch onhoudbaar. Beide disciplines ontwikkelen structuren om complexe realiteiten te ordenen en controleerbaar te maken. Doorheen de geschiedenis zien we hoe het recht impliciet of expliciet wiskundige denkpatronen heeft overgenomen, aangepast of afgewezen. Het is dus geen kwestie van of wiskundig denken in het recht thuishoort, maar hoe men het verstandig toepast.

De volgende hoofdstukken bouwen hierop voort: ze verduidelijken welke onderdelen van de wiskunde nuttig zijn voor juristen, hoe ze concreet gebruikt kunnen worden, en waarvoor men moet opletten.

bedrijven docter · 14 juli 2025, 06:02

Hoofdstuk 2. Welke wiskunde wél, en welke niet?

2.1. Inleiding: functionele selectie

Niet alle wiskunde is relevant voor het recht. De doelstelling van dit hoofdstuk is tweeledig: (1) een overzicht bieden van de wiskundige domeinen die bruikbaar zijn binnen juridische contexten; (2) aantonen welke wiskundige technieken irrelevant of zelfs misleidend kunnen zijn. Zoals in elke discipline moet ook hier het juiste instrument worden gekozen naargelang de aard van het probleem. Instrumentum non confundendum cum fine.

2.2. Wiskunde die wél relevant is

2.2.1. Logica en verzamelingenleer

De basis van juridische redenering is vaak logisch van aard. Propositielogica, predikatenlogica en formele afleidingsregels zijn nuttig bij het structureren van argumentaties. Verzamelingenleer ondersteunt het juridisch denken in termen van categorieën, uitsluitingen en overlappingen (bv. wie behoort tot de klasse van 'rechtssubjecten'?).

Latijnse spreuken als ubi eadem ratio, ibi eadem lex en argumentum a fortiori kunnen wiskundig onderbouwd worden met behulp van implicatierelaties en subsumpties. Een concrete toepassing hiervan is te vinden in de manier waarop administratieve rechtbanken redeneren met uitzonderingclausules.

2.2.2. Kansrekening en Bayesian reasoning

In strafzaken is het belang van correcte kansinschattingen evident. De klassieke 'prosecutor’s fallacy' toont aan hoe foutief toegepaste statistiek tot veroordelingen kan leiden. Bayesian redeneringen (bijv. wat is de kans op schuld, gegeven een positief DNA-resultaat?) winnen aan belang in bewijswaardering. Zie bijvoorbeeld de zaak R v. Adams (UK, 1996) waarin Bayesiaanse argumentatie door experten werd aangebracht.

2.2.3. Statistiek en regressieanalyse

In sociaal recht, antidiscriminatierecht en economisch recht speelt statistiek een cruciale rol. Discriminatiezaken worden vaak onderbouwd met regressieanalyses. In de VS werd in Griggs v. Duke Power Co. (1971) statistiek erkend als juridisch bewijs. De Europese rechtspraak erkent ondertussen het indirect bewijs via statistiek, zolang die robuust is en door experten wordt ondersteund.

2.2.4. Grafentheorie en netwerkmodellen

In het mededingingsrecht en bij de analyse van criminele netwerken zijn grafen en netwerkmodellen essentieel. Zo kan men aantonen hoe bepaalde bedrijven kartelafspraken maken of hoe informatie circuleert binnen een organisatie.

2.2.5. Categorie-theorie (inleiding)

Categorietheorie biedt een abstract, maar krachtig model om juridische transformaties, correspondenties en systemen in kaart te brengen. Functoren kunnen juridische begrippen in verschillende contexten met elkaar verbinden. Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen burgerlijk en fiscaal recht bij fraudekwalificaties. Zie Hoofdstuk 4 voor een diepere behandeling.

2.3. Wiskunde die niet bruikbaar is — of met grote omzichtigheid

2.3.1. Hogere algebra en getaltheorie

Hoewel esthetisch intrigerend, zijn abstracte algebra en getaltheorie zelden relevant voor juristen. Hun toepassingen situeren zich vooral in cryptografie en computationele veiligheid — nuttig voor ICT-juristen, maar minder voor magistraten of procesadvocaten.

2.3.2. Integralen, differentiaalvergelijkingen, topologie

Hoewel sommige juridische domeinen (bv. milieurecht of telecomregulering) technische berekeningen vereisen, vallen differentiaalvergelijkingen en topologische modellen buiten het cognitieve bereik van de meeste rechtspraktijken. Ze zijn eerder het domein van technische experten dan van juridische redenering. Gebruik ervan vereist interdisciplinaire samenwerking.

2.3.3. Formulefetisjisme

Een valkuil is het blind vertrouwen op wiskundige formules zonder inzicht in hun aannames. Het recht is niet louter cijfermatig: context, interpretatie en proportionaliteit zijn essentieel. Een regressiemodel is geen bewijs op zich, maar slechts één element in een grotere bewijsconstructie. Quod non est in actis, non est in mundo.

2.4. Conclusie: het juiste gereedschap voor de juiste zaak

Juridisch denken kan profiteren van wiskundige inzichten, mits deze functioneel, transparant en correct toegepast worden. De juiste analogie is niet die tussen de rechter en de rekenmachine, maar tussen de jurist en de ingenieur: iemand die gebruik maakt van modellen om de werkelijkheid te ordenen, maar die tegelijk beseft dat modellen abstraheringen zijn — geen vervangingen van de werkelijkheid.

De volgende hoofdstukken gaan dieper in op concrete toepassingen van logica, kansrekening, grafentheorie en categorietheorie in juridische praktijken.

bedrijven docter · 14 juli 2025, 18:34

Hoofdstuk 3. Juridische logica en bewijsvoering

3.1. Inleiding

Het hart van wiskundige toepassingen in het recht ligt bij de logica. Niet enkel logica als formeel systeem, maar logica als methode van structureren, onderscheiden en toetsen. In dit hoofdstuk onderzoeken we de rol van propositielogica, predikatenlogica en afleidingsregels in juridische bewijsvoering. Zoals Ulpianus reeds stelde: scientia iuris est divinarum atque humanarum rerum notitia, iusti atque iniusti scientia — en die wetenschap vereist scherpe logica.

Voor een diepgaandere filosofische en juridische reflectie over bewijsvoering verwijzen we naar de eerder verschenen verhandeling Beweren is niet bewijzen (2024).

3.2. Propositielogica: juridische stellingen en structuur

In de juridische praktijk wordt vaak gebruik gemaakt van implicaties: "Indien het contract ongeldig is, dan volgt geen schadevergoeding." Dit is logisch te structureren als: .

Ook de modus ponens en modus tollens zijn cruciaal:

, ?

, ?

Toegepast: indien een bekentenis vrijwillig is afgelegd (), dan is ze geldig (). Als ze niet geldig is, dan volgt dat ze niet vrijwillig werd afgelegd.

De Belgische Cassatierechtspraak in zaken rond dwangbekentenissen (zie bijv. Cass. 19 mei 2015) weerspiegelt dergelijke logische implicaties.

3.3. Predikatenlogica: generalisatie en juridische abstractie

Predikatenlogica laat toe om uitspraken over verzamelingen te structureren. Bijvoorbeeld: “Alle ambtenaren die hun functie misbruiken, kunnen gesanctioneerd worden.”

Formeel:

Dit laat toe om rechtsregels abstract en universeel te formuleren, wat bijdraagt aan coherentie. De Duitse dogmatische traditie, bv. bij Larenz of Canaris, is doordrongen van zulke formele logische structuren.

3.4. Natural deduction en bewijslast

In de rechtspraak moet men vaak verschillende stellingen combineren tot een conclusie. Bijvoorbeeld:

De verdachte was op de plaats van het misdrijf.

De verdachte had een motief.

Er is geen alibi.

Daaruit volgt met zekere aannames: De verdachte is schuldig.

De uitdaging ligt in het valideren van de overgang van . Hier komt natural deduction in beeld. Zie de zaak Hof van Beroep Antwerpen, 8 januari 2019, waarin de motivering via logische stappen werd opgebouwd maar later door Cassatie werd vernietigd wegens een onrechtmatige sprong (petitio principii).

3.5. Juridische tegenvoorbeelden: falsificatie en contradictie

Zoals één tegenvoorbeeld in de wiskunde een generalisatie weerlegt, zo kan ook één feit of anomalie in het recht een veroordeling ondergraven. De beroemde Nederlandse zaak tegen Lucia de B. toont dit aan: ondanks statistische waarschijnlijkheid werd een alternatieve verklaring (vergiftiging door medicatie-interactie) aangetoond die de bewijsconstructie ondermijnde.

Latijns: exceptio probat regulam in casibus non exceptis — maar een geldige exceptie kan ook de regel vernietigen.

3.6. Paraconsistente logica en juridische ambiguïteit

In sommige gevallen lijken tegenstrijdige uitspraken tegelijk waar. Bijvoorbeeld:

De wet zegt dat X niet mag.

Een arrest zegt dat X toch is toegelaten onder specifieke voorwaarden.

In plaats van dit als logische fout te zien, kan men werken met paraconsistente systemen die toestaan dat A en ¬A beide waar zijn binnen specifieke contexten. Dit wordt onderbouwd in de Braziliaanse logica van Newton da Costa, en heeft nut bij tegenstrijdige wetgeving of tegenstrijdige precedentgevallen.

3.7. Conclusie

Juridische logica is niet enkel een stijlfiguur, maar een noodzakelijke voorwaarde voor correcte motivering. Zoals Leibniz voorstelde: Calculemus! — laat ons berekenen, wanneer de rede tekortschiet. Toch moet logica in het recht steeds getoetst worden aan proportionaliteit, billijkheid en maatschappelijke realiteit.

bedrijven docter · 14 juli 2025, 23:33

Hoofdstuk 4. De structuur van juridische functies en bewijsvoering

4.1. Inleiding

Juridische redenering lijkt soms op algebra. Niet omdat men met getallen werkt, maar omdat men met functies werkt: begrippen die iets ‘doen’ met invoer (feiten, normen, precedenten) en daaruit een resultaat produceren (besluit, arrest, beoordeling). Dit hoofdstuk onderzoekt hoe functiebegrip, in de wiskundige en logische zin, ook nuttig is voor juristen, advocaten en magistraten.

Zoals ook besproken in Beweren is niet bewijzen, is het van belang dat de deductieve structuur van een juridische redenering zichtbaar, toetsbaar en navolgbaar is.^1

4.2. Juridische functies als mapping van feiten naar normatieve oordelen

Een eenvoudige juridische functie is: , waarbij een verzameling van feiten is en een verzameling van rechtsgevolgen of conclusies.

Bijvoorbeeld:

indien een bewezen opzettelijke diefstal is.

indien een onopzettelijke fout zonder gevolg is.

De analyse van zulke functies vereist ook controle op hun surjectiviteit (leiden alle relevante feiten tot een juridische uitkomst?), injectiviteit (resulteren gelijke uitkomsten uit verschillende feiten?) en totaliteit (is er een juridische uitkomst voorzien voor elk denkbaar feit?).

Deze abstracte modellen worden onder meer uitgewerkt in de Duitse doctrine rond het ‘Subsumtionsmodell’, zoals te vinden bij Karl Engisch en Reinhold Zippelius.^2

4.3. Functiecompositie en meervoudige normatieve kaders

In complexere zaken werkt men met samengestelde functies:

Bijvoorbeeld: een bepaalde gedraging wordt eerst als ‘discriminatoir’ beoordeeld (sociaal feit), en pas daarna als ‘onrechtmatige daad’ binnen het burgerlijk recht.

Deze gelaagdheid herinnert aan de compositie , wat betekent dat de juridische uitkomst afhangt van een tussenfunctie. Zoals het Hof van Justitie van de EU in Mangold (C-144/04) oordeelde, kan discriminatie wegens leeftijd al onrechtmatig zijn vóór omzetting in nationaal recht.^3

Latijns: ubi lex non distinguit, nec nos distinguere debemus — maar waar recht en feit via meerdere functies lopen, móét men onderscheiden.

4.4. Casus: fiscale herkwalificatie als juridische functie

Een fiscaalrechtelijk voorbeeld:

Een vennootschap keert een ‘vergoeding’ uit.

De fiscus herkwalificeert dit als ‘dividend’.

Juridisch model:

,

Hier ontstaat een spanningsveld wanneer de rechter de functie niet accepteert als geldig: de RSZ kwalificeert iets als ‘bezoldiging’, terwijl de fiscus het als ‘voordeel van alle aard’ ziet. Dit leidt tot contradicties binnen dezelfde feitenbasis.

Zoals besproken in Beweren is niet bewijzen,^4 is dit een typisch voorbeeld van surjectiviteit zonder consistentie: één input leidt tot meerdere outputs, afhankelijk van het normenkader.

4.5. Analogieën met wiskundige structuur: lineair, recursief en discontinu gedrag

Sommige juridische functies zijn lineair: meer feiten leiden tot zwaardere sancties. Andere zijn discreet: pas bij overschrijding van een drempelwaarde treedt er een gevolg op.

Een recursieve functie komt voor bij progressieve sancties: herhaling van feiten verhoogt de strafmaat, zoals bij recidive in het strafrecht. Men zou dat modelleren als:

, waarbij , met een strafverhogingsfactor.

Dit doet denken aan iteratieve logica en is nuttig bij het structureren van de motieven in bijvoorbeeld correctionele arresten of tuchtrechtelijke uitspraken.^5

4.6. Conclusie

Functiestructuren helpen om juridische redenering helder, controleerbaar en herleidbaar te maken. Ze ontsluiten de formele structuur achter ogenschijnlijk subjectieve beslissingen. Ze zijn dus meer dan illustratief: ze zijn noodzakelijk voor consistentie.

Zoals Cicero het formuleerde: ratio summa lex est. En zoals juristen vandaag steeds vaker ondervinden: de structuur van functies is een wapen tegen willekeur.

---

^1 Zie Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over deductieve rechtvaardiging en motivering.

^2 Zie bijv. K. Engisch, Einführung in das juristische Denken (1956), en R. Zippelius, Juristische Methodenlehre (10e ed., 2010).

^3 HvJ EU, 22 november 2005, zaak C-144/04, Mangold.

^4 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 6, over niet-surjectieve bewijsstructuren en inconsistentie in fiscale context.

^5 Voor wiskundige parallellen: zie Kleene’s recursieve functies en hun toepassing op juridische classificatieproblemen in de Amerikaanse doctrine (b.v. J.H. Fetzer, Legal Logic, 1988).

bedrijven docter · 14 juli 2025, 23:51

Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken

5.1. Inleiding

Kansrekening biedt een krachtig instrument voor het analyseren van onzekerheid. In het recht heeft onzekerheid betrekking op feitenvaststelling, risico-inschatting, en de verwachting van toekomstig gedrag. Toch blijft het gebruik van probabilistische methodes in de juridische praktijk controversieel. Veel juristen beschouwen kansdenken als strijdig met het individuele karakter van rechtspraak. Deze opvatting wordt weerlegd in Beweren is niet bewijzen, waar probabilistische redeneringen net als correctielogica fundamenteel blijken in complexe bewijsstructuren.^1

5.2. Kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid

De klassieke kansrekening is gestoeld op drie fundamenten:

Kans : de kans dat gebeurtenis zich voordoet

Verwachting : het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten van een stochastische variabele

Conditionele kans : de kans op gegeven dat zich heeft voorgedaan

Voor juristen is vooral het derde concept essentieel: veel bewijsstukken of getuigenissen zijn pas relevant gegeven bepaalde andere elementen. De fout om te veronderstellen is wijdverbreid en logisch incorrect (de prosecutor's fallacy).

Latijns: Cum hoc ergo propter hoc — gelijktijdigheid impliceert geen causaliteit.

5.3. Toepassing: bewijswaardering en due diligence

Bewijswaardering

In het strafrecht wordt vaak geoordeeld op basis van ‘morele zekerheid’. Dit concept laat ruimte voor probabilistische interpretatie.^2

Casus: In een fiscale fraudezaak blijkt een verdachte op dezelfde dag meerdere transacties te hebben uitgevoerd via vennootschappen zonder boekhoudkundige sporen. De kans op toeval is bijzonder laag. Bij opeenstapeling van zulke anomalieën wordt een cumulatief inferentiepatroon zichtbaar. Bayesian update is hier een adequaat model (zie 5.5).

Due diligence

Bij contractonderhandelingen evalueert men het risico op toekomstige problemen. Denk aan overnames, waarin men aan de hand van kansdistributies en verwachtingswaarden beslissingen neemt over garanties, opschortende voorwaarden of prijsaanpassingen.^3

5.4. Risicoanalyse en normatieve beslissingsmodellen

In milieurecht, verzekeringsrecht en productaansprakelijkheid spelen kansverdelingen een sleutelrol:

Ex ante-inschattingen bepalen preventieve maatregelen (cf. REACH-verordening)

Schadeverzekeraars gebruiken verwachtingsmodellen om premies te bepalen

Rechtbanken evalueren voorzorgsmaatregelen a.d.h.v. de ‘Hand-formule’ (VS): waarbij de kost is om schade te vermijden, de kans op schade, en de potentiële schadeomvang.^4

5.5. Bayesiaans redeneren in strafzaken

Bayesiaanse logica biedt een manier om a priori-kennis en nieuw bewijs te combineren:

waarbij:

: hypothese (schuld)

: nieuw bewijs (bv. vingerafdruk)

Deze formule actualiseert het geloof in na vaststelling van . In het VK is de toepassing van Bayesiaanse modellen in de forensische wetenschappen onderwerp van intens debat, o.m. na de zaak R v. T (2010), waarin statistische redenering over schoensporen als ‘te complex’ werd verworpen door het Hof.^5

Buitenlandse doctrine:

Fenton & Neil, Risk Assessment and Bayesian Networks, 2012

Dennis Lindley, Understanding Uncertainty, 2006

Latijns: Ex antecedentibus et consequentibus probabiliter colligitur veritas — uit voorafgaande en gevolgtrekkingen wordt waarschijnlijkheid afgeleid.

5.6. Kritiek en ethische grenzen

Probabilistische modellen moeten altijd onderhevig zijn aan normatieve controle. Het is niet omdat iets waarschijnlijk is, dat het ook bewezen is (Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7).^6 De rechter moet probabilistische redeneringen altijd verbinden met motiveringsplicht en individuele waardigheid.

De Duitse rechtspraak stelt dat probabilistische bewijsvoering slechts mag leiden tot veroordeling indien de cumulatieve context geen redelijke twijfel meer toelaat (Gesamtwürdigung).^7

5.7. Conclusie

Kansdenken is essentieel voor moderne juridische beoordeling, zowel in civiele risicobeoordeling als in strafrechtelijke bewijsvoering. Wie als jurist de basisprincipes van verwachting en conditionaliteit beheerst, beschikt over een krachtig analytisch instrument dat toeliet bewijs te wegen, risico's te structureren en motieven te funderen.

---

^1 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over cumulatie van probabilistische aanwijzingen.

^2 Cass. 20 december 2016, AR P.16.0581.N.

^3 P. Vassart, “Due diligence et évaluation probabiliste des garanties contractuelles”, RDC-TBH, 2020, 432–458.

^4 US v. Carroll Towing Co., 159 F.2d 169 (2d Cir. 1947), Hand J.

^5 R v. T [2010] EWCA Crim 2439.

^6 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7, over het verschil tussen waarschijnlijkheid en bewijs.

^7 BGH 23.02.1993, Az. 5 StR 701/92.

bedrijven docter · 15 juli 2025, 00:00

Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht

6.1. Inleiding

Grafentheorie biedt een wiskundig kader voor het analyseren van netwerken: structuren van knooppunten (nodes) en verbindingen (edges). In het recht komen netwerken voor in eigendomsstructuren, contractuele verhoudingen, georganiseerde criminaliteit en bestuurlijke bevoegdheidsrelaties. De kracht van grafentheorie ligt in haar vermogen om zicht te geven op indirecte verbanden, centrale actoren en diffusie van aansprakelijkheid.

Latijns: Quod omnes tangit, ab omnibus approbari debet — wat allen aangaat, moet door allen worden goedgekeurd.

6.2. Basisbegrippen

Grafen: verzamelingen van knopen en verbindingen, eventueel met richting (gerichte grafen) en gewicht (gewogen grafen).

Pad: een sequentie van verbonden knopen.

Graafafstand: het minimaal aantal verbindingen tussen twee knopen.

Centraliteit: meet de invloed van een knoop op het geheel (denk aan bestuurszetels of hoofdaandeelhouders).

Clustering: lokaal verbonden groepen (zoals kartelvorming).

6.3. Juridische toepassingen

Aandeelhoudersstructuren

In vennootschapsrecht worden netwerken gebruikt om uiteindelijke begunstigden (UBO's) te identificeren, zelfs wanneer deze via meerdere lagen of offshore-vehikels handelen. Grafentheorie helpt doorlopende eigendomsstructuren reconstrueren en controlerende belangen te isoleren.^1

Casus: In een Luxemburgs-Belgisch vehikel worden vier holdings gebruikt om een meerderheidspositie onder de radar te houden. Grafanalyse toont dat één partij via meerdere indirecte participaties >50% stemrecht bezit.

Samenzwering en strafrecht

In georganiseerde criminaliteit zijn de deelnemers vaak slechts indirect verbonden. Klassiek bewijs laat deze structuren onder de radar. Door link analysis met graafmodellen kan men het bestaan van een crimineel netwerk aantonen, zelfs als individuele contacten schaars zijn.^2

Buitenlandse rechtspraak: De Italiaanse antimaffiawetgeving gebruikt netwerkmodellen bij associazione a delinquere di tipo mafioso (art. 416-bis Codice Penale). Zie ook de toepassing in de RICO-wetgeving (VS).

Ketenaansprakelijkheid

In sociaal recht en milieurecht ontstaan netwerken tussen hoofdaannemers, onderaannemers, en leveranciers. Grafen maken de aansprakelijkheidsketen visueel en analyseren de transmissie van zorgplichten.^3

Latijns: Res inter alios acta aliis nec nocet nec prodest — een zaak tussen anderen schaadt of baat derden niet — tenzij het netwerk aansprakelijkheid overdraagt.

6.4. Netwerktransformatie en juridische herkwalificatie

Netwerken kunnen juridisch gereconstrueerd worden (bv. schijnzelfstandigheid of economische eenheid). Grafen maken zichtbaar welke structuur functioneel wordt gebruikt, ook als deze formeel anders is.

Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8, waar een juridische deductie als netwerk wordt opgevat en via 'compositionaliteit' wordt opgebouwd: knooppunten als lemma’s, pijlen als deductieve stappen.

6.5. Kritische noot: overdaad aan connectie

Sommige rechters vrezen dat grafische modellen leiden tot overinterpretatie: correlatie wordt causatie, en los contact wordt bewijs van medeplichtigheid. In R v. Gul (UKSC 2013) werd gewaarschuwd tegen het juridisch ‘infekteren’ van de ene knoop via louter grafische nabijheid met een andere.

Latijns: Ex uno disce omnes — uit één (feit) leert men alles — maar dat geldt niet altijd.

6.6. Conclusie

Grafentheorie biedt het recht een scherp wiskundig instrument om complexe netwerken van relaties, aansprakelijkheden en machtsstructuren bloot te leggen. In een tijdperk van transnationaal ondernemerschap en georganiseerde misdaad is dit geen academische luxe, maar een noodzakelijke tool.

---

Voetnoten

1. E. Wymeersch, “Ownership and Control of Companies: a Network Analysis”, EBOR, 2019, 61–93.

2. D. Gambetta, The Sicilian Mafia: The Business of Private Protection, Harvard UP, 1993.

3. P. De Vreese, “Ketenaansprakelijkheid en de netwerkgedachte in het sociaal recht”, TSSR, 2021, 203–219.

4. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8: het deductief netwerk als schaakspel.

bedrijven docter · 15 juli 2025, 00:08

Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties

4.1. Inleiding

Verzamelingenleer vormt de basis van veel moderne wiskundige en logische structuren. Het biedt ook voor juristen een heldere taal om abstracte categorieën, klassen, en relaties te structureren. In het recht zijn tal van toepassingen denkbaar: van het classificeren van rechtsobjecten tot het analyseren van bevoegdheden en het afbakenen van rechten.

Latijns: Omnis definitio in jure civili periculosa est — elke definitie in het burgerlijk recht is gevaarlijk. Verzamelingenleer tracht die gevaren te minimaliseren via systematiek.

---

4.2. Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen

Een verzameling is een collectie van onderscheiden elementen, bijvoorbeeld "alle meerderjarige natuurlijke personen met handelingsbekwaamheid".

Een deelverzameling is een groep elementen die volledig vervat zit in een grotere verzameling, bv. "Belgische meerderjarige natuurlijke personen".

Een doorsnede (intersection) toont gemeenschappelijke elementen tussen verzamelingen. Juridisch toont dit hoe rechten of bevoegdheden kunnen overlappen.

Voorbeeld (casus uit het familierecht):
De groep van wettige erfgenamen (V) en de groep van schuldeisers (S) van een nalatenschap kunnen overlappen. De doorsnede toont erfgenamen die tegelijk schuldeiser zijn — met gevolgen voor hun positie in de vereffening.

---

4.3. Juridische categorieën: personen, goederen, bevoegdheden

Verzamelingenleer laat ons juridische actoren (personen), objecten (goederen) en attributen (bevoegdheden) structureren:

Personen kunnen gegroepeerd worden in verzamelingen: natuurlijke personen, rechtspersonen, ambtsdragers, enz.

Goederen worden ingedeeld volgens criteria als roerend/onroerend, vervangbaar/lichamelijk, enz. Iedere eigenschap komt overeen met een deelverzameling.

Bevoegdheden zijn functies of rechten die kunnen toegekend worden binnen een context. Verzamelingenleer laat de vergelijking van rechtsposities toe.

Buitenlandse doctrine (Duitsland): In de systematische rechtstheorie van Larenz en Canaris^1 wordt de Begriffsjurisprudenz deels uitgewerkt als een taxonomie van juridische verzamelingen.

---

4.4. Equivalentierelaties en partities

Een equivalentierelatie is een wiskundige relatie die:

1. Reflexief is (),

2. Symmetrisch (),

3. Transitief ().

In het recht zien we dergelijke relaties bij:

Jurisprudentie: gelijkaardige feiten leiden tot gelijke rechtsgevolgen (rechtseenheid).

Precedentwerking: wanneer één geval als gelijkwaardig aan een eerder geval wordt behandeld, ontstaat er een equivalentieklasse.

Een partitie is een opdeling van een verzameling in disjuncte (niet-overlappende) subsets. Dit wordt zichtbaar in het recht bij:

Rechtsgebieden (bv. civiel, straf, administratief) als partitie van het juridisch domein.

Bevoegdheidsverdeling: deelverzamelingen van overheden met exclusieve bevoegdheden (cf. Belgische bevoegdheidsmatrix).

Latijns: Ubi eadem ratio, ibi idem jus — waar dezelfde reden geldt, geldt hetzelfde recht. Dit is de kern van de equivalentierelatie in juridische precedenten.

---

4.5. Juridische toepassing: precedentgroepen als equivalentieklassen

In common law-systemen vormen precedentgroepen natuurlijke equivalentieklassen. Iedere klasse bevat gevallen die substantieel gelijkwaardig worden bevonden. In civil law werkt men minder met zulke formele klassen, maar ze worden impliciet toch gebruikt bij rechtspraak over 'gelijkwaardige gevallen'.

Casus (VS): In Brown v. Board of Education (347 U.S. 483, 1954) werd het precedent Plessy v. Ferguson verworpen, waardoor de toenmalige equivalentieklasse ('segregatie is constitutioneel') werd herverdeeld. De rechters herdefinieerden de partitie van toegestane staatsinterventies in het onderwijs.

Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2, waar het verschil tussen formele gelijkheid (logisch) en juridische gelijkheid (contextueel) wordt uitgewerkt.

---

4.6. De gevaren van foutieve verzamelingen

Een verkeerd gedefinieerde verzameling leidt tot juridische misvattingen, zoals:

Overinclusie: wie niet tot een juridische categorie behoort, wordt er toch onder gebracht.

Onderinclusie: wie wel onder een categorie valt, wordt ten onrechte uitgesloten.

Voorbeeld: bij de toepassing van antidiscriminatiewetgeving is een juiste afbakening van de 'beschermde groep' essentieel.

Latijns: Exceptio firmat regulam in casibus non exceptis — de uitzondering bevestigt de regel in gevallen die niet uitzonderlijk zijn. Foutieve verzamelingen leiden tot foute uitzonderingen.

---

4.7. Conclusie

Verzamelingenleer biedt het recht een taal van precisie en structuur. Door juridische concepten als verzamelingen, relaties en partities te analyseren, worden redeneringen inzichtelijker en controversevermijdender. In een tijd van complex recht is wiskundige eenvoud geen luxe, maar noodzaak.

---

Voetnoten

1. K. Larenz & C.-W. Canaris, Methodenlehre der Rechtswissenschaft, Springer, 1995.

2. J. Rawls, A Theory of Justice, Harvard UP, 1971 — het gebruik van “equivalence classes” in distributieve rechtvaardigheid.

3. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2: over juridische gelijkheid en logische gelijkvormigheid.

---

bedrijven docter · 15 juli 2025, 10:20

Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie

7.1. Elementaire getaltheorie

Getaltheorie, de studie van de eigenschappen van gehele getallen, lijkt op het eerste gezicht ver af te staan van de dagelijkse praktijk van juristen. Toch vormt ze de wiskundige ruggengraat van veel digitale beveiligingsmechanismen, van elektronische handtekeningen tot blockchaintechnologie. Fundamentele concepten zoals priemgetallen, modulaire rekenkunde, en het grootste gemene deler zijn cruciaal in cryptografie, die op haar beurt juridische implicaties heeft op vlak van bewijs, privacy en authenticiteit.

Bijvoorbeeld, het RSA-algoritme, dat berust op de moeilijkheid van het factoriseren van het product van twee grote priemgetallen, vormt de basis van veel digitale handtekeningprotocollen. Het geheim van de sleutel ligt precies in het feit dat het wiskundig ondoenbaar is om binnen een redelijke tijd de originele priemfactoren te reconstrueren.

> "Fiat iustitia, et pereat mundus." – Laat gerechtigheid geschieden, al vergaat de wereld. Toch stelt cryptografie de vraag: wat als 'gerechtigheid' gecodeerd wordt in een algoritme?

7.2. Cryptografie, hashing en digitale handtekeningen

Cryptografie is het domein waarin mathematische technieken de vertrouwelijkheid, integriteit en authenticiteit van informatie garanderen. Juridisch zijn vooral de volgende toepassingen relevant:

Digitale handtekeningen: deze garanderen dat een document afkomstig is van een bepaalde partij én dat het sinds ondertekening niet gewijzigd werd. Dit is essentieel in elektronische contracten, vonnissen en akten.

Hashfuncties: wiskundige functies die van een willekeurige input een vaste lengte output maken. Een kleine wijziging in de input geeft een compleet andere output. Juridisch wordt hashing gebruikt om documenten onweerlegbaar te registreren zonder hun inhoud prijs te geven (bv. in het notariaat of bij IP-registratie).

Asymmetrische cryptografie: waarbij publieke en private sleutels gebruikt worden, ligt aan de basis van veilige communicatie en blockchaintechnologie.

Buitenlandse doctrine

De Franse Conseil d’État wees er in een advies uit 2022 op dat juridische geldigheid van elektronische stukken niet alleen van hun technische integriteit afhangt, maar ook van hun "aptitude ?* convaincre" – hun overtuigingskracht in de juridische context¹.

Casus 1

Een advocaat stelt dat zijn cliënt een bepaalde e-mail nooit ontvangen heeft. De tegenpartij voert een "hashbewijs" aan: een hashwaarde gegenereerd uit het originele bericht. De rechter moet beslissen of dit een betrouwbaar bewijs is. Zonder inzicht in hashing én juridische bewijsleer is dit moeilijk te beoordelen.

---

7.3. Blockchain en smart contracts: juridische implicaties

De blockchaintechnologie biedt een manier om gegevens onveranderlijk en gedecentraliseerd op te slaan. In het recht zijn de toepassingen legio:

Onweerlegbaar bewijs van tijdstip of eigendom (timestamping);

Smart contracts: zelfuitvoerende contracten waarin de verplichtingen in code vervat zitten. Deze kunnen automatisch betalen, sancties toepassen of clausules activeren;

Digitale bewijsvoering: in burgerlijke of commerciële geschillen wordt blockchain steeds vaker aangehaald als bewijs van authenticiteit of chronologie.

Latijnse spreuk

> "Verba volant, scripta manent. Sed scriptum digitale?" – Woorden vervliegen, het geschrevene blijft. Maar wat met het digitale schrift?

Buitenlandse rechtspraak

In Duitsland werd in een vonnis van het Amtsgericht München (2023) geoordeeld dat een smart contract géén geldig huurcontract uitmaakt zolang de gebruiker "redelijkerwijze" niet kan nagaan welke gevolgen de codering heeft. Hier botst wiskundige precisie met juridische transparantie.

---

7.4. Juridische reflectie: bewijs ??* automatisering

7.4.1. Bewijs, geloofwaardigheid en digitale zekerheid

Blockchain-registratie kan dienen als bewijs van timestamp, eigendom of transactie. Toch garandeert dit niet automatisch de juridische geloofwaardigheid van dat bewijs. Er blijft nood aan interpretatie: wie voerde de registratie uit? In welke context? Wat is de bedoeling van het document?

> Zoals eerder uitgebreid beargumenteerd in de verhandeling Beweren is niet bewijzen, volstaat het niet dat een technisch of logisch systeem consistent is; het moet ook voldoen aan de juridische eisen van geloofwaardigheid, interpretatie en proportionaliteit. Een digitale handtekening of een hashwaarde kan wel een bewijsdrager zijn, maar is nog geen bewijs zelf zonder beoordeling binnen de bredere juridische context (zie Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 6: "De non-monotone logica van juridische bewijslast").

Het gevaar is dat men automatische validatie gelijkstelt aan juridische waarheidsvinding. Een hash zegt dat het document niet gewijzigd is, maar niets over de waarheid van de inhoud of de rechtsgeldigheid van het feit.

Casus 2

Een blockchain-transactie toont dat A een token verzond aan B. B claimt hiermee eigenaar te zijn van het onderliggende goed. De rechter moet echter nagaan of het token juridisch de eigendomstitel vertegenwoordigt — een zuiver juridische vraag, die niet door de technologie zelf wordt opgelost.

---

7.5. Slotbedenkingen

Getaltheorie mag dan een abstracte wiskundige discipline lijken, ze zit onder de motorkap van cruciale juridische mechanismen in de digitale samenleving. Net zoals een jurist het verschil moet kennen tussen een handtekening en een paraaf, moet hij ook het verschil begrijpen tussen een hash en een geldig bewijs.

De toekomst van het recht zal in belangrijke mate digitaal én mathematisch bemiddeld zijn. Maar het recht kan nooit gereduceerd worden tot een algoritme: iustitia is geen subroutine.

---

Voetnoten

1. Conseil d’État, Rapport public 2022 – Le numérique et les droits fondamentaux, Paris, La documentation française, 2022, p. 81.

2. Zie ook: M. Hildebrandt, Smart Technologies and the End(s) of Law, Edward Elgar, 2015.

3. Over het verschil tussen mathematisch bewijs en juridisch bewijs, zie: Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 6, “De non-monotone logica van juridische bewijslast”.

bedrijven docter · 15 juli 2025, 19:06

Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory

8.1. Categorieën als denkkader

Categorietheorie is een abstracte tak van de wiskunde die zich niet zozeer bezighoudt met de interne structuur van objecten, maar met de relaties ertussen. In plaats van te focussen op de inhoud van individuele begrippen, bestudeert ze hoe deze begrippen onderling transformeren, gecombineerd worden, of in netwerkvorm functioneren.

Een categorie bestaat uit een verzameling objecten en morfismen (ook wel pijlen genoemd) tussen die objecten. Elk morfisme gaat van één object naar een ander (of hetzelfde) object. Belangrijk is dat er een samenstelling bestaat voor morfismen (f???g), die associatief is, en dat elk object een identiteitsmorfisme heeft.

> "Wat categorietheorie ons geeft, is een manier om te denken over hoe dingen met elkaar verbonden zijn, in plaats van wat ze afzonderlijk zijn." — Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction¹

Voor juristen is deze manier van denken bijzonder relevant. Niet alleen omdat het recht zelf een systeem is van relaties (bijvoorbeeld tussen personen, bevoegdheden, goederen en instellingen), maar ook omdat juridische redeneringen vaak neerkomen op het herkennen van structurele gelijkenissen tussen uiteenlopende gevallen. Categorietheorie helpt om zulke analogieën rigoureus te formuleren.

Een toegankelijke, diepgravende en filosofisch geïnspireerde inleiding tot categorietheorie is te vinden in het werk van Eugenia Cheng¹. Zij toont aan dat abstract denken niet betekent dat we afstand nemen van de realiteit, maar net dat we beter zicht krijgen op onderliggende structuren — een visie die aansluit bij de juridische nood aan consistentie, coherentie en proportionaliteit.

8.2. Juridische concepten als objecten, handelingen als morfismen

In juridische context kunnen we denken aan objecten als rechtsbegrippen (zoals “eigendom”, “aansprakelijkheid”, “verbintenis”), en morfismen als juridische transformaties of handelingen (zoals overdracht, afstand, vestiging van een recht). Een eigendomsrecht dat wordt overgedragen van A naar B is dan een morfisme tussen het object “eigendom van A” naar “eigendom van B”.

Als deze morfismen op een consistente manier kunnen worden samengesteld (bijvoorbeeld: verkoop gevolgd door erfopvolging), ontstaat een structuur waarin het juridische gevolg (bijvoorbeeld: nieuwe eigenaar) afhangt van de samenstelling van verschillende rechtsgevolgen. Dit is het kernidee van een commutatief diagram in categorietheorie: verschillende paden van juridische handelingen kunnen tot hetzelfde rechtsgevolg leiden.

8.3. Functoren: van rechtssysteem tot rechtssysteem

Een functor is een structuurbehoudende toepassing tussen twee categorieën. In het recht kunnen we denken aan functoren als manieren om een rechtsfiguur te vertalen van het ene rechtsgebied naar het andere (bijvoorbeeld van het burgerlijk recht naar het fiscaal recht), of van het ene rechtsstelsel naar het andere (rechtsvergelijking). Een functor moet zowel objecten als morfismen op een consistente manier overdragen.

Zo kan men een erfpachtconstructie in het Belgisch recht vergelijken met een leasehold in het Angelsaksisch recht, waarbij men via een functoriële benadering niet alleen termen vergelijkt, maar ook de onderliggende juridische functies (duur, overdraagbaarheid, sancties).

8.4. Commutatieve diagrammen en juridische coherentie

Een commutatief diagram in de categorietheorie stelt dat twee verschillende reeksen morfismen (transformaties) die van hetzelfde object vertrekken en aankomen, uiteindelijk hetzelfde effect hebben. In juridische termen is dit vergelijkbaar met de eis van coherentie van rechtsgevolgen.

Bijvoorbeeld, of men een eigendomsoverdracht verkrijgt via koop gevolgd door levering, of via schenking gevolgd door aanvaarding, beide trajecten kunnen (onder voorwaarden) leiden tot eenzelfde resultaat. De structuur van het rechtsgevolg is dan onafhankelijk van de gekozen weg — dit is een juridisch commutatief diagram.

8.5. Verbondenheid met de verhandeling Beweren is niet bewijzen

In de verhandeling Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 9 (“De transformatie van juridische problemen via andere wetten”), wordt uitgebreid uiteengezet hoe categorietheorie kan dienen om juridische redeneringen over wetten heen structureel te begrijpen. Daar wordt aangetoond hoe commutativiteit, functoriële overzetting en diagrammatische consistentie de analyse van rechtsregels kunnen versterken, vooral wanneer men abstracte juridische vragen probeert op te lossen in complexe, meerlagige wetgevingen.

8.6. Slotbedenking

De categorietheorie biedt juristen geen nieuwe wet, maar een nieuwe taal. Een taal die abstract, maar niet afstandelijk is. Die structuur centraal stelt in plaats van chaos. In tijden van toenemende digitalisering, rechtspluralisme en contextuele interpretatie biedt dit abstractiekader de nodige precisie én flexibiliteit.

---

Voetnoten

1. Cheng, E., The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, Cambridge University Press, 2022.

2. Zie ook Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 9: “De transformatie van juridische problemen via andere wetten”.

bedrijven docter · 15 juli 2025, 19:27

Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht

Groepen, ringen, en velden: betekenisvolle of overdreven analogieën?

9.1. Inleiding: de aantrekkingskracht van structuur

Algebraïsche structuren zoals groepen, ringen en velden vormen het fundament van abstracte algebra. In deze structuren draait alles om de manier waarop elementen met elkaar combineren, transformeren en zich gedragen onder bepaalde operaties. Ook het recht, hoe normatief en mensgericht ook, lijkt in veel opzichten gebonden aan vaste patronen van interactie en transformatie: rechten worden overgedragen, plichten ontstaan uit handelingen, en regels combineren tot nieuwe gevolgen.

Niet zelden vragen juristen — al dan niet met enige scepsis — of zulke wiskundige modellen werkelijk passen bij de menselijke complexiteit van het recht. Een populaire zoekopdracht op Google bevestigt deze intuïtieve aarzeling: wie intikt “gaat wiskunde en recht samen” krijgt zowel inspirerende voorbeelden als kritische bedenkingen.¹

Dit hoofdstuk onderzoekt met open vizier hoe algebraïsche structuren kunnen fungeren als metaforen, modellen of zelfs structurerende principes in juridische redenering. Zonder de menselijke dimensie van het recht te reduceren tot een formalisme, toont deze analyse dat abstractie geen ontmenselijking hoeft te zijn — maar juist een middel kan vormen tot duidelijkheid, coherentie en controleerbaarheid.

---

9.2. Groepsstructuren: herroepbaarheid, inversie en neutraliteit

Een groep is een verzameling elementen met een binaire operatie die voldoet aan vier axioma’s: associativiteit, een neutraal element, het bestaan van inverse elementen en geslotenheid. Juridisch kunnen we denken aan handelingen (zoals “geven” of “herroepen”) die deze structuur benaderen.

Bijvoorbeeld, binnen het contractenrecht kan de herroeping van een schenking — onder bepaalde voorwaarden — beschouwd worden als een inverse handeling:

Schenking (g) gevolgd door herroeping (g?¹) = status quo (e).

De neutraliteit speelt in gevallen waar een handeling geen wijziging brengt in de rechtspositie (bijvoorbeeld het verstrijken van een termijn zonder reactie).

Een associatief structuurprincipe — (a ? b) ? c = a ? (b ? c) — komt terug in de cumulatie van aansprakelijkheden of opeenvolgende overdrachten, waarbij de volgorde van juridische schakels formeel niets verandert aan het eindresultaat (mits voldaan aan juridische voorwaarden zoals geldigheid en bekwaamheid).

Maar let wel: het bestaan van een inverse is in het recht vaak contextueel en voorwaardelijk. Niet elke overdracht is herroepbaar, en sommige rechtshandelingen (zoals geboorte of overlijden) zijn definitief en onomkeerbaar. De groepsstructuur blijft dus een analogisch hulpmiddel, geen universeel model.

---

9.3. Ringen: twee operaties, meerdere dimensies

Een ring is een algebraïsche structuur met twee operaties: een additieve (zoals optellen) en een multiplicatieve (zoals vermenigvuldigen), met de eerste die een abelse groep vormt en de tweede die associatief is en distributief over de eerste.

Denk juridisch aan het combineren van rechten (zoals optellen van deelrechten) versus het toepassen van regels op rechten (zoals vermenigvuldigen van een recht met een sanctie of een wettelijke beperking).
Bijvoorbeeld:

(Recht op schadevergoeding) + (Recht op interesten) = gecombineerd vermogensrecht

(Aanspraak) × (uitsluitingsclausule) = beperkte afdwingbaarheid

De distributiviteit, (a + b) × c = (a × c) + (b × c), komt voor in het recht bij toepassing van een regel op samengestelde gevallen. Bijvoorbeeld, wanneer eenzelfde rechtsregel (zoals een verjaringstermijn) wordt toegepast op meerdere verbintenissen afzonderlijk.

---

9.4. Velden: symmetrie, reciprociteit en volledige controle?

Een veld (field) is een ring waarin ook de multiplicatieve structuur een groep vormt (behalve nul). Dit betekent dat elke niet-nulwaarde een inverse heeft. In juridische context is het moeilijker om volwaardige veldstructuren aan te wijzen, omdat niet elk juridisch element een "reciproque" heeft. Toch kan men in situaties waar actie en tegenactie volkomen uitgebalanceerd zijn (bijvoorbeeld in vereffeningsprocedures of saldering van verbintenissen) een gelijkaardige symmetrie herkennen.

