Kansberekenen

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door JimmyB

Natuurlijk zijn ze het veel moeilijker aan het maken.

Het enige wat er speelt is dat men niet kan stellen dat er geen correlatie is tussen de verschillende trekkingen. Bijvoorbeeld, Joop gaat zijn kinderen niet tweemaal Joop noemen, want dan zijn er 3 Jopen in de familie.

DAT is precies "het veel moeilijker maken" en dan nog op totaal ongedefinieerde wijze. Dat is niet gegeven he. Er is zelfs niet gegeven dat de 6 mensen familiale banden moeten hebben. Uiteraard zijn niet alle samenwonenden met 6 mensen een verband van grootouders, twee zonen, een getrouwde zoon, en 1 kleinkind. Wat niet gegeven is, wordt altijd statistisch onafhankelijk verondersteld, want zoniet kan je geen enkel vraagstuk in de kansrekening oplossen. Immers, stel dat men de mensen logeert in alfabetische volgorde. Dan is er ook geen enkele cluster mogelijk. Maar dat zijn allemaal veronderstellingen die totaal arbitrair zijn en nergens voorkomen in de opgave.

Maar Anna zou wel een schoondochter kunnen hebben die Anna noemt. Dit zijn zaken waar rekening mee moet gehouden worden en wat de kans met een factor 5 of zo zou kunnen verhogen.

Waarom 5 en niet 6 ? Daar zijn gegevens over in het probleem, dus dat kan geen deel uitmaken van de vraagstelling he.

Wie is hier de zaken moeilijk aan het maken ?

Nu kwamen we op een kans van 2.3E-5. Dit is dus de kans dat die combinatie éénmaal voorkomt.

Nee dat is niet de kans dat die combinatie eenmaal voorkomt. Dat is de kans dat die combinatie voorkomt op 1 trekking van onafhankelijke naamtrekkingen met de gegeven kansverdeling en waar de volgorde geen belang heeft.

het bedrag dat jij vermeldt is de populatie waarvan verwacht wordt dat er 1 zo'n gezin is.

Als die populatie opgedeeld is in groepen van 6, die allemaal statistisch onafhankelijk van elkaar getrokken werden uit de populatie.

Maar zoals gezegd, gezien het feit dat we toch over een bepaalde correlatie mogen spreken verhoogt de kans mat een factor 5 tot 10.

Aangezien er in de opgave geen enkele correlatie werd vernoemd, is het standaard om te veronderstellen dat alle gebeurtenissen statistisch onafhankelijk zijn (ttz, geen correlaties hebben), he. Want uw factor 5 of 10 kunnen evengoed 10000 zijn.

Stel immers dat de gemeente systematisch de mensen rangeert in de gegeven naamcombinatie zoveel als mogelijk, dan gaan er in die gemeente 480 zulke groepen zijn (meer is niet mogelijk want er zijn niet genoeg Miekes). Dat is ook een correlatie: bij elk Mieke komen de 5 andere namen systematisch voor.

Of stel dat je bij elk Mieke systematisch 2 Jopen voegt. Dan mag uw stad zo groot zijn als ge wilt, er komt dan geen enkele van die combinaties voor.

Als je extra correlaties mag uitvinden, dan kan je gelijk welk kansprobleem gelijk welke uitkomst laten krijgen.

Dus zou de kans (bij een factor 5) ongeveer 1 op 10.000 zijn en de populatie waarbinnen verwacht wordt dat een dergelijk cluster zich voordoet 60.000.

Ik heb U twee voorbeelden gegeven waarbij die factor eerst rond de 1500 ligt, en dan gelijk aan 0 is. Dus kan je dan alles bedenken als resultaat.

Vandaar dat men altijd veronderstelt dat ongegeven correlaties in de opgave niet bestaan en statistisch onafhankelijk zijn he.

Maw, het zou niet eens zo onrealistisch zijn dat de cluster 2 maal voorkomt in een populatie van 80.000 inwoners.

Ik zeg het, als de gemeente mensen zo veel mogelijk rangschikt volgens die gewenste naamcombinatie, is dat zelfs geen 2, maar 480.

