de universiteiten van poldavië - Pagina 8

Firestone · 25 december 2009, 23:19

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

Vind ik ook; een leuk raadseltje na het nagerecht, bij de koffie, tijdens het kaarten.
Er zijn geen gewonden gevallen; heb wel een enkele keer moeten uitleggen dat de som van de hoeken van een driehoek 180° is (verklaart waarschijnlijk enigszins waarom er geen doorbraak gerealiseerd werd).

Of was het ironisch?... (if so: ;-P)

Neen, helemaal niet.

Jedd · 25 december 2009, 23:20

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

()

pfff, goniometrie

edit : en de hoeken zijn fout getekend, ze komen niet overeen met wat mijn geo-driehoek meet op het scherm.

ja ik heb het nagemeten

Jedd · 25 december 2009, 23:35

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

zoek x

probleem opgelost

Knipp · 25 december 2009, 23:38

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

Er klopt iets niet...

en 't is ni eens gesigneerd

Dronkoers · 26 december 2009, 00:01

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door redwasp

vrede,

ondertussen een klassieker. hoe groot is hoek x?

vrede,

redwasp

Da gaat toch nie?

oops, rekenfoutje

NoTuma · 26 december 2009, 00:06

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door skaldis

22°

Je 70 graden in het midden is niet correct...hoop ik toch

X=20 graden

Jedd · 26 december 2009, 00:07

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Dronkoers

Da gaat toch nie?

aangezien het een gelijkbenige driehoek is, kan je de lengte van de zijde een imaginaire waarde geven

gij liever als ik trouwens

Dronkoers · 26 december 2009, 00:15

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Jedd

aangezien het een gelijkbenige driehoek is, kan je de lengte van de zijde een imaginaire waarde geven

gij liever als ik trouwens

'k zag net een rekenfoutje

skaldis · 26 december 2009, 08:03

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door NoTuma

Je 70 graden in het midden is niet correct...hoop ik toch

X=20 graden

nu je het zegt, dat zou een driehoek geven met drie hoeken samen 200°

Knipp · 26 december 2009, 13:14

Komaan. Concreet !

De vraag is of de volgende 'train of thoughts' korter of eleganter kan.

Hier met andere waarden.

The problem gives an isosceles triangle ABC with base angles of measure 80 and vertex angle of 20. A ray from the base angle C divides the angle into a 60 degree angle and a 20 degree angle. It intersects AB at L. A ray from the base angle at B divides the angle inot a 30 degree angle and a 50 degree angle. It intersects AC at K. Draw KL. What is the measure of angle KLC? (Another version of the problem asks for the measure of angle KLB)

Construct the perpendicular to AC from L. Let F be the intersection point on AC. Contruct the angle bisector of angle KCB and let the bisector intersect FL and J, AB at M, and KB at N. Angle NCB = 40 degrees and angle NCL = 20 degrees. Draw KM and KJ.

Now, we have nearly enough relationships to finish the problem.

Triangle ALC is isoscles because the base angles are of the same measure.

Angle CKB = 50 degrees by the triangle angle sum theorem.

Triangle KCB is isosceles because the base angle are the same measure.

CJ is the perpendicular bisector of KB because it is the altitude onan isosceles triangle.

Triangle KNM is congruent to triangle BNM by SAS

Angle MKN and angle MBN each measure 30 degees; Angle NMB and angle NMK have the same measure from congruent triangles.

Angle NMB and angle NMK each measure 60 degrees from triangle angle sum theorem.

Angle LMK has measure of 60 degrees from straight angle along AB.

Angle LMJ has measure of 60 degrees from vertical angles.

FL is a perpendicular bisector of AC because it is along the altitude to the base of an isosceles triangle.

J is on FL so it is equidistant from A and C. Therefore triangle AJC is isosceles. Hence, LAJ has measure of 20 degrees, same as the measure of angle LCM.

AB is the angle bisector of angle CAJ.

Triangle AJM is congruent to triangle AKM by ASA.

Therefore AKMJ is a kite.

KJ and AM are the diagonals of the kite. Therefore AM is perpendicular to KJ.

Triangles KMR and JMR are each 30-60-90 triangles with common side MR. Therefore they are congruent.

Angle ALF has measure of 70 degrees by triangle angle sum theorem. Therefore angle RLJ has measure of 70 degrees as a vertical angle. Angle LJR has measure of 20 degrees by triangle angle sum theorem.

KR = RJ from congruent triangles KRM and RJM.

Triangle LRJ is conruent to triangle LRK by SAS and hence angle LKR has measure of 20 degrees.

By the triangle angle sum theorem in triangle CKL, angle CKL has a measure of 30 degrees.

Firestone · 26 december 2009, 13:15

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door NoTuma

Je 70 graden in het midden is niet correct...hoop ik toch

X=20 graden

Het is inderdaad 20°.
Kan je ook aangeven hoe je het gevonden hebt?

Ik ken geen oplossing zonder hulplijnen (tenzij de oplossing van Knipp).

Knipp · 26 december 2009, 13:17

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Firestone

Het is inderdaad 20°.

In de twee gevallen is het dezelfde hoek als onderaan rechts. zie post 150
Geen idee of dat een hint kan zijn ?

Dronkoers · 26 december 2009, 13:25

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Firestone

Het is inderdaad 20°.
Kan je ook aangeven hoe je het gevonden hebt?

Ik ken geen oplossing zonder hulplijnen (tenzij de oplossing van Knipp).