Bijvoorbeeld in het faillissementsrecht:

Schuldpositie A tegenover B, verrekend met vordering B op A ? nettopositie = 0.

Zulke verrekensystemen neigen naar veldlogica: elke handeling is ophefbaar door een evenwaardige tegenhandeling. Maar in de praktijk worden juridische systemen zelden zuiver wiskundig gesloten: ethiek, redelijkheid en interpretatie verstoren het algebraïsche ideaal.

---

9.5. Eigenschappen van algebra binnen het recht

Associativiteit

Komt terug in redeneringen waar tussenstappen mogen herschikt worden zonder de conclusie te beïnvloeden. Bijvoorbeeld in bewijsvoering:

(Feit A + Feit B) + Rechtsregel = Feit A + (Feit B + Rechtsregel).

In het aansprakelijkheidsrecht wordt dit zichtbaar in causale ketens, waar het niet uitmaakt of schade via oorzaak X of via samengestelde oorzaak (X + Y) is ontstaan, zolang de juridische link aantoonbaar blijft.

Distributiviteit

In juridische argumentatie betekent dit: een algemene regel toegepast op meerdere gevallen levert dezelfde uitkomst op als het apart toepassen van die regel op elk geval. Dit wordt frequent gebruikt in fiscale rulings of bij toepassing van mensenrechten op meerdere procespartijen.

Distributieve eigenschap:

Toepassing van art. 6 EVRM op (A + B) = Toepassing op A + Toepassing op B.

---

9.6. Kritische reflectie: analogieën zijn hulpmiddelen, geen modellen

Wiskundige structuren zijn aantrekkelijk omdat ze consistentie en logische kracht bieden. Maar ze zijn geen blauwdruk van de juridische werkelijkheid. Waar de wiskunde uitgaat van definitie, werkt het recht met interpretatie. Waar een veld nul uitsluit, moet het recht ook met niets beginnen.

Het is dus zaak om met nuance te werk te gaan. Wiskundige structuren bieden metaforen en analysekaders, maar ze mogen het juridische oordeel niet vervangen. Wel kunnen ze dat oordeel versterken, structureren of aanzetten tot precisering. Of zoals een veelgestelde vraag op Google het formuleert: “gaat wiskunde en recht samen?” Het antwoord is: ja, maar niet altijd op de manier die men denkt.²

---

Voetnoten

1. Google-zoekopdracht “gaat wiskunde en recht samen” levert onder andere opiniestukken, academische blogs en onderwijsmodules op.

2. Zie ook: Hoofdstuk 3 van deze verhandeling over associativiteit en distributiviteit in juridische logica.

bedrijven docter · 16 juli 2025, 02:20

Waarom google zoekopdracht doen vermeld in vorige hoofdstuk ?
In dit baanbrekende werk tilt Paul Van Der Es de toepassing van wiskundige structuren naar het domein van rechtspraak en wetgeving. Op overtuigende wijze wordt uitgelegd hoe abstracte algebraïsche concepten — zoals conjugacy classes, centrale centralisatoren én de inbedding van logische operatoren — kunnen dienen als denkkader om juridische normen, interpretaties en onderlinge verbanden te analyseren.

Gebaseerd op praktijkervaringen en methodes beschreven in discussies als die van “bedrijven docter” op Politics.be — waar wetboeken worden gereduceerd tot algebraïsche groepen en via logische permutaties een rijk gelaagde interpretatie van recht ontstaat — ontvouwt Van Der Es een helder model:

Begin met een geselecteerd ‘referentiewetboek’ (bv. het BW),

Ontsluit er conjugacy classes in, breid uit met negaties, centralisatoren en logische operators,

Breng structuur in juridische argumentaties met behulp van n?adische relaties.

Het resultaat is een innovatieve toolkit — een “Q(spec)” — waarmee academici, juristen en magistraten systematisch juridische teksten kunnen modelleren, toetsen en interpreteren. Dit werk vormt een brug tussen abstracte wiskunde en juridisch denken en biedt een krachtige methodologie om complexiteit inzichtelijk te maken.

Voor wie?

Advocaten en rechters die hun analyse willen verdiepen met logisch-algebraïsche inzichten.

Juridische onderzoekers die een formeler, rigoureus denkkader nastreven.

Studenten en docenten op het snijvlak van formele logica en recht.

Waarom lezen?

Verheldert en structureert juridische argumenten.

Biedt een frisse, mathematisch gefundeerde lens op interpretatie en jurisprudentie.

Brug tussen theorie en praktijk: van forumdiscussie naar professionele juridische toepassing.

bedrijven docter · 16 juli 2025, 09:14

Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen

Open en gesloten systemen van rechtsregels

Grenzen en limieten van interpretatie

Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen

---

10.1. Inleiding: abstractie zonder verlies van nabijheid

Topologie, in haar meest abstracte vorm, bestudeert de eigenschappen van ruimten die behouden blijven onder continue vervormingen: rekken, plooien en buigen zijn toegelaten, breken of lijmen niet. Dit lijkt op het eerste gezicht ver van juridische praktijk te staan, maar de analogie wordt interessant wanneer we redeneringen en normatieve systemen zelf als “ruimten” beschouwen: systemen met binnen- en buitenkanten, met open of gesloten vormen, met begrenzingen, overgangen, convergenties en limieten.

Zoals Eugenia Cheng benadrukt in The Joy of Abstraction, is de kracht van categorieën en topologische structuren dat ze ons leren relaties te zien in plaats van objecten op zich.¹ Ook in het recht gaat het zelden om geïsoleerde normen, maar om de manier waarop deze normen zich tot elkaar verhouden — structureel, interpretatief, systemisch.

---

10.2. Open en gesloten systemen van rechtsregels

In topologie is een open verzameling een deel van een ruimte waarin elk punt intern ligt: geen grenspunt behoort enkel tot de buitenkant. Gesloten verzamelingen bevatten hun randen. Deze abstracte notie krijgt juridische betekenis in de manier waarop rechtsregels zichzelf al dan niet afsluiten voor interpretatie of uitbreiding.

Een open systeem van rechtsregels is dynamisch: de interpretatie is contextueel, er is ruimte voor evolutie, analogieën en rechtsvergelijking. Bijvoorbeeld het Belgische mensenrechtenrecht, dat zich spiegelt aan het EHRM en voortdurend interpreteerbaar blijft.

Een gesloten systeem daarentegen sluit interpretatie af: regels worden strikt toegepast volgens hun tekst. Denk aan strafbepalingen in het strafrecht: nulla poena sine lege certa. Hier is de topologische analogie met gesloten verzamelingen krachtig — de grenzen zijn onderdeel van de regel.

In het burgerlijk recht vinden we beide: het contractenrecht functioneert vaak open (via de redelijkheid en de goede trouw), het goederenrecht eerder gesloten (numerus clausus van zakelijke rechten).

---

10.3. Grenzen en limieten van interpretatie

De grens in de topologie is een verzameling punten die noch volledig binnen, noch volledig buiten een verzameling vallen. Juridisch zijn dit de spanningsvelden waar interpretatie onbeslist is:

Is een bepaalde gedraging nog vrijheid van meningsuiting, of al haatspraak?

Valt een hybride platform onder het arbeidsrecht of onder zelfstandige dienstverlening?

Deze grensgevallen of edge cases zijn juridisch cruciaal. Hier bevinden we ons op het grensvlak van doctrine, rechtspraak en normatieve intuïtie. De topologische benadering dwingt ons te erkennen dat een grens geen schakel is tussen twee gesloten systemen, maar een zone van overgang en negotiatie. Precedenten, analogieën en redeneringen uit aanverwante rechtsgebieden fungeren hier als topologische transformaties: continu, maar niet altijd bij uitstek duidelijk.

Een limiet in wiskundige zin — een benadering van een waarde zonder die ooit exact te bereiken — is in juridische context de asymptotische grens van interpretatie:

Hoe ver kan men het begrip "aansprakelijkheid voor derden" uitrekken vooraleer men het onderliggende rechtsbeginsel loslaat?

Bijvoorbeeld: de evolutie van het leerstuk van de bestuurdersaansprakelijkheid benadert een limiet waarbij het onderscheid tussen fout en risico vrijwel verdwijnt. Juridisch nuttig, maar topologisch risicovol.

---

10.4. Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen

In de klassieke topologie definieert nabijheid de manier waarop elementen zich tot elkaar verhouden zonder noodzakelijk gelijk te zijn. In juridische zin kunnen we denken aan normen die functioneel nabij zijn: ze reguleren vergelijkbare situaties, overlappen in toepassingsgebied, of vertonen structurele gelijkenis. Voorbeelden:

Het overgangsgebied tussen consumentenrecht en handelspraktijkenwetgeving

De kruising van sociaal en fiscaal recht in loonkostregimes

De interactie tussen Europese richtlijnen en nationale omzettingswetgeving

Continuïteit betekent dat kleine wijzigingen in input (feiten) geen abrupte veranderingen in output (rechtsgevolgen) veroorzaken. Dit lijkt vanzelfsprekend, maar juridische systemen zijn hier niet altijd continu. Denk aan juridische drempels (bijvoorbeeld bedragen boven/onder een bepaalde grens), waarbij een minieme wijziging in de feiten tot een totaal ander rechtsgevolg leidt.

Bijvoorbeeld:

Een inkomen van € 25.000 levert recht op sociale bijstand, maar € 25.001 niet meer ? discontinuïteit.

Een schadepost van net boven de grenswaarde activeert aansprakelijkheid ? sprongdiscontinuïteit.

Topologische redenering maakt dit zichtbaar: het recht is soms niet-Hausdorff — verschillende rechtsnormen kunnen moeilijk worden gescheiden zonder overlapping, of integendeel: vergelijkbare gevallen worden abrupt anders behandeld. Dit is geen fout, maar wel een aandachtspunt voor rechtvaardigheid en evenredigheid.

---

10.5. Topologische metaforen en juridische intuïtie

De abstractie van topologie lijkt op het eerste gezicht kil, maar ze dwingt tot denken in relaties, vormen en overgangen — precies wat juridische redenering onderscheidt van louter syllogistische logica. De vraag is niet alleen wat een regel is, maar hoe die regel zich gedraagt binnen een rechtsruimte:

Is zij open of gesloten?

Heeft zij een grensgebied van onduidelijkheid?

Beweegt zij zich continu ten opzichte van verwante normen?

Leidt interpretatie tot breuk of vervorming?

Via deze vragen kunnen juristen abstracte begrippen concretiseren en juridische complexiteit beheersen zonder ze te reduceren.

---

10.6. Slot: juridische topologie als navigatie-instrument

Het recht is geen Euclidische ruimte: normen botsen, overlappen, buigen en glijden langs elkaar. Topologie biedt een formeel kader om deze fenomenen te benoemen en te analyseren. Niet als doel op zich, maar als hulpmiddel om coherentie en consistentie te bewaren.

Of zoals hoofdstuk 9 van Beweren is niet bewijzen reeds aantoont: juridische concepten zijn niet enkel objecten, maar vooral knooppunten in netwerken van relaties.² De topologische blik leert ons: het gaat niet alleen om de regels die men ziet, maar om de ruimte waarin zij functioneren.

---

Voetnoten

1. Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, Cambridge University Press, 2022. Zie hoofdstuk 4 en 8 over topologie en contextuele structurering.

2. Zie Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 9: "Categorietheorie voor juristen", waarin juridische concepten worden gemodelleerd als objecten en morfismen binnen relationele structuren.

bedrijven docter · 16 juli 2025, 18:05

Deel IV – Kritische toepassingen en reflecties

Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren

Statistische drogredenen in rechtszaken – Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools – De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening

---

11.1. Inleiding: de schijnzekerheid van getallen

Wiskunde kan het juridische denken structureren en verhelderen — dat is het uitgangspunt van dit handboek. Maar diezelfde wiskunde kan, wanneer onkritisch toegepast, leiden tot een vals gevoel van objectiviteit. In dit hoofdstuk behandelen we drie gevaarlijke toepassingen waarin wiskundige argumentatie het juridische oordeel verstoort: (1) verkeerd begrepen statistiek, (2) misbruik van algoritmen en risico-assessments, en (3) overmatige exactheid in schadebegroting.

Zoals besproken in hoofdstuk 9 (Algebraïsche structuren in het recht) en hoofdstuk 10 (Topologie van juridische redeneringen) zijn wiskundige structuren slechts zinvol in de mate waarin ze inhoudelijk en contextueel correct worden ingezet. De latijnse spreuk Fallacia non facit legem (“een drogreden schept geen recht”) blijft ook gelden waar het getallen betreft.

---

11.2. Statistische drogredenen in rechtszaken

11.2.1. De prosecutor’s fallacy in Belgische context

In het Belgisch strafrecht wordt statistisch bewijs slechts zelden op rigoureuze wijze aangebracht, maar impliciete kansredeneringen komen wel frequent voor, vooral in zedenzaken of vermogensdelicten.

Voorbeeld: In een Antwerpse zedenzaak werd een bekentenis afgelegd onder druk van de vermeende “onweerlegbare” statistiek dat het DNA van de dader op het lichaam van het slachtoffer gevonden was, en dat de kans op een fout slechts 1 op 10 miljoen bedroeg. De verdediging wees terecht op het verschil tussen:

de kans dat het DNA op het slachtoffer zit als de verdachte onschuldig is

versus de kans dat de verdachte onschuldig is gegeven dat DNA is gevonden

Die verwarring is de klassieke prosecutor’s fallacy, vaak toegelicht in de literatuur als “P(E|¬H) ??* P(¬H|E)”.? De Belgische doctrine is hier terughoudend: “Statistiek kan wijzen op richting, maar geen beslissend bewijs leveren” (Cass., 6 feb. 2001, Pas. 2001, I, 348).

---

11.2.2. Base rate fallacy en profilering

In sociale fraudebestrijding worden vaak risicoprofielen opgesteld. Als een bepaald gedrag of afkomst significant vaker voorkomt in het databestand van fraudeurs, kan dit leiden tot verhoogde opsporing. Maar zonder de basisfrequentie in de hele populatie in rekening te brengen, leidt dit tot foutieve gevolgtrekkingen.

De juridische relevantie van statistische associaties blijft beperkt zolang men correlatie verwart met causaliteit. Post hoc, ergo propter hoc is in deze context niet alleen een drogreden, maar ook een grond voor discriminatieclaims (zie EHRM, DH e.a. t. Tsjechië, 13 nov. 2007, nr. 57325/00, over indirecte discriminatie via statistische selectiecriteria).

---

11.3. Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools

11.3.1. SyRI en het arrest van de rechtbank Den Haag

In Nederland werd het algoritmisch opsporingssysteem SyRI (Systeem Risico Indicatie) ingezet om sociale fraude op te sporen op basis van koppelingen tussen databanken. In 2020 vernietigde de rechtbank Den Haag het systeem wegens schending van artikel 8 EVRM (privacy), omdat burgers geen zicht hadden op de criteria en werking van het algoritme (Rb. Den Haag, 5 feb. 2020, ECLI:NL:RBDHA:2020:865).

Ook in België bestaat er een tendens naar digitale profilering bij RVA, FOD Financiën en politiediensten. Zulke systemen hebben weliswaar een mathematische kern, maar zijn juridisch normatief geladen: welke variabelen relevant zijn, is geen wiskundige, maar juridische of ethische keuze.

De EHRM-jurisprudentie benadrukt het belang van transparantie, proportionaliteit en toetsbaarheid bij het gebruik van algoritmen in rechtstoepassing (EHRM, Roman Zakharov v. Russia, 4 dec. 2015, nr. 47143/06).

---

11.3.2. Internationale doctrine

Volgens de Raad van Europa (2021) mogen “AI-systemen in de rechtspraak slechts worden ingezet indien zij transparant zijn, uitlegbaar, en aan te vechten”.? De aanbevelingen van de CEPEJ (European Commission for the Efficiency of Justice) pleiten voor een “ethics by design”-benadering.

Ook internationale doctrine, zoals Mireille Hildebrandt en Frank Pasquale, wijst op het gevaar van epistemische asymmetrie: algoritmen creëren ongelijkheid in kennis en macht tussen burger en overheid, onder het mom van wiskundige neutraliteit.

Latijnse kernformule: Fiat iustitia, ruat caelum — maar dat veronderstelt wél dat men weet hoe het recht werkt, ook achter het scherm van de algoritmen.

---

11.4. De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening

11.4.1. Het forfaitair denken onder het Wetboek Economisch Recht

Bij schadevergoeding in contractuele of buitencontractuele context hanteert men in België vaak forfaitaire tabellen zoals de ANWB-tabellen of kapitalisatieformules op basis van rente, levensverwachting, inflatie, enz.

Bijvoorbeeld, art. 5.138 van het Nieuw Burgerlijk Wetboek (2023) stelt dat de schadevergoeding moet overeenstemmen met het werkelijk geleden verlies. Maar in de praktijk vertaalt zich dat in zeer precieze bedragen met meerdere decimalen.

Toch is er vaak grote onzekerheid over:

de werkelijke loopbaan van het slachtoffer

het rendement van de kapitaalvergoeding

toekomstige inflatie en koopkracht

In een zaak voor het arbeidshof te Gent (Arbh. Gent, 3 mei 2022), werd een schadevergoeding herleid van €183.231,44 naar €120.000 ex aequo et bono, omdat de oorspronkelijke berekening uitging van foutieve groeivoeten en onzeker rendement.

---

11.4.2. Het spanningsveld tussen numerieke en juridische logica

Wiskundige berekeningen geven schijnexactheid. Zoals al besproken in hoofdstuk 6 (Niet-monotone logica en bewijsbeslissingen), kan een mathematische afleiding juridisch misleidend zijn wanneer de initiële gegevens betwist zijn.

Latijnse waarschuwing: Summum ius, summa iniuria – een strikte toepassing van een rekenregel kan leiden tot juridisch onrecht.

---

11.5. Conclusie: wiskundige precisie vereist juridische nederigheid

Het is niet omdat iets berekend is, dat het ook bewezen is. Statistiek, algoritmen en schadeduiding zijn nuttige tools, maar geen orakels. Juridisch denken vereist kritische omgang met elke vorm van numerieke evidentie. Dit hoofdstuk bevestigt de centrale these van dit handboek: “meer wiskunde kan het recht versterken, maar alleen indien ook de limieten van wiskunde worden erkend.”

Zoals Eugenia Cheng terecht schrijft in The Joy of Abstraction:

> *“Mathematics isn’t about finding final answers. It’s about knowing what questions make sense.”*?

---

Voetnoten

1. Cass. 6 feb. 2001, Pas. 2001, I, 348.

2. ProPublica, “Machine Bias”, 2016.

3. Rb. Den Haag 5 feb. 2020, ECLI:NL:RBDHA:2020:865.

4. Zie bijvoorbeeld D.H. Kaye & D.A. Freedman, “Reference Guide on Statistics”, in: Federal Judicial Center Reference Manual on Scientific Evidence (3rd ed., 2011).

5. Raad van Europa, CEPEJ Guidelines on the use of AI in judicial systems, 2021.

6. Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction, Cambridge University Press, 2022, hfst. 1.

bedrijven docter · Gisteren, 21:47

Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving

Gebruik van wiskunde in rechtseconomie – Kosten-batenanalyse in wetgeving – Simulatiemodellen in strafmaat en recidive

---

12.1. Inleiding: het recht als optimalisatiemodel?

Wiskundige modellen worden steeds vaker ingezet om rechtsregels te ontwerpen, evalueren en voorspellen. Dit geldt in het bijzonder binnen de rechtseconomie (law and economics), een richting waarin juridische normen worden beoordeeld op hun efficiëntie, gebaseerd op kosten-batenanalyses, speltheorie en gedragsmodellen. De centrale vraag luidt dan: kan recht wiskundig geoptimaliseerd worden?

Zoals eerder besproken in Hoofdstuk 9 (Algebraïsche structuren) en Hoofdstuk 10 (Topologie van juridische redeneringen), kan het juridische denken profiteren van wiskundige analogieën — zolang men de grenzen erkent tussen normatieve overtuiging en numerieke optimalisatie.

Latijnse waarschuwing: Fiat utilitas, pereat iustitia? – mag nut zwaarder wegen dan rechtvaardigheid?

---

12.2. Rechtseconomie: het recht als rationeel keuzemodel

12.2.1. Kosten-batenanalyse in het wetgevingsproces

In België werd in 2001 het KBA-instrument (kosten-batenanalyse) formeel ingevoerd voor evaluatie van regelgeving binnen de federale overheid.? Hoewel beperkt toegepast, is het idee dat elke nieuwe norm een maatschappelijk optimum moet benaderen.

Voorbeeld: bij hervorming van het vennootschapsrecht werd in 2019 expliciet verwezen naar economische modellen om te bepalen of de invoering van de BV zonder minimumkapitaal het ondernemerschap zou bevorderen zonder buitensporige risico’s voor schuldeisers (WVV, art. 5:1 e.v.).

Volgens Guido Calabresi en Richard Posner moet wetgeving zich richten op het maximaliseren van de sociale welvaart: wetten zijn goed indien de totale maatschappelijke baten groter zijn dan de kosten.? Dit utilitarisme beïnvloedde de Europese benadering van impact assessments.

---

12.2.2. Latere correcties: gedragseconomie en fairness

De klassieke rechtseconomie gaat uit van rationele actoren en voorspelbaar gedrag. Maar empirisch onderzoek toont dat mensen systematisch irrationeel handelen, zeker onder stress, onzekerheid of bij complexe afwegingen.

De Belgische Raad van State wees in 2018 een regeling af waarin verondersteld werd dat zelfstandigen zich zouden herverzekeren tegen arbeidsongeschiktheid, louter op basis van “rationeel keuzegedrag”.?

Dat leidt tot integratie van gedragseconomische modellen (Kahneman, Sunstein) in de rechtseconomie. Wetten moeten niet enkel efficiënt, maar ook psychologisch effectief en rechtvaardig overkomen. De Romeinse spreuk Summum utile, summa iniuria herinnert eraan: wat nuttig lijkt, kan onrechtvaardig zijn.