[JimmyB]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

DAT is precies "het veel moeilijker maken" en dan nog op totaal ongedefinieerde wijze. Dat is niet gegeven he. Er is zelfs niet gegeven dat de 6 mensen familiale banden moeten hebben. Uiteraard zijn niet alle samenwonenden met 6 mensen een verband van grootouders, twee zonen, een getrouwde zoon, en 1 kleinkind. Wat niet gegeven is, wordt altijd statistisch onafhankelijk verondersteld, want zoniet kan je geen enkel vraagstuk in de kansrekening oplossen. Immers, stel dat men de mensen logeert in alfabetische volgorde. Dan is er ook geen enkele cluster mogelijk. Maar dat zijn allemaal veronderstellingen die totaal arbitrair zijn en nergens voorkomen in de opgave.



Waarom 5 en niet 6 ? Daar zijn gegevens over in het probleem, dus dat kan geen deel uitmaken van de vraagstelling he.

Wie is hier de zaken moeilijk aan het maken ?



Nee dat is niet de kans dat die combinatie eenmaal voorkomt. Dat is de kans dat die combinatie voorkomt op 1 trekking van onafhankelijke naamtrekkingen met de gegeven kansverdeling en waar de volgorde geen belang heeft.



Als die populatie opgedeeld is in groepen van 6, die allemaal statistisch onafhankelijk van elkaar getrokken werden uit de populatie.



Aangezien er in de opgave geen enkele correlatie werd vernoemd, is het standaard om te veronderstellen dat alle gebeurtenissen statistisch onafhankelijk zijn (ttz, geen correlaties hebben), he. Want uw factor 5 of 10 kunnen evengoed 10000 zijn.

Stel immers dat de gemeente systematisch de mensen rangeert in de gegeven naamcombinatie zoveel als mogelijk, dan gaan er in die gemeente 480 zulke groepen zijn (meer is niet mogelijk want er zijn niet genoeg Miekes). Dat is ook een correlatie: bij elk Mieke komen de 5 andere namen systematisch voor.

Of stel dat je bij elk Mieke systematisch 2 Jopen voegt. Dan mag uw stad zo groot zijn als ge wilt, er komt dan geen enkele van die combinaties voor.

Als je extra correlaties mag uitvinden, dan kan je gelijk welk kansprobleem gelijk welke uitkomst laten krijgen.



Ik heb U twee voorbeelden gegeven waarbij die factor eerst rond de 1500 ligt, en dan gelijk aan 0 is. Dus kan je dan alles bedenken als resultaat.

Vandaar dat men altijd veronderstelt dat ongegeven correlaties in de opgave niet bestaan en statistisch onafhankelijk zijn he.



Ik zeg het, als de gemeente mensen zo veel mogelijk rangschikt volgens die gewenste naamcombinatie, is dat zelfs geen 2, maar 480.

Daar heb je gelijk in. Voor de rest, ik weet niet hoe je daar allemaal aan komt. Ik heb alleen een soort correlatie factor toegepast die inderdaad zeer benaderend is omdat we de juiste elementen niet echt hebben. Maar Aton sprak wel degelijk van een gezin met 2 zonen en een man die Joop, of Jimmy of Patrick noemt zal zijn naam niet geven aan zijn 2 zonen. Mss één ervan maar zeker niet alletwee. Dus dit is een correlatie tussen de trekkingen en een bepaalde factor in rekening brengen lijkt me gegrond.

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door JimmyB

Daar heb je gelijk in. Voor de rest, ik weet niet hoe je daar allemaal aan komt. Ik heb alleen een soort correlatie factor toegepast die inderdaad zeer benaderend is omdat we de juiste elementen niet echt hebben. Maar Aton sprak wel degelijk van een gezin met 2 zonen en een man die Joop, of Jimmy of Patrick noemt zal zijn naam niet geven aan zijn 2 zonen. Mss één ervan maar zeker niet alletwee. Dus dit is een correlatie tussen de trekkingen en een bepaalde factor in rekening brengen lijkt me gegrond.

Het is toch eenvoudig.
Het maximaal aantal keren dat je de combinatie kan maken is afhankelijk van het element Mieke, dat het minste aanwezig is.

