Wordt gestraft door God voor mannen en vrouwen in het graf?

[revoleto]

Oorspronkelijk geplaatst door djimi

Dat ik waar ook ter wereld (getuigenissen/relicten van) een spirituele zoektocht van de mens kan terugvinden, zal ik zeker niet ontkennen, maar ik vraag me wél af of de tijdens die spirituele zoektochten gevonden concepten en praktijken wérkelijk overal - weze het onder een andere naam - dezelfde zijn?

Ik kan me écht niet van de indruk ontdoen dat sommige concepten en daaruit voortvloeiende praktijken wel dégelijk - soms zelfs fundamentéél - van elkaar verschillen.

De concepten en de praktijken van pakweg "Tao" kan ik niet 'dezelfde' noemen als de concepten en de praktijken van pakweg "Rome".

Het is evenwel niet uitgesloten dat mijn kennis betreffende deze materie gewoon ontoereikend is.

Ik blijf echter altijd tot bijleren bereid.

I got the heavenly books in languages tribes that I got them Kalangel Aramaic and the Torah in Hebrew Scriptures of Ibrahim and the Syriac language, the language of the Psalms, and the ancient Children of Israel (Hebrew), and so
Languages of the scriptures down their own tribes
. (22) And of His signs is the creation of the heavens and the earth and the diversity of your languages and your colors. Indeed in that are signs for those of knowledge

(22) Tot zijne teekenen behooren ook de schepping van de hemelen en de aarde, en de verscheidenheid uwer talen en uwe gelaatskleur. Waarlijk, hierin zijn teekenen voor menschen van verstand.

[revoleto]

http://www.youtube.com/watch?v=JvQd6Y5OmoI

http://www.youtube.com/watch?v=5J-9d...eature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Abs-tJjikX0

http://www.youtube.com/watch?v=oCL7jCqAEpQ

Yes
These are all evidence of the physical universe to denote the belief in the oneness of God
Do not confuse yourself
Enough to look at your body
Who is the creator?
God created man on the ground
To the reconstruction of the ground and walk on the straight path

- Example
- You remember me
Abraham peace be upon him
allah said In the Holy Qur'an


(74) And [mention, O Muhammad], when Abraham said to his father Azar, "Do you take idols as deities? Indeed, I see you and your people to be in manifest error." Add new comment
(75) And thus did We show Abraham the realm of the heavens and the earth that he would be among the certain [in faith] Add new comment
(76) So when the night covered him [with darkness], he saw a star. He said, "This is my lord." But when it set, he said, "I like not those that disappear." Add new comment
(77) And when he saw the moon rising, he said, "This is my lord." But when it set, he said, "Unless my Lord guides me, I will surely be among the people gone astray." Add new comment
(78) And when he saw the sun rising, he said, "This is my lord; this is greater." But when it set, he said, "O my people, indeed I am free from what you associate with Allah . Add new comment
(79) Indeed, I have turned my face toward He who created the heavens and the earth, inclining toward truth, and I am not of those who associate others with Allah ." Add new comment

(80) 80 - His people disputed with him. he said: (come) ye to dispute with me, about God, when he (himself) hath guided me? I fear not (the beings) ye associate with God: unless my lord willeth, (nothing can happen). my lord comprehendeth in his knowledge all things. will ye not (yourselves) be admonished?
(81) 81 - How should I fear (the beings) ye associate with God, when ye fear not to give partners to God without any warrant having been given to you? which of (us) two parties hath more right to security? (tell me) if ye know.



(74) Abraham zeide tot zijn vader Azer: neemt gij beelden tot goden )? Waarlijk, ik bemerk, dat gij en uw volk in eene duidelijke dwaling verkeert.
(75) En zoo deden wij Abraham het koninkrijk van hemel en aarde zien, opdat hij een mocht worden van hen, die oprecht gelooven.
(76) En toen de nacht hem omsluierde, zag hij eene ster, en hij zeide: Dit is mijn Heer; doch toen zij verdween, zeide hij: Ik bemin de goden niet die verdwijnen.
(77) En toen hij de maan zag opgaan, zeide hij: Dit is mijn God; doch toen zij verdween, zeide hij: indien God mij niet geleidt, zal ik verdwalen.
(78) En toen hij de zon zag opgaan, zeide hij: Dit is mijn heer, dit is de grootste; doch toen zij verdween, zeide hij: O mijn volk! ik ben onschuldig aan datgene, wat gij naast God plaatst.
(79) Ik wend mijn aangezicht tot hem, die den hemel en de aarde heeft geschapen; ik ben een waar geloovige en ik behoor niet tot de afgodendienaars,
(80) En zijn volk spotte met hem, en hij zeide: Wilt gij met mij over God twisten? Hij heeft mij op den rechten weg geleid, en ik vrees hen niet, die gij naast hem plaatst, tenzij God iets verlangt; want hij is alwetend. Zult gij dit niet in overweging nemen?
(81) En hoe zou ik vreezen, wat zij, naast God plaatsen, naardien gij niet vreest goden naast hem te plaatsen, zonder dat God u daartoe eenige macht heeft gegeven? Zeg: welke der beide partijen is de zekerste, indien gij het verstaat?

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

Do you punish the human in the grave?

Yeees, yeeeeeeeeeeeeees!!!
Punish da bad human!
Put da human in da grave and punish, punish!!!!
Encore, encore!!!
You bad man and you bad woman!
Kneel in da grave!!
Deeper!!!
Deeper!!!
And punish!
Punish!!!
O yeaaaaah!
O yeaaah!!
Let us punish da human!!!
Nica grave!
Very nice grave!
Yeaaaah!!
Punish in da grave!!!
Feels so goody goody!!!!
Like da punishment, you stupid human?
Like da grave?
Like da punishment in da grave?
Yeaaaaaaah, stupid man, you stupid woman, stupid humans in da graaaaaaave in da graaaave!!!!
Yeeeeeeeeeeeeeeeees!!!!!!!!!!!

[revoleto]

My dear brother
Must be good and do good deeds in this world

You are responsible for the all your actions
allah will ask you about all what you did
Both small and large
Must be prepared
God says in the Holy Qur'an

24. "But stop them, verily they are to be questioned.
25. "What is the matter with you? Why do you not help one another (as you used to do in the world)?"
26. Nay, but that Day they shall surrender,
27. And they will turn to one another and question one another.
28. They will say: "It was you who used to come to us from the right side [i.e. from the right side of one of us and beautify for us every evil, order us for polytheism, and stop us from the truth i.e. Islamic Monotheism and from every good deed]."
29. They will reply: "Nay, you yourselves were not believers.
30. "And we had no authority over you. Nay! But you were transgressing people (disobedient, polytheists, and disbelievers).
31. "So now the Word of our Lord has been justified against us, that we shall certainly (have to) taste (the torment).
32. "So we led you astray because we were ourselves astray."
33. Then verily, that Day, they will (all) share in the torment.
34. Certainly, that is how We deal with Al-Mujrimun (polytheists, sinners, criminals, the disobedient to Allah, etc.).
35. Truly, when it was said to them: La ilaha ill-Allah "(none has the right to be worshipped but Allah)," they puffed themselves up with pride (i.e. denied it).
36. And (they) said: "Are we going to abandon our aliha (gods) for the sake of a mad poet?
37. Nay! he (Muhammad) has come with the truth (i.e. Allah's Religion - Islamic Monotheism and this Qur'an) and he confirms the Messengers (before him who brought Allah's religion - Islamic Monotheism).
38. Verily, you (pagans of Makkah) are going to taste the painful torment;
39. And you will be requited nothing except for what you used to do (evil deeds, sins, and Allah's disobedience which you used to do in this world);
40. Save the chosen slaves of Allah (faithful, obedient, true believers of Islamic Monotheism).
41. For them there will be a known provision (in Paradise).
42. Fruits; and they shall be honoured,
43. In the Gardens of delight (Paradise),
44. Facing one another on thrones,
45. Round them will be passed a cup of pure wine;
46. White, delicious to the drinkers,
47. Neither they will have Ghoul (any kind of hurt, abdominal pain, headache, a sin, etc.) from that, nor will they suffer intoxication therefrom.
48. And with them will be chaste females, restraining their glances (desiring none except their husbands), with wide and beautiful eyes.
49. (Delicate and pure) as if they were (hidden) eggs (well) preserved.
50. Then they will turn to one another, mutually questioning.
51. A speaker of them will say: "Verily, I had a companion (in the world),
52. Who used to say: "Are you among those who believe (in resurrection after death).
53. "(That) when we die and become dust and bones, shall we indeed (be raised up) to receive reward or punishment (according to our deeds)?"
54. (The man) said: "Will you look down?"
55. So he looked down and saw him in the midst of the Fire.
56. He said: "By Allah! You have nearly ruined me.
57. "Had it not been for the Grace of my Lord, I would certainly have been among those brought forth (to Hell)."
58. (Allah informs about that true believer that he said): "Are we then not to die (any more)?
59. "Except our first death, and we shall not be punished? (after we have entered Paradise)."
60. Truly, this is the supreme success!
61. For the like of this let the workers work.

(12) Indeed, it is We who bring the dead to life and record what they have put forth and what they left behind, and all things We have enumerated in a clear register


(13) And [for] every person We have imposed his fate upon his neck, and We will produce for him on the Day of Resurrection a record which he will encounter spread open

(49) And the record [of deeds] will be placed [open], and you will see the criminals fearful of that within it, and they will say, "Oh, woe to us! What is this book that leaves nothing small or great except that it has enumerated it?" And they will find what they did present [before them]. And your Lord does injustice to no one





(13) Het noodlot van iederen mensch hebben wij om zijn hals bevestigd, en op den dag der opstanding zullen wij hem een boek toonen, waarin zijne daden zijn vermeld en dat hem geopend zal worden aangeboden.

(49) Het boek, waarin ieders daden zijn opgeschreven, zal in zijne hand worden gegeven, en gij zult de zondaren in grooten schrik zien verkeeren, om hetgeen daar in staat, en zij zullen zeggen: Wee over ons! wat bedoelt dit boek? Het vergeet noch eene kleine daad noch eene groote, maar het stelt die allen op, en zij zullen voor hunne oogen vinden wat zij hebben verricht; en uw Heer zal met niemand onrechtvaardig handelen.

