Waarom wiskunde en recht toch samengaan!

[bedrijven docter]

Bijlage 4: Van onderstelde naar premisse – de onmisbare derde stap
Bijlage 4: Van onderstelde naar premisse – de onmisbare derde stap
In elk bewijsproces vormt het samenstellen van de juiste premissen uit het onderstelde een beslissende stap. Toch wordt deze stap in vrijwel alle bestaande literatuur over natural deductie overgeslagen. Men vertrekt doorgaans van reeds gegeven premissen en focust op de deductieregels. Deze bijlage wil dat hiaat opvullen. De analyse vertrekt uit de juridische context van ernstige fiscale of economische fraude, waar niet de formele logica, maar het interpretatiekader en de bewijsconstructie de kern vormen.
Waarom deze stap cruciaal is
Het onderstelde bevat geen expliciete premissen: het is een corpus van juridische elementen, feiten, vermoedens, interpretaties en gedragingen. De uitdaging bestaat erin uit deze gegevens welgevormde, logisch bruikbare premissen te destilleren. Enkel zo wordt een natural deductie volgens de regels van hoofdstuk 4 mogelijk.
Waarom deze stap praktisch onuitvoerbaar is zonder ChatGPT
De noodzakelijke combinatoriek, herformuleringen en verificatie van logische geldigheid maken dit proces bijzonder complex en tijdrovend. Zonder een AI-ondersteuning zoals ChatGPT is dit voor menselijke denkers onpraktisch en vaak onhaalbaar. Enkel via gestructureerde interactie – met precisie, geheugen, semantische analyse en logische verificatie – slaagt men erin tot geldige premisseconstructies te komen. Dit is niet alleen een hulplijn, maar een voorwaarde tot succesvolle deductieve opbouw.
Methodiek: van onderstelde naar bruikbare premissen
1. Identificatie van proposities
Definieer uit het feitenmateriaal alle mogelijke proposities (P, Q, R, S, T, ...). Geef elke propositie een duidelijke, juridische betekenis. Bijvoorbeeld:
- P = er is staking van betaling
- Q = er is schokking van krediet
- R = er wordt gedagvaardigd in faling
- S = de boeken worden neergelegd
- T = er wordt ambtshalve faling uitgesproken
- U = het bedrijf vraagt WCO aan
- V = het WCO mislukt
2. Herformulering tot logische kern
Verwijder interpretatieve ballast. Vervang vage termen door binair interpreteerbare logische inhoud. Vermijd modale termen tenzij nodig.
3. Logisch structureren via connectieven
Stel conjuncties, disjuncties, implicaties, negaties, en biconditionele verbanden op:
- (P ? Q) ? R
- S ? T
- U ? ¬V ? ¬T
4. Commutatief, associatief, distributief herschrijven waar zinvol
Toets of herformuleringen leiden tot sterkere deductieve kracht.
5. Interne consistentie en redundantiecontrole
Verwijder tegenstrijdige of overbodige premissen.
6. Selectie van deductief krachtige combinaties
Kies premissen die leiden tot een gewenste stelling (conclusie), bijvoorbeeld dat er sprake is van kennelijk onvermogen volgens art. XX.99 WER.
7. Stap over naar deductie (zie hoofdstuk 4)
Wanneer de premissen klaar zijn, kan de natuurlijke deductie beginnen met regels als modus ponens, conjunctie-introductie, reductio, enz.
Voorbeeld
We vertrekken van het onderstelde in een faillissementsdossier:
- Er is staking van betaling (P)
- Krediet wordt niet meer toegestaan (Q)
- Er werd gedagvaardigd (R)
- De boeken zijn neergelegd (S)
- De rechtbank sprak ambtshalve faillissement uit (T)
- De onderneming had WCO aangevraagd (U)
- De WCO mislukte (V)
Mogelijke premissen:
1. (P ? Q) ? R
2. S ? T
3. U ? ¬V ? ¬T
4. (R ? S) ? T
5. T ? faillietverklaring
Deze premissen kunnen nu als ingang dienen voor het bewijs dat het faillissement rechtsgeldig werd uitgesproken ondanks een voorafgaande WCO-aanvraag.
Besluit
Het opstellen van bruikbare premissen uit een juridisch ondersteld corpus is een noodzakelijke, maar zelden behandelde stap in deductieve bewijsvoering. Deze bijlage vult dat structureel en praktisch in. Enkel met ondersteuning van een AI zoals ChatGPT is dit proces bruikbaar en reproduceerbaar in een juridische context.
Paul