Bij elke combinatie waar een element dubbel in voorkomt, of het element andere en ook het element Mieke in zit, moet je aftrekken van die mogelijkheden.

En Aton spraak over de samenstelling grootouders, ouders, zoon en nonkel.
Het is niet uitzonderlijk dat de ouders hun zoon de naam van zijn grootvader geven.
Dus je kan zelfs binnen die stelling dubbele mannelijke namen hebben.
Gaan we verder op jou stelling, zoon krijgt naam van vader, dan krijg je zelfs 3 maal dezelfde naam binnen de combinatie.

Maar dat heeft allemaal niks te maken met de vraagstelling.

Aton had ook kunnen opgeven, dat de combinatie van een studentenkot aan die voorwaarden voldeed en kunnen vragen hoe groot de kans is om deze combinatie een 2de keer tegen te komen als je 80.000 kotstudenten hebt.

[Aton]

Oorspronkelijk geplaatst door JimmyB

Daar heb je gelijk in. Voor de rest, ik weet niet hoe je daar allemaal aan komt. Ik heb alleen een soort correlatie factor toegepast die inderdaad zeer benaderend is omdat we de juiste elementen niet echt hebben. Maar Aton sprak wel degelijk van een gezin met 2 zonen en een man die Joop, of Jimmy of Patrick noemt zal zijn naam niet geven aan zijn 2 zonen. Mss één ervan maar zeker niet alletwee. Dus dit is een correlatie tussen de trekkingen en een bepaalde factor in rekening brengen lijkt me gegrond.

Jimmy, hoe vaak moet ik dit nog herhalen. Laat die onderlinge familiebanden voor wat ze zijn. Focus je op de 6 namen uit de cluster. De vraag is hoeveel keer kan zulke cluster voorkomen op een bevolking van 80.000. Met die onderlinge familiebanden heb je niks, totaaaaal niks, zolang we niet weten of er meer zulke clusters hierin statistisch kunnen voorkomen. Pas dan, en enkel dan kan men de familiebanden vergelijken met de overige gelijkaardige clusters. Is de kans dat er zo'n tweede cluster in deze statistiek laat zien kleiner is dan 1%, wat is het nut er dan nog van om verder te zoeken.

[Aton]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

Het is toch eenvoudig.
Het maximaal aantal keren dat je de combinatie kan maken is afhankelijk van het element Mieke, dat het minste aanwezig is.

Bij elke combinatie waar een element dubbel in voorkomt, of het element andere en ook het element Mieke in zit, moet je aftrekken van die mogelijkheden.

En Aton spraak over de samenstelling grootouders, ouders, zoon en nonkel.
Het is niet uitzonderlijk dat de ouders hun zoon de naam van zijn grootvader geven.
Dus je kan zelfs binnen die stelling dubbele mannelijke namen hebben.
Gaan we verder op jou stelling, zoon krijgt naam van vader, dan krijg je zelfs 3 maal dezelfde naam binnen de combinatie.

Maar dat heeft allemaal niks te maken met de vraagstelling.

Aton had ook kunnen opgeven, dat de combinatie van een studentenkot aan die voorwaarden voldeed en kunnen vragen hoe groot de kans is om deze combinatie een 2de keer tegen te komen als je 80.000 kotstudenten hebt.

Dit is niet aan de orde ! Ik heb mijn vraag meermaals duidelijk gesteld.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door JimmyB

Daar heb je gelijk in. Voor de rest, ik weet niet hoe je daar allemaal aan komt. Ik heb alleen een soort correlatie factor toegepast die inderdaad zeer benaderend is omdat we de juiste elementen niet echt hebben.

Het punt dat ik wilde aangeven was, dat aangezien we daar geen enkel element over hebben, we zelfs geen idee hebben van enige "benaderde waarde". We kunnen onze intuitie uit de werkelijkheid hier niet voor gebruiken want het vraagstuk is totaal artificieel.

Maar Aton sprak wel degelijk van een gezin met 2 zonen en een man die Joop, of Jimmy of Patrick noemt zal zijn naam niet geven aan zijn 2 zonen.