[revoleto]

http://www.youtube.com/watch?v=_L3Ptiv1ZWw

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

http://www.youtube.com/watch?v=_L3Ptiv1ZWw

http://www.youtube.com/watch?v=jHPOzQzk9Qo

[revoleto]

Oorspronkelijk geplaatst door Supe®Staaf

http://www.youtube.com/watch?v=jHPOzQzk9Qo

no my dear brother

(72) Zij zijn zeker ongeloovigen, die zeggen: waarlijk, Christus, de zoon van Maria, is God, daar toch Christus zeide: O, kinderen Isra?ls! dient God, mijn Heer en de uwe; wie een ander naast God plaatst, zal door God van het paradijs uitgesloten worden, en het hellevuur zal zijne woning zijn; en de goddeloozen zullen niemand hebben, die hen helpt.
(73) Zij zijn waarlijk ongeloovigen, die zeggen: God is de derde der drie?enheid, want er is geen God behalve den eenigen God, en indien zij niet terugkomen van hetgeen zij zeggen, eene pijnlijke straf zal hun worden opgelegd, daar zij ongeloovigen zijn.
(74) Zullen zij dus niet tot God terugkeeren en hem vergiffenis vragen? God is genadig en barmhartig.
(75) Christus, de zoon van Maria, is niets meer dan een apostel: andere apostels zijn hem voorafgegaan, en zijne moeder was eene vrouw van waarheid. Zij beiden gebruikten voedsel. Gij ziet hoe wij de teekenen Gods onder hen openbaarden, en ziet dan hoe zij zich afwenden.
(76) Zeg hun: wilt gij aanbidden naast God, wat u kan deren noch nuttig zijn? God hoort en ziet.




(72) They have certainly disbelieved who say, "Allah is the Messiah, the son of Mary" while the Messiah has said, "O Children of Israel, worship Allah, my Lord and your Lord." Indeed, he who associates others with Allah – Allah has forbidden him Paradise, and his refuge is the Fire. And there are not for the wrongdoers any helpers.
(73) They have certainly disbelieved who say, " Allah is the third of three." And there is no god except one God. And if they do not desist from what they are saying, there will surely afflict the disbelievers among them a painful punishment.
(74) So will they not repent to Allah and seek His forgiveness? And Allah is Forgiving and Merciful.
(75) . The Messiah, son of Mary, was not but a messenger; [other] messengers have passed on before him. And his mother was a supporter of truth. They both used to eat food. Look how We make clear to them the signs; then look how they are deluded.
(76) Say, "Do you worship besides Allah that which holds for you no [power of] harm or benefit while it is Allah who is the Hearing, the Knowing?"

http://www.youtube.com/watch?v=2QN_MwMpOso

http://www.youtube.com/watch?v=WFt0Q2vPLqI

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

no my dear brother

yes my dear sister

(72) Zij zijn zeker ongeloovigen, die zeggen: waarlijk, Christus, de zoon van Maria, is God, daar toch Christus zeide: O, kinderen Isra?ls! dient God, mijn Heer en de uwe; wie een ander naast God plaatst, zal door God van het paradijs uitgesloten worden, en het hellevuur zal zijne woning zijn; en de goddeloozen zullen niemand hebben, die hen helpt.
(73) Zij zijn waarlijk ongeloovigen, die zeggen: God is de derde der drie?enheid, want er is geen God behalve den eenigen God, en indien zij niet terugkomen van hetgeen zij zeggen, eene pijnlijke straf zal hun worden opgelegd, daar zij ongeloovigen zijn.
(74) Zullen zij dus niet tot God terugkeeren en hem vergiffenis vragen? God is genadig en barmhartig.
(75) Christus, de zoon van Maria, is niets meer dan een apostel: andere apostels zijn hem voorafgegaan, en zijne moeder was eene vrouw van waarheid. Zij beiden gebruikten voedsel. Gij ziet hoe wij de teekenen Gods onder hen openbaarden, en ziet dan hoe zij zich afwenden.
(76) Zeg hun: wilt gij aanbidden naast God, wat u kan deren noch nuttig zijn? God hoort en ziet.




(72) They have certainly disbelieved who say, "Allah is the Messiah, the son of Mary" while the Messiah has said, "O Children of Israel, worship Allah, my Lord and your Lord." Indeed, he who associates others with Allah – Allah has forbidden him Paradise, and his refuge is the Fire. And there are not for the wrongdoers any helpers.
(73) They have certainly disbelieved who say, " Allah is the third of three." And there is no god except one God. And if they do not desist from what they are saying, there will surely afflict the disbelievers among them a painful punishment.
(74) So will they not repent to Allah and seek His forgiveness? And Allah is Forgiving and Merciful.
(75) . The Messiah, son of Mary, was not but a messenger; [other] messengers have passed on before him. And his mother was a supporter of truth. They both used to eat food. Look how We make clear to them the signs; then look how they are deluded.
(76) Say, "Do you worship besides Allah that which holds for you no [power of] harm or benefit while it is Allah who is the Hearing, the Knowing?"

http://www.youtube.com/watch?v=2QN_MwMpOso

http://www.youtube.com/watch?v=WFt0Q2vPLqI

Integraalrekening
(Doorverwezen vanaf Integralen)
Ga naar: navigatie, zoeken
De oppervlakte van S is de integraal van f(x) tussen de curve y = f(x) en de x-as in het interval [a, b].

De integraalrekening is een onderdeel van de wiskunde, in het bijzonder van de analyse. Men gebruikt hierin integralen voor het berekenen van totalen, zoals de totale oppervlakte onder een grafiek, de totale verandering van een gegeven grootheid als voor elk moment de verandering per tijdseenheid gegeven is of het berekenen van de massa van een voorwerp als de dichtheid op elk punt gegeven is.

In het eenvoudigste intuïtieve geval berekent men met een bepaalde integraal van een functie de oppervlakte begrensd door de grafiek van de functie en de horizontale coördinaatas, tussen twee verticale lijnen. De integraal van een functie f over een interval [a,b] wordt genoteerd als

\int_a^b f(x)\,{\rm d}x

Het resultaat is de oppervlakte S onder de grafiek.

De integraalrekening is verbonden met de differentiaalrekening door de begrippen van de afgeleide en de primitieve van een functie (de primitieve van een functie is gelijk aan de onbepaalde integraal), en door de twee hoofdstellingen van de infinitesimaalrekening, die zeggen dat differentiëren en integreren inverse bewerkingen zijn.

Het begrip kan uitgebreid worden naar meer complexe intervallen, naar integratie over meerdere veranderlijken, enz. Afhankelijk van de gebruikte functies kan de berekening van integralen een ingewikkeld probleem vormen, waarvoor diverse rekentechnieken zijn ontwikkeld.
Inhoud
[verbergen]

1 Inleiding
2 Geschiedenis
2.1 Intregaalrekening in voor-analytische tijden
2.2 Newton en Leibniz
2.3 Formaliseren van integralen
2.4 Notatie
3 Hoofdstelling van de integraalrekening
4 Integratietechnieken
5 Uitbreidingen
5.1 Oneigenlijke integralen
5.2 Lijnintegralen
5.3 Meervoudige integralen
6 Voorbeeld
7 Formele definitie
7.1 Riemannintegratie
7.2 Lebesgue-integratie
7.3 Andere definities
8 Voetnoten

[bewerken] Inleiding

Integralen komen in veel praktische situaties voor. Denk bijvoorbeeld aan een zwembad. Voor een rechthoekig zwembad kunnen wij aan de hand van de lengte, breedte en diepte relatief gemakkelijk omtrek, oppervlakte en volume (de hoeveelheid water in het zwembad) bepalen. Maar als het een ovaal zwembad is met een afgeronde bodem, vraagt de berekening van deze grootheden om integralen. In veel praktische situaties kunnen eenvoudige benaderingen volstaan, maar in bijvoorbeeld de fijnmechanica is een hoge nauwkeurigheid vereist.
Benaderingen van de integraal van √x van 0 tot 1, met ■ 5 rechter voorbeelden (boven) en ■ 12 linker voorbeelden (onder)

Beschouw de kromme y = √x tussen x = 0 en x = 1. Wat is de oppervlakte onder deze kromme, in het interval van 0 tot 1? Deze oppervlakte noemen we de integraal van de functie \scriptstyle f(x)=\sqrt x, en noteren dit als:

\int_0^1 \sqrt x \, \operatorname{d}x.

We benaderen deze oppervlakte met rechthoeken. Als eerste benadering zouden we het eenheidsvierkant kunnen nemen dat wordt gegeven door de zijden x = 0 tot x = 1 en y = f(0) = 0 en y = f(1) = 1. De oppervlakte daarvan is gelijk aan 1. De werkelijke waarde van de integraal moet dus iets kleiner dan 1 zijn. Een betere benadering krijgen we door benaderingsrechthoeken met een geringere breedte, bijvoorbeeld met breedte 1/5. We richten rechthoeken op boven de intervallen [0,1⁄5], [1⁄5,2⁄5], en zo verder tot 1. De rechthoeken zijn zo hoog als de hoogte van de kromme aan de rechterkant van het interval, dus achtereenvolgens √1⁄5, √2⁄5, en zo verder tot √1 = 1. Als wij de oppervlakten van deze rechthoeken bij elkaar optellen, krijgen we als benadering voor de gezochte integraal:

\sqrt {\tfrac 15}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 25}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 35}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 45}\cdot \tfrac 15 +\sqrt 1 \cdot \tfrac 15 \approx 0{,}7497.

We kunnen gemakkelijk inzien dat de benadering nog steeds te groot is. Gebruik van meer tussenstappen geeft een betere benadering: met 12 deelintervallen van breedte 1/12, krijgen we een benaderende waarde voor de oppervlakte van 0,7036. Aangezien de kromme stijgend is, zal deze benadering te groot zijn. Nemen we zoals afgebeeld de hoogte van de rechthoeken gelijk aan de functiewaarde in het beginpunt van het deelinterval dan krijgen we als benadering de waarde 0,6203, kleiner dan de gezochte oppervlakte.