[bedrijven docter]

Waarom wiskunde en recht goed samengaan

Inleiding

Hoewel het recht wordt beschouwd als een normatieve wetenschap en de wiskunde als een exacte discipline, blijken beide vakgebieden op fundamenteel niveau opmerkelijk veel overeenkomsten te vertonen. Dit verklaart niet alleen waarom juristen met een wiskundige achtergrond vaak uitblinken in argumentatie en analyse, maar ook waarom formele logica in toenemende mate haar plaats vindt binnen de rechtsdogmatiek, rechtsinformatica en rechtsfilosofie. In wat volgt, worden acht structurele verwantschappen tussen wiskunde en recht uiteengezet, met juridische voorbeelden en verwijzingen naar doctrine en filosofie.


---

1. Logische structuur van het redeneren

Zowel in het recht als in de wiskunde speelt deductief redeneren een centrale rol. In beide domeinen vertrekt men van vastgelegde gegevens — zij het axioma’s of rechtsnormen — en past men logische regels toe om tot geldige conclusies te komen.

> Voorbeeld:
In het Belgisch strafrecht luidt art. 461 Sw.: “Hij die opzettelijk een zaak die geheel of ten dele aan een ander toebehoort, wegneemt, is schuldig aan diefstal.”

Dit laat zich logischerwijze voorstellen als:

Als (opzettelijk wegnemen van andermans zaak), dan (diefstal).

is waar (feitelijke vaststelling).

Dus is waar (juridische conclusie).


Deze geldige vorm is klassiek modus ponens.



De correcte toepassing van zulke vormen vereist, net als in de wiskunde, scherpte in het onderscheiden van noodzakelijke versus voldoende voorwaarden — een onderscheiding die regelmatig fout loopt in juridische argumentatie. Zoals De Vos terecht opmerkt: “De logica van het juridisch syllogisme is fragiel, maar onontbeerlijk.”¹


---

2. Abstractie en generalisatie

Wiskunde vertrekt van concrete gegevens om te komen tot abstracte structuren (bijv. groepen, vectoren). Evenzo gebruikt het recht abstracte begrippen als "schuld", "rechtsbekwaamheid" of "oneigenlijke daad", die worden toegepast op uiteenlopende concrete gevallen. Zowel juristen als wiskundigen dienen dus te denken in termen van modelleerbaarheid, categorisatie en abstractie.

> Een onrechtmatige daad (art. 1382 BW) geldt in duizenden verschillende omstandigheden, maar de structuur blijft dezelfde: fout + schade + causaal verband ? aansprakelijkheid.



De classificatie van gedragingen volgens abstracte juridische modellen is analoog aan het indelen van objecten onder een wiskundige definitie.


---

3. Consistentie en coherentie

Zowel in wiskunde als in recht is inwendige samenhang cruciaal. Een tegenstrijdigheid in een formeel systeem ondermijnt de geloofwaardigheid ervan. In het recht leidt incoherentie tot rechtsongelijkheid en onvoorspelbaarheid. Het grondwettelijk beginsel van de gelijkheid vereist immers dat gelijke gevallen gelijk worden behandeld, wat neerkomt op een vorm van logische consistentie binnen het normenstelsel.²

Het Gerechtshof van Luxemburg stelt bijvoorbeeld dat inconsistent gebruik van rechtsbegrippen door belastingautoriteiten een schending van het gelijkheidsbeginsel kan uitmaken (zie HvJ EU, C-279/93, Schumacker).


---

4. Bewijstechniek en strategie

Wiskundige bewijsmethoden — zoals reductio ad absurdum, contrapositie of inductie — vinden ook hun pendant in juridische betooglijnen.