Het punt is dat als familiale relaties al moeten behouden blijven (wat dus inderdaad scheen te komen uit de initiële opgave), we ten eerste totaal geen gegevens hebben over de kansen op zulke familiale relaties, en ten tweede die kansen in heel veel gevallen die een beetje realistisch zijn, piepklein zouden zijn. Het is waarschijnlijk zeldzamer om zulke familiale banden terug te vinden, dan de namen in kwestie. De invloed van de familiale banden op de naamcombinatie is waarschijnlijk veel kleiner, dan de piepkleine kans op zulke familiale configuratie.

En in *elk* geval moet men dan rekening houden met de volgorde van de namen, terwijl wij dat niet gedaan hebben. Want dan maakt het een verschil of het de grootvader is die Joop heet, of de kleinzoon.

Maw, in de mate dat we ontbrekende gegevens door "reallistische" schattingen moeten invullen, wordt de echte kans in elk geval verwaarloosbaar. Het is enkel als we een artificieel probleem beschouwen dat exact kan opgelost worden door de gegevens in het vraagstuk, dat we iets kunnen doen. Het is over dat artificiele probleem dat het hier gaat. En op zulke artificiele problemen kan men geen "realisme" toepassen.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Aton

Jimmy, hoe vaak moet ik dit nog herhalen. Laat die onderlinge familiebanden voor wat ze zijn. Focus je op de 6 namen uit de cluster. De vraag is hoeveel keer kan zulke cluster voorkomen op een bevolking van 80.000. Met die onderlinge familiebanden heb je niks, totaaaaal niks, zolang we niet weten of er meer zulke clusters hierin statistisch kunnen voorkomen.

Eigenlijk is dat maar 1 oplossingsstrategie, he. Je zou ook kunnen beginnen met uit te rekenen hoeveel van zulke familiale clusters er zijn, en pas nadien de namen toevoegen.

Een ding is zeker: als aan beide voldaan moet worden, is de kans piepklein. Maar onberekenbaar, want we kennen de familiale kansen niet.

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door Aton

Jimmy, hoe vaak moet ik dit nog herhalen. Laat die onderlinge familiebanden voor wat ze zijn. Focus je op de 6 namen uit de cluster. De vraag is hoeveel keer kan zulke cluster voorkomen op een bevolking van 80.000. Met die onderlinge familiebanden heb je niks, totaaaaal niks, zolang we niet weten of er meer zulke clusters hierin statistisch kunnen voorkomen. Pas dan, en enkel dan kan men de familiebanden vergelijken met de overige gelijkaardige clusters. Is de kans dat er zo'n tweede cluster in deze statistiek laat zien kleiner is dan 1%, wat is het nut er dan nog van om verder te zoeken.

De mogelijkheden tot zo'n tweede cluster zijn er.
Je kan de cluster echter slechts 480 / 1333 clusters met de juiste naam samenstelling tegen komen.

Je heb dus maximaal 36% kans om die cluster nog eens tegen te komen.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

Aton had ook kunnen opgeven, dat de combinatie van een studentenkot aan die voorwaarden voldeed en kunnen vragen hoe groot de kans is om deze combinatie een 2de keer tegen te komen als je 80.000 kotstudenten hebt.

Dat is een veel betere formulering en veel realistischer. Als die kotstudenten in groepen van 6 gelogeerd worden, begint het er al meer op te trekken.

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Eigenlijk is dat maar 1 oplossingsstrategie, he. Je zou ook kunnen beginnen met uit te rekenen hoeveel van zulke familiale clusters er zijn, en pas nadien de namen toevoegen.

Een ding is zeker: als aan beide voldaan moet worden, is de kans piepklein. Maar onberekenbaar, want we kennen de familiale kansen niet.

Als je de familale verbanden in rekening moet brengen, heb je wel een pak meer gegevens nodig.
En zelfs dan is de kans zo klein dat die gelijk kan gesteld worden aan 0.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

De mogelijkheden tot zo'n tweede cluster zijn er.
Je kan de cluster echter slechts 480 / 1333 clusters met de juiste naam samenstelling tegen komen.

Je heb dus maximaal 36% kans om die cluster nog eens tegen te komen.