---

12.3. Simulatiemodellen in strafmaat en recidive

12.3.1. Recidive en risicoformules

In het strafrecht worden modellen gebruikt om recidivekans te voorspellen en zo de strafmaat of invrijheidsstelling te bepalen. In Vlaanderen gebruikt men onder andere het HKT-R-model, een statistisch instrument dat 11 historische, 10 klinische en 6 toekomstgerichte variabelen verwerkt.?

In een zaak voor het Hof van Beroep te Antwerpen (2021) werd het advies van een risico-assessment door de verdediging betwist, omdat “de gebruikte variabelen meer zeggen over het verleden dan over de juridische proportionaliteit van de straf”.?

Ook internationaal werd dit thema scherp geformuleerd in EHRM, Lopez Ribalda e.a. t. Spanje (17 okt. 2019): “Predictieve surveillance mag niet resulteren in juridische sanctie zonder individuele toetsing.”¹?

---

12.3.2. Simulatie van wetsgevolgen

In belastingrecht en sociale wetgeving gebruikt men simulatiemodellen (zoals EUROMOD) om de impact van wetswijzigingen op inkomensverdeling, armoede en participatie te modelleren.

Voorbeeld: bij de hervorming van het kindergeldsysteem in Vlaanderen (2019) werden duizenden scenario’s gesimuleerd, met variaties per gezinssituatie, inkomensklasse, leeftijd en werkstatus.¹¹ Deze modellen gebruiken lineaire algebra en matrixsimulaties, maar de juridische interpretatie van “gelijke behandeling” blijft normatief en niet wiskundig.

Zoals besproken in Hoofdstuk 6 (Niet-monotone logica) is een positieve uitkomst in één simulatie niet automatisch veralgemeenbaar: recht vereist robuuste argumentatie, niet enkel waarschijnlijkheid.

---

12.4. Kritiek en grenzen van mathematische optimalisatie

12.4.1. Normen zijn geen nutsfuncties

De verleiding om juridische normen als nutsfuncties te modelleren is begrijpelijk in beleidstechnische context. Toch blijven rechten, plichten en rechtvaardigheid categorische in plaats van utilitaire concepten.

Zoals Cass. 22 feb. 2007 benadrukte, “kan schadevergoeding niet beperkt worden tot de economisch meest efficiënte oplossing, indien fundamentele rechten van de benadeelde in het gedrang komen.”¹²

Latijnse spreuk: Non omne quod licet honestum est — niet alles wat toegestaan of nuttig is, is ook moreel verantwoord.

---

12.5. Samenvattende reflectie

Wiskundige modellen kunnen beleidsbeslissingen en rechtspraak ondersteunen, maar nooit vervangen. Dit hoofdstuk toont hoe rechtseconomie, simulatie en risico-evaluatie bijdragen aan een meer onderbouwde rechtspraktijk — mits men het onderscheid bewaart tussen rekenkundige efficiëntie en normatieve legitimiteit.

Zoals eerder in dit handboek aangegeven, geldt steeds:

> Wiskunde mag het recht versterken, maar mag het nooit overheersen.

Of, in de woorden van Aristoteles:

> “Law is reason free from passion — but justice is not free from ethics.”

---

Voetnoten

1. Zie Hoofdstuk 9 en 10 voor de basis van algebraïsche en topologische analogieën.

2. Zie o.a. C. Sunstein, Why Nudge? The Politics of Libertarian Paternalism, Yale UP, 2014.

3. WVV, Wetboek van vennootschappen en verenigingen, BS 4 april 2019.

4. RvS, Adv. 65.321/AV, 15 juni 2018, over het ontwerp m.b.t. zelfstandigenverzekering.

5. FOD Beleid en Ondersteuning, Handleiding Kosten-Batenanalyse bij Regelgeving, 2001.

6. G. Calabresi, The Costs of Accidents, Yale UP, 1970; R. Posner, Economic Analysis of Law, 9e ed., 2014.

7. Arbh. Antwerpen, 12 oktober 2021, niet gepubliceerd.

8. HKT-R-model: zie VZW De Kiem, Handleiding Risicotaxatie, 2020.

9. EHRM, Lopez Ribalda e.a. t. Spanje, 17 oktober 2019, nr. 1874/13.

10. V. Verbist, “Effectiviteit van sociale hervormingen: simulatie als sturingsinstrument”, T.P.R., 2020, 93-112.

11. Cass. 22 februari 2007, Arr.Cass. 2007, nr. P.06.1001.N.

12. Zie ook: D. Nagin, “Criminal Deterrence Research at the Outset of the Twenty-First Century”, Crime and Justice 23 (1998), 1–42.

bedrijven docter · Gisteren, 21:51

Hieronder volgt een aparte case study met vergelijking van buitenlands recht, als aanvulling op Hoofdstuk 12 – Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving. De nadruk ligt op het gebruik van wiskundige modellen in recidive-inschatting en strafmaat, met:

een Belgische casus (geanonimiseerd)

een vergelijking met het Amerikaanse en Duitse recht

reflectie vanuit het EHRM

Latijnse spreuken en juridische kritiek

---

Case study: Predictieve risico-assessment in strafmaat

Vergelijkend juridisch perspectief

1. Belgische casus: risicotaxatie bij voorwaardelijke invrijheidstelling

In 2021 betwistte de verdediging in een zaak voor de rechtbank van eerste aanleg Oost-Vlaanderen het gebruik van het HKT-R-model (Historisch-Klinisch-Toekomstgericht Risicotaxatie-instrument) bij het advies van de gevangenisdirectie voor de strafuitvoeringsrechtbank.¹

Het model gaf een hoog risico op herval, voornamelijk op basis van historische gegevens (vroegere feiten, gebrek aan netwerk). De advocaat argumenteerde dat het model onvoldoende juridische toetsing bevatte en dat men een “wiskundig toekomstbeeld als wettelijk bewijs” gebruikte. De rechtbank volgde dit niet volledig, maar erkende wel dat “de risicotaxatie slechts als indicatief kan gelden”.

Latijnse spreuk: Ex praeterito non fit certum de futuro — Uit het verleden volgt geen zekerheid over de toekomst.

---

2. Amerikaanse rechtspraak: COMPAS en de zaak Loomis v. Wisconsin

In de VS wordt sinds jaren het COMPAS-algoritme (Correctional Offender Management Profiling for Alternative Sanctions) gebruikt om recidivekansen in te schatten.

In de zaak State v. Loomis (Wisconsin Supreme Court, 2016) werd betoogd dat het algoritme in strijd was met het Due Process-principe, omdat de werking ervan geheim bleef (intellectuele eigendom van het softwarebedrijf).²

De rechtbank aanvaardde het gebruik onder voorwaarden: het model mocht worden gebruikt voor strafuitvoering, niet als enige basis voor de strafmaat, en moest gepaard gaan met rechterlijke motivering.

Vergelijking met België:

In België worden modellen niet bindend gebruikt, maar enkel als ondersteuning.

In de VS werden modellen ingezet zonder inzicht in de parameters, wat rechtsbescherming aantast.

---

3. Duitsland: meer juridische waarborgen bij algoritmisch gebruik

In Duitsland is het gebruik van voorspellende risicomodellen strikt gereguleerd. Zo bepaalt § 66 StGB (Duits Strafwetboek) dat de beoordeling van de gevaarlijkheid van een dader enkel mag gebeuren door erkende deskundigen, met volledige rechterlijke controle.³

De Verfassungsgerichtshof (Grondwettelijk Hof) oordeelde in 2018 dat probabilistische risico-inschatting enkel aanvaardbaar is indien:

de gegevens transparant en herleidbaar zijn,

de betrokken persoon hoorrecht heeft,

en het oordeel niet louter wiskundig is, maar juridisch gemotiveerd.?

Latijnse spreuk: Probabilitas non sufficit loco certitudinis — Waarschijnlijkheid volstaat niet waar zekerheid vereist is.

---

4. EHRM: geen sanctie zonder individuele toetsing

In EHRM, L.B. t. Hongarije (9 maart 2021), werd geoordeeld dat een sanctie (verlenging van opsluiting) op basis van een risicoprofiel zonder individuele beoordeling een schending vormt van art. 5 EVRM (vrijheidsontneming).?

Dit bevestigt dat wiskundige of statistische criteria nooit volstaan als juridische grond voor vrijheidsberoving.

---

5. Kritische reflectie: algoritmen als hulpmiddel, niet als rechter

Hoewel wiskundige modellen inzicht bieden, is er altijd het risico op “schijnobjectiviteit”. Wie zich verschuilt achter formules, ontwijkt de verantwoordelijkheid om juridisch te oordelen. Zoals eerder gesteld in Hoofdstuk 11, loert hier de fallacy van schijnexactheid.

Een model is geen norm, maar een hypothese over gedrag. Daarom geldt:

> Mathematici sunt boni servi, sed mali iudices — Wiskundigen zijn goede dienaren, maar slechte rechters.

---

Voetnoten

1. Rb. Oost-Vlaanderen, afd. Gent, 23 juni 2021, geanonimiseerd (privé-archief).

2. State v. Loomis, 881 N.W.2d 749 (Wis. 2016).

3. Zie § 66 StGB en Duitse rechtspraak: BVerfG 1 BvR 357/18.

4. Zie P. Möllers, Algorithmische Entscheidung und Rechtsstaat, JZ 2019, 745–751.

5. EHRM, L.B. v. Hungary, nr. 36345/16, 9 maart 2021.

bedrijven docter · Gisteren, 21:56

Hieronder volgt een tweede case study, ditmaal over het gebruik van wiskundige modellen in wetgeving, met focus op kosten-batenanalyse in fiscaliteit. We vergelijken de Belgische aanpak met die in Nederland en het Verenigd Koninkrijk, aangevuld met rechtspraak, doctrine, Romeinse spreuken en verwijzingen naar vorige hoofdstukken.

---

Case study: Kosten-batenanalyse bij fiscale wetgeving

Vergelijking tussen België, Nederland en het VK

1. Belgische context: Wetboek van inkomstenbelastingen en de afbouw van fiscale voordelen

In de jaren 2010–2020 paste de Belgische wetgever verschillende keren mathematische simulaties toe bij hervormingen van belastingvoordelen, zoals bij de woonbonus, mobiliteitsbudget en investeringsaftrekken voor KMO’s.

Bij de hervorming van de woonbonus in 2019–2020 werd in de parlementaire stukken verwezen naar ramingen van het Planbureau, die becijferden dat de hervorming op middellange termijn 0,25% van het BBP zou opleveren.¹ Echter, het Grondwettelijk Hof kreeg later zaken voorgelegd waarin betoogd werd dat deze modellen onvoldoende transparant waren en dat groepen benadeeld werden zonder toetsbare motivatie.

In GwH nr. 34/2021 werd het belang van gelijke behandeling herbevestigd, hoewel het Hof een grote beoordelingsmarge liet aan de wetgever. Het wees er wel op dat modellen nooit als enige rechtvaardiging kunnen dienen zonder concrete juridische afweging.

Latijnse spreuk: Utilitas publica suprema lex esto — Het algemeen belang is de hoogste wet, maar vereist toetsing.

---

2. Nederland: CPB-modellen en het risico van tunnelvisie

Het Centraal Planbureau (CPB) hanteert al decennia wiskundige simulatiemodellen om wetgeving door te rekenen.² In de context van de belastingherziening 2017 (waaronder het afbouwen van de hypotheekrenteaftrek), werd sterk gesteund op het model MIMOSI.

Toch kwam er kritiek vanuit de Raad van State: “De maatschappelijke effecten van fiscale maatregelen kunnen niet enkel via technische modellen begrepen worden. Juridische effecten, gedragsveranderingen en ongelijkheid zijn moeilijk meetbaar maar essentieel.”³

Ook hier: modellen zijn nuttig voor ex ante-beoordeling, maar mogen niet de plaats innemen van normatieve afweging.

---

3. Verenigd Koninkrijk: HM Treasury’s Green Book en de balans tussen kwantiteit en rechtvaardigheid

Het Britse ministerie van Financiën hanteert sinds 1973 het Green Book, een handleiding voor kosten-batenanalyses van wetgevingsvoorstellen.? Daarin staat expliciet:

> “Quantitative modelling is a decision support tool, not a decision-making mechanism. The role of ethics, law and equity must be preserved.”

Bij de hervorming van de Universal Credit-regeling in 2019 werd het model aangepast nadat het UK Supreme Court oordeelde dat het algoritmische toekenningsmodel tot disproportionele uitsluiting leidde van bepaalde gezinnen.?

Latijnse spreuk: Fiat iustitia, pereat mundus? — Laat gerechtigheid geschieden, al vergaat de wereld? Of toch: Fiat mundus, sed cum iustitia — Laat de wereld blijven bestaan, maar met gerechtigheid.

---

4. Verwijzing naar eerdere hoofdstukken

In Hoofdstuk 11 werd reeds gewezen op het misbruik van algoritmen en de fallacy van schijnexactheid.

In Hoofdstuk 3 bespraken we het belang van tautologieën en implicaties: een model dat stelt “als de woonbonus verdwijnt, stijgt de mobiliteit” is slechts nuttig als de onderliggende causale verbanden ook logisch én juridisch houdbaar zijn.

In Hoofdstuk 8 (categorietheorie) en Hoofdstuk 9 (algebraïsche structuren) wezen we op het belang van wiskundige structuur mét betekenisvolle interpretatie: abstracte modellen mogen geen juridische evidenties verhullen.

---

5. Kritische balans

De juridische toetsbaarheid van wiskundige modellen in wetgeving blijft een open vraag. Zoals bij de Belgische woonbonus: simulaties zijn noodzakelijk, maar mogen nooit een vervanging zijn voor parlementair debat en rechtsstatelijke proportionaliteitstoetsing.

> Numerus non est ius — Een cijfer is nog geen recht.

---

Voetnoten

1. Parl. St. Kamer 55-1007/001, p. 12–13.

2. Zie www.cpb.nl, MIMOSI modelbeschrijving (2017).

3. Raad van State (NL), Jaarverslag 2018, p. 45.

4. HM Treasury, The Green Book, 2022 ed., hoofdstuk 2.

5. UKSC [2019] UKSC 52, R (on the application of Johnson) v Secretary of State for Work and Pensions.

10 juli 2025, 22:36	#1
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Wiskunde voor advocaten,juristen en magistraten Wiskunde voor advocaten, juristen en magistraten Inhoudsopgave Inleiding Waarom deze verhandeling? De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht Wat is ‘juridische wiskunde’ niet? --- Deel I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context Wiskundige modellen in de Romeinse rechtstraditie Probabiliteit in de middeleeuwen: oordelen onder onzekerheid De opkomst van kansrekening in de moderne rechtspraak (Pascal, Bernoulli) Statistische bewijsvoering en het begin van forensische wiskunde Informatica en logica in het 20e-eeuwse recht Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde Misverstanden: het recht is geen exacte wetenschap Welke wiskundige takken wel zinvol zijn Grenzen: wanneer wiskunde juridisch irrelevant of zelfs gevaarlijk wordt De metafoor van het meetlint versus het morele kompas --- Deel II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus Premissen, conclusies, en natuurlijke deductie Modus ponens, modus tollens, contrapositie, reductio Juridische syllogismen en hun valkuilen De impact van foutieve logica in vonnissen Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen Toepassing op juridische categorieën (personen, goederen, bevoegdheden) Equivalentierelaties en partities: rechtseenheid en precedentwerking Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken De basis: kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid Toepassingen: bewijswaardering, risicoanalyse, due diligence Bayesiaans denken en ‘a priori’-redeneringen in het strafrecht Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht Relaties, macht en belangen in juridische structuren Fraude-, corruptie- en samenzweringszaken als netwerken Grafen in juridische procedures en bewijsstructuren Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie Elementaire getaltheorie Cryptografie, hashing en digitale handtekeningen Blockchain en smart contracts: juridische implicaties --- Deel III – Wiskundige abstractie en juridische structuur Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory Wat is categorietheorie? Morfismen, objecten, functoren: analogieën in het recht Commutatieve diagrammen en juridische consistentie Categorieën als hulpmiddel bij het structureren van rechtsregels Juridische “equivalenties” als natuurlijke transformaties Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht Groepen, ringen, en velden: betekenisvolle of overdreven analogieën? Structuren van rechten en plichten Eigenschappen als associativiteit en distributiviteit in juridische argumentatie Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen Open en gesloten systemen van rechtsregels Grenzen en limieten van interpretatie Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen --- Deel IV – Kritische toepassingen en reflecties Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren Statistische drogredenen in rechtszaken Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving Gebruik van wiskunde in rechtseconomie Kosten-batenanalyse in wetgeving Simulatiemodellen in strafmaat en recidive Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie Machine learning en voorspellend recht Wat een jurist moet begrijpen van algoritmen Wiskundige bias in juridische AI-systemen --- Besluit Wat is gewonnen door wiskundig inzicht? De bescheiden plaats van de wiskunde in het recht Naar een geletterdheid in logische en wiskundige structuren bij magistraten --- Bijlagen Glossarium van wiskundige termen voor juristen Casusstudies en rechtspraak waarin wiskundige argumenten centraal stonden Lijst van basisliteratuur en verdere verdieping Paul __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

10 juli 2025, 23:13	#2
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	https://www.facebook.com/share/p/19NvR7AbSa/ __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven Laatst gewijzigd door bedrijven docter : 10 juli 2025 om 23:20.

11 juli 2025, 11:13	#3
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	--- INLEIDING Waarom deze verhandeling nodig is: wiskunde wordt vaak als vijandig ervaren door juristen, maar bevat instrumenten die het juridische denken kunnen verrijken. Deze inleiding maakt komaf met clichés over wiskunde als "hard" of "onmenselijk" en verkent hoe logisch-structureel denken net zeer nuttig is in het recht. Tegelijk wordt gewaarschuwd tegen overmatig formalisme. --- DEEL I – Wiskunde en het Recht: een historisch perspectief Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context Van de Romeinse jurisprudentie tot algoritmische rechtspraak vandaag: dit hoofdstuk toont hoe juridische systemen altijd al structuren bevatten die verwant zijn aan wiskundig denken. Denk aan probabiliteit in canoniek recht, of logische schema’s bij rechtsleer van de Verlichting. Hoofdstuk 2. Wat juristen (niet) nodig hebben van wiskunde Een praktische gids: dit hoofdstuk onderscheidt welke wiskunde relevant is (logica, kansrekening, verzamelingenleer…) en welke eerder irrelevant of zelfs misleidend kan zijn in een juridische context (b.v. abstracte differentiaalvergelijkingen). De nadruk ligt op bruikbaarheid en kritische attitude. --- DEEL II – Wiskundige fundamenten nuttig voor juristen Hoofdstuk 3. Logica voor juristen: van Aristoteles tot propositional calculus Hier worden de fundamenten van formele logica uitgelegd, inclusief syllogismen, deductie en implicatie. Juridische argumenten worden getoetst aan logische vormen en valkuilen zoals non sequitur, affirming the consequent, of valse disjuncties. Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties Een basisbegrip in wiskunde én in recht: verzamelingen (groepen van personen, goederen, rechten) en hun onderlinge relaties. Denk aan overlappingen bij bevoegdheden of eigendomsrechten. Juridische equivalentie en partities worden met eenvoudige wiskundige begrippen verduidelijkt. Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken Het evalueren van bewijs gebeurt vaak impliciet via kansdenken. Dit hoofdstuk introduceert basisbegrippen zoals conditionaliteit, Bayes’ regel en verwachte waarde. Er wordt ook gewezen op de gevaren van misinterpretaties (de ‘prosecutor’s fallacy’). Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht Juridische relaties zijn vaak netwerkachtig (denk aan aandeelhouders, contractpartijen, samenzweringen). Grafentheorie helpt structuren begrijpen waarin macht, verantwoordelijkheid of informatie circuleert. Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie Hoe werkt encryptie juridisch? Hier worden de elementaire wiskundige principes achter digitale handtekeningen, blockchain, en smart contracts uitgelegd. Met aandacht voor hun juridische implicaties en limieten. --- DEEL III – Wiskundige abstractie en juridische structuur Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory Categorietheorie biedt een krachtig abstract kader om juridische structuren te analyseren via relaties, transformaties en commutatieve diagrammen. Dit hoofdstuk legt helder uit hoe juridische begrippen als eigendom, bevoegdheid of aansprakelijkheid hierin passen. Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht Groepen, ringen en andere algebraïsche structuren worden hier niet uitgediept om hun eigen sake, maar omdat ze als metafoor kunnen dienen om juridische handelingen (combinaties van handelingen, annuleerbaarheid, neutraliteit) te begrijpen. Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen Dit hoofdstuk bekijkt het ‘landschap’ van rechtsregels: wat is dicht bij elkaar, wat is geïsoleerd? Wanneer is een norm "continu" toepasbaar en waar treden breuken op? Een juridische toepassing van abstracte topologie. --- DEEL IV – Kritische toepassingen en reflecties Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren Wiskunde kan misbruikt worden om objectiviteit te veinzen. Denk aan statistisch misbruik in forensisch bewijs, of foutieve kansberekeningen bij DNA-analyse. Dit hoofdstuk toont hoe kritisch juristen moeten blijven. Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving Modellen worden vaak gebruikt in het bestuursrecht en de rechtseconomie. Dit hoofdstuk bespreekt onder meer hoe regressiemodellen, simulaties en economische optimalisaties juridische beslissingen beïnvloeden — en welke problemen dat met zich meebrengt. Hoofdstuk 13. Kunstmatige intelligentie en bewijsevaluatie AI en machine learning doen hun intrede in het recht. Dit hoofdstuk legt uit hoe wiskundige algoritmes functioneren en waarom het cruciaal is dat juristen hun aannames en beperkingen begrijpen, zeker inzake transparantie en bias. --- BESLUIT Een reflectie op de plaats van wiskunde in de rechtspraktijk. Geen dogma’s, wel een pleidooi voor helderheid, structuur en consistentie. Wiskunde is geen vervanging voor het recht, maar een taal die het denken van de jurist kan aanscherpen. --- BIJLAGEN Glossarium: toegankelijke verklaringen van wiskundige termen Casusstudies: juridische voorbeelden waar wiskunde doorslaggevend was Literatuurlijst: verder studiemateriaal voor geïnteresseerde juristen __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