Door steeds smallere rechthoeken te nemen, wordt de benadering steeds beter. De limiet in bepaalde zin van dit proces is de integraal.

De notatie

\int f(x)\operatorname{d}x

symboliseert dit limietproces en suggereert de integraal als een som, aangeduid door de langgerekte S, van oneindig veel rechthoeken met als hoogte de functiewaarden f(x) en infinitesimale (oneindig kleine) breedtes dx.

Wat de eigenlijke berekening van integralen betreft, is de hoofdstelling van de integraalrekening, die wij te danken hebben aan Newton en Leibniz, de fundamentele schakel tussen de operaties van differentiëren en integratie. Toegepast op de vierkantswortelkromme, f(x) =x1/2, zegt de hoofdstelling dat de gevraagde integraal eenvoudigweg gelijk is aan F(1) - F(0), waarbij F(x) = 2/3x3/2 de primitieve van de integrand f is, en 0 en 1 de grenzen van het integratie-|interval zijn. Dus de exacte waarde van het gebied onder de kromme wordt formeel als volgt berekend

\int_0^1 \sqrt x \,\operatorname{d}x = \int_0^1 x^{1/2} \operatorname{d}x = \tfrac 23\cdot 1^{3/2} -\tfrac 23\cdot 0^{3/2} = \tfrac 23.

Historisch gezien definieerde Riemann, na het mislukken van eerdere pogingen om infinitesimalen strikt te interpreteren, integralen als een limiet van de gewogen sommen, zodat de dx de grenzen van een verschil (namelijk de breedte van het interval) suggereerde. De tekortkomingen van Riemanns afhankelijkheid van intervallen en continuïteit motiveerde nieuwere definities, met name de Lebesgue-integraal. De Lebesgue-integraal is gebaseerd op haar vermogen het idee van "maat" op een veel flexibelere wijze uit te breiden. De notatie

\int_A f \operatorname{d}\mu of \int_A f (x)\mu (\operatorname{d}x)

verwijst dus naar een gewogen som, waarin de functiewaarden worden gepartitioneerd, waar μ het gewicht meet, dat aan elke waarde moet worden toegekend. Hier duidt A de regio van integratie aan.

Differentiaalmeetkunde, met zijn "calculus op variëteiten", geeft de bekende notatie nog een andere interpretatie. Nu vormen f(x) en dx een differentiaalvorm, ω = f(x) dx, een nieuwe differentiaaloperator d, die bekend staat als de uitwendige afgeleide wordt weergegeven, en gaat de hoofdstelling over in de meer algemene stelling van Stokes,

\int_{A} \bold{\operatorname{d}} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!

van waaruit de stelling van Green, de divergentiestelling en de hoofdstelling van de calculus weer volgen.

Meer recent zijn infinitesimalen in strenge vorm opnieuw verschenen, bijvoorbeeld in moderne innovaties, zoals de niet-standaard analyse. Niet alleen rechtvaardigen deze methoden de intuïties van de pioniers; ze leiden ook tot nieuwe wiskunde.

Hoewel er verschillen zijn tussen deze concepten van een integraal, bestaat er ook een aanzienlijke overlap. Zo kan de grootte van het oppervlak van het ovale zwembad als een meetkundige ellips, een som van infinitesimalen, een Riemann-integraal, een Lebesgue-integraal of als een variëteit met een differentiële vorm worden gemodelleerd. Uitgaande om het even welke van deze concepten zal het berekende resultaat hetzelfde zijn.
[bewerken] Geschiedenis
[bewerken] Intregaalrekening in voor-analytische tijden

De voorlopers van de integraalrekening kunnen zover terug worden getraceerd als het oude Egypte ca. 1800 v.Chr., met de Moskou-papyrus, waaruit kennis blijkt van een formule om het volume van een piramidale frustum te berekenen. De eerste gedocumenteerde systematische techniek die in staat is om integralen te bepalen is de uitputtingsmethode van Eudoxus (ca. 370 v.Chr.). Eudoxus probeerde oppervlakten en volumes te vinden door ze op te breken in een oneindig aantal vormen, waarvan de oppervlakte of het volume al bekend was. Deze methode werd verder ontwikkeld en gebruikt door Archimedes, onder andere om oppervlakten van parabolen te berekenen en voor een benadering van de oppervlakte van een cirkel. Vergelijkbare methodes werden in China rond de 3e eeuw na Christus onafhankelijk door Liu Hui ontwikkeld, die deze methoden eveneens gebruikte om de oppervlakte van de cirkel te bepalen. Deze methode werd later in de 5e eeuw door de Chinese vader en zoon, de wiskundigen Zu Chongzhi en Zu Geng, gebruikt om het volume van een bol te vinden.[1] In diezelfde eeuw maakte de Indiase wiskundige Aryabhata gebruik van een soortgelijke methode voor het vinden van het volume van een kubus.[2]

De volgende grote stap in integraalrekening vond plaats in het 11e-eeuwse in Baghdad residerende Kalifaat van de Abbasiden, waar de Islamitische wiskundige Ibn al-Haytham (in Europa beter bekend als Alhazen) het probleem dat nu bekend staat als het "probleem van Alhazen", in zijn Boek van Optica formuleerde. De oplossing leidt tot een vierdegraadsvergelijking. Bij het oplossen van dit probleem maakte Alhazen gebruik van integratie om zo het volume van een paraboloïde te vinden. Door gebruik te maken van wiskundige inductie was hij in staat om zijn resultaat voor de integralen van polynomen tot aan de vierde graad te veralgemenen. Hij kwam zo dicht bij het vinden van een algemene formule voor de integralen van veeltermen, maar hij hield zich niet bezig met veeltermen van een hogere dan de vierde graad. [3] Enkele ideeën uit de integraalrekening worden ook aangetroffen in de Siddhanta Shiromani, een 12e-eeuwse astronomie tekst van de hand van de Indiase wiskundige Bhāskara II.

De volgende belangrijke doorbraak in de integraalrekening moest tot het begin van de 16e eeuw wachten. Vanaf dat moment werd in de werken van Bonaventura Cavalieri met het naar hem genoemde principe dat de basis is van de methode van ondeelbaarheid van continua, en van Pierre de Fermat, een eerste begin gemaakt met het leggen van het fundament van de moderne analyse. Verdere stappen werden in het begin van de 17e eeuw door Barrow en Torricelli gezet, welke laatste de eerste hints voor een verbinding tussen integraalrekening en differentiatie opmerkte.

Rond dezelfde tijd werd er ook een grote hoeveelheid werk verzet door Japanse wiskundigen, met name door Seki Kōwa.[4] Hij leverde een aantal bijdragen, voornamelijk op het gebied van methoden voor het bepalen van oppervlakten van figuren waarbij hij gebruik maakte van integralen. Daarbij breidde hij de uitputtingsmethode uit.
[bewerken] Newton en Leibniz

De belangrijkste vooruitgang in de integraalrekening werd in de 17e eeuw ongeveer tegelijkertijd met de differentiaalrekening uitgevonden door Isaac Newton en Gottfried Leibniz. Beiden ontdekten onafhankelijk van elkaar de hoofdstelling van de calculus. Deze stelling legt een verbinding tussen integraalrekening en differentiatie. Deze verbinding kan worden benut door een te integreren functie op te vatten als de afgeleide van de te bepalen 'primitieve' integraal. Zodoende kan een veel bredere klasse van integratieproblemen dan voorheen opgelost worden. Deze infinitesimaalrekening liet een nauwkeurige analyse van functies binnen continue domeinen toe. Dit raamwerk groeide uiteindelijk uit tot de moderne analyse. De moderne notatie voor integralen is direct afkomstig uit het werk van Leibniz.
[bewerken] Formaliseren van integralen

Hoewel Newton en Leibniz een systematische aanpak van integratie uitwerkten, ontbrak in hun werk een zekere mate van gestrengheid. Dit gaf de Ierse filosoof bisschop Berkeley de gelegenheid het begrip infinitesimaal aan te vallen als "de geesten van vertrokken hoeveelheden". De analyse kwam op een steviger voetstuk door de ontwikkeling van het begrip limiet. In de eerste helft van de 19e eeuw legde Cauchy het eerste fundament voor de analyse. In het midden van de 19e eeuw formuleerde Riemann de eerste rigoureus geformuleerde theorie van de integraalrekening. Hoewel alle stuksgewijs begrensde continue functies over een begrensd interval Riemann-integreerbaar zijn, werden later meer algemene functies onderzocht, waarop Riemanns definitie niet van toepassing was. Rond 1900 formuleerde Lebesgue een andere definitie van een integraal, die was gebaseerd op het begrip maat uit de maattheorie (een deelgebied van de reële analyse). Later werden ook nog andere definities van een integraal, alle uitbreidingen van de benaderingen van Riemann en Lebesgue, voorgesteld.

De eerste toepassingen van de integraalrekening werden gevonden op het gebied van de mechanica. Het concept van de integraal is in de loop van de tijd op allerlei manieren veralgemeend en toegepast op allerlei situaties.
[bewerken] Notatie

De notatie met de "lange s" ſ werd door Leibniz geïntroduceerd. De integraal \int_a^b f(x)\,\operatorname{d}x wordt daarin gezien als een limiet van \sum f(x)\Delta x; het ∫-teken is de limietvorm van het sommatieteken en stelt de integratie voor, a en b zijn de eindpunten van het interval, f(x) is de functie die geïntegreerd wordt, en dx is de limiet van Δx en stelt een infinitesimaal klein stukje van de x-as voor. Historisch gezien stelde dx een infinitesimaal voor, en ſ (de langgerekte s) betekende "som" (Latijn: ſumma, summa). Moderne theorieën zijn hier echter niet meer op gebaseerd en de traditionele symbolen zijn nu slechts een wiskundige notatie

Isaac Newton maakte om integratie aan te geven gebruik van een kleine verticaal balkje boven een variabele. Ook plaatste hij de betreffende variabele wel in een vierhoek. Het verticale balkje wordt gemakkelijk verward met \dot{x} of x'\,\!, die Newton gebruikte om differentiatie aan te geven, en de rechthoeknotatie bleek voor printers moeilijk te reproduceren. Newtons notatie wordt nog weinig gebruikt. .
[bewerken] Hoofdstelling van de integraalrekening
1rightarrow.png Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De hoofdstelling (of grondformule) van de integraalrekening legt een verband tussen een primitieve functie en de integraal.