Uw "kansberekeningen" zitten ernaast hoor. Het is juist dat je op die groep van 13 333 klusters in het dorp, er TEN HOOGSTE 480 zullen kunnen zijn, maar zelfs de kans om er maar 3 te hebben, is piepklein, dus 480 is totaal verwaarloosbaar als we de woningen willekeurig opvullen met 6 getrokken mensen telkens.

Wat jij zegt is iets helemaal anders. Jij gaat ervan uit dat die 480 juiste clusters allemaal gevormd zijn en dat we er EEN ENKELE gaan beschouwen. Maw, we hebben op artificiele wijze al de 480 mogelijke clusters met de juiste namen allemaal al gemaakt, en die in 480 huizen gestoken.

Wat jij dan uitrekent is dit: op die 13 333 huizen gaan we willekeurig bellen aan 1 huis. Ook al wonen er in 480 van die huizen, de juiste groepen. Ja, dan is de kans 3.6% om op een van die huizen te vallen. (je bent een nulletje mis)

Maar dat is de vraag niet. De vraag is welke de kans is, dat er op die 13 333 huizen, er ERGENS een is die die juiste namen heeft. In jouw redenering zouden dat er 480 zijn. Terwijl 1 genoeg is. Dus is de kans dat er minstens nog 1 andere is, 100% want er is er niet 1, er zijn er 480 !

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

Als je de familale verbanden in rekening moet brengen, heb je wel een pak meer gegevens nodig.
En zelfs dan is de kans zo klein dat die gelijk kan gesteld worden aan 0.

IDD.

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Dat is een veel betere formulering en veel realistischer. Als die kotstudenten in groepen van 6 gelogeerd worden, begint het er al meer op te trekken.

Heel de formulering eigenlijk niets met de vraagstelling te maken.
De vraagstelling is immers hoeveel kans heb je om de deelverzameling {a, b, c, d, e, f } te maken, als je een verzameling van 80.000 elementen hebt die de volgende samenstelling heeft.
a; 14%, b; 21%, c; 2%, d; 9%, e; 0,6% , f; 10%, g; 43,4%
En hoe groot moet de verzameling zijn om de zekerheid te hebben dat je een 2de kans hebt om die deelverzameling te kunnen maken.
Je mag elk element slechts 1 maal gebruiken.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

Heel de formulering eigenlijk niets met de vraagstelling te maken.
De vraagstelling is immers hoeveel kans heb je om de deelverzameling {a, b, c, d, e, f } te maken, als je een verzameling van 80.000 elementen hebt die de volgende samenstelling heeft.
a; 14%, b; 21%, c; 2%, d; 9%, e; 0,6% , f; 10%, g; 43,4%

Nee. De vraag is welke de kans is dat, als je die verzameling van 80000 elementen opsplitst in een partitie van 13333 deelverzamelingen die elk allemaal 6 elementen bevatten, er minstens een van de deelverzamelingen in die partitie gelijk is aan {a,b,c,d,e,f}.

Het is waar dat, omdat probleem op te lossen, men eerst de kans gaat berekenen die je aanhaalt, namelijk, welke is de kans dat een trekking van 6 elementen met gegeven kansen, een verzameling {a,b,c,d,e,f} oplevert.

Dat is dan de kans van ELK van die 13333 deelverzamelingen van de partitie om toevallig de goeie combinatie te zijn, want elk van die deelverzamelingen is exact zo een trekking.

De vraag is dan: gegeven dat we 13333 trekkingen hebben met elk een gegeven kans op succes, hoeveel successen gaan we dan bekomen met welke kansen ?

En nu is zoiets een gekend probleem in de kansrekening, en wordt gegeven door een binomiaalverdeling (die hier goed te benaderen is door een Poisson verdeling).

Om U een gedacht te geven, dat is typisch het soort probleempjes die men op de baccalaureat vraagt voor de leerlingen einde humaniora die richting wiskunde/wetenschappen hebben genomen in Frankrijk.

Voorbeeldje:

Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On considère un échantillon
de 200 objets.
1) Quelle est la probabilité qu’aucun objet ne soit défectueux ?
2) Quelle est la probabilité qu’un seul objet soit défectueux ?
3) Quelle est la probabilité qu’au plus 3 objets soient défectueux ?