12 juli 2025, 10:02	#4
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	INLEIDING Waarom deze verhandeling? Deze verhandeling is geschreven voor wie het recht ernstig neemt, en daarom ook helderheid nastreeft in zijn redeneringen. Want het recht heeft nood aan precisie, en precisie heeft baat bij structuur. En net dat is de kern van de wiskunde: niet cijfers of formules, maar helder gestructureerd denken. De idee dat wiskunde iets is voor ingenieurs of natuurkundigen, maar niet voor juristen of magistraten, is diepgeworteld en wordt zelden bevraagd. Toch is de overlap tussen beide groter dan men op het eerste gezicht vermoedt. Het recht werkt met definities, gevolgtrekkingen, uitzonderingen, analogieën, implicaties, zelfs transformaties — net als de wiskunde. De juridische praktijk wemelt van regels die lijken op logische connectieven, of structuren die verwant zijn aan verzamelingenleer of grafentheorie, zonder dat dit expliciet wordt benoemd. Deze verhandeling is geen wiskundeboek voor specialisten, maar een gids voor juristen. Ze wil geen omvorming tot wiskundige opleggen, maar net een beter begrip geven van hoe wiskundige denkwijzen het juridische redeneren kunnen ondersteunen, verrijken of verduidelijken. En evengoed: hoe verkeerde toepassingen tot misleiding kunnen leiden. De vrees en de mythe van de onverenigbaarheid tussen wiskunde en recht De relatie tussen recht en wiskunde is vaak gekenmerkt door wantrouwen. Wiskunde wordt als te abstract, te rigide, te "onmenselijk" beschouwd. Het recht daarentegen beweegt zich in een wereld van menselijke omstandigheden, billijkheid en nuance. Waar juristen vaak zoeken naar het redelijke, lijkt de wiskunde slechts te zoeken naar het zekere. Deze tegenstelling is echter grotendeels cultureel en historisch gegroeid. Ze wordt gevoed door clichés: het beeld van de wiskundige als wereldvreemde rekenaar, en de jurist als pragmatische redeneerder. In werkelijkheid vertonen beide disciplines diepe verwantschap in hun streven naar consistentie, argumentatieve geldigheid en gestructureerde probleemoplossing. De angst voor wiskunde onder juristen is deels begrijpelijk — ze wordt vaak onderwezen op een afstandelijke manier, los van context. Maar wie ooit met logische inconsistenties, onduidelijke regelgeving of bewijsvoering heeft geworsteld, voelt intuïtief aan dat heldere structuur soms broodnodig is. Daarin kan wiskundig denken, mits goed gedoseerd, een bondgenoot zijn. Wat is ‘juridische wiskunde’ niet? Voor alle duidelijkheid: deze verhandeling is geen pleidooi voor een mathematisering van het recht in de zin van algoritmisch denken, automatisering of het vervangen van menselijk oordeel door berekeningen. Ze is ook geen poging om het recht onder te brengen in een strak wiskundig systeem, zoals logisch positivisten dat ooit droomden. En ze wil al helemaal niet suggereren dat wiskunde “objectiever” is dan recht — want objectiviteit zonder interpretatie bestaat niet. ‘Juridische wiskunde’ is in deze verhandeling geen formuleleer, geen algebra van schuld, geen numerieke benadering van rechtvaardigheid. Het is vooral: een denkhouding die helderheid bevordert een verzameling tools om structuren te herkennen een taal om inconsistenties bloot te leggen een manier om de grenzen van het redeneren zichtbaar te maken We tonen dus niet “hoe wiskunde het recht kan oplossen”, maar wel hoe ze het juridisch denken kan ondersteunen, verhelderen en kritisch uitdagen. Paul __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

13 juli 2025, 20:32	#5
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 1. Een historisch overzicht van wiskunde in juridische context 1.1. Inleiding Wie denkt dat de integratie van wiskunde in het recht een recent fenomeen is, vergist zich. Hoewel het recht zelden expliciet beroep doet op wiskundige formules, is de geschiedenis van de juridische praktijk doorspekt met vormen van structurering, formalisering en abstrahering die verwant zijn aan wiskundig denken. Dit hoofdstuk schetst een kort historisch overzicht van die wisselwerking — van Romeins recht tot hedendaagse algoritmische rechtspraak. --- 1.2. Romeins recht: classificatie en deductie Het Romeins recht bevatte reeds een sterk logisch-structurele benadering. Rechtsgeleerden zoals Gaius en Ulpianus ontwierpen juridische systemen die werkten met indelingen, definities en analogieën — instrumenten die vandaag ook wiskundige methodes typeren. Denk aan de klassieke driedeling: res corporales – res incorporales, of het onderscheid tussen obligatio ex contractu en obligatio ex delicto. Dit zijn in wezen verzamelingen met onderverdelingen en eigenschappen — een embryonale vorm van verzamelingenleer. Romeinse juristen dachten bovendien vaak deductief: van een algemeen beginsel naar een concrete toepassing. Deze methode is verwant aan het syllogistische denken dat Aristoteles reeds ontwikkelde, en dat later aan de basis zou liggen van formele logica én van juridische redenering. --- 1.3. Middeleeuwen en kansdenken in canoniek recht In middeleeuwse kerkelijke rechtspraktijken (zoals bij het bepalen van schuld of boete) speelde probabilistisch denken al een bescheiden rol. De canonieke juristen gebruikten begrippen als notoriteit, vermoeden en geloofwaardigheid, waarbij ze impliciet wogen hoe waarschijnlijk bepaalde verklaringen of gedragingen waren. Hoewel ze geen expliciete kansrekening gebruikten, herkennen we hier de kiemen van wat later zou uitgroeien tot probabilistische bewijsleer. Zo ontstonden gradaties van bewijs: probatio plena, probatio semiplena, enzovoort — wat vandaag herinnert aan Bayesian reasoning, zij het in ruwe, intuïtieve vorm. --- 1.4. Vroegmoderne tijd: logica, systematiek en codificatie In de 17e en 18e eeuw raakte het juridische denken steeds meer beïnvloed door rationalistische en systematische ideeën. De verlichting bracht niet enkel natuurwetenschappen voort, maar ook een hernieuwd geloof in universele principes — zowel in het recht als in de wiskunde. Codificaties zoals de Code Civil van Napoleon (1804) zijn exemplarisch: ze beogen een gesloten systeem van regels, ondergebracht in een hiërarchische structuur — vergelijkbaar met axioma’s, stellingen en corollaria in de meetkunde. In Duitsland ontwikkelde men het Begriffsjurisprudenz, waarin het recht werd gezien als een gesloten deductief systeem: men vertrok van fundamentele begrippen en leidde daaruit de rest logisch af. Tegelijk werkte Leibniz aan een project dat hij “characteristica universalis” noemde — een universele logische taal om redeneringen te formaliseren, inclusief juridische. Zijn droom: conflicten oplossen via berekening: Calculemus! Hoewel utopisch, toont dit het historische verlangen naar structuur en helderheid in rechtstoepassing. --- 1.5. 20e eeuw: statistiek, economische analyse en rechtsinformatica Vanaf de 20e eeuw trad wiskunde het recht binnen via twee poorten: 1. De opkomst van statistiek: in strafzaken werden forensische technieken gebaseerd op kansrekening belangrijk (denk aan bloedsporenanalyse, DNA-profielen, foutenmarges). De ‘prosecutor’s fallacy’ werd voor het eerst als probleem erkend. 2. Law and Economics: deze school, vooral in de VS, maakte intensief gebruik van wiskundige modellen om rechtsregels te evalueren op efficiëntie. Regressiemodellen, beslissingsbomen en speltheorie vonden ingang in het juridisch debat. Daarnaast ontwikkelde zich de rechtsinformatica: juridische kennissystemen, expert systems en later algoritmische besluitvorming. Die technologische ontwikkelingen brachten ook fundamentele vragen mee over transparantie, uitlegbaarheid en verantwoordingsplicht. --- 1.6. Hedendaagse ontwikkelingen: AI, algoritmes en categorietheorie In de 21e eeuw wordt wiskunde steeds vaker gebruikt als onderliggend mechanisme in juridische beslissystemen. Denk aan risico-inschattingen in strafzaken (predictive policing), automatisch gegenereerde boetes, of smart contracts op blockchaintechnologie. Op academisch niveau groeit de belangstelling voor categorietheorie als meta-taal om juridische concepten en transformaties te beschrijven. Ze biedt een denkkader waarin structuren, relaties en contextverschuivingen helder benoemd kunnen worden — wat bijzonder relevant is in een tijd waarin rechtsnormen niet langer uitsluitend hiërarchisch georganiseerd zijn, maar in netwerken functioneren. --- 1.7. Conclusie De vermeende tegenstelling tussen wiskunde en recht is historisch onhoudbaar. Beide disciplines ontwikkelen structuren om complexe realiteiten te ordenen en controleerbaar te maken. Doorheen de geschiedenis zien we hoe het recht impliciet of expliciet wiskundige denkpatronen heeft overgenomen, aangepast of afgewezen. Het is dus geen kwestie van of wiskundig denken in het recht thuishoort, maar hoe men het verstandig toepast. De volgende hoofdstukken bouwen hierop voort: ze verduidelijken welke onderdelen van de wiskunde nuttig zijn voor juristen, hoe ze concreet gebruikt kunnen worden, en waarvoor men moet opletten. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

14 juli 2025, 06:02	#6
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 2. Welke wiskunde wél, en welke niet? 2.1. Inleiding: functionele selectie Niet alle wiskunde is relevant voor het recht. De doelstelling van dit hoofdstuk is tweeledig: (1) een overzicht bieden van de wiskundige domeinen die bruikbaar zijn binnen juridische contexten; (2) aantonen welke wiskundige technieken irrelevant of zelfs misleidend kunnen zijn. Zoals in elke discipline moet ook hier het juiste instrument worden gekozen naargelang de aard van het probleem. Instrumentum non confundendum cum fine. 2.2. Wiskunde die wél relevant is 2.2.1. Logica en verzamelingenleer De basis van juridische redenering is vaak logisch van aard. Propositielogica, predikatenlogica en formele afleidingsregels zijn nuttig bij het structureren van argumentaties. Verzamelingenleer ondersteunt het juridisch denken in termen van categorieën, uitsluitingen en overlappingen (bv. wie behoort tot de klasse van 'rechtssubjecten'?). Latijnse spreuken als ubi eadem ratio, ibi eadem lex en argumentum a fortiori kunnen wiskundig onderbouwd worden met behulp van implicatierelaties en subsumpties. Een concrete toepassing hiervan is te vinden in de manier waarop administratieve rechtbanken redeneren met uitzonderingclausules. 2.2.2. Kansrekening en Bayesian reasoning In strafzaken is het belang van correcte kansinschattingen evident. De klassieke 'prosecutor’s fallacy' toont aan hoe foutief toegepaste statistiek tot veroordelingen kan leiden. Bayesian redeneringen (bijv. wat is de kans op schuld, gegeven een positief DNA-resultaat?) winnen aan belang in bewijswaardering. Zie bijvoorbeeld de zaak R v. Adams (UK, 1996) waarin Bayesiaanse argumentatie door experten werd aangebracht. 2.2.3. Statistiek en regressieanalyse In sociaal recht, antidiscriminatierecht en economisch recht speelt statistiek een cruciale rol. Discriminatiezaken worden vaak onderbouwd met regressieanalyses. In de VS werd in Griggs v. Duke Power Co. (1971) statistiek erkend als juridisch bewijs. De Europese rechtspraak erkent ondertussen het indirect bewijs via statistiek, zolang die robuust is en door experten wordt ondersteund. 2.2.4. Grafentheorie en netwerkmodellen In het mededingingsrecht en bij de analyse van criminele netwerken zijn grafen en netwerkmodellen essentieel. Zo kan men aantonen hoe bepaalde bedrijven kartelafspraken maken of hoe informatie circuleert binnen een organisatie. 2.2.5. Categorie-theorie (inleiding) Categorietheorie biedt een abstract, maar krachtig model om juridische transformaties, correspondenties en systemen in kaart te brengen. Functoren kunnen juridische begrippen in verschillende contexten met elkaar verbinden. Denk bijvoorbeeld aan de relatie tussen burgerlijk en fiscaal recht bij fraudekwalificaties. Zie Hoofdstuk 4 voor een diepere behandeling. 2.3. Wiskunde die niet bruikbaar is — of met grote omzichtigheid 2.3.1. Hogere algebra en getaltheorie Hoewel esthetisch intrigerend, zijn abstracte algebra en getaltheorie zelden relevant voor juristen. Hun toepassingen situeren zich vooral in cryptografie en computationele veiligheid — nuttig voor ICT-juristen, maar minder voor magistraten of procesadvocaten. 2.3.2. Integralen, differentiaalvergelijkingen, topologie Hoewel sommige juridische domeinen (bv. milieurecht of telecomregulering) technische berekeningen vereisen, vallen differentiaalvergelijkingen en topologische modellen buiten het cognitieve bereik van de meeste rechtspraktijken. Ze zijn eerder het domein van technische experten dan van juridische redenering. Gebruik ervan vereist interdisciplinaire samenwerking. 2.3.3. Formulefetisjisme Een valkuil is het blind vertrouwen op wiskundige formules zonder inzicht in hun aannames. Het recht is niet louter cijfermatig: context, interpretatie en proportionaliteit zijn essentieel. Een regressiemodel is geen bewijs op zich, maar slechts één element in een grotere bewijsconstructie. Quod non est in actis, non est in mundo. 2.4. Conclusie: het juiste gereedschap voor de juiste zaak Juridisch denken kan profiteren van wiskundige inzichten, mits deze functioneel, transparant en correct toegepast worden. De juiste analogie is niet die tussen de rechter en de rekenmachine, maar tussen de jurist en de ingenieur: iemand die gebruik maakt van modellen om de werkelijkheid te ordenen, maar die tegelijk beseft dat modellen abstraheringen zijn — geen vervangingen van de werkelijkheid. De volgende hoofdstukken gaan dieper in op concrete toepassingen van logica, kansrekening, grafentheorie en categorietheorie in juridische praktijken. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

14 juli 2025, 18:34	#7
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 3. Juridische logica en bewijsvoering 3.1. Inleiding Het hart van wiskundige toepassingen in het recht ligt bij de logica. Niet enkel logica als formeel systeem, maar logica als methode van structureren, onderscheiden en toetsen. In dit hoofdstuk onderzoeken we de rol van propositielogica, predikatenlogica en afleidingsregels in juridische bewijsvoering. Zoals Ulpianus reeds stelde: scientia iuris est divinarum atque humanarum rerum notitia, iusti atque iniusti scientia — en die wetenschap vereist scherpe logica. Voor een diepgaandere filosofische en juridische reflectie over bewijsvoering verwijzen we naar de eerder verschenen verhandeling Beweren is niet bewijzen (2024). 3.2. Propositielogica: juridische stellingen en structuur In de juridische praktijk wordt vaak gebruik gemaakt van implicaties: "Indien het contract ongeldig is, dan volgt geen schadevergoeding." Dit is logisch te structureren als: . Ook de modus ponens en modus tollens zijn cruciaal: , ? , ? Toegepast: indien een bekentenis vrijwillig is afgelegd (), dan is ze geldig (). Als ze niet geldig is, dan volgt dat ze niet vrijwillig werd afgelegd. De Belgische Cassatierechtspraak in zaken rond dwangbekentenissen (zie bijv. Cass. 19 mei 2015) weerspiegelt dergelijke logische implicaties. 3.3. Predikatenlogica: generalisatie en juridische abstractie Predikatenlogica laat toe om uitspraken over verzamelingen te structureren. Bijvoorbeeld: “Alle ambtenaren die hun functie misbruiken, kunnen gesanctioneerd worden.” Formeel: Dit laat toe om rechtsregels abstract en universeel te formuleren, wat bijdraagt aan coherentie. De Duitse dogmatische traditie, bv. bij Larenz of Canaris, is doordrongen van zulke formele logische structuren. 3.4. Natural deduction en bewijslast In de rechtspraak moet men vaak verschillende stellingen combineren tot een conclusie. Bijvoorbeeld: De verdachte was op de plaats van het misdrijf. De verdachte had een motief. Er is geen alibi. Daaruit volgt met zekere aannames: De verdachte is schuldig. De uitdaging ligt in het valideren van de overgang van . Hier komt natural deduction in beeld. Zie de zaak Hof van Beroep Antwerpen, 8 januari 2019, waarin de motivering via logische stappen werd opgebouwd maar later door Cassatie werd vernietigd wegens een onrechtmatige sprong (petitio principii). 3.5. Juridische tegenvoorbeelden: falsificatie en contradictie Zoals één tegenvoorbeeld in de wiskunde een generalisatie weerlegt, zo kan ook één feit of anomalie in het recht een veroordeling ondergraven. De beroemde Nederlandse zaak tegen Lucia de B. toont dit aan: ondanks statistische waarschijnlijkheid werd een alternatieve verklaring (vergiftiging door medicatie-interactie) aangetoond die de bewijsconstructie ondermijnde. Latijns: exceptio probat regulam in casibus non exceptis — maar een geldige exceptie kan ook de regel vernietigen. 3.6. Paraconsistente logica en juridische ambiguïteit In sommige gevallen lijken tegenstrijdige uitspraken tegelijk waar. Bijvoorbeeld: De wet zegt dat X niet mag. Een arrest zegt dat X toch is toegelaten onder specifieke voorwaarden. In plaats van dit als logische fout te zien, kan men werken met paraconsistente systemen die toestaan dat A en ¬A beide waar zijn binnen specifieke contexten. Dit wordt onderbouwd in de Braziliaanse logica van Newton da Costa, en heeft nut bij tegenstrijdige wetgeving of tegenstrijdige precedentgevallen. 3.7. Conclusie Juridische logica is niet enkel een stijlfiguur, maar een noodzakelijke voorwaarde voor correcte motivering. Zoals Leibniz voorstelde: Calculemus! — laat ons berekenen, wanneer de rede tekortschiet. Toch moet logica in het recht steeds getoetst worden aan proportionaliteit, billijkheid en maatschappelijke realiteit. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

14 juli 2025, 23:33	#8
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 4. De structuur van juridische functies en bewijsvoering 4.1. Inleiding Juridische redenering lijkt soms op algebra. Niet omdat men met getallen werkt, maar omdat men met functies werkt: begrippen die iets ‘doen’ met invoer (feiten, normen, precedenten) en daaruit een resultaat produceren (besluit, arrest, beoordeling). Dit hoofdstuk onderzoekt hoe functiebegrip, in de wiskundige en logische zin, ook nuttig is voor juristen, advocaten en magistraten. Zoals ook besproken in Beweren is niet bewijzen, is het van belang dat de deductieve structuur van een juridische redenering zichtbaar, toetsbaar en navolgbaar is.^1 4.2. Juridische functies als mapping van feiten naar normatieve oordelen Een eenvoudige juridische functie is: , waarbij een verzameling van feiten is en een verzameling van rechtsgevolgen of conclusies. Bijvoorbeeld: indien een bewezen opzettelijke diefstal is. indien een onopzettelijke fout zonder gevolg is. De analyse van zulke functies vereist ook controle op hun surjectiviteit (leiden alle relevante feiten tot een juridische uitkomst?), injectiviteit (resulteren gelijke uitkomsten uit verschillende feiten?) en totaliteit (is er een juridische uitkomst voorzien voor elk denkbaar feit?). Deze abstracte modellen worden onder meer uitgewerkt in de Duitse doctrine rond het ‘Subsumtionsmodell’, zoals te vinden bij Karl Engisch en Reinhold Zippelius.^2 4.3. Functiecompositie en meervoudige normatieve kaders In complexere zaken werkt men met samengestelde functies: Bijvoorbeeld: een bepaalde gedraging wordt eerst als ‘discriminatoir’ beoordeeld (sociaal feit), en pas daarna als ‘onrechtmatige daad’ binnen het burgerlijk recht. Deze gelaagdheid herinnert aan de compositie , wat betekent dat de juridische uitkomst afhangt van een tussenfunctie. Zoals het Hof van Justitie van de EU in Mangold (C-144/04) oordeelde, kan discriminatie wegens leeftijd al onrechtmatig zijn vóór omzetting in nationaal recht.^3 Latijns: ubi lex non distinguit, nec nos distinguere debemus — maar waar recht en feit via meerdere functies lopen, móét men onderscheiden. 4.4. Casus: fiscale herkwalificatie als juridische functie Een fiscaalrechtelijk voorbeeld: Een vennootschap keert een ‘vergoeding’ uit. De fiscus herkwalificeert dit als ‘dividend’. Juridisch model: , Hier ontstaat een spanningsveld wanneer de rechter de functie niet accepteert als geldig: de RSZ kwalificeert iets als ‘bezoldiging’, terwijl de fiscus het als ‘voordeel van alle aard’ ziet. Dit leidt tot contradicties binnen dezelfde feitenbasis. Zoals besproken in Beweren is niet bewijzen,^4 is dit een typisch voorbeeld van surjectiviteit zonder consistentie: één input leidt tot meerdere outputs, afhankelijk van het normenkader. 4.5. Analogieën met wiskundige structuur: lineair, recursief en discontinu gedrag Sommige juridische functies zijn lineair: meer feiten leiden tot zwaardere sancties. Andere zijn discreet: pas bij overschrijding van een drempelwaarde treedt er een gevolg op. Een recursieve functie komt voor bij progressieve sancties: herhaling van feiten verhoogt de strafmaat, zoals bij recidive in het strafrecht. Men zou dat modelleren als: , waarbij , met een strafverhogingsfactor. Dit doet denken aan iteratieve logica en is nuttig bij het structureren van de motieven in bijvoorbeeld correctionele arresten of tuchtrechtelijke uitspraken.^5 4.6. Conclusie Functiestructuren helpen om juridische redenering helder, controleerbaar en herleidbaar te maken. Ze ontsluiten de formele structuur achter ogenschijnlijk subjectieve beslissingen. Ze zijn dus meer dan illustratief: ze zijn noodzakelijk voor consistentie. Zoals Cicero het formuleerde: ratio summa lex est. En zoals juristen vandaag steeds vaker ondervinden: de structuur van functies is een wapen tegen willekeur. --- ^1 Zie Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over deductieve rechtvaardiging en motivering. ^2 Zie bijv. K. Engisch, Einführung in das juristische Denken (1956), en R. Zippelius, Juristische Methodenlehre (10e ed., 2010). ^3 HvJ EU, 22 november 2005, zaak C-144/04, Mangold. ^4 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 6, over niet-surjectieve bewijsstructuren en inconsistentie in fiscale context. ^5 Voor wiskundige parallellen: zie Kleene’s recursieve functies en hun toepassing op juridische classificatieproblemen in de Amerikaanse doctrine (b.v. J.H. Fetzer, Legal Logic, 1988). __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