Ik was niet verder geraakt dan:
D1+E1=160
D2+E2=130
D12=D=140
E12=E=150
E1-D2=20

(D1 is die 30, D2 die 110; E1 die 130 en E2 die 20)

Maar ik zal wel een simpele mens zijn zeker?

Knipp · 26 december 2009, 13:26

Met die 'kites' voor ogen kan je de oplossing wel makkelijk onthouden vind ik.

Knipp · 26 december 2009, 13:27

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Dronkoers

Ik was niet verder geraakt dan:
D1+E1=160
D2+E2=130
D12=D=140
E12=E=150
E1-D2=20

(D1 is die 30, D2 die 110; E1 die 130 en E2 die 20)

Maar ik zal wel een simpele mens zijn zeker?

D1 en D2 ken je niet
en E1 en E2 ook niet

Dronkoers · 26 december 2009, 14:10

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Knipp

D1 en D2 ken je niet
en E1 en E2 ook niet

Misschien daarom dat ik daar vastzat?

Want met wat ik bereikt had, kom alles goed zijn, zolang E1 en D2 maar 20° verschilde.

NoTuma · 26 december 2009, 20:56

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Knipp

D1 en D2 ken je niet
en E1 en E2 ook niet

Ik ook niet

maar je weet wel de som van D1 en D2=140 en de som van E1 en E2=150 ...dan heb ik gewoon één van die hoeken geschat en de rest uitgerekend, maar nu ik er met een wat frisser hoofd eens wat verder over nadenk blijkt dit toch niet correct te zijn want er zijn meer mogelijkheden...damned

hier is x=20

en hier is x=30

Voltian · 26 december 2009, 21:45

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Firestone

Het is inderdaad 20°.
Kan je ook aangeven hoe je het gevonden hebt?

Ik ken geen oplossing zonder hulplijnen (tenzij de oplossing van Knipp).

Hoe weet je dat het 20° is?, nagemeten met geodriehoek?...

NoTuma · 26 december 2009, 23:05

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

Hoe weet je dat het 20° is?, nagemeten met geodriehoek?...

ik vraag het mij ook af....

pfff, der staan hier nu al ontelbare hulplijnen en nog altijd kan ik niet 1 van die 4 hoeken bepalen....d1, d2, e1, e2

Knipp · 27 december 2009, 09:12

Citaat:

Oorspronkelijk geplaatst door Voltian

Hoe weet je dat het 20° is?, ...

()

26 december 2009, 13:14	#150
Knipp Banneling Geregistreerd: 27 januari 2004 Locatie: Virtuix Omni Berichten: 7.552	Komaan. Concreet ! De vraag is of de volgende 'train of thoughts' korter of eleganter kan. Hier met andere waarden. The problem gives an isosceles triangle ABC with base angles of measure 80 and vertex angle of 20. A ray from the base angle C divides the angle into a 60 degree angle and a 20 degree angle. It intersects AB at L. A ray from the base angle at B divides the angle inot a 30 degree angle and a 50 degree angle. It intersects AC at K. Draw KL. What is the measure of angle KLC? (Another version of the problem asks for the measure of angle KLB) Construct the perpendicular to AC from L. Let F be the intersection point on AC. Contruct the angle bisector of angle KCB and let the bisector intersect FL and J, AB at M, and KB at N. Angle NCB = 40 degrees and angle NCL = 20 degrees. Draw KM and KJ. Now, we have nearly enough relationships to finish the problem. Triangle ALC is isoscles because the base angles are of the same measure. Angle CKB = 50 degrees by the triangle angle sum theorem. Triangle KCB is isosceles because the base angle are the same measure. CJ is the perpendicular bisector of KB because it is the altitude onan isosceles triangle. Triangle KNM is congruent to triangle BNM by SAS Angle MKN and angle MBN each measure 30 degees; Angle NMB and angle NMK have the same measure from congruent triangles. Angle NMB and angle NMK each measure 60 degrees from triangle angle sum theorem. Angle LMK has measure of 60 degrees from straight angle along AB. Angle LMJ has measure of 60 degrees from vertical angles. FL is a perpendicular bisector of AC because it is along the altitude to the base of an isosceles triangle. J is on FL so it is equidistant from A and C. Therefore triangle AJC is isosceles. Hence, LAJ has measure of 20 degrees, same as the measure of angle LCM. AB is the angle bisector of angle CAJ. Triangle AJM is congruent to triangle AKM by ASA. Therefore AKMJ is a kite. KJ and AM are the diagonals of the kite. Therefore AM is perpendicular to KJ. Triangles KMR and JMR are each 30-60-90 triangles with common side MR. Therefore they are congruent. Angle ALF has measure of 70 degrees by triangle angle sum theorem. Therefore angle RLJ has measure of 70 degrees as a vertical angle. Angle LJR has measure of 20 degrees by triangle angle sum theorem. KR = RJ from congruent triangles KRM and RJM. Triangle LRJ is conruent to triangle LRK by SAS and hence angle LKR has measure of 20 degrees. By the triangle angle sum theorem in triangle CKL, angle CKL has a measure of 30 degrees. Bijgevoegde afbeelding(e) Laatst gewijzigd door Knipp : 26 december 2009 om 13:19.

26 december 2009, 13:26	#154
Knipp Banneling Geregistreerd: 27 januari 2004 Locatie: Virtuix Omni Berichten: 7.552	Met die 'kites' voor ogen kan je de oplossing wel makkelijk onthouden vind ik.