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Uw "kansberekeningen" zitten ernaast hoor. Het is juist dat je op die groep van 13 333 klusters in het dorp, er TEN HOOGSTE 480 zullen kunnen zijn, maar zelfs de kans om er maar 3 te hebben, is piepklein, dus 480 is totaal verwaarloosbaar als we de woningen willekeurig opvullen met 6 getrokken mensen telkens.

Wat jij zegt is iets helemaal anders. Jij gaat ervan uit dat die 480 juiste clusters allemaal gevormd zijn en dat we er EEN ENKELE gaan beschouwen. Maw, we hebben op artificiele wijze al de 480 mogelijke clusters met de juiste namen allemaal al gemaakt, en die in 480 huizen gestoken.

Wat jij dan uitrekent is dit: op die 13 333 huizen gaan we willekeurig bellen aan 1 huis. Ook al wonen er in 480 van die huizen, de juiste groepen. Ja, dan is de kans 3.6% om op een van die huizen te vallen. (je bent een nulletje mis)

Maar dat is de vraag niet. De vraag is welke de kans is, dat er op die 13 333 huizen, er ERGENS een is die die juiste namen heeft. In jouw redenering zouden dat er 480 zijn. Terwijl 1 genoeg is. Dus is de kans dat er minstens nog 1 andere is, 100% want er is er niet 1, er zijn er 480 !

Had een 3 te weinig ingegeven, daar zat de fout.

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Nee. De vraag is welke de kans is dat, als je die verzameling van 80000 elementen opsplitst in een partitie van 13333 deelverzamelingen die elk allemaal 6 elementen bevatten, er minstens een van de deelverzamelingen in die partitie gelijk is aan {a,b,c,d,e,f}.

Het is waar dat, omdat probleem op te lossen, men eerst de kans gaat berekenen die je aanhaalt, namelijk, welke is de kans dat een trekking van 6 elementen met gegeven kansen, een verzameling {a,b,c,d,e,f} oplevert.

Dat is dan de kans van ELK van die 13333 deelverzamelingen van de partitie om toevallig de goeie combinatie te zijn, want elk van die deelverzamelingen is exact zo een trekking.

De vraag is dan: gegeven dat we 13333 trekkingen hebben met elk een gegeven kans op succes, hoeveel successen gaan we dan bekomen met welke kansen ?

En nu is zoiets een gekend probleem in de kansrekening, en wordt gegeven door een binomiaalverdeling (die hier goed te benaderen is door een Poisson verdeling).

Om U een gedacht te geven, dat is typisch het soort probleempjes die men op de baccalaureat vraagt voor de leerlingen einde humaniora die richting wiskunde/wetenschappen hebben genomen in Frankrijk.

Dat is inderdaad de volledige en juist formulering van de vraagstelling.

[Aton]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

De mogelijkheden tot zo'n tweede cluster zijn er.
Je kan de cluster echter slechts 480 / 1333 clusters met de juiste naam samenstelling tegen komen.

Je heb dus maximaal 36% kans om die cluster nog eens tegen te komen.

Fout, en dat weet ik zeker !!

[Aton]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Eigenlijk is dat maar 1 oplossingsstrategie, he. Je zou ook kunnen beginnen met uit te rekenen hoeveel van zulke familiale clusters er zijn, en pas nadien de namen toevoegen.

Een ding is zeker: als aan beide voldaan moet worden, is de kans piepklein. Maar onberekenbaar, want we kennen de familiale kansen niet.

Als men de cluster namen en hun % van aanwezigheid niet gaat bepalen t.o.v. het aantal inwoners. Zonder toevoeging van deze namen kan dit niet.

[Aton]

Oorspronkelijk geplaatst door Jantje

Dat is inderdaad de volledige en juist formulering van de vraagstelling.

Helemaal niet ! Zo blijf je bezig.

[harriechristus]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Eigenlijk is dat maar 1 oplossingsstrategie, he. Je zou ook kunnen beginnen met uit te rekenen hoeveel van zulke familiale clusters er zijn, en pas nadien de namen toevoegen.

Een ding is zeker: als aan beide voldaan moet worden, is de kans piepklein. Maar onberekenbaar, want we kennen de familiale kansen niet.

Tsjonge jongen, zelfs Jezus krijgt hier hoofdpijn van....