14 juli 2025, 23:51	#9
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 5. Kansrekening en waarschijnlijkheidsdenken 5.1. Inleiding Kansrekening biedt een krachtig instrument voor het analyseren van onzekerheid. In het recht heeft onzekerheid betrekking op feitenvaststelling, risico-inschatting, en de verwachting van toekomstig gedrag. Toch blijft het gebruik van probabilistische methodes in de juridische praktijk controversieel. Veel juristen beschouwen kansdenken als strijdig met het individuele karakter van rechtspraak. Deze opvatting wordt weerlegd in Beweren is niet bewijzen, waar probabilistische redeneringen net als correctielogica fundamenteel blijken in complexe bewijsstructuren.^1 5.2. Kans, verwachting, conditionele waarschijnlijkheid De klassieke kansrekening is gestoeld op drie fundamenten: Kans : de kans dat gebeurtenis zich voordoet Verwachting : het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten van een stochastische variabele Conditionele kans : de kans op gegeven dat zich heeft voorgedaan Voor juristen is vooral het derde concept essentieel: veel bewijsstukken of getuigenissen zijn pas relevant gegeven bepaalde andere elementen. De fout om te veronderstellen is wijdverbreid en logisch incorrect (de prosecutor's fallacy). Latijns: Cum hoc ergo propter hoc — gelijktijdigheid impliceert geen causaliteit. 5.3. Toepassing: bewijswaardering en due diligence Bewijswaardering In het strafrecht wordt vaak geoordeeld op basis van ‘morele zekerheid’. Dit concept laat ruimte voor probabilistische interpretatie.^2 Casus: In een fiscale fraudezaak blijkt een verdachte op dezelfde dag meerdere transacties te hebben uitgevoerd via vennootschappen zonder boekhoudkundige sporen. De kans op toeval is bijzonder laag. Bij opeenstapeling van zulke anomalieën wordt een cumulatief inferentiepatroon zichtbaar. Bayesian update is hier een adequaat model (zie 5.5). Due diligence Bij contractonderhandelingen evalueert men het risico op toekomstige problemen. Denk aan overnames, waarin men aan de hand van kansdistributies en verwachtingswaarden beslissingen neemt over garanties, opschortende voorwaarden of prijsaanpassingen.^3 5.4. Risicoanalyse en normatieve beslissingsmodellen In milieurecht, verzekeringsrecht en productaansprakelijkheid spelen kansverdelingen een sleutelrol: Ex ante-inschattingen bepalen preventieve maatregelen (cf. REACH-verordening) Schadeverzekeraars gebruiken verwachtingsmodellen om premies te bepalen Rechtbanken evalueren voorzorgsmaatregelen a.d.h.v. de ‘Hand-formule’ (VS): waarbij de kost is om schade te vermijden, de kans op schade, en de potentiële schadeomvang.^4 5.5. Bayesiaans redeneren in strafzaken Bayesiaanse logica biedt een manier om a priori-kennis en nieuw bewijs te combineren: waarbij: : hypothese (schuld) : nieuw bewijs (bv. vingerafdruk) Deze formule actualiseert het geloof in na vaststelling van . In het VK is de toepassing van Bayesiaanse modellen in de forensische wetenschappen onderwerp van intens debat, o.m. na de zaak R v. T (2010), waarin statistische redenering over schoensporen als ‘te complex’ werd verworpen door het Hof.^5 Buitenlandse doctrine: Fenton & Neil, Risk Assessment and Bayesian Networks, 2012 Dennis Lindley, Understanding Uncertainty, 2006 Latijns: Ex antecedentibus et consequentibus probabiliter colligitur veritas — uit voorafgaande en gevolgtrekkingen wordt waarschijnlijkheid afgeleid. 5.6. Kritiek en ethische grenzen Probabilistische modellen moeten altijd onderhevig zijn aan normatieve controle. Het is niet omdat iets waarschijnlijk is, dat het ook bewezen is (Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7).^6 De rechter moet probabilistische redeneringen altijd verbinden met motiveringsplicht en individuele waardigheid. De Duitse rechtspraak stelt dat probabilistische bewijsvoering slechts mag leiden tot veroordeling indien de cumulatieve context geen redelijke twijfel meer toelaat (Gesamtwürdigung).^7 5.7. Conclusie Kansdenken is essentieel voor moderne juridische beoordeling, zowel in civiele risicobeoordeling als in strafrechtelijke bewijsvoering. Wie als jurist de basisprincipes van verwachting en conditionaliteit beheerst, beschikt over een krachtig analytisch instrument dat toeliet bewijs te wegen, risico's te structureren en motieven te funderen. --- ^1 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 3, over cumulatie van probabilistische aanwijzingen. ^2 Cass. 20 december 2016, AR P.16.0581.N. ^3 P. Vassart, “Due diligence et évaluation probabiliste des garanties contractuelles”, RDC-TBH, 2020, 432–458. ^4 US v. Carroll Towing Co., 159 F.2d 169 (2d Cir. 1947), Hand J. ^5 R v. T [2010] EWCA Crim 2439. ^6 Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 7, over het verschil tussen waarschijnlijkheid en bewijs. ^7 BGH 23.02.1993, Az. 5 StR 701/92. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

15 juli 2025, 00:00	#10
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 6. Grafentheorie en netwerken in het recht 6.1. Inleiding Grafentheorie biedt een wiskundig kader voor het analyseren van netwerken: structuren van knooppunten (nodes) en verbindingen (edges). In het recht komen netwerken voor in eigendomsstructuren, contractuele verhoudingen, georganiseerde criminaliteit en bestuurlijke bevoegdheidsrelaties. De kracht van grafentheorie ligt in haar vermogen om zicht te geven op indirecte verbanden, centrale actoren en diffusie van aansprakelijkheid. Latijns: Quod omnes tangit, ab omnibus approbari debet — wat allen aangaat, moet door allen worden goedgekeurd. 6.2. Basisbegrippen Grafen: verzamelingen van knopen en verbindingen, eventueel met richting (gerichte grafen) en gewicht (gewogen grafen). Pad: een sequentie van verbonden knopen. Graafafstand: het minimaal aantal verbindingen tussen twee knopen. Centraliteit: meet de invloed van een knoop op het geheel (denk aan bestuurszetels of hoofdaandeelhouders). Clustering: lokaal verbonden groepen (zoals kartelvorming). 6.3. Juridische toepassingen Aandeelhoudersstructuren In vennootschapsrecht worden netwerken gebruikt om uiteindelijke begunstigden (UBO's) te identificeren, zelfs wanneer deze via meerdere lagen of offshore-vehikels handelen. Grafentheorie helpt doorlopende eigendomsstructuren reconstrueren en controlerende belangen te isoleren.^1 Casus: In een Luxemburgs-Belgisch vehikel worden vier holdings gebruikt om een meerderheidspositie onder de radar te houden. Grafanalyse toont dat één partij via meerdere indirecte participaties >50% stemrecht bezit. Samenzwering en strafrecht In georganiseerde criminaliteit zijn de deelnemers vaak slechts indirect verbonden. Klassiek bewijs laat deze structuren onder de radar. Door link analysis met graafmodellen kan men het bestaan van een crimineel netwerk aantonen, zelfs als individuele contacten schaars zijn.^2 Buitenlandse rechtspraak: De Italiaanse antimaffiawetgeving gebruikt netwerkmodellen bij associazione a delinquere di tipo mafioso (art. 416-bis Codice Penale). Zie ook de toepassing in de RICO-wetgeving (VS). Ketenaansprakelijkheid In sociaal recht en milieurecht ontstaan netwerken tussen hoofdaannemers, onderaannemers, en leveranciers. Grafen maken de aansprakelijkheidsketen visueel en analyseren de transmissie van zorgplichten.^3 Latijns: Res inter alios acta aliis nec nocet nec prodest — een zaak tussen anderen schaadt of baat derden niet — tenzij het netwerk aansprakelijkheid overdraagt. 6.4. Netwerktransformatie en juridische herkwalificatie Netwerken kunnen juridisch gereconstrueerd worden (bv. schijnzelfstandigheid of economische eenheid). Grafen maken zichtbaar welke structuur functioneel wordt gebruikt, ook als deze formeel anders is. Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8, waar een juridische deductie als netwerk wordt opgevat en via 'compositionaliteit' wordt opgebouwd: knooppunten als lemma’s, pijlen als deductieve stappen. 6.5. Kritische noot: overdaad aan connectie Sommige rechters vrezen dat grafische modellen leiden tot overinterpretatie: correlatie wordt causatie, en los contact wordt bewijs van medeplichtigheid. In R v. Gul (UKSC 2013) werd gewaarschuwd tegen het juridisch ‘infekteren’ van de ene knoop via louter grafische nabijheid met een andere. Latijns: Ex uno disce omnes — uit één (feit) leert men alles — maar dat geldt niet altijd. 6.6. Conclusie Grafentheorie biedt het recht een scherp wiskundig instrument om complexe netwerken van relaties, aansprakelijkheden en machtsstructuren bloot te leggen. In een tijdperk van transnationaal ondernemerschap en georganiseerde misdaad is dit geen academische luxe, maar een noodzakelijke tool. --- Voetnoten 1. E. Wymeersch, “Ownership and Control of Companies: a Network Analysis”, EBOR, 2019, 61–93. 2. D. Gambetta, The Sicilian Mafia: The Business of Private Protection, Harvard UP, 1993. 3. P. De Vreese, “Ketenaansprakelijkheid en de netwerkgedachte in het sociaal recht”, TSSR, 2021, 203–219. 4. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 8: het deductief netwerk als schaakspel. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

15 juli 2025, 00:08	#11
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 4. Verzamelingenleer en relaties 4.1. Inleiding Verzamelingenleer vormt de basis van veel moderne wiskundige en logische structuren. Het biedt ook voor juristen een heldere taal om abstracte categorieën, klassen, en relaties te structureren. In het recht zijn tal van toepassingen denkbaar: van het classificeren van rechtsobjecten tot het analyseren van bevoegdheden en het afbakenen van rechten. Latijns: Omnis definitio in jure civili periculosa est — elke definitie in het burgerlijk recht is gevaarlijk. Verzamelingenleer tracht die gevaren te minimaliseren via systematiek. --- 4.2. Verzamelingen, deelverzamelingen en doorsneden van belangen Een verzameling is een collectie van onderscheiden elementen, bijvoorbeeld "alle meerderjarige natuurlijke personen met handelingsbekwaamheid". Een deelverzameling is een groep elementen die volledig vervat zit in een grotere verzameling, bv. "Belgische meerderjarige natuurlijke personen". Een doorsnede (intersection) toont gemeenschappelijke elementen tussen verzamelingen. Juridisch toont dit hoe rechten of bevoegdheden kunnen overlappen. Voorbeeld (casus uit het familierecht): De groep van wettige erfgenamen (V) en de groep van schuldeisers (S) van een nalatenschap kunnen overlappen. De doorsnede toont erfgenamen die tegelijk schuldeiser zijn — met gevolgen voor hun positie in de vereffening. --- 4.3. Juridische categorieën: personen, goederen, bevoegdheden Verzamelingenleer laat ons juridische actoren (personen), objecten (goederen) en attributen (bevoegdheden) structureren: Personen kunnen gegroepeerd worden in verzamelingen: natuurlijke personen, rechtspersonen, ambtsdragers, enz. Goederen worden ingedeeld volgens criteria als roerend/onroerend, vervangbaar/lichamelijk, enz. Iedere eigenschap komt overeen met een deelverzameling. Bevoegdheden zijn functies of rechten die kunnen toegekend worden binnen een context. Verzamelingenleer laat de vergelijking van rechtsposities toe. Buitenlandse doctrine (Duitsland): In de systematische rechtstheorie van Larenz en Canaris^1 wordt de Begriffsjurisprudenz deels uitgewerkt als een taxonomie van juridische verzamelingen. --- 4.4. Equivalentierelaties en partities Een equivalentierelatie is een wiskundige relatie die: 1. Reflexief is (), 2. Symmetrisch (), 3. Transitief (). In het recht zien we dergelijke relaties bij: Jurisprudentie: gelijkaardige feiten leiden tot gelijke rechtsgevolgen (rechtseenheid). Precedentwerking: wanneer één geval als gelijkwaardig aan een eerder geval wordt behandeld, ontstaat er een equivalentieklasse. Een partitie is een opdeling van een verzameling in disjuncte (niet-overlappende) subsets. Dit wordt zichtbaar in het recht bij: Rechtsgebieden (bv. civiel, straf, administratief) als partitie van het juridisch domein. Bevoegdheidsverdeling: deelverzamelingen van overheden met exclusieve bevoegdheden (cf. Belgische bevoegdheidsmatrix). Latijns: Ubi eadem ratio, ibi idem jus — waar dezelfde reden geldt, geldt hetzelfde recht. Dit is de kern van de equivalentierelatie in juridische precedenten. --- 4.5. Juridische toepassing: precedentgroepen als equivalentieklassen In common law-systemen vormen precedentgroepen natuurlijke equivalentieklassen. Iedere klasse bevat gevallen die substantieel gelijkwaardig worden bevonden. In civil law werkt men minder met zulke formele klassen, maar ze worden impliciet toch gebruikt bij rechtspraak over 'gelijkwaardige gevallen'. Casus (VS): In Brown v. Board of Education (347 U.S. 483, 1954) werd het precedent Plessy v. Ferguson verworpen, waardoor de toenmalige equivalentieklasse ('segregatie is constitutioneel') werd herverdeeld. De rechters herdefinieerden de partitie van toegestane staatsinterventies in het onderwijs. Verwijzing naar Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2, waar het verschil tussen formele gelijkheid (logisch) en juridische gelijkheid (contextueel) wordt uitgewerkt. --- 4.6. De gevaren van foutieve verzamelingen Een verkeerd gedefinieerde verzameling leidt tot juridische misvattingen, zoals: Overinclusie: wie niet tot een juridische categorie behoort, wordt er toch onder gebracht. Onderinclusie: wie wel onder een categorie valt, wordt ten onrechte uitgesloten. Voorbeeld: bij de toepassing van antidiscriminatiewetgeving is een juiste afbakening van de 'beschermde groep' essentieel. Latijns: Exceptio firmat regulam in casibus non exceptis — de uitzondering bevestigt de regel in gevallen die niet uitzonderlijk zijn. Foutieve verzamelingen leiden tot foute uitzonderingen. --- 4.7. Conclusie Verzamelingenleer biedt het recht een taal van precisie en structuur. Door juridische concepten als verzamelingen, relaties en partities te analyseren, worden redeneringen inzichtelijker en controversevermijdender. In een tijd van complex recht is wiskundige eenvoud geen luxe, maar noodzaak. --- Voetnoten 1. K. Larenz & C.-W. Canaris, Methodenlehre der Rechtswissenschaft, Springer, 1995. 2. J. Rawls, A Theory of Justice, Harvard UP, 1971 — het gebruik van “equivalence classes” in distributieve rechtvaardigheid. 3. Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 2: over juridische gelijkheid en logische gelijkvormigheid. --- __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

15 juli 2025, 10:20	#12
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 7. Getaltheorie en cryptografie 7.1. Elementaire getaltheorie Getaltheorie, de studie van de eigenschappen van gehele getallen, lijkt op het eerste gezicht ver af te staan van de dagelijkse praktijk van juristen. Toch vormt ze de wiskundige ruggengraat van veel digitale beveiligingsmechanismen, van elektronische handtekeningen tot blockchaintechnologie. Fundamentele concepten zoals priemgetallen, modulaire rekenkunde, en het grootste gemene deler zijn cruciaal in cryptografie, die op haar beurt juridische implicaties heeft op vlak van bewijs, privacy en authenticiteit. Bijvoorbeeld, het RSA-algoritme, dat berust op de moeilijkheid van het factoriseren van het product van twee grote priemgetallen, vormt de basis van veel digitale handtekeningprotocollen. Het geheim van de sleutel ligt precies in het feit dat het wiskundig ondoenbaar is om binnen een redelijke tijd de originele priemfactoren te reconstrueren. > "Fiat iustitia, et pereat mundus." – Laat gerechtigheid geschieden, al vergaat de wereld. Toch stelt cryptografie de vraag: wat als 'gerechtigheid' gecodeerd wordt in een algoritme? 7.2. Cryptografie, hashing en digitale handtekeningen Cryptografie is het domein waarin mathematische technieken de vertrouwelijkheid, integriteit en authenticiteit van informatie garanderen. Juridisch zijn vooral de volgende toepassingen relevant: Digitale handtekeningen: deze garanderen dat een document afkomstig is van een bepaalde partij én dat het sinds ondertekening niet gewijzigd werd. Dit is essentieel in elektronische contracten, vonnissen en akten. Hashfuncties: wiskundige functies die van een willekeurige input een vaste lengte output maken. Een kleine wijziging in de input geeft een compleet andere output. Juridisch wordt hashing gebruikt om documenten onweerlegbaar te registreren zonder hun inhoud prijs te geven (bv. in het notariaat of bij IP-registratie). Asymmetrische cryptografie: waarbij publieke en private sleutels gebruikt worden, ligt aan de basis van veilige communicatie en blockchaintechnologie. Buitenlandse doctrine De Franse Conseil d’État wees er in een advies uit 2022 op dat juridische geldigheid van elektronische stukken niet alleen van hun technische integriteit afhangt, maar ook van hun "aptitude ?* convaincre" – hun overtuigingskracht in de juridische context¹. Casus 1 Een advocaat stelt dat zijn cliënt een bepaalde e-mail nooit ontvangen heeft. De tegenpartij voert een "hashbewijs" aan: een hashwaarde gegenereerd uit het originele bericht. De rechter moet beslissen of dit een betrouwbaar bewijs is. Zonder inzicht in hashing én juridische bewijsleer is dit moeilijk te beoordelen. --- 7.3. Blockchain en smart contracts: juridische implicaties De blockchaintechnologie biedt een manier om gegevens onveranderlijk en gedecentraliseerd op te slaan. In het recht zijn de toepassingen legio: Onweerlegbaar bewijs van tijdstip of eigendom (timestamping); Smart contracts: zelfuitvoerende contracten waarin de verplichtingen in code vervat zitten. Deze kunnen automatisch betalen, sancties toepassen of clausules activeren; Digitale bewijsvoering: in burgerlijke of commerciële geschillen wordt blockchain steeds vaker aangehaald als bewijs van authenticiteit of chronologie. Latijnse spreuk > "Verba volant, scripta manent. Sed scriptum digitale?" – Woorden vervliegen, het geschrevene blijft. Maar wat met het digitale schrift? Buitenlandse rechtspraak In Duitsland werd in een vonnis van het Amtsgericht München (2023) geoordeeld dat een smart contract géén geldig huurcontract uitmaakt zolang de gebruiker "redelijkerwijze" niet kan nagaan welke gevolgen de codering heeft. Hier botst wiskundige precisie met juridische transparantie. --- 7.4. Juridische reflectie: bewijs ??* automatisering 7.4.1. Bewijs, geloofwaardigheid en digitale zekerheid Blockchain-registratie kan dienen als bewijs van timestamp, eigendom of transactie. Toch garandeert dit niet automatisch de juridische geloofwaardigheid van dat bewijs. Er blijft nood aan interpretatie: wie voerde de registratie uit? In welke context? Wat is de bedoeling van het document? > Zoals eerder uitgebreid beargumenteerd in de verhandeling Beweren is niet bewijzen, volstaat het niet dat een technisch of logisch systeem consistent is; het moet ook voldoen aan de juridische eisen van geloofwaardigheid, interpretatie en proportionaliteit. Een digitale handtekening of een hashwaarde kan wel een bewijsdrager zijn, maar is nog geen bewijs zelf zonder beoordeling binnen de bredere juridische context (zie Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 6: "De non-monotone logica van juridische bewijslast"). Het gevaar is dat men automatische validatie gelijkstelt aan juridische waarheidsvinding. Een hash zegt dat het document niet gewijzigd is, maar niets over de waarheid van de inhoud of de rechtsgeldigheid van het feit. Casus 2 Een blockchain-transactie toont dat A een token verzond aan B. B claimt hiermee eigenaar te zijn van het onderliggende goed. De rechter moet echter nagaan of het token juridisch de eigendomstitel vertegenwoordigt — een zuiver juridische vraag, die niet door de technologie zelf wordt opgelost. --- 7.5. Slotbedenkingen Getaltheorie mag dan een abstracte wiskundige discipline lijken, ze zit onder de motorkap van cruciale juridische mechanismen in de digitale samenleving. Net zoals een jurist het verschil moet kennen tussen een handtekening en een paraaf, moet hij ook het verschil begrijpen tussen een hash en een geldig bewijs. De toekomst van het recht zal in belangrijke mate digitaal én mathematisch bemiddeld zijn. Maar het recht kan nooit gereduceerd worden tot een algoritme: iustitia is geen subroutine. --- Voetnoten 1. Conseil d’État, Rapport public 2022 – Le numérique et les droits fondamentaux, Paris, La documentation française, 2022, p. 81. 2. Zie ook: M. Hildebrandt, Smart Technologies and the End(s) of Law, Edward Elgar, 2015. 3. Over het verschil tussen mathematisch bewijs en juridisch bewijs, zie: Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 6, “De non-monotone logica van juridische bewijslast”. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