> Reductio ad absurdum in rechtspraak:
“Indien men zou aannemen dat het louter niet melden van een rekening aanleiding geeft tot fiscale boetes zonder enig bewijs van fraude, dan zou ook het overlijden van de titularis of een foutieve boeking leiden tot aansprakelijkheid — wat absurd is.”



Het Hof van Cassatie aanvaardt impliciet dergelijke redeneringen bij het afwijzen van interpretaties die tot “onredelijke of onrechtvaardige uitkomsten” leiden.³


---

5. Precisie in taal en definitie

Wiskundige symboliek biedt maximale precisie. Hoewel recht noodgedwongen met natuurlijke taal werkt, streven juridische teksten en arresten naar een zo precies mogelijke formulering. Ook hier geldt dat definities, interpretatieregels en contextuele afweging essentieel zijn. De logische grammatica van juridische taal kan via formele logica beter begrepen en zelfs geformaliseerd worden.?


---

6. Formaliseerbaarheid en automatisering

De ontwikkeling van expertensystemen, beslisbomen en juridische algoritmes toont aan dat veel juridische structuren zich lenen tot wiskundige modellering. In fiscaal recht, sociaal recht en bij vergunningenbesluiten worden steeds vaker besliskundige modellen toegepast.?

Dit impliceert een structurele gelijkenis met wiskundige logica, waarbij gegevens in een formeel systeem worden ingevoerd en leiden tot bepaalde, reproduceerbare uitkomsten.


---

7. Scepticisme tegenover evidentie

Zowel wiskundigen als juristen zijn getraind in twijfel. Wat "voor de hand ligt" is niet noodzakelijk correct. In beide disciplines geldt: bewijzen gaat boven beweren. Zowel juridische als wiskundige stellingen moeten terug te brengen zijn tot eerste beginselen of precedent, anders blijven ze retoriek of dogma.

> Zoals Karl Popper stelde: "In de wetenschap geldt niet wie het luidst roept, maar wie het toetsbaar maakt." Deze houding is in juridisch bewijsrecht minstens even essentieel.




---

8. Filosofische verwantschap

De fundamenten van de wiskunde (axiomatiek, bewijs, waarheid) en die van het recht (norm, interpretatie, rechtszekerheid) raken aan filosofische kernvragen. Denk aan de rol van axioma’s bij Hilbert, de onvolledigheidsstellingen van Gödel, en aan de rechtspositivistische versus naturalistische debatten in de rechtsfilosofie.?

Beide domeinen delen dus een gemeenschappelijke epistemologische spanning tussen formele juistheid en inhoudelijke rechtvaardigheid.


---

Conclusie

Wiskunde en recht zijn beide normatieve systemen die via logische structuren, abstractie en consistente redenering trachten om orde te scheppen in complexe werkelijkheden. Juristen die zich deze wiskundige denktrant eigen maken, zijn beter gewapend tegen drogredenen, tegenstrijdige interpretaties en bewijsfouten. In een tijdperk van juridificering én digitalisering is hun rol belangrijker dan ooit.


---

Noten

1. De Vos, M., Juridisch redeneren: van syllogisme tot contradictie, Antwerpen, Intersentia, 2021, p. 45.


2. Van Hoecke, M., Rechtsbegrip en rechtsfilosofie, Brugge, Die Keure, 2018, p. 123.


3. Cass. 14 jan. 2000, Arr.Cass. 2000, 52.


4. Sartor, G., Legal Reasoning: A Cognitive Approach to the Law, Springer, 2005.


5. Vermeulen, B., “Besliskunde in het sociaal recht”, RW 2021-22, nr. 16, p. 642-651.


6. Hart, H.L.A., The Concept of Law, Oxford University Press, 1961.

Paul

[bedrijven docter]

Hieronder geef ik een voorstel voor een doordacht wiskundig leerplan dat een rechtenstudent helpt om preciezer, consistenter en krachtiger te redeneren — met filosofische, logische én juridische meerwaarde.