Stel f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R} is continu en f is de afgeleide van F , dat wil zeggen \,F'=f, dan is:

\int_a^b {f\left( x \right)\operatorname{d}x = F\left( b \right) - F\left( a \right)}.

[bewerken] Integratietechnieken

Gewoonlijk zal een primitieve functie niet op triviale wijze bepaald kunnen worden. Om primitieve functies te bepalen zijn er daarom een aantal technieken ter beschikking waarvan de belangrijkste hieronder vermeld staan. Ze hebben tot doel de integraal anders te schrijven, mogelijk te vereenvoudigen, zodat een primitieve functie gemakkelijker gevonden kan worden.

Integratie door substitutie
Partiële integratie
M.b.v. breuksplitsing

Zelfs wanneer het met deze technieken niet lukt, kan het toch mogelijk zijn om een bepaalde integraal te evalueren. Een veel gebruikte techniek voor bepaalde gevallen is residurekening. Via de Formule van Parseval kunnen sommige integralen in een eindige som worden omgezet. Dit wordt vooral bij berekeningen met Fouriertransformaties gebruikt. Soms kan een integraal zelfs door middel van een specifiek trucje worden gevonden, zoals de Gauss-integraal.

Lijst met standaard-integralen

[bewerken] Uitbreidingen

Het begrip integraal en de bijhorende integratietheorie blijft niet beperkt tot het eenvoudig geval van integratie van reële eendimensionale functies. Verschillende uitbreidingen zijn mogelijk, zoals integratie van complexe functies, integratie over andere intervallen en integratie in meerdere variabelen.
[bewerken] Oneigenlijke integralen
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Oneigenlijke integraal voor meer informatie

In principe is de Riemannintegraal enkel gedefinieerd voor eindige intervallen. In sommige gevallen zal het echter voorkomen dat we wensen te integreren over een oneindig interval. Een ander probleem kan zich stellen wanneer de te integreren functie een discontinuïteit vertoont in het beschouwde interval en er sprake is van een verticale asymptoot. Een manier om deze problemen aan te pakken bestaat er in om een limiet van de integraal te beschouwen. Een eenvoudig voorbeeld van zo'n integraal is:

\int_0^{+\infty}\ {f(x)}\,\operatorname{d}x\,

[bewerken] Lijnintegralen
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel lijnintegraal voor meer informatie

Het gebied waarover men integreert hoeft niet beperkt te blijven tot een eendimensionale verzameling. Indien men integreert langs een kromme in een meerdimensionaal domein, dan spreken we van een lijnintegraal. Indien de kromme gesloten is, spreekt men van een contourintegraal of kringintegraal.

Lijnintegralen worden onder andere in het complexe vlak gedefinieerd. Stel dat c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C} een parameternotatie is van een gladde boog C, en f\rightarrow\mathbb{C} is een complexe functie waarbij C\subset D, dan definieert men de complexe integraal van de functie f(z) langs de kromme C :

\int_{C}f(z)\operatorname{d}z=\int_{a}^{b}f(c(t))c '(t)\operatorname{d}t

Ook in de vectorcalculus worden lijnintegralen berekend. Veronderstel een scalair veld f : Rn → R, en een boog C, voorgesteld door de parameternotatie r(t) waarbij t ∈ [a, b], dan wordt de lijnintegraal gedefinieerd als

\int_C f\ \operatorname{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| \operatorname{d}t.

Een eenvoudige toepassing van deze formule bekomt men wanneer f = 1, men integreert dan immers over de volledige lengte van de kromme met de waarde 1: op die manier berekent men uiteindelijk de lengte van de kromme.

Op een analoge manier wordt dit voor een vectorveld F : Rn → Rn op dezelfde boog:

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\operatorname{d}\math bf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\ope ratorname{d}t.

[bewerken] Meervoudige integralen
1rightarrow.png Zie Meervoudige integraal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het integratie-interval hoeft geen kromme te zijn met één veranderlijke parameter. Men kan ook integreren over meer variabelen, men integreert dan bijvoorbeeld over een oppervlak of een volume. Men spreekt dan van respectievelijk een oppervlakte-integraal en een volume-integraal. In het eenvoudige geval van een integraal van een functie f over een deel A van het xy-vlak krijgen we:

\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

Deze integraal kan in sommige gevallen berekend worden als herhaling van twee eendimensionale integralen. Bijvoorbeeld als A een rechthoek is met zijden evenwijdig de assen:

\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\ = \int_a^b \left( \int_c^d f\left(x,y\right) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y .

Indien er drie veranderlijken zijn spreekt men van een volume-integraal

\iiint f\left(x,y,z\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\

In de vectoranalyse leggen stellingen zoals de Stelling van Green en de divergentiestelling verbanden tussen verschillende soorten van deze integralen.
[bewerken] Voorbeeld
Als voorbeeld berekenen we de oppervlakte tussen de x-as en de sinusfunctie op het interval [0,π]

Omdat de sinusfunctie continu is, volgt uit de hoofdstelling van de integraalrekening, dat het volstaat een functie te vinden die als afgeleide sin(x) heeft. We weten dat de afgeleide van cos(x) gelijk is aan -sin(x), bijgevolg is -cos(x) een primitieve functie van sin(x). De rekenregels met betrekking tot het bepalen van primitieven laten we hier achterwege. We vinden dus volgend resultaat.

\int_0^\pi {\sin \left( x \right)\operatorname{d}x} = [-\cos \left( x \right)]_0^\pi = - \cos \left( \pi \right) - \left( { - \cos \left( 0 \right)} \right) = 1 + 1 = 2

Opp sin.gif
[bewerken] Formele definitie

Er zijn verschillende manieren om de integraal van een functie te definiëren. De gebruikelijkste zijn de Riemann- en de Lebesgue-integraal.
[bewerken] Riemannintegratie
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Riemannintegratie voor een grondigere definitie.

Riemannintegratie, ontwikkeld door Bernhard Riemann is het eenvoudigst te begrijpen. Bij Riemannintegratie van een functie wordt het interval [a,b] onderverdeeld in smalle deelintervallen. Men verdeelt als het ware de oppervlakte onder de grafiek in smalle rechthoekjes. Hoe smaller men deze rechthoekjes maakt, hoe beter de totale oppervlakte van al deze rechthoekjes samen de werkelijke oppervlakte benadert. Deze definitie sluit intuïtief ook aan bij de historische notaties van integralen. Men berekent in elk punt de oppervlakte van een rechthoekje door vermenigvuldiging van de hoogte f(x) met de breedte dx, en men sommeert dit over het volledig interval.
[bewerken] Lebesgue-integratie
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Lebesgue-integraal voor een grondiger definitie.

De Lebesgue-integratie werd door Henri Lebesgue gedefinieerd. Lebesgue-integratie is gedefinieerd door convergentie van functies en kan toegepast worden op functies waarvoor de Riemannintegraal niet gedefinieerd is. Wel is het zo dat wanneer de Riemannintegraal van een functie bestaat, de Lebesgue-integraal ook bestaat en gelijk is aan de Riemannintegraal.
[bewerken] Andere definities

Naast de Riemann- en Lebesgue-integralen bestaan nog een aantal andere integralen, waaronder:

De Daniell-integraal.
De Darbouxintegraal, een variatie van de Riemannintegraal.
De Denjoy-integraal, ook bekend als Henstock-Kurzweil-integraal), een uitbreiding van zowel Riemann- als Lebesgue-integralen en de Perron-integraal.
De Haar-integraal is de Lebesgue-integraal ten opzichte van de Haar-maat van een Lie-groep.
De Henstock-Kurzweil-Stieltjes-integraal of HK-Stieltjes-integraal.
De Lebesgue-Stieltjes-integraal of Lebesgue-Radon integraal.
De Riemann-Stieltjes-integraal, een uitbreiding van de Riemannintegraal.
De Raes-integraal, verdere veralgemening van de integraalrekening.

[bewerken] Voetnoten

↑ (en) Shea, Marilyn, Biografie van Zu Chongzhi, mei 2007, zie hier, Universiteit van Maine, Katz, Victor J., Een Geschiedenis van de Wiskunde, een beknopte versie, Addison-Wesley, ISBN 978-0 -321-16193-2, 2004, pag 125-126))
↑ Victor J. Katz (1995), Ideas of Calculus in Islam and India" (Ideeën van de analyse in de islam en India), Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165]
↑ Victor J. Katz, (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India" (Ideeën uit de analyse in de Islam en India), Mathematics Magazine 68 (3): pag. 163-174 [165-9 en 173-4]
↑ (en) Seki Kōwa


http://www.youtube.com/user/TheAthei...e=results_main
http://www.youtube.com/user/richardd...e=results_main

[koppijn]

Oorspronkelijk geplaatst door Supe®Staaf

yes my dear sister



Integraalrekening
(Doorverwezen vanaf Integralen)
Ga naar: navigatie, zoeken
De oppervlakte van S is de integraal van f(x) tussen de curve y = f(x) en de x-as in het interval [a, b].

De integraalrekening is een onderdeel van de wiskunde, in het bijzonder van de analyse. Men gebruikt hierin integralen voor het berekenen van totalen, zoals de totale oppervlakte onder een grafiek, de totale verandering van een gegeven grootheid als voor elk moment de verandering per tijdseenheid gegeven is of het berekenen van de massa van een voorwerp als de dichtheid op elk punt gegeven is.

In het eenvoudigste intuïtieve geval berekent men met een bepaalde integraal van een functie de oppervlakte begrensd door de grafiek van de functie en de horizontale coördinaatas, tussen twee verticale lijnen. De integraal van een functie f over een interval [a,b] wordt genoteerd als

\int_a^b f(x)\,{\rm d}x

Het resultaat is de oppervlakte S onder de grafiek.