15 juli 2025, 19:06	#13
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 8. Categorieën en juridische concepten – Een inleiding tot category theory 8.1. Categorieën als denkkader Categorietheorie is een abstracte tak van de wiskunde die zich niet zozeer bezighoudt met de interne structuur van objecten, maar met de relaties ertussen. In plaats van te focussen op de inhoud van individuele begrippen, bestudeert ze hoe deze begrippen onderling transformeren, gecombineerd worden, of in netwerkvorm functioneren. Een categorie bestaat uit een verzameling objecten en morfismen (ook wel pijlen genoemd) tussen die objecten. Elk morfisme gaat van één object naar een ander (of hetzelfde) object. Belangrijk is dat er een samenstelling bestaat voor morfismen (f???g), die associatief is, en dat elk object een identiteitsmorfisme heeft. > "Wat categorietheorie ons geeft, is een manier om te denken over hoe dingen met elkaar verbonden zijn, in plaats van wat ze afzonderlijk zijn." — Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction¹ Voor juristen is deze manier van denken bijzonder relevant. Niet alleen omdat het recht zelf een systeem is van relaties (bijvoorbeeld tussen personen, bevoegdheden, goederen en instellingen), maar ook omdat juridische redeneringen vaak neerkomen op het herkennen van structurele gelijkenissen tussen uiteenlopende gevallen. Categorietheorie helpt om zulke analogieën rigoureus te formuleren. Een toegankelijke, diepgravende en filosofisch geïnspireerde inleiding tot categorietheorie is te vinden in het werk van Eugenia Cheng¹. Zij toont aan dat abstract denken niet betekent dat we afstand nemen van de realiteit, maar net dat we beter zicht krijgen op onderliggende structuren — een visie die aansluit bij de juridische nood aan consistentie, coherentie en proportionaliteit. 8.2. Juridische concepten als objecten, handelingen als morfismen In juridische context kunnen we denken aan objecten als rechtsbegrippen (zoals “eigendom”, “aansprakelijkheid”, “verbintenis”), en morfismen als juridische transformaties of handelingen (zoals overdracht, afstand, vestiging van een recht). Een eigendomsrecht dat wordt overgedragen van A naar B is dan een morfisme tussen het object “eigendom van A” naar “eigendom van B”. Als deze morfismen op een consistente manier kunnen worden samengesteld (bijvoorbeeld: verkoop gevolgd door erfopvolging), ontstaat een structuur waarin het juridische gevolg (bijvoorbeeld: nieuwe eigenaar) afhangt van de samenstelling van verschillende rechtsgevolgen. Dit is het kernidee van een commutatief diagram in categorietheorie: verschillende paden van juridische handelingen kunnen tot hetzelfde rechtsgevolg leiden. 8.3. Functoren: van rechtssysteem tot rechtssysteem Een functor is een structuurbehoudende toepassing tussen twee categorieën. In het recht kunnen we denken aan functoren als manieren om een rechtsfiguur te vertalen van het ene rechtsgebied naar het andere (bijvoorbeeld van het burgerlijk recht naar het fiscaal recht), of van het ene rechtsstelsel naar het andere (rechtsvergelijking). Een functor moet zowel objecten als morfismen op een consistente manier overdragen. Zo kan men een erfpachtconstructie in het Belgisch recht vergelijken met een leasehold in het Angelsaksisch recht, waarbij men via een functoriële benadering niet alleen termen vergelijkt, maar ook de onderliggende juridische functies (duur, overdraagbaarheid, sancties). 8.4. Commutatieve diagrammen en juridische coherentie Een commutatief diagram in de categorietheorie stelt dat twee verschillende reeksen morfismen (transformaties) die van hetzelfde object vertrekken en aankomen, uiteindelijk hetzelfde effect hebben. In juridische termen is dit vergelijkbaar met de eis van coherentie van rechtsgevolgen. Bijvoorbeeld, of men een eigendomsoverdracht verkrijgt via koop gevolgd door levering, of via schenking gevolgd door aanvaarding, beide trajecten kunnen (onder voorwaarden) leiden tot eenzelfde resultaat. De structuur van het rechtsgevolg is dan onafhankelijk van de gekozen weg — dit is een juridisch commutatief diagram. 8.5. Verbondenheid met de verhandeling Beweren is niet bewijzen In de verhandeling Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 9 (“De transformatie van juridische problemen via andere wetten”), wordt uitgebreid uiteengezet hoe categorietheorie kan dienen om juridische redeneringen over wetten heen structureel te begrijpen. Daar wordt aangetoond hoe commutativiteit, functoriële overzetting en diagrammatische consistentie de analyse van rechtsregels kunnen versterken, vooral wanneer men abstracte juridische vragen probeert op te lossen in complexe, meerlagige wetgevingen. 8.6. Slotbedenking De categorietheorie biedt juristen geen nieuwe wet, maar een nieuwe taal. Een taal die abstract, maar niet afstandelijk is. Die structuur centraal stelt in plaats van chaos. In tijden van toenemende digitalisering, rechtspluralisme en contextuele interpretatie biedt dit abstractiekader de nodige precisie én flexibiliteit. --- Voetnoten 1. Cheng, E., The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, Cambridge University Press, 2022. 2. Zie ook Beweren is niet bewijzen, Hoofdstuk 9: “De transformatie van juridische problemen via andere wetten”. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

15 juli 2025, 19:27	#14
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 9. Algebraïsche structuren in het recht Groepen, ringen, en velden: betekenisvolle of overdreven analogieën? 9.1. Inleiding: de aantrekkingskracht van structuur Algebraïsche structuren zoals groepen, ringen en velden vormen het fundament van abstracte algebra. In deze structuren draait alles om de manier waarop elementen met elkaar combineren, transformeren en zich gedragen onder bepaalde operaties. Ook het recht, hoe normatief en mensgericht ook, lijkt in veel opzichten gebonden aan vaste patronen van interactie en transformatie: rechten worden overgedragen, plichten ontstaan uit handelingen, en regels combineren tot nieuwe gevolgen. Niet zelden vragen juristen — al dan niet met enige scepsis — of zulke wiskundige modellen werkelijk passen bij de menselijke complexiteit van het recht. Een populaire zoekopdracht op Google bevestigt deze intuïtieve aarzeling: wie intikt “gaat wiskunde en recht samen” krijgt zowel inspirerende voorbeelden als kritische bedenkingen.¹ Dit hoofdstuk onderzoekt met open vizier hoe algebraïsche structuren kunnen fungeren als metaforen, modellen of zelfs structurerende principes in juridische redenering. Zonder de menselijke dimensie van het recht te reduceren tot een formalisme, toont deze analyse dat abstractie geen ontmenselijking hoeft te zijn — maar juist een middel kan vormen tot duidelijkheid, coherentie en controleerbaarheid. --- 9.2. Groepsstructuren: herroepbaarheid, inversie en neutraliteit Een groep is een verzameling elementen met een binaire operatie die voldoet aan vier axioma’s: associativiteit, een neutraal element, het bestaan van inverse elementen en geslotenheid. Juridisch kunnen we denken aan handelingen (zoals “geven” of “herroepen”) die deze structuur benaderen. Bijvoorbeeld, binnen het contractenrecht kan de herroeping van een schenking — onder bepaalde voorwaarden — beschouwd worden als een inverse handeling: Schenking (g) gevolgd door herroeping (g?¹) = status quo (e). De neutraliteit speelt in gevallen waar een handeling geen wijziging brengt in de rechtspositie (bijvoorbeeld het verstrijken van een termijn zonder reactie). Een associatief structuurprincipe — (a ? b) ? c = a ? (b ? c) — komt terug in de cumulatie van aansprakelijkheden of opeenvolgende overdrachten, waarbij de volgorde van juridische schakels formeel niets verandert aan het eindresultaat (mits voldaan aan juridische voorwaarden zoals geldigheid en bekwaamheid). Maar let wel: het bestaan van een inverse is in het recht vaak contextueel en voorwaardelijk. Niet elke overdracht is herroepbaar, en sommige rechtshandelingen (zoals geboorte of overlijden) zijn definitief en onomkeerbaar. De groepsstructuur blijft dus een analogisch hulpmiddel, geen universeel model. --- 9.3. Ringen: twee operaties, meerdere dimensies Een ring is een algebraïsche structuur met twee operaties: een additieve (zoals optellen) en een multiplicatieve (zoals vermenigvuldigen), met de eerste die een abelse groep vormt en de tweede die associatief is en distributief over de eerste. Denk juridisch aan het combineren van rechten (zoals optellen van deelrechten) versus het toepassen van regels op rechten (zoals vermenigvuldigen van een recht met een sanctie of een wettelijke beperking). Bijvoorbeeld: (Recht op schadevergoeding) + (Recht op interesten) = gecombineerd vermogensrecht (Aanspraak) × (uitsluitingsclausule) = beperkte afdwingbaarheid De distributiviteit, (a + b) × c = (a × c) + (b × c), komt voor in het recht bij toepassing van een regel op samengestelde gevallen. Bijvoorbeeld, wanneer eenzelfde rechtsregel (zoals een verjaringstermijn) wordt toegepast op meerdere verbintenissen afzonderlijk. --- 9.4. Velden: symmetrie, reciprociteit en volledige controle? Een veld (field) is een ring waarin ook de multiplicatieve structuur een groep vormt (behalve nul). Dit betekent dat elke niet-nulwaarde een inverse heeft. In juridische context is het moeilijker om volwaardige veldstructuren aan te wijzen, omdat niet elk juridisch element een "reciproque" heeft. Toch kan men in situaties waar actie en tegenactie volkomen uitgebalanceerd zijn (bijvoorbeeld in vereffeningsprocedures of saldering van verbintenissen) een gelijkaardige symmetrie herkennen. Bijvoorbeeld in het faillissementsrecht: Schuldpositie A tegenover B, verrekend met vordering B op A ? nettopositie = 0. Zulke verrekensystemen neigen naar veldlogica: elke handeling is ophefbaar door een evenwaardige tegenhandeling. Maar in de praktijk worden juridische systemen zelden zuiver wiskundig gesloten: ethiek, redelijkheid en interpretatie verstoren het algebraïsche ideaal. --- 9.5. Eigenschappen van algebra binnen het recht Associativiteit Komt terug in redeneringen waar tussenstappen mogen herschikt worden zonder de conclusie te beïnvloeden. Bijvoorbeeld in bewijsvoering: (Feit A + Feit B) + Rechtsregel = Feit A + (Feit B + Rechtsregel). In het aansprakelijkheidsrecht wordt dit zichtbaar in causale ketens, waar het niet uitmaakt of schade via oorzaak X of via samengestelde oorzaak (X + Y) is ontstaan, zolang de juridische link aantoonbaar blijft. Distributiviteit In juridische argumentatie betekent dit: een algemene regel toegepast op meerdere gevallen levert dezelfde uitkomst op als het apart toepassen van die regel op elk geval. Dit wordt frequent gebruikt in fiscale rulings of bij toepassing van mensenrechten op meerdere procespartijen. Distributieve eigenschap: Toepassing van art. 6 EVRM op (A + B) = Toepassing op A + Toepassing op B. --- 9.6. Kritische reflectie: analogieën zijn hulpmiddelen, geen modellen Wiskundige structuren zijn aantrekkelijk omdat ze consistentie en logische kracht bieden. Maar ze zijn geen blauwdruk van de juridische werkelijkheid. Waar de wiskunde uitgaat van definitie, werkt het recht met interpretatie. Waar een veld nul uitsluit, moet het recht ook met niets beginnen. Het is dus zaak om met nuance te werk te gaan. Wiskundige structuren bieden metaforen en analysekaders, maar ze mogen het juridische oordeel niet vervangen. Wel kunnen ze dat oordeel versterken, structureren of aanzetten tot precisering. Of zoals een veelgestelde vraag op Google het formuleert: “gaat wiskunde en recht samen?” Het antwoord is: ja, maar niet altijd op de manier die men denkt.² --- Voetnoten 1. Google-zoekopdracht “gaat wiskunde en recht samen” levert onder andere opiniestukken, academische blogs en onderwijsmodules op. 2. Zie ook: Hoofdstuk 3 van deze verhandeling over associativiteit en distributiviteit in juridische logica. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

16 juli 2025, 02:20	#15
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Waarom google zoekopdracht doen vermeld in vorige hoofdstuk ? In dit baanbrekende werk tilt Paul Van Der Es de toepassing van wiskundige structuren naar het domein van rechtspraak en wetgeving. Op overtuigende wijze wordt uitgelegd hoe abstracte algebraïsche concepten — zoals conjugacy classes, centrale centralisatoren én de inbedding van logische operatoren — kunnen dienen als denkkader om juridische normen, interpretaties en onderlinge verbanden te analyseren. Gebaseerd op praktijkervaringen en methodes beschreven in discussies als die van “bedrijven docter” op Politics.be — waar wetboeken worden gereduceerd tot algebraïsche groepen en via logische permutaties een rijk gelaagde interpretatie van recht ontstaat — ontvouwt Van Der Es een helder model: Begin met een geselecteerd ‘referentiewetboek’ (bv. het BW), Ontsluit er conjugacy classes in, breid uit met negaties, centralisatoren en logische operators, Breng structuur in juridische argumentaties met behulp van n?adische relaties. Het resultaat is een innovatieve toolkit — een “Q(spec)” — waarmee academici, juristen en magistraten systematisch juridische teksten kunnen modelleren, toetsen en interpreteren. Dit werk vormt een brug tussen abstracte wiskunde en juridisch denken en biedt een krachtige methodologie om complexiteit inzichtelijk te maken. Voor wie? Advocaten en rechters die hun analyse willen verdiepen met logisch-algebraïsche inzichten. Juridische onderzoekers die een formeler, rigoureus denkkader nastreven. Studenten en docenten op het snijvlak van formele logica en recht. Waarom lezen? Verheldert en structureert juridische argumenten. Biedt een frisse, mathematisch gefundeerde lens op interpretatie en jurisprudentie. Brug tussen theorie en praktijk: van forumdiscussie naar professionele juridische toepassing. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

16 juli 2025, 09:14	#16
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 10. Topologie van juridische redeneringen Open en gesloten systemen van rechtsregels Grenzen en limieten van interpretatie Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen --- 10.1. Inleiding: abstractie zonder verlies van nabijheid Topologie, in haar meest abstracte vorm, bestudeert de eigenschappen van ruimten die behouden blijven onder continue vervormingen: rekken, plooien en buigen zijn toegelaten, breken of lijmen niet. Dit lijkt op het eerste gezicht ver van juridische praktijk te staan, maar de analogie wordt interessant wanneer we redeneringen en normatieve systemen zelf als “ruimten” beschouwen: systemen met binnen- en buitenkanten, met open of gesloten vormen, met begrenzingen, overgangen, convergenties en limieten. Zoals Eugenia Cheng benadrukt in The Joy of Abstraction, is de kracht van categorieën en topologische structuren dat ze ons leren relaties te zien in plaats van objecten op zich.¹ Ook in het recht gaat het zelden om geïsoleerde normen, maar om de manier waarop deze normen zich tot elkaar verhouden — structureel, interpretatief, systemisch. --- 10.2. Open en gesloten systemen van rechtsregels In topologie is een open verzameling een deel van een ruimte waarin elk punt intern ligt: geen grenspunt behoort enkel tot de buitenkant. Gesloten verzamelingen bevatten hun randen. Deze abstracte notie krijgt juridische betekenis in de manier waarop rechtsregels zichzelf al dan niet afsluiten voor interpretatie of uitbreiding. Een open systeem van rechtsregels is dynamisch: de interpretatie is contextueel, er is ruimte voor evolutie, analogieën en rechtsvergelijking. Bijvoorbeeld het Belgische mensenrechtenrecht, dat zich spiegelt aan het EHRM en voortdurend interpreteerbaar blijft. Een gesloten systeem daarentegen sluit interpretatie af: regels worden strikt toegepast volgens hun tekst. Denk aan strafbepalingen in het strafrecht: nulla poena sine lege certa. Hier is de topologische analogie met gesloten verzamelingen krachtig — de grenzen zijn onderdeel van de regel. In het burgerlijk recht vinden we beide: het contractenrecht functioneert vaak open (via de redelijkheid en de goede trouw), het goederenrecht eerder gesloten (numerus clausus van zakelijke rechten). --- 10.3. Grenzen en limieten van interpretatie De grens in de topologie is een verzameling punten die noch volledig binnen, noch volledig buiten een verzameling vallen. Juridisch zijn dit de spanningsvelden waar interpretatie onbeslist is: Is een bepaalde gedraging nog vrijheid van meningsuiting, of al haatspraak? Valt een hybride platform onder het arbeidsrecht of onder zelfstandige dienstverlening? Deze grensgevallen of edge cases zijn juridisch cruciaal. Hier bevinden we ons op het grensvlak van doctrine, rechtspraak en normatieve intuïtie. De topologische benadering dwingt ons te erkennen dat een grens geen schakel is tussen twee gesloten systemen, maar een zone van overgang en negotiatie. Precedenten, analogieën en redeneringen uit aanverwante rechtsgebieden fungeren hier als topologische transformaties: continu, maar niet altijd bij uitstek duidelijk. Een limiet in wiskundige zin — een benadering van een waarde zonder die ooit exact te bereiken — is in juridische context de asymptotische grens van interpretatie: Hoe ver kan men het begrip "aansprakelijkheid voor derden" uitrekken vooraleer men het onderliggende rechtsbeginsel loslaat? Bijvoorbeeld: de evolutie van het leerstuk van de bestuurdersaansprakelijkheid benadert een limiet waarbij het onderscheid tussen fout en risico vrijwel verdwijnt. Juridisch nuttig, maar topologisch risicovol. --- 10.4. Nabijheid en continuïteit van rechtsnormen In de klassieke topologie definieert nabijheid de manier waarop elementen zich tot elkaar verhouden zonder noodzakelijk gelijk te zijn. In juridische zin kunnen we denken aan normen die functioneel nabij zijn: ze reguleren vergelijkbare situaties, overlappen in toepassingsgebied, of vertonen structurele gelijkenis. Voorbeelden: Het overgangsgebied tussen consumentenrecht en handelspraktijkenwetgeving De kruising van sociaal en fiscaal recht in loonkostregimes De interactie tussen Europese richtlijnen en nationale omzettingswetgeving Continuïteit betekent dat kleine wijzigingen in input (feiten) geen abrupte veranderingen in output (rechtsgevolgen) veroorzaken. Dit lijkt vanzelfsprekend, maar juridische systemen zijn hier niet altijd continu. Denk aan juridische drempels (bijvoorbeeld bedragen boven/onder een bepaalde grens), waarbij een minieme wijziging in de feiten tot een totaal ander rechtsgevolg leidt. Bijvoorbeeld: Een inkomen van € 25.000 levert recht op sociale bijstand, maar € 25.001 niet meer ? discontinuïteit. Een schadepost van net boven de grenswaarde activeert aansprakelijkheid ? sprongdiscontinuïteit. Topologische redenering maakt dit zichtbaar: het recht is soms niet-Hausdorff — verschillende rechtsnormen kunnen moeilijk worden gescheiden zonder overlapping, of integendeel: vergelijkbare gevallen worden abrupt anders behandeld. Dit is geen fout, maar wel een aandachtspunt voor rechtvaardigheid en evenredigheid. --- 10.5. Topologische metaforen en juridische intuïtie De abstractie van topologie lijkt op het eerste gezicht kil, maar ze dwingt tot denken in relaties, vormen en overgangen — precies wat juridische redenering onderscheidt van louter syllogistische logica. De vraag is niet alleen wat een regel is, maar hoe die regel zich gedraagt binnen een rechtsruimte: Is zij open of gesloten? Heeft zij een grensgebied van onduidelijkheid? Beweegt zij zich continu ten opzichte van verwante normen? Leidt interpretatie tot breuk of vervorming? Via deze vragen kunnen juristen abstracte begrippen concretiseren en juridische complexiteit beheersen zonder ze te reduceren. --- 10.6. Slot: juridische topologie als navigatie-instrument Het recht is geen Euclidische ruimte: normen botsen, overlappen, buigen en glijden langs elkaar. Topologie biedt een formeel kader om deze fenomenen te benoemen en te analyseren. Niet als doel op zich, maar als hulpmiddel om coherentie en consistentie te bewaren. Of zoals hoofdstuk 9 van Beweren is niet bewijzen reeds aantoont: juridische concepten zijn niet enkel objecten, maar vooral knooppunten in netwerken van relaties.² De topologische blik leert ons: het gaat niet alleen om de regels die men ziet, maar om de ruimte waarin zij functioneren. --- Voetnoten 1. Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life, Cambridge University Press, 2022. Zie hoofdstuk 4 en 8 over topologie en contextuele structurering. 2. Zie Beweren is niet bewijzen, hoofdstuk 9: "Categorietheorie voor juristen", waarin juridische concepten worden gemodelleerd als objecten en morfismen binnen relationele structuren. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