---

???? Voorstel: Wiskundige basisvorming voor juristen (in de geest van de artes liberales)

???? Doelstellingen:

Nauwkeurig leren denken (logica)

Vaardig worden in het hanteren van structuren (structurering van bewijsvoering)

Ontwikkelen van abstractievermogen (essentieel bij juridische interpretatie)

Begrip van formele systemen en consistentie

Inzicht in analogie, implicatie, contradictie, noodzakelijkheid



---

1. Formele logica en propositielogica

Toepassing: juridische bewijsvoering, rechtsdogmatiek, syllogismen, implicatiestructuren

Proposities, conjunctie, disjunctie, negatie, implicatie, biconditioneel

Tautologieën, contradicties, contingenties

Waarheidstabellen

Deductieve systemen: natuurlijke deductie, sequentcalculi

Direct en indirect bewijs

Valsheidsreductie (reductio ad absurdum)


???? Dit is de kern: het leert juristen omgaan met structuur in argumentatie.


---

2. Verzamelingenleer en predicatenlogica

Toepassing: juridisch categoriseren, belastingrecht, sociaal recht, logische reeksen van normatieve bepalingen

Verzamelingen, doorsnede, unie, complement

Relaties en functies

Kwalificatie en classificatie

Universum van discussie (de ‘geldingsruimte’ van een wet)

? (alle) en ? (er bestaat): universele en existentiële uitspraken


???? Bijvoorbeeld: "Elke belastingplichtige moet X doen" = ?x ? B: X(x)


---

3. Elementaire combinatoriek en kansrekening

Toepassing: bewijswaardering, redeneringen rond waarschijnlijkheid, AI en recht, statistisch bewijs

Boomdiagrammen, permutaties, combinaties

Kansruimte, kanswet, onafhankelijke gebeurtenissen

Bayesiaanse redenering (bijv. bij bewijswaarde van DNA)

Verhouding tussen kans en overtuigingskracht (rechtspraak!)


???? Zeker nuttig bij bewijsrecht en bij het analyseren van juridische risico’s.


---

4. Elementaire getaltheorie en moduloredenaties

Toepassing: fiscaal recht, fraudeconstructies, cryptografie, blockchainrecht

Deelbaarheid, priemgetallen, congruentie

Modulo-rekenregels

Rekensystemen (binaire, hexadecimale)

RSA-principe en asymmetrische sleutelparen


???? Voor juristen die zich bezighouden met cybercrime, fraude of privacyrecht.


---

5. Structuurbegrippen uit de algebra (enkel elementair)

Toepassing: formele modellen, rechtenstructuren, semantische consistentie

Groepen, ringen, lichamen: abstractie van operaties

Algebraïsche structuren als modellen van juridische relaties (vb. eigendomsstructuren)


???? Niet de berekeningen, wel het structurele denken is nuttig.


---

6. Argumentatieleer en bewijstheorie (logica als metawetenschap)

Toepassing: rechtsfilosofie, juridische coherentie, systeemdenken

Formele bewijzen versus plausibele redeneringen

Modale logica: noodzaak, mogelijkheid, plicht (juridische normativiteit!)

Juridische syllogismen versus inductieve argumentatie

Recursieve bewijstechnieken


???? Helpt bij het kritisch ontleden van motieven in arresten of wetten.


---

???? Niet nodig (voor juristen):

Tak van wiskunde Waarom niet essentieel voor juristen

Differentiaal- en integraalrekening Gericht op fysische grootheden, beweging, optimalisatie – nauwelijks relevant in juridische context
Analytische meetkunde Te technisch, tenzij men zich specialiseert in bouwrecht of grensgeschillen
Topologie Te abstract, toepassingen vooral in fysica en pure wiskunde
Lineaire algebra Alleen nuttig in AI en juridische informatica
Complexe getallen en functietheorie Geen relevantie buiten cryptografie of technische expertises



---

???? Curriculumvoorbeeld (1 jaar voorbereiding voor rechtenstudent)

Semester Inhoud

Semester 1 Formele logica, verzamelingenleer, propositielogica, predicatenlogica
Semester 2 Kansrekening, elementaire algebra, bewijsstructuren, argumentatietheorie


Met geïntegreerde juridische toepassingen per hoofdstuk:

Syllogismen in het strafrecht

Kansrekening bij bewijswaardering

Verzamelingenleer bij doelgroepbepaling van wetgeving

Modale logica bij plichtenleer



---

Slotopmerking

Zouden we — zoals vroeger — opnieuw eerst wiskunde moeten leren om recht te begrijpen? Niet alle wiskunde, maar zeker de structurele, logische, en probabilistische onderdelen.