De integraalrekening is verbonden met de differentiaalrekening door de begrippen van de afgeleide en de primitieve van een functie (de primitieve van een functie is gelijk aan de onbepaalde integraal), en door de twee hoofdstellingen van de infinitesimaalrekening, die zeggen dat differentiëren en integreren inverse bewerkingen zijn.

Het begrip kan uitgebreid worden naar meer complexe intervallen, naar integratie over meerdere veranderlijken, enz. Afhankelijk van de gebruikte functies kan de berekening van integralen een ingewikkeld probleem vormen, waarvoor diverse rekentechnieken zijn ontwikkeld.
Inhoud
[verbergen]

1 Inleiding
2 Geschiedenis
2.1 Intregaalrekening in voor-analytische tijden
2.2 Newton en Leibniz
2.3 Formaliseren van integralen
2.4 Notatie
3 Hoofdstelling van de integraalrekening
4 Integratietechnieken
5 Uitbreidingen
5.1 Oneigenlijke integralen
5.2 Lijnintegralen
5.3 Meervoudige integralen
6 Voorbeeld
7 Formele definitie
7.1 Riemannintegratie
7.2 Lebesgue-integratie
7.3 Andere definities
8 Voetnoten

[bewerken] Inleiding

Integralen komen in veel praktische situaties voor. Denk bijvoorbeeld aan een zwembad. Voor een rechthoekig zwembad kunnen wij aan de hand van de lengte, breedte en diepte relatief gemakkelijk omtrek, oppervlakte en volume (de hoeveelheid water in het zwembad) bepalen. Maar als het een ovaal zwembad is met een afgeronde bodem, vraagt de berekening van deze grootheden om integralen. In veel praktische situaties kunnen eenvoudige benaderingen volstaan, maar in bijvoorbeeld de fijnmechanica is een hoge nauwkeurigheid vereist.
Benaderingen van de integraal van √x van 0 tot 1, met ■ 5 rechter voorbeelden (boven) en ■ 12 linker voorbeelden (onder)

Beschouw de kromme y = √x tussen x = 0 en x = 1. Wat is de oppervlakte onder deze kromme, in het interval van 0 tot 1? Deze oppervlakte noemen we de integraal van de functie \scriptstyle f(x)=\sqrt x, en noteren dit als:

\int_0^1 \sqrt x \, \operatorname{d}x.

We benaderen deze oppervlakte met rechthoeken. Als eerste benadering zouden we het eenheidsvierkant kunnen nemen dat wordt gegeven door de zijden x = 0 tot x = 1 en y = f(0) = 0 en y = f(1) = 1. De oppervlakte daarvan is gelijk aan 1. De werkelijke waarde van de integraal moet dus iets kleiner dan 1 zijn. Een betere benadering krijgen we door benaderingsrechthoeken met een geringere breedte, bijvoorbeeld met breedte 1/5. We richten rechthoeken op boven de intervallen [0,1⁄5], [1⁄5,2⁄5], en zo verder tot 1. De rechthoeken zijn zo hoog als de hoogte van de kromme aan de rechterkant van het interval, dus achtereenvolgens √1⁄5, √2⁄5, en zo verder tot √1 = 1. Als wij de oppervlakten van deze rechthoeken bij elkaar optellen, krijgen we als benadering voor de gezochte integraal:

\sqrt {\tfrac 15}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 25}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 35}\cdot \tfrac 15 +\sqrt {\tfrac 45}\cdot \tfrac 15 +\sqrt 1 \cdot \tfrac 15 \approx 0{,}7497.

We kunnen gemakkelijk inzien dat de benadering nog steeds te groot is. Gebruik van meer tussenstappen geeft een betere benadering: met 12 deelintervallen van breedte 1/12, krijgen we een benaderende waarde voor de oppervlakte van 0,7036. Aangezien de kromme stijgend is, zal deze benadering te groot zijn. Nemen we zoals afgebeeld de hoogte van de rechthoeken gelijk aan de functiewaarde in het beginpunt van het deelinterval dan krijgen we als benadering de waarde 0,6203, kleiner dan de gezochte oppervlakte.

Door steeds smallere rechthoeken te nemen, wordt de benadering steeds beter. De limiet in bepaalde zin van dit proces is de integraal.

De notatie

\int f(x)\operatorname{d}x

symboliseert dit limietproces en suggereert de integraal als een som, aangeduid door de langgerekte S, van oneindig veel rechthoeken met als hoogte de functiewaarden f(x) en infinitesimale (oneindig kleine) breedtes dx.

Wat de eigenlijke berekening van integralen betreft, is de hoofdstelling van de integraalrekening, die wij te danken hebben aan Newton en Leibniz, de fundamentele schakel tussen de operaties van differentiëren en integratie. Toegepast op de vierkantswortelkromme, f(x) =x1/2, zegt de hoofdstelling dat de gevraagde integraal eenvoudigweg gelijk is aan F(1) - F(0), waarbij F(x) = 2/3x3/2 de primitieve van de integrand f is, en 0 en 1 de grenzen van het integratie-|interval zijn. Dus de exacte waarde van het gebied onder de kromme wordt formeel als volgt berekend

\int_0^1 \sqrt x \,\operatorname{d}x = \int_0^1 x^{1/2} \operatorname{d}x = \tfrac 23\cdot 1^{3/2} -\tfrac 23\cdot 0^{3/2} = \tfrac 23.

Historisch gezien definieerde Riemann, na het mislukken van eerdere pogingen om infinitesimalen strikt te interpreteren, integralen als een limiet van de gewogen sommen, zodat de dx de grenzen van een verschil (namelijk de breedte van het interval) suggereerde. De tekortkomingen van Riemanns afhankelijkheid van intervallen en continuïteit motiveerde nieuwere definities, met name de Lebesgue-integraal. De Lebesgue-integraal is gebaseerd op haar vermogen het idee van "maat" op een veel flexibelere wijze uit te breiden. De notatie

\int_A f \operatorname{d}\mu of \int_A f (x)\mu (\operatorname{d}x)

verwijst dus naar een gewogen som, waarin de functiewaarden worden gepartitioneerd, waar μ het gewicht meet, dat aan elke waarde moet worden toegekend. Hier duidt A de regio van integratie aan.

Differentiaalmeetkunde, met zijn "calculus op variëteiten", geeft de bekende notatie nog een andere interpretatie. Nu vormen f(x) en dx een differentiaalvorm, ω = f(x) dx, een nieuwe differentiaaloperator d, die bekend staat als de uitwendige afgeleide wordt weergegeven, en gaat de hoofdstelling over in de meer algemene stelling van Stokes,

\int_{A} \bold{\operatorname{d}} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!

van waaruit de stelling van Green, de divergentiestelling en de hoofdstelling van de calculus weer volgen.

Meer recent zijn infinitesimalen in strenge vorm opnieuw verschenen, bijvoorbeeld in moderne innovaties, zoals de niet-standaard analyse. Niet alleen rechtvaardigen deze methoden de intuïties van de pioniers; ze leiden ook tot nieuwe wiskunde.

Hoewel er verschillen zijn tussen deze concepten van een integraal, bestaat er ook een aanzienlijke overlap. Zo kan de grootte van het oppervlak van het ovale zwembad als een meetkundige ellips, een som van infinitesimalen, een Riemann-integraal, een Lebesgue-integraal of als een variëteit met een differentiële vorm worden gemodelleerd. Uitgaande om het even welke van deze concepten zal het berekende resultaat hetzelfde zijn.
[bewerken] Geschiedenis
[bewerken] Intregaalrekening in voor-analytische tijden

De voorlopers van de integraalrekening kunnen zover terug worden getraceerd als het oude Egypte ca. 1800 v.Chr., met de Moskou-papyrus, waaruit kennis blijkt van een formule om het volume van een piramidale frustum te berekenen. De eerste gedocumenteerde systematische techniek die in staat is om integralen te bepalen is de uitputtingsmethode van Eudoxus (ca. 370 v.Chr.). Eudoxus probeerde oppervlakten en volumes te vinden door ze op te breken in een oneindig aantal vormen, waarvan de oppervlakte of het volume al bekend was. Deze methode werd verder ontwikkeld en gebruikt door Archimedes, onder andere om oppervlakten van parabolen te berekenen en voor een benadering van de oppervlakte van een cirkel. Vergelijkbare methodes werden in China rond de 3e eeuw na Christus onafhankelijk door Liu Hui ontwikkeld, die deze methoden eveneens gebruikte om de oppervlakte van de cirkel te bepalen. Deze methode werd later in de 5e eeuw door de Chinese vader en zoon, de wiskundigen Zu Chongzhi en Zu Geng, gebruikt om het volume van een bol te vinden.[1] In diezelfde eeuw maakte de Indiase wiskundige Aryabhata gebruik van een soortgelijke methode voor het vinden van het volume van een kubus.[2]

De volgende grote stap in integraalrekening vond plaats in het 11e-eeuwse in Baghdad residerende Kalifaat van de Abbasiden, waar de Islamitische wiskundige Ibn al-Haytham (in Europa beter bekend als Alhazen) het probleem dat nu bekend staat als het "probleem van Alhazen", in zijn Boek van Optica formuleerde. De oplossing leidt tot een vierdegraadsvergelijking. Bij het oplossen van dit probleem maakte Alhazen gebruik van integratie om zo het volume van een paraboloïde te vinden. Door gebruik te maken van wiskundige inductie was hij in staat om zijn resultaat voor de integralen van polynomen tot aan de vierde graad te veralgemenen. Hij kwam zo dicht bij het vinden van een algemene formule voor de integralen van veeltermen, maar hij hield zich niet bezig met veeltermen van een hogere dan de vierde graad. [3] Enkele ideeën uit de integraalrekening worden ook aangetroffen in de Siddhanta Shiromani, een 12e-eeuwse astronomie tekst van de hand van de Indiase wiskundige Bhāskara II.