16 juli 2025, 18:05	#17
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Deel IV – Kritische toepassingen en reflecties Hoofdstuk 11. Juridische valkuilen bij wiskundig redeneren Statistische drogredenen in rechtszaken – Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools – De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening --- 11.1. Inleiding: de schijnzekerheid van getallen Wiskunde kan het juridische denken structureren en verhelderen — dat is het uitgangspunt van dit handboek. Maar diezelfde wiskunde kan, wanneer onkritisch toegepast, leiden tot een vals gevoel van objectiviteit. In dit hoofdstuk behandelen we drie gevaarlijke toepassingen waarin wiskundige argumentatie het juridische oordeel verstoort: (1) verkeerd begrepen statistiek, (2) misbruik van algoritmen en risico-assessments, en (3) overmatige exactheid in schadebegroting. Zoals besproken in hoofdstuk 9 (Algebraïsche structuren in het recht) en hoofdstuk 10 (Topologie van juridische redeneringen) zijn wiskundige structuren slechts zinvol in de mate waarin ze inhoudelijk en contextueel correct worden ingezet. De latijnse spreuk Fallacia non facit legem (“een drogreden schept geen recht”) blijft ook gelden waar het getallen betreft. --- 11.2. Statistische drogredenen in rechtszaken 11.2.1. De prosecutor’s fallacy in Belgische context In het Belgisch strafrecht wordt statistisch bewijs slechts zelden op rigoureuze wijze aangebracht, maar impliciete kansredeneringen komen wel frequent voor, vooral in zedenzaken of vermogensdelicten. Voorbeeld: In een Antwerpse zedenzaak werd een bekentenis afgelegd onder druk van de vermeende “onweerlegbare” statistiek dat het DNA van de dader op het lichaam van het slachtoffer gevonden was, en dat de kans op een fout slechts 1 op 10 miljoen bedroeg. De verdediging wees terecht op het verschil tussen: de kans dat het DNA op het slachtoffer zit als de verdachte onschuldig is versus de kans dat de verdachte onschuldig is gegeven dat DNA is gevonden Die verwarring is de klassieke prosecutor’s fallacy, vaak toegelicht in de literatuur als “P(E\|¬H) ??* P(¬H\|E)”.? De Belgische doctrine is hier terughoudend: “Statistiek kan wijzen op richting, maar geen beslissend bewijs leveren” (Cass., 6 feb. 2001, Pas. 2001, I, 348). --- 11.2.2. Base rate fallacy en profilering In sociale fraudebestrijding worden vaak risicoprofielen opgesteld. Als een bepaald gedrag of afkomst significant vaker voorkomt in het databestand van fraudeurs, kan dit leiden tot verhoogde opsporing. Maar zonder de basisfrequentie in de hele populatie in rekening te brengen, leidt dit tot foutieve gevolgtrekkingen. De juridische relevantie van statistische associaties blijft beperkt zolang men correlatie verwart met causaliteit. Post hoc, ergo propter hoc is in deze context niet alleen een drogreden, maar ook een grond voor discriminatieclaims (zie EHRM, DH e.a. t. Tsjechië, 13 nov. 2007, nr. 57325/00, over indirecte discriminatie via statistische selectiecriteria). --- 11.3. Misbruik van algoritmen en risico-assessmenttools 11.3.1. SyRI en het arrest van de rechtbank Den Haag In Nederland werd het algoritmisch opsporingssysteem SyRI (Systeem Risico Indicatie) ingezet om sociale fraude op te sporen op basis van koppelingen tussen databanken. In 2020 vernietigde de rechtbank Den Haag het systeem wegens schending van artikel 8 EVRM (privacy), omdat burgers geen zicht hadden op de criteria en werking van het algoritme (Rb. Den Haag, 5 feb. 2020, ECLI:NL:RBDHA:2020:865). Ook in België bestaat er een tendens naar digitale profilering bij RVA, FOD Financiën en politiediensten. Zulke systemen hebben weliswaar een mathematische kern, maar zijn juridisch normatief geladen: welke variabelen relevant zijn, is geen wiskundige, maar juridische of ethische keuze. De EHRM-jurisprudentie benadrukt het belang van transparantie, proportionaliteit en toetsbaarheid bij het gebruik van algoritmen in rechtstoepassing (EHRM, Roman Zakharov v. Russia, 4 dec. 2015, nr. 47143/06). --- 11.3.2. Internationale doctrine Volgens de Raad van Europa (2021) mogen “AI-systemen in de rechtspraak slechts worden ingezet indien zij transparant zijn, uitlegbaar, en aan te vechten”.? De aanbevelingen van de CEPEJ (European Commission for the Efficiency of Justice) pleiten voor een “ethics by design”-benadering. Ook internationale doctrine, zoals Mireille Hildebrandt en Frank Pasquale, wijst op het gevaar van epistemische asymmetrie: algoritmen creëren ongelijkheid in kennis en macht tussen burger en overheid, onder het mom van wiskundige neutraliteit. Latijnse kernformule: Fiat iustitia, ruat caelum — maar dat veronderstelt wél dat men weet hoe het recht werkt, ook achter het scherm van de algoritmen. --- 11.4. De fallacy van schijnexactheid in schadeberekening 11.4.1. Het forfaitair denken onder het Wetboek Economisch Recht Bij schadevergoeding in contractuele of buitencontractuele context hanteert men in België vaak forfaitaire tabellen zoals de ANWB-tabellen of kapitalisatieformules op basis van rente, levensverwachting, inflatie, enz. Bijvoorbeeld, art. 5.138 van het Nieuw Burgerlijk Wetboek (2023) stelt dat de schadevergoeding moet overeenstemmen met het werkelijk geleden verlies. Maar in de praktijk vertaalt zich dat in zeer precieze bedragen met meerdere decimalen. Toch is er vaak grote onzekerheid over: de werkelijke loopbaan van het slachtoffer het rendement van de kapitaalvergoeding toekomstige inflatie en koopkracht In een zaak voor het arbeidshof te Gent (Arbh. Gent, 3 mei 2022), werd een schadevergoeding herleid van €183.231,44 naar €120.000 ex aequo et bono, omdat de oorspronkelijke berekening uitging van foutieve groeivoeten en onzeker rendement. --- 11.4.2. Het spanningsveld tussen numerieke en juridische logica Wiskundige berekeningen geven schijnexactheid. Zoals al besproken in hoofdstuk 6 (Niet-monotone logica en bewijsbeslissingen), kan een mathematische afleiding juridisch misleidend zijn wanneer de initiële gegevens betwist zijn. Latijnse waarschuwing: Summum ius, summa iniuria – een strikte toepassing van een rekenregel kan leiden tot juridisch onrecht. --- 11.5. Conclusie: wiskundige precisie vereist juridische nederigheid Het is niet omdat iets berekend is, dat het ook bewezen is. Statistiek, algoritmen en schadeduiding zijn nuttige tools, maar geen orakels. Juridisch denken vereist kritische omgang met elke vorm van numerieke evidentie. Dit hoofdstuk bevestigt de centrale these van dit handboek: “meer wiskunde kan het recht versterken, maar alleen indien ook de limieten van wiskunde worden erkend.” Zoals Eugenia Cheng terecht schrijft in The Joy of Abstraction: > “Mathematics isn’t about finding final answers. It’s about knowing what questions make sense.”? --- Voetnoten 1. Cass. 6 feb. 2001, Pas. 2001, I, 348. 2. ProPublica, “Machine Bias”, 2016. 3. Rb. Den Haag 5 feb. 2020, ECLI:NL:RBDHA:2020:865. 4. Zie bijvoorbeeld D.H. Kaye & D.A. Freedman, “Reference Guide on Statistics”, in: Federal Judicial Center Reference Manual on Scientific Evidence (3rd ed., 2011). 5. Raad van Europa, CEPEJ Guidelines on the use of AI in judicial systems, 2021. 6. Eugenia Cheng, The Joy of Abstraction, Cambridge University Press, 2022, hfst. 1. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

Gisteren, 21:47	#18
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hoofdstuk 12. Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving Gebruik van wiskunde in rechtseconomie – Kosten-batenanalyse in wetgeving – Simulatiemodellen in strafmaat en recidive --- 12.1. Inleiding: het recht als optimalisatiemodel? Wiskundige modellen worden steeds vaker ingezet om rechtsregels te ontwerpen, evalueren en voorspellen. Dit geldt in het bijzonder binnen de rechtseconomie (law and economics), een richting waarin juridische normen worden beoordeeld op hun efficiëntie, gebaseerd op kosten-batenanalyses, speltheorie en gedragsmodellen. De centrale vraag luidt dan: kan recht wiskundig geoptimaliseerd worden? Zoals eerder besproken in Hoofdstuk 9 (Algebraïsche structuren) en Hoofdstuk 10 (Topologie van juridische redeneringen), kan het juridische denken profiteren van wiskundige analogieën — zolang men de grenzen erkent tussen normatieve overtuiging en numerieke optimalisatie. Latijnse waarschuwing: Fiat utilitas, pereat iustitia? – mag nut zwaarder wegen dan rechtvaardigheid? --- 12.2. Rechtseconomie: het recht als rationeel keuzemodel 12.2.1. Kosten-batenanalyse in het wetgevingsproces In België werd in 2001 het KBA-instrument (kosten-batenanalyse) formeel ingevoerd voor evaluatie van regelgeving binnen de federale overheid.? Hoewel beperkt toegepast, is het idee dat elke nieuwe norm een maatschappelijk optimum moet benaderen. Voorbeeld: bij hervorming van het vennootschapsrecht werd in 2019 expliciet verwezen naar economische modellen om te bepalen of de invoering van de BV zonder minimumkapitaal het ondernemerschap zou bevorderen zonder buitensporige risico’s voor schuldeisers (WVV, art. 5:1 e.v.). Volgens Guido Calabresi en Richard Posner moet wetgeving zich richten op het maximaliseren van de sociale welvaart: wetten zijn goed indien de totale maatschappelijke baten groter zijn dan de kosten.? Dit utilitarisme beïnvloedde de Europese benadering van impact assessments. --- 12.2.2. Latere correcties: gedragseconomie en fairness De klassieke rechtseconomie gaat uit van rationele actoren en voorspelbaar gedrag. Maar empirisch onderzoek toont dat mensen systematisch irrationeel handelen, zeker onder stress, onzekerheid of bij complexe afwegingen. De Belgische Raad van State wees in 2018 een regeling af waarin verondersteld werd dat zelfstandigen zich zouden herverzekeren tegen arbeidsongeschiktheid, louter op basis van “rationeel keuzegedrag”.? Dat leidt tot integratie van gedragseconomische modellen (Kahneman, Sunstein) in de rechtseconomie. Wetten moeten niet enkel efficiënt, maar ook psychologisch effectief en rechtvaardig overkomen. De Romeinse spreuk Summum utile, summa iniuria herinnert eraan: wat nuttig lijkt, kan onrechtvaardig zijn. --- 12.3. Simulatiemodellen in strafmaat en recidive 12.3.1. Recidive en risicoformules In het strafrecht worden modellen gebruikt om recidivekans te voorspellen en zo de strafmaat of invrijheidsstelling te bepalen. In Vlaanderen gebruikt men onder andere het HKT-R-model, een statistisch instrument dat 11 historische, 10 klinische en 6 toekomstgerichte variabelen verwerkt.? In een zaak voor het Hof van Beroep te Antwerpen (2021) werd het advies van een risico-assessment door de verdediging betwist, omdat “de gebruikte variabelen meer zeggen over het verleden dan over de juridische proportionaliteit van de straf”.? Ook internationaal werd dit thema scherp geformuleerd in EHRM, Lopez Ribalda e.a. t. Spanje (17 okt. 2019): “Predictieve surveillance mag niet resulteren in juridische sanctie zonder individuele toetsing.”¹? --- 12.3.2. Simulatie van wetsgevolgen In belastingrecht en sociale wetgeving gebruikt men simulatiemodellen (zoals EUROMOD) om de impact van wetswijzigingen op inkomensverdeling, armoede en participatie te modelleren. Voorbeeld: bij de hervorming van het kindergeldsysteem in Vlaanderen (2019) werden duizenden scenario’s gesimuleerd, met variaties per gezinssituatie, inkomensklasse, leeftijd en werkstatus.¹¹ Deze modellen gebruiken lineaire algebra en matrixsimulaties, maar de juridische interpretatie van “gelijke behandeling” blijft normatief en niet wiskundig. Zoals besproken in Hoofdstuk 6 (Niet-monotone logica) is een positieve uitkomst in één simulatie niet automatisch veralgemeenbaar: recht vereist robuuste argumentatie, niet enkel waarschijnlijkheid. --- 12.4. Kritiek en grenzen van mathematische optimalisatie 12.4.1. Normen zijn geen nutsfuncties De verleiding om juridische normen als nutsfuncties te modelleren is begrijpelijk in beleidstechnische context. Toch blijven rechten, plichten en rechtvaardigheid categorische in plaats van utilitaire concepten. Zoals Cass. 22 feb. 2007 benadrukte, “kan schadevergoeding niet beperkt worden tot de economisch meest efficiënte oplossing, indien fundamentele rechten van de benadeelde in het gedrang komen.”¹² Latijnse spreuk: Non omne quod licet honestum est — niet alles wat toegestaan of nuttig is, is ook moreel verantwoord. --- 12.5. Samenvattende reflectie Wiskundige modellen kunnen beleidsbeslissingen en rechtspraak ondersteunen, maar nooit vervangen. Dit hoofdstuk toont hoe rechtseconomie, simulatie en risico-evaluatie bijdragen aan een meer onderbouwde rechtspraktijk — mits men het onderscheid bewaart tussen rekenkundige efficiëntie en normatieve legitimiteit. Zoals eerder in dit handboek aangegeven, geldt steeds: > Wiskunde mag het recht versterken, maar mag het nooit overheersen. Of, in de woorden van Aristoteles: > “Law is reason free from passion — but justice is not free from ethics.” --- Voetnoten 1. Zie Hoofdstuk 9 en 10 voor de basis van algebraïsche en topologische analogieën. 2. Zie o.a. C. Sunstein, Why Nudge? The Politics of Libertarian Paternalism, Yale UP, 2014. 3. WVV, Wetboek van vennootschappen en verenigingen, BS 4 april 2019. 4. RvS, Adv. 65.321/AV, 15 juni 2018, over het ontwerp m.b.t. zelfstandigenverzekering. 5. FOD Beleid en Ondersteuning, Handleiding Kosten-Batenanalyse bij Regelgeving, 2001. 6. G. Calabresi, The Costs of Accidents, Yale UP, 1970; R. Posner, Economic Analysis of Law, 9e ed., 2014. 7. Arbh. Antwerpen, 12 oktober 2021, niet gepubliceerd. 8. HKT-R-model: zie VZW De Kiem, Handleiding Risicotaxatie, 2020. 9. EHRM, Lopez Ribalda e.a. t. Spanje, 17 oktober 2019, nr. 1874/13. 10. V. Verbist, “Effectiviteit van sociale hervormingen: simulatie als sturingsinstrument”, T.P.R., 2020, 93-112. 11. Cass. 22 februari 2007, Arr.Cass. 2007, nr. P.06.1001.N. 12. Zie ook: D. Nagin, “Criminal Deterrence Research at the Outset of the Twenty-First Century”, Crime and Justice 23 (1998), 1–42. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

Gisteren, 21:51	#19
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hieronder volgt een aparte case study met vergelijking van buitenlands recht, als aanvulling op Hoofdstuk 12 – Wiskundige modellen in rechtspraak en wetgeving. De nadruk ligt op het gebruik van wiskundige modellen in recidive-inschatting en strafmaat, met: een Belgische casus (geanonimiseerd) een vergelijking met het Amerikaanse en Duitse recht reflectie vanuit het EHRM Latijnse spreuken en juridische kritiek --- Case study: Predictieve risico-assessment in strafmaat Vergelijkend juridisch perspectief 1. Belgische casus: risicotaxatie bij voorwaardelijke invrijheidstelling In 2021 betwistte de verdediging in een zaak voor de rechtbank van eerste aanleg Oost-Vlaanderen het gebruik van het HKT-R-model (Historisch-Klinisch-Toekomstgericht Risicotaxatie-instrument) bij het advies van de gevangenisdirectie voor de strafuitvoeringsrechtbank.¹ Het model gaf een hoog risico op herval, voornamelijk op basis van historische gegevens (vroegere feiten, gebrek aan netwerk). De advocaat argumenteerde dat het model onvoldoende juridische toetsing bevatte en dat men een “wiskundig toekomstbeeld als wettelijk bewijs” gebruikte. De rechtbank volgde dit niet volledig, maar erkende wel dat “de risicotaxatie slechts als indicatief kan gelden”. Latijnse spreuk: Ex praeterito non fit certum de futuro — Uit het verleden volgt geen zekerheid over de toekomst. --- 2. Amerikaanse rechtspraak: COMPAS en de zaak Loomis v. Wisconsin In de VS wordt sinds jaren het COMPAS-algoritme (Correctional Offender Management Profiling for Alternative Sanctions) gebruikt om recidivekansen in te schatten. In de zaak State v. Loomis (Wisconsin Supreme Court, 2016) werd betoogd dat het algoritme in strijd was met het Due Process-principe, omdat de werking ervan geheim bleef (intellectuele eigendom van het softwarebedrijf).² De rechtbank aanvaardde het gebruik onder voorwaarden: het model mocht worden gebruikt voor strafuitvoering, niet als enige basis voor de strafmaat, en moest gepaard gaan met rechterlijke motivering. Vergelijking met België: In België worden modellen niet bindend gebruikt, maar enkel als ondersteuning. In de VS werden modellen ingezet zonder inzicht in de parameters, wat rechtsbescherming aantast. --- 3. Duitsland: meer juridische waarborgen bij algoritmisch gebruik In Duitsland is het gebruik van voorspellende risicomodellen strikt gereguleerd. Zo bepaalt § 66 StGB (Duits Strafwetboek) dat de beoordeling van de gevaarlijkheid van een dader enkel mag gebeuren door erkende deskundigen, met volledige rechterlijke controle.³ De Verfassungsgerichtshof (Grondwettelijk Hof) oordeelde in 2018 dat probabilistische risico-inschatting enkel aanvaardbaar is indien: de gegevens transparant en herleidbaar zijn, de betrokken persoon hoorrecht heeft, en het oordeel niet louter wiskundig is, maar juridisch gemotiveerd.? Latijnse spreuk: Probabilitas non sufficit loco certitudinis — Waarschijnlijkheid volstaat niet waar zekerheid vereist is. --- 4. EHRM: geen sanctie zonder individuele toetsing In EHRM, L.B. t. Hongarije (9 maart 2021), werd geoordeeld dat een sanctie (verlenging van opsluiting) op basis van een risicoprofiel zonder individuele beoordeling een schending vormt van art. 5 EVRM (vrijheidsontneming).? Dit bevestigt dat wiskundige of statistische criteria nooit volstaan als juridische grond voor vrijheidsberoving. --- 5. Kritische reflectie: algoritmen als hulpmiddel, niet als rechter Hoewel wiskundige modellen inzicht bieden, is er altijd het risico op “schijnobjectiviteit”. Wie zich verschuilt achter formules, ontwijkt de verantwoordelijkheid om juridisch te oordelen. Zoals eerder gesteld in Hoofdstuk 11, loert hier de fallacy van schijnexactheid. Een model is geen norm, maar een hypothese over gedrag. Daarom geldt: > Mathematici sunt boni servi, sed mali iudices — Wiskundigen zijn goede dienaren, maar slechte rechters. --- Voetnoten 1. Rb. Oost-Vlaanderen, afd. Gent, 23 juni 2021, geanonimiseerd (privé-archief). 2. State v. Loomis, 881 N.W.2d 749 (Wis. 2016). 3. Zie § 66 StGB en Duitse rechtspraak: BVerfG 1 BvR 357/18. 4. Zie P. Möllers, Algorithmische Entscheidung und Rechtsstaat, JZ 2019, 745–751. 5. EHRM, L.B. v. Hungary, nr. 36345/16, 9 maart 2021. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven

Gisteren, 21:56	#20
bedrijven docter Minister Geregistreerd: 30 april 2016 Locatie: Knokke-Heist Berichten: 3.633	Hieronder volgt een tweede case study, ditmaal over het gebruik van wiskundige modellen in wetgeving, met focus op kosten-batenanalyse in fiscaliteit. We vergelijken de Belgische aanpak met die in Nederland en het Verenigd Koninkrijk, aangevuld met rechtspraak, doctrine, Romeinse spreuken en verwijzingen naar vorige hoofdstukken. --- Case study: Kosten-batenanalyse bij fiscale wetgeving Vergelijking tussen België, Nederland en het VK 1. Belgische context: Wetboek van inkomstenbelastingen en de afbouw van fiscale voordelen In de jaren 2010–2020 paste de Belgische wetgever verschillende keren mathematische simulaties toe bij hervormingen van belastingvoordelen, zoals bij de woonbonus, mobiliteitsbudget en investeringsaftrekken voor KMO’s. Bij de hervorming van de woonbonus in 2019–2020 werd in de parlementaire stukken verwezen naar ramingen van het Planbureau, die becijferden dat de hervorming op middellange termijn 0,25% van het BBP zou opleveren.¹ Echter, het Grondwettelijk Hof kreeg later zaken voorgelegd waarin betoogd werd dat deze modellen onvoldoende transparant waren en dat groepen benadeeld werden zonder toetsbare motivatie. In GwH nr. 34/2021 werd het belang van gelijke behandeling herbevestigd, hoewel het Hof een grote beoordelingsmarge liet aan de wetgever. Het wees er wel op dat modellen nooit als enige rechtvaardiging kunnen dienen zonder concrete juridische afweging. Latijnse spreuk: Utilitas publica suprema lex esto — Het algemeen belang is de hoogste wet, maar vereist toetsing. --- 2. Nederland: CPB-modellen en het risico van tunnelvisie Het Centraal Planbureau (CPB) hanteert al decennia wiskundige simulatiemodellen om wetgeving door te rekenen.² In de context van de belastingherziening 2017 (waaronder het afbouwen van de hypotheekrenteaftrek), werd sterk gesteund op het model MIMOSI. Toch kwam er kritiek vanuit de Raad van State: “De maatschappelijke effecten van fiscale maatregelen kunnen niet enkel via technische modellen begrepen worden. Juridische effecten, gedragsveranderingen en ongelijkheid zijn moeilijk meetbaar maar essentieel.”³ Ook hier: modellen zijn nuttig voor ex ante-beoordeling, maar mogen niet de plaats innemen van normatieve afweging. --- 3. Verenigd Koninkrijk: HM Treasury’s Green Book en de balans tussen kwantiteit en rechtvaardigheid Het Britse ministerie van Financiën hanteert sinds 1973 het Green Book, een handleiding voor kosten-batenanalyses van wetgevingsvoorstellen.? Daarin staat expliciet: > “Quantitative modelling is a decision support tool, not a decision-making mechanism. The role of ethics, law and equity must be preserved.” Bij de hervorming van de Universal Credit-regeling in 2019 werd het model aangepast nadat het UK Supreme Court oordeelde dat het algoritmische toekenningsmodel tot disproportionele uitsluiting leidde van bepaalde gezinnen.? Latijnse spreuk: Fiat iustitia, pereat mundus? — Laat gerechtigheid geschieden, al vergaat de wereld? Of toch: Fiat mundus, sed cum iustitia — Laat de wereld blijven bestaan, maar met gerechtigheid. --- 4. Verwijzing naar eerdere hoofdstukken In Hoofdstuk 11 werd reeds gewezen op het misbruik van algoritmen en de fallacy van schijnexactheid. In Hoofdstuk 3 bespraken we het belang van tautologieën en implicaties: een model dat stelt “als de woonbonus verdwijnt, stijgt de mobiliteit” is slechts nuttig als de onderliggende causale verbanden ook logisch én juridisch houdbaar zijn. In Hoofdstuk 8 (categorietheorie) en Hoofdstuk 9 (algebraïsche structuren) wezen we op het belang van wiskundige structuur mét betekenisvolle interpretatie: abstracte modellen mogen geen juridische evidenties verhullen. --- 5. Kritische balans De juridische toetsbaarheid van wiskundige modellen in wetgeving blijft een open vraag. Zoals bij de Belgische woonbonus: simulaties zijn noodzakelijk, maar mogen nooit een vervanging zijn voor parlementair debat en rechtsstatelijke proportionaliteitstoetsing. > Numerus non est ius — Een cijfer is nog geen recht. --- Voetnoten 1. Parl. St. Kamer 55-1007/001, p. 12–13. 2. Zie www.cpb.nl, MIMOSI modelbeschrijving (2017). 3. Raad van State (NL), Jaarverslag 2018, p. 45. 4. HM Treasury, The Green Book, 2022 ed., hoofdstuk 2. 5. UKSC [2019] UKSC 52, R (on the application of Johnson) v Secretary of State for Work and Pensions. __________________ Ik werd nooit betaald om de dingen juist te schrijven, maar wel om de juiste dingen te schrijven