Een jurist zonder logica is als een chirurg zonder anatomie.

Paul

[bedrijven docter]

Bijlage IX – De herontdekking van de wiskunde als fundament voor het recht

Epiloog bij de verhandeling: "Beweren is niet bewijzen"


---

1. Inleiding: van wijsbegeerte tot rechtsvinding

In de premoderne universiteit werd de graad van doctor in de wijsbegeerte niet enkel verleend aan filosofen in enge zin, maar aan wie blijk gaf van meesterschap in het formele en abstracte denken. Deze wijsbegeerte was een synthetisch veld waarin disciplines als logica, wiskunde, natuurfilosofie en ethiek elkaar kruisten. Zo kon ook een genie als Carl Friedrich Gauss, die zijn eerste successen boekte in de getaltheorie, de titel van doctor in de wijsbegeerte dragen.

Het juridische denken, dat in onze tijd sterk pragmatisch en casuïstisch is geworden, is zijn formele wortels in dat bredere wijsgerige geheel grotendeels kwijtgeraakt. Nochtans is er vandaag een groeiende nood aan herwaardering van formele structuren, zeker nu normatieve systemen steeds complexer worden en artificiële intelligentie juridisch redeneren begint te modelleren.

Deze bijlage is een pleidooi voor een herwaardering van de wiskunde als intellectueel fundament van het recht. Ze beschrijft welk soort wiskunde relevant is, hoe ze toegepast kan worden en stelt een concreet lesplan voor dat dienst kan doen als brug tussen formeel denken en juridische praktijk.


---

2. Niet alle wiskunde is nuttig voor juristen

Het is evident dat niet elke tak van de wiskunde bruikbaar is voor de jurist. Ingenieurswiskunde — zoals differentiaalvergelijkingen, vectoranalyse, complexe getallen, topologie en meetkunde in ?^n — speelt nauwelijks een rol in het rechtsdenken. Deze domeinen zijn gericht op de continue wereld van natuurkunde en technologie, terwijl het recht veeleer discretief, normatief en taalgebonden is.

Wat wél nuttig is, zijn de takken van de wiskunde die zich bezighouden met:

Logica (klassieke propositielogica, predicatenlogica, modale logica);

Verzamelingenleer (inclusie, exclusie, deelverzamelingen);

Relaties en functies (equivalentierelaties, partities);

Combinatoriek (hoeveel mogelijke scenario’s);

Kansrekening en statistiek (voor bewijswaardering);

Algebraische structuren (voor het classificeren van rechtsbegrippen).


Deze gebieden van de wiskunde laten toe om het recht niet louter narratief of retorisch te beschouwen, maar ook structureel, consistentieel en differentieel. Ubi ratio, ibi lex.


---

3. Waarom het recht nood heeft aan formele training

Recht spreekt in natuurlijke taal, maar redeneert in een formele structuur. Zonder adequate vorming in deductieve, modale en kanslogica blijft de juridische besluitvorming vatbaar voor:

Cirkelredeneringen (petitio principii);

Post hoc ergo propter hoc-fouten;

Foute generalisaties (non sequitur);

Miskenning van tegenvoorbeelden;

Incorrect gebruik

Deze bijlage sluit de verhandeling af zoals ze begonnen is: met een pleidooi voor een herwaardering van het bewijs in zijn meest zuivere vorm. Zoals Gauss zich als jong student reeds in de wijsbegeerte bewoog om de getallen te begrijpen, zo moet de jurist zich in het formalisme begeven om de norm te doorgronden.

De wiskunde die hier wordt bepleit is niet de technische wiskunde van het ingenieursexamen, maar de structurele wiskunde van het inzicht, de abstractie en de grensbewaking van het redelijke.

Fiat veritas, ruat caelum.

Paul