De volgende belangrijke doorbraak in de integraalrekening moest tot het begin van de 16e eeuw wachten. Vanaf dat moment werd in de werken van Bonaventura Cavalieri met het naar hem genoemde principe dat de basis is van de methode van ondeelbaarheid van continua, en van Pierre de Fermat, een eerste begin gemaakt met het leggen van het fundament van de moderne analyse. Verdere stappen werden in het begin van de 17e eeuw door Barrow en Torricelli gezet, welke laatste de eerste hints voor een verbinding tussen integraalrekening en differentiatie opmerkte.

Rond dezelfde tijd werd er ook een grote hoeveelheid werk verzet door Japanse wiskundigen, met name door Seki Kōwa.[4] Hij leverde een aantal bijdragen, voornamelijk op het gebied van methoden voor het bepalen van oppervlakten van figuren waarbij hij gebruik maakte van integralen. Daarbij breidde hij de uitputtingsmethode uit.
[bewerken] Newton en Leibniz

De belangrijkste vooruitgang in de integraalrekening werd in de 17e eeuw ongeveer tegelijkertijd met de differentiaalrekening uitgevonden door Isaac Newton en Gottfried Leibniz. Beiden ontdekten onafhankelijk van elkaar de hoofdstelling van de calculus. Deze stelling legt een verbinding tussen integraalrekening en differentiatie. Deze verbinding kan worden benut door een te integreren functie op te vatten als de afgeleide van de te bepalen 'primitieve' integraal. Zodoende kan een veel bredere klasse van integratieproblemen dan voorheen opgelost worden. Deze infinitesimaalrekening liet een nauwkeurige analyse van functies binnen continue domeinen toe. Dit raamwerk groeide uiteindelijk uit tot de moderne analyse. De moderne notatie voor integralen is direct afkomstig uit het werk van Leibniz.
[bewerken] Formaliseren van integralen

Hoewel Newton en Leibniz een systematische aanpak van integratie uitwerkten, ontbrak in hun werk een zekere mate van gestrengheid. Dit gaf de Ierse filosoof bisschop Berkeley de gelegenheid het begrip infinitesimaal aan te vallen als "de geesten van vertrokken hoeveelheden". De analyse kwam op een steviger voetstuk door de ontwikkeling van het begrip limiet. In de eerste helft van de 19e eeuw legde Cauchy het eerste fundament voor de analyse. In het midden van de 19e eeuw formuleerde Riemann de eerste rigoureus geformuleerde theorie van de integraalrekening. Hoewel alle stuksgewijs begrensde continue functies over een begrensd interval Riemann-integreerbaar zijn, werden later meer algemene functies onderzocht, waarop Riemanns definitie niet van toepassing was. Rond 1900 formuleerde Lebesgue een andere definitie van een integraal, die was gebaseerd op het begrip maat uit de maattheorie (een deelgebied van de reële analyse). Later werden ook nog andere definities van een integraal, alle uitbreidingen van de benaderingen van Riemann en Lebesgue, voorgesteld.

De eerste toepassingen van de integraalrekening werden gevonden op het gebied van de mechanica. Het concept van de integraal is in de loop van de tijd op allerlei manieren veralgemeend en toegepast op allerlei situaties.
[bewerken] Notatie

De notatie met de "lange s" ſ werd door Leibniz geïntroduceerd. De integraal \int_a^b f(x)\,\operatorname{d}x wordt daarin gezien als een limiet van \sum f(x)\Delta x; het ∫-teken is de limietvorm van het sommatieteken en stelt de integratie voor, a en b zijn de eindpunten van het interval, f(x) is de functie die geïntegreerd wordt, en dx is de limiet van Δx en stelt een infinitesimaal klein stukje van de x-as voor. Historisch gezien stelde dx een infinitesimaal voor, en ſ (de langgerekte s) betekende "som" (Latijn: ſumma, summa). Moderne theorieën zijn hier echter niet meer op gebaseerd en de traditionele symbolen zijn nu slechts een wiskundige notatie

Isaac Newton maakte om integratie aan te geven gebruik van een kleine verticaal balkje boven een variabele. Ook plaatste hij de betreffende variabele wel in een vierhoek. Het verticale balkje wordt gemakkelijk verward met \dot{x} of x'\,\!, die Newton gebruikte om differentiatie aan te geven, en de rechthoeknotatie bleek voor printers moeilijk te reproduceren. Newtons notatie wordt nog weinig gebruikt. .
[bewerken] Hoofdstelling van de integraalrekening
1rightarrow.png Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De hoofdstelling (of grondformule) van de integraalrekening legt een verband tussen een primitieve functie en de integraal.

Stel f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R} is continu en f is de afgeleide van F , dat wil zeggen \,F'=f, dan is:

\int_a^b {f\left( x \right)\operatorname{d}x = F\left( b \right) - F\left( a \right)}.

[bewerken] Integratietechnieken

Gewoonlijk zal een primitieve functie niet op triviale wijze bepaald kunnen worden. Om primitieve functies te bepalen zijn er daarom een aantal technieken ter beschikking waarvan de belangrijkste hieronder vermeld staan. Ze hebben tot doel de integraal anders te schrijven, mogelijk te vereenvoudigen, zodat een primitieve functie gemakkelijker gevonden kan worden.

Integratie door substitutie
Partiële integratie
M.b.v. breuksplitsing

Zelfs wanneer het met deze technieken niet lukt, kan het toch mogelijk zijn om een bepaalde integraal te evalueren. Een veel gebruikte techniek voor bepaalde gevallen is residurekening. Via de Formule van Parseval kunnen sommige integralen in een eindige som worden omgezet. Dit wordt vooral bij berekeningen met Fouriertransformaties gebruikt. Soms kan een integraal zelfs door middel van een specifiek trucje worden gevonden, zoals de Gauss-integraal.

Lijst met standaard-integralen

[bewerken] Uitbreidingen

Het begrip integraal en de bijhorende integratietheorie blijft niet beperkt tot het eenvoudig geval van integratie van reële eendimensionale functies. Verschillende uitbreidingen zijn mogelijk, zoals integratie van complexe functies, integratie over andere intervallen en integratie in meerdere variabelen.
[bewerken] Oneigenlijke integralen
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Oneigenlijke integraal voor meer informatie

In principe is de Riemannintegraal enkel gedefinieerd voor eindige intervallen. In sommige gevallen zal het echter voorkomen dat we wensen te integreren over een oneindig interval. Een ander probleem kan zich stellen wanneer de te integreren functie een discontinuïteit vertoont in het beschouwde interval en er sprake is van een verticale asymptoot. Een manier om deze problemen aan te pakken bestaat er in om een limiet van de integraal te beschouwen. Een eenvoudig voorbeeld van zo'n integraal is:

\int_0^{+\infty}\ {f(x)}\,\operatorname{d}x\,

[bewerken] Lijnintegralen
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel lijnintegraal voor meer informatie

Het gebied waarover men integreert hoeft niet beperkt te blijven tot een eendimensionale verzameling. Indien men integreert langs een kromme in een meerdimensionaal domein, dan spreken we van een lijnintegraal. Indien de kromme gesloten is, spreekt men van een contourintegraal of kringintegraal.

Lijnintegralen worden onder andere in het complexe vlak gedefinieerd. Stel dat c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C} een parameternotatie is van een gladde boog C, en f\rightarrow\mathbb{C} is een complexe functie waarbij C\subset D, dan definieert men de complexe integraal van de functie f(z) langs de kromme C :

\int_{C}f(z)\operatorname{d}z=\int_{a}^{b}f(c(t))c '(t)\operatorname{d}t

Ook in de vectorcalculus worden lijnintegralen berekend. Veronderstel een scalair veld f : Rn → R, en een boog C, voorgesteld door de parameternotatie r(t) waarbij t ∈ [a, b], dan wordt de lijnintegraal gedefinieerd als

\int_C f\ \operatorname{d}s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)| \operatorname{d}t.

Een eenvoudige toepassing van deze formule bekomt men wanneer f = 1, men integreert dan immers over de volledige lengte van de kromme met de waarde 1: op die manier berekent men uiteindelijk de lengte van de kromme.

Op een analoge manier wordt dit voor een vectorveld F : Rn → Rn op dezelfde boog:

\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\operatorname{d}\math bf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\ope ratorname{d}t.

[bewerken] Meervoudige integralen
1rightarrow.png Zie Meervoudige integraal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het integratie-interval hoeft geen kromme te zijn met één veranderlijke parameter. Men kan ook integreren over meer variabelen, men integreert dan bijvoorbeeld over een oppervlak of een volume. Men spreekt dan van respectievelijk een oppervlakte-integraal en een volume-integraal. In het eenvoudige geval van een integraal van een functie f over een deel A van het xy-vlak krijgen we:

\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

Deze integraal kan in sommige gevallen berekend worden als herhaling van twee eendimensionale integralen. Bijvoorbeeld als A een rechthoek is met zijden evenwijdig de assen:

\iint_A f\left(x,y\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\ = \int_a^b \left( \int_c^d f\left(x,y\right) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y .

Indien er drie veranderlijken zijn spreekt men van een volume-integraal

\iiint f\left(x,y,z\right) \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\

In de vectoranalyse leggen stellingen zoals de Stelling van Green en de divergentiestelling verbanden tussen verschillende soorten van deze integralen.
[bewerken] Voorbeeld
Als voorbeeld berekenen we de oppervlakte tussen de x-as en de sinusfunctie op het interval [0,π]

Omdat de sinusfunctie continu is, volgt uit de hoofdstelling van de integraalrekening, dat het volstaat een functie te vinden die als afgeleide sin(x) heeft. We weten dat de afgeleide van cos(x) gelijk is aan -sin(x), bijgevolg is -cos(x) een primitieve functie van sin(x). De rekenregels met betrekking tot het bepalen van primitieven laten we hier achterwege. We vinden dus volgend resultaat.

\int_0^\pi {\sin \left( x \right)\operatorname{d}x} = [-\cos \left( x \right)]_0^\pi = - \cos \left( \pi \right) - \left( { - \cos \left( 0 \right)} \right) = 1 + 1 = 2

Opp sin.gif
[bewerken] Formele definitie

Er zijn verschillende manieren om de integraal van een functie te definiëren. De gebruikelijkste zijn de Riemann- en de Lebesgue-integraal.
[bewerken] Riemannintegratie
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Riemannintegratie voor een grondigere definitie.

Riemannintegratie, ontwikkeld door Bernhard Riemann is het eenvoudigst te begrijpen. Bij Riemannintegratie van een functie wordt het interval [a,b] onderverdeeld in smalle deelintervallen. Men verdeelt als het ware de oppervlakte onder de grafiek in smalle rechthoekjes. Hoe smaller men deze rechthoekjes maakt, hoe beter de totale oppervlakte van al deze rechthoekjes samen de werkelijke oppervlakte benadert. Deze definitie sluit intuïtief ook aan bij de historische notaties van integralen. Men berekent in elk punt de oppervlakte van een rechthoekje door vermenigvuldiging van de hoogte f(x) met de breedte dx, en men sommeert dit over het volledig interval.
[bewerken] Lebesgue-integratie
1rightarrow.png Zie het hoofdartikel Lebesgue-integraal voor een grondiger definitie.

De Lebesgue-integratie werd door Henri Lebesgue gedefinieerd. Lebesgue-integratie is gedefinieerd door convergentie van functies en kan toegepast worden op functies waarvoor de Riemannintegraal niet gedefinieerd is. Wel is het zo dat wanneer de Riemannintegraal van een functie bestaat, de Lebesgue-integraal ook bestaat en gelijk is aan de Riemannintegraal.
[bewerken] Andere definities

Naast de Riemann- en Lebesgue-integralen bestaan nog een aantal andere integralen, waaronder:

De Daniell-integraal.
De Darbouxintegraal, een variatie van de Riemannintegraal.
De Denjoy-integraal, ook bekend als Henstock-Kurzweil-integraal), een uitbreiding van zowel Riemann- als Lebesgue-integralen en de Perron-integraal.
De Haar-integraal is de Lebesgue-integraal ten opzichte van de Haar-maat van een Lie-groep.
De Henstock-Kurzweil-Stieltjes-integraal of HK-Stieltjes-integraal.
De Lebesgue-Stieltjes-integraal of Lebesgue-Radon integraal.
De Riemann-Stieltjes-integraal, een uitbreiding van de Riemannintegraal.
De Raes-integraal, verdere veralgemening van de integraalrekening.

[bewerken] Voetnoten

↑ (en) Shea, Marilyn, Biografie van Zu Chongzhi, mei 2007, zie hier, Universiteit van Maine, Katz, Victor J., Een Geschiedenis van de Wiskunde, een beknopte versie, Addison-Wesley, ISBN 978-0 -321-16193-2, 2004, pag 125-126))
↑ Victor J. Katz (1995), Ideas of Calculus in Islam and India" (Ideeën van de analyse in de islam en India), Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165]
↑ Victor J. Katz, (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India" (Ideeën uit de analyse in de Islam en India), Mathematics Magazine 68 (3): pag. 163-174 [165-9 en 173-4]
↑ (en) Seki Kōwa


http://www.youtube.com/user/TheAthei...e=results_main
http://www.youtube.com/user/richardd...e=results_main

My dear son,
Abu Hamid ibn Muhammad al-Ghazālī (1058 te Toes, Khorasan – 19 december 1111, verm. Nisjapoer of Toes) was een Perzisch filosoof en soefist. Hij draagt de erenaam Hoeddjat al-islaam (bewijs van de islam) en hij is voor veel soennieten de tweede leermeester na de profeet Mohammed

Theoloog Hamid Al Ghazali (1058-1111) verklaarde wiskunde tot het werk van de duivel, want alle kennis die niet uit het heilige boek kwam, was verdacht. Alle intellect dient aangewend te worden om de goddelijke wetten, de Sharia, uit de Koran, Soenna en Hadith af te leiden (Fiqh) en het is zonde om intellect te verkwisten aan onderzoek van de natuur.
God will punish you in the grave!!!!

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door koppijn

My dear son,

My dear headache,

Abu Hamid ibn Muhammad al-Ghazālī (1058 te Toes, Khorasan – 19 december 1111, verm. Nisjapoer of Toes) was een Perzisch filosoof en soefist. Hij draagt de erenaam Hoeddjat al-islaam (bewijs van de islam) en hij is voor veel soennieten de tweede leermeester na de profeet Mohammed

Theoloog Hamid Al Ghazali (1058-1111) verklaarde wiskunde tot het werk van de duivel, want alle kennis die niet uit het heilige boek kwam, was verdacht.

Abu Hamid ibn Muhammad al-Ghazālī Hoeddjat al-islaam heeft een naam die veel te lang is om op een gewone identiteitskaart te kunnen.
Naar het schijnt was hij ook ernstig spraakgestoord.
Dat moet een duivelse streek van zijn ouders geweest zijn om hem op te zadelen met zo een rotnaam.
Geen wonder dat hij op latere leeftijd een bloedhekel kreeg aan wiskunde.

Alle intellect dient aangewend te worden om de goddelijke wetten, de Sharia, uit de Koran, Soenna en Hadith af te leiden (Fiqh) en het is zonde om intellect te verkwisten aan onderzoek van de natuur.

Als we de sharia, koran, soenna en haddth eens diagonaal overlezen, dan valt het met het benodigde intellect om dezen samen te stellen nogal mee.

God will punish you in the grave!!!!

Yeah!
Punish me, punish me.
Beat me in the grave!!!
Hit me with your godly stick!!
Hit me in the grave!!!
(Kan het op de strooiweide ook?)
Fade out met Ian Dury

[revoleto]

Mijn lieve broer

God zegt in de Heilige Koran
(13) Hetzij gij uw gesprek verbergt, of het openbaar maakt, hij kent de binnenste deelen uwer borsten.
(14) Zou hij niet alles kennen, die alles geschapen heeft; hij de Wijze, de Alwetende?
(15) Hij is het, die de aarde voor u ge?ffend heeft; wandelt dus door hare dreven, en eet van haar voorraad. Gij zult opgewekt worden om tot hem terug te keeren.
(16) Zijt gij zeker, dat hij die in den hemel woont, u niet door de aarde zal doen verzwelgen? Ziet zij beeft reeds.
(17) Of zijt gij zeker, dat hij die in den hemel woont, geen hevigen dwarrelwind tegen u zal zenden, die het zand voortdrijft om u te bedekken? Dan eerst zult gij weten, hoe belangrijk mijne waarschuwing was.
(18) Ook zij die v??r u waren, geloofden niet. Hoe vreeselijk was mijn toorn!
(19) Zien zij de vogels boven hunne hoofden niet, die hunne vleugels uitspreiden en ineenvouwen? Niemand ondersteunt hen, behalve de Barmhartige; want hij beschouwt alle dingen.
(20) Waar is degeen die u tot een krijgsheer zal verstrekken om u tegen den Barmhartige te verdedigen? waarlijk, de ongeloovigen zijn verblind.
(21) Of waar is hij, die u voedsel zal geven, indien God het verhindert? En toch volhardt gij in uwe verdorvenheid en ontvlucht de waarheid.
(22) Is dus degeen, die op zijn aangezicht kruipt beter dan hij die rechtop een rechten weg bewandelt.
(23) Zeg: hij is het, die u het aanzijn heeft geschonken, en u het gehoor, het gezicht en het verstand (een hart) heeft gegeven; en echter hoe weinig dankbaar zijt gij!
(24) Zeg: Hij is het, die u over de aarde heeft verspreid, en tot hem zult gij bijeen verzameld worden.

God u heeft geleid tot de islam

http://www.youtube.com/watch?v=0r4ek2TVsqA

http://www.youtube.com/watch?v=BeJr-...eature=related

http://www.youtube.com/watch?v=OOjhD...eature=related

[koppijn]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

Mijn lieve broer


God u heeft geleid tot de islam

And George Carlin is the Messenger!

[Liederik]

Oorspronkelijk geplaatst door Supe®Staaf

Yeees, yeeeeeeeeeeeeees!!!
Punish da bad human!
Put da human in da grave and punish, punish!!!!
Encore, encore!!!
You bad man and you bad woman!
Kneel in da grave!!
Deeper!!!
Deeper!!!
And punish!
Punish!!!
O yeaaaaah!
O yeaaah!!
Let us punish da human!!!
Nica grave!
Very nice grave!
Yeaaaah!!
Punish in da grave!!!
Feels so goody goody!!!!
Like da punishment, you stupid human?
Like da grave?
Like da punishment in da grave?
Yeaaaaaaah, stupid man, you stupid woman, stupid humans in da graaaaaaave in da graaaave!!!!
Yeeeeeeeeeeeeeeeees!!!!!!!!!!!

Lyrics van een metal band genaamd Festering Ooze Pus?

[zeddie]

Oorspronkelijk geplaatst door koppijn

And George Carlin is the Messenger!

Check it out : Eddie Griffin on religion.

GreetzZ

[Bobke]

Oorspronkelijk geplaatst door koppijn

Jahweh is een joodse stammengod daarom sprak die enkel een semitische taal. De Inuit en Amerikaanse Indianen hebben hun eigen Goden. Je zou beter de vraag stellen waarom Europeanen zo nodig een Joodse stammengod moeten opvrijen?

2

[harriechristus]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

no my dear brother

(72) Zij zijn zeker ongeloovigen, die zeggen: waarlijk, Christus, de zoon van Maria, is God, daar toch Christus zeide: O, kinderen Isra?ls! dient God, mijn Heer en de uwe; wie een ander naast God plaatst, zal door God van het paradijs uitgesloten worden, en het hellevuur zal zijne woning zijn; en de goddeloozen zullen niemand hebben, die hen helpt.
(73) Zij zijn waarlijk ongeloovigen, die zeggen: God is de derde der drie?enheid, want er is geen God behalve den eenigen God, en indien zij niet terugkomen van hetgeen zij zeggen, eene pijnlijke straf zal hun worden opgelegd, daar zij ongeloovigen zijn.
(74) Zullen zij dus niet tot God terugkeeren en hem vergiffenis vragen? God is genadig en barmhartig.
(75) Christus, de zoon van Maria, is niets meer dan een apostel: andere apostels zijn hem voorafgegaan, en zijne moeder was eene vrouw van waarheid. Zij beiden gebruikten voedsel. Gij ziet hoe wij de teekenen Gods onder hen openbaarden, en ziet dan hoe zij zich afwenden.
(76) Zeg hun: wilt gij aanbidden naast God, wat u kan deren noch nuttig zijn? God hoort en ziet.




(72) They have certainly disbelieved who say, "Allah is the Messiah, the son of Mary" while the Messiah has said, "O Children of Israel, worship Allah, my Lord and your Lord." Indeed, he who associates others with Allah – Allah has forbidden him Paradise, and his refuge is the Fire. And there are not for the wrongdoers any helpers.
(73) They have certainly disbelieved who say, " Allah is the third of three." And there is no god except one God. And if they do not desist from what they are saying, there will surely afflict the disbelievers among them a painful punishment.
(74) So will they not repent to Allah and seek His forgiveness? And Allah is Forgiving and Merciful.
(75) . The Messiah, son of Mary, was not but a messenger; [other] messengers have passed on before him. And his mother was a supporter of truth. They both used to eat food. Look how We make clear to them the signs; then look how they are deluded.
(76) Say, "Do you worship besides Allah that which holds for you no [power of] harm or benefit while it is Allah who is the Hearing, the Knowing?"

http://www.youtube.com/watch?v=2QN_MwMpOso

http://www.youtube.com/watch?v=WFt0Q2vPLqI

Zij, die een grote omhaal van woorden gebruiken, zijn niet de ware gelovigen.

Zij trachten anderen te overtuigen, maar Allah overtuigen zij niet......


8. En er zijn mensen, die zeggen: "Wij geloven in Allah en in de laatste Dag, hoewel zij geen gelovigen zijn."

9. Zij trachten Allah en de gelovigen te bedriegen, zij misleiden echter niemand dan zichzelf en zij beseffen het niet.

10. Er is een ziekte in hun hart en Allah heeft die ziekte verergerd; er wacht hun een pijnlijke straf, omdat zij plachten te liegen.

11. Wanneer hun wordt gezegd: "Richt geen onheil op aarde aan" dan zeggen zij: "Wij zijn slechts vredestichters".

12. Pas op! Voorzeker zij zijn het die onheil stichten, doch zij beseffen het niet.

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

Mijn lieve broer

Mijn stoute zus,

God zegt in de Heilige Koran

Goden bestaan niet.
Uw koran is geschreven door mensen.

(13) Hetzij gij uw gesprek verbergt, of het openbaar maakt, hij kent de binnenste deelen uwer borsten.

(14) Zou hij niet alles kennen, die alles geschapen heeft; hij de Wijze, de Alwetende?

Kent hij dus ook de mohamed-cartoons?

(15) Hij is het, die de aarde voor u ge?ffend heeft; wandelt dus door hare dreven, en eet van haar voorraad. Gij zult opgewekt worden om tot hem terug te keeren.

Uw god is een landbouwer?

(16) Zijt gij zeker, dat hij die in den hemel woont, u niet door de aarde zal doen verzwelgen? Ziet zij beeft reeds.

Mijn bomma beeft ook een beetje; tot ze haar flesje wijn opheeft en haar korteletje.

(17) Of zijt gij zeker, dat hij die in den hemel woont, geen hevigen dwarrelwind tegen u zal zenden, die het zand voortdrijft om u te bedekken? Dan eerst zult gij weten, hoe belangrijk mijne waarschuwing was.

Ik heb altijd een mutske op tegen de wind, en ik kom nooit in de buurt van zand.

(18) Ook zij die v??r u waren, geloofden niet. Hoe vreeselijk was mijn toorn!

'k Kan het geloven.

(19) Zien zij de vogels boven hunne hoofden niet, die hunne vleugels uitspreiden en ineenvouwen? Niemand ondersteunt hen, behalve de Barmhartige; want hij beschouwt alle dingen.

Als je de schaduw van een duif ziet passeren, probeer de verleiding weerstaan omhoog te kijken.
Als het niet lukt, en je krijgt een vogelstront in je oog, dank dan uw god dat koeien niet kunnen vliegen.

(20) Waar is degeen die u tot een krijgsheer zal verstrekken om u tegen den Barmhartige te verdedigen? waarlijk, de ongeloovigen zijn verblind.

www.pearle.be

(21) Of waar is hij, die u voedsel zal geven, indien God het verhindert?

Op de Grote Markt in het wafelkraam.

En toch volhardt gij in uwe verdorvenheid en ontvlucht de waarheid.

Jij herkent de waarheid nog niet als je erover zou vallen.

(22) Is dus degeen, die op zijn aangezicht kruipt beter dan hij die rechtop een rechten weg bewandelt.

Dat is inderdaad minder sletig voor de zolen.

(23) Zeg: hij is het, die u het aanzijn heeft geschonken, en u het gehoor, het gezicht en het verstand (een hart) heeft gegeven; en echter hoe weinig dankbaar zijt gij!

Bedankt dat het zweet van uw rug zeikt.

(24) Zeg: Hij is het, die u over de aarde heeft verspreid, en tot hem zult gij bijeen verzameld worden.

Vivan bomma.

God u heeft geleid tot de islam

Hij heeft niet eens mijn telefoonnummer.

http://www.youtube.com/watch?v=0r4ek2TVsqA

http://www.youtube.com/watch?v=BeJr-...eature=related

http://www.youtube.com/watch?v=OOjhD...eature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Ti6VotGsIyE

[revoleto]

My dear brothers
allah says in the Holy Qur'an

This is why it is to talk with you
This is from allah
(125) Invite to the way of your Lord with wisdom and good instruction, and argue with them in a way that is best. Indeed, your Lord is most knowing of who has strayed from His way, and He is most knowing of who is [rightly] guided

(125) Noodig, door wijsheid en zachte vermaning, de menschen uit, den weg van uwen Heer te bewandelen. Twist gij met hen, doe het dan op de meest gepaste wijze; want uw Heer weet wel wie van zijn drempel afdwaalt en wie op den waren weg zijn geleid.

(67) O, profeet! maakt het geheel bekend, wat u door uwen Heer werd nedergezonden; want indien gij het niet doet, vervult gij niet uwen last, en God zal verdedigen tegen de boozen; want God leidt de ongeloovigen niet.

(67) 67 - O apostle proclaim the (message) which hath been sent to thee from the lord. if thou didst not, thou wouldst not have fulfilled and proclaimed his mission. and God will defend thee from men (who mean mischief). for God guideth not those who reject faith.

(21) 21 - Therefore do thou give admonition, for thou art one to admonish.
(22) 22 - Thou art not one to manage (men's) affairs.
(23) 23 - But if any turn away and reject God,
(24) 24 - God will punish him with a mighty Punishment,
(25) 25 - For to Us will be their Return;
(26) 26 - Then it will be for Us to call them to account.

Holy Qur'an revealed to Prophet Muhammad peace be upon him by the Messenger of revelation Gabriel peace be upon him

In 23 years

Remember Prophet Muhammad peace be upon him the Holy Qur'an
And see the re-Qur'an recitations twice before his death
The pinnacle of his friends, God bless them

Completed conservation and companions in the life of the Holy Qur'an the Prophet Muhammad peace be upon him

And completed companions conservation Holy Qur'an
In the life of the Prophet Muhammad peace be upon him

That the Almighty will take care of himself save it from any distortion of the previous divine books such as


God says in the Holy Qur'an

(9) Indeed, it is We who sent down the Qur'an and indeed, We will be its guardian

(42) Falsehood cannot approach it from before it or from behind it; [it is] a revelation from a [Lord who is] Wise and Praiseworthy

God has guided you to Islam
http://www.youtube.com/watch?v=qg3-roSQCi0

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

My dear brothers
allah says in the Holy Qur'an

This is why it is to talk with you
This is from allah
(125) Invite to the way of your Lord with wisdom and good instruction, and argue with them in a way that is best. Indeed, your Lord is most knowing of who has strayed from His way, and He is most knowing of who is [rightly] guided

(125) Noodig, door wijsheid en zachte vermaning, de menschen uit, den weg van uwen Heer te bewandelen. Twist gij met hen, doe het dan op de meest gepaste wijze; want uw Heer weet wel wie van zijn drempel afdwaalt en wie op den waren weg zijn geleid.

(67) O, profeet! maakt het geheel bekend, wat u door uwen Heer werd nedergezonden; want indien gij het niet doet, vervult gij niet uwen last, en God zal verdedigen tegen de boozen; want God leidt de ongeloovigen niet.

(67) 67 - O apostle proclaim the (message) which hath been sent to thee from the lord. if thou didst not, thou wouldst not have fulfilled and proclaimed his mission. and God will defend thee from men (who mean mischief). for God guideth not those who reject faith.

(21) 21 - Therefore do thou give admonition, for thou art one to admonish.
(22) 22 - Thou art not one to manage (men's) affairs.
(23) 23 - But if any turn away and reject God,
(24) 24 - God will punish him with a mighty Punishment,
(25) 25 - For to Us will be their Return;
(26) 26 - Then it will be for Us to call them to account.

Holy Qur'an revealed to Prophet Muhammad peace be upon him by the Messenger of revelation Gabriel peace be upon him

In 23 years

Remember Prophet Muhammad peace be upon him the Holy Qur'an
And see the re-Qur'an recitations twice before his death
The pinnacle of his friends, God bless them

Completed conservation and companions in the life of the Holy Qur'an the Prophet Muhammad peace be upon him

And completed companions conservation Holy Qur'an
In the life of the Prophet Muhammad peace be upon him

That the Almighty will take care of himself save it from any distortion of the previous divine books such as


God says in the Holy Qur'an

(9) Indeed, it is We who sent down the Qur'an and indeed, We will be its guardian

(42) Falsehood cannot approach it from before it or from behind it; [it is] a revelation from a [Lord who is] Wise and Praiseworthy

God has guided you to Islam
http://www.youtube.com/watch?v=qg3-roSQCi0

Hoe weet jij dat het waar is?

[Marxmannetje]

Oorspronkelijk geplaatst door revoleto

Do you punish the human in the grave?

Stenig hem! Stenig hem tot de dood! En als hij dood is, stenig hem nog meer!