Vraagstukjes

[PAJOT]

[Fille van de Foor]

Oorspronkelijk geplaatst door Marco

[size=7]OPLOSSING[/size]
Eerst enkel opmerkingen.
- Om mijn slaagkansen te verhogen leek het mij zinvol om zelf het op te lossen. Welliswaar 20 jaar te laat maar allez beter laat dan nooit.
- Velen op dit forum hebben een onvoorstelbaar talent maar niet in statistiek.
- Vraagstuk vier was een strikvraag waar toch een aantal personen niet ingetrapt zijn. Proficiat voor 1/ zo ver te lezen 2/ na te denken.

Vraagstuk 1.
De gemakkelijkste manier om dit te berekenen is om te bepalen wanneer ze niet in dezelfde maanden worden geboren. Als je twee personen hebt dan is die kans 11 maanden op 12 maanden. Immers de andere moet in één van de andere elf maanden geboren zijn. De kans is 11/12. Wanneer we vier personen hebben dan moet dit gelden voor elk paar. Met vier personen kunnen we zes paren vormen (ab, ac, ad, bc, bd, cd). De formule hiervoor is x*(x-1)/2 [Combinatie van twee uit X] met x=4 is het dus 4*3/2=6. Hé dat klopt.
Wat is nu de kans dat ze NIET in dezelfde maand geboren worden? Wel dat is dus 11/12 tot de macht 6. 11/12 als kans dat een koppel niet in dezelfde maand werd geboren en 6 als het aantal koppels. 11/12 tot de macht 6 is 59,33%. 100% min 59% is dus 41% kans dat er in deze dubbeldate twee in dezelfde maand geboren zijn (of bijvoorbeeld hetzelfde sterrenbeeld hebben. Goed om weten als je niet weet waar over praten.)

Mijn beste, je stevent af op een flinke buis...

De kans dat minstens 2 in dezelfde maand jarig zijn is gelijk aan 1 - de kans dat ze alle 4 in een andere maand jarig zijn.
Dus:
De eerste is arbitrair --> kans = 1.
De tweede moet in een andere maand jarig zijn --> kans = 11/12.
De derde moet jarig zijn in een andere maand dan de eerste én in een andere maand dan de tweede --> kans = 10/12.
De vierde moet jarig zijn in een andere maand dan de eerste drie --> kans = 9/12.

De kans nu dat minstens 2 in dezelfde maand jarig zijn is:
1 - (1 x 11/12 x 10/12 x 9/12) = 0,4271 oftewel 42,71%

De fout die jij maakt is inderdaad dat de gebeurtenissen NIET statistisch onafhankelijk zijn, en zeker al niet wanneer je koppels neemt (want iedere persoon komt aldus onvermijdelijk in meerdere koppels terecht... met andere woorden, de KOPPELS ZIJN STATISTISCH AFHANKELIJK):
dus niet:
P(A^B) = P(A).P(B)
maar wel:
P(A^B) = P(B).P(A|B)

Je kan weliswaar dit vraagstuk oplossen door de koppels in ogenschouw te nemen, maar in de euclidische meetkunde is een rechte nog steeds de kortste afstand tussen twee punten... Dus waarom zou je die moeilijke omweg maken die je onnoemelijk veel rekenwerk zou opleveren?

[Foundation]

Oorspronkelijk geplaatst door Bakkebaard

Altijd zo geleerd: zet 25 verschillende mensen bij elkaar en er is 50% kans dat er 2 op dezelfde dag verjaren.

En wat eten we in dat restaurant?

Oorspronkelijk geplaatst door Vlaams-nationalist

U heeft in Wallonië school gelopen, daar kunnen ze BErekenen. Kijk maar naar de transfers.

Nochtans heeft Bakkebaard min of meer gelijk, zij het dat hij er met enkele naast zit. Het is immers minder

Dit is een klassiek combinatorisch probleem. De kans dat 2 personen op dezelfde dag verjaren is gelijk aan 1 - de kans dat niemand op dezelfde dag verjaart. Dit is eenvoudig lineair uit te rekenen: plaats elke persoon op een dag. De eerste hoeft zich nergens zorgen over te maken en mag op 365 van de 365 dagen verjaren.

De tweede echter nog slechts op 364 van de 365 dagen, enzovoort.

Dus, 1 - de kans dat niemand op dezelfde dag verjaart
= 1 - (365/365)*(364/365)*(363/365)*(362/365)...

oftewel:

1 - ( 365! / ( (365-r)! * 365^r ) ) met r het aantal leerlingen in de klas.

Wanneer is dit gelijk aan 1/2 ? Dit is het geval wanneer het 2e deel van de aftrekking ook gelijk is aan 1/2.

Rekenen met faculteiten en machtsverheffingen van een variabele door elkaar is vrij lastig ( al is het maar omwille van de logaritmes van faculteiten... ) , dus voor het gemak (het gaat om niet veel leerlingen) werken we even iteratief:

365/365 = 1
* 364/365 = 0.997260274
* 363/365 = 0.9917958341
* 362/365 = 0.9836440875
* 361/365 = 0.9728644263 ( merk op: reeds bijna 3% kans bij 5 leerlingen! )
* 360/365 = 0.9595375164
* 359/365 = 0.9437642969
* 358/365 = 0.9256647076
* 357/365 = 0.9053761661
* 356/365 = 0.8830518223 ( bijna 12% kans bij 10 leerlingen !!! )
* 355/365 = 0.8588586217
* 354/365 = 0.8329752112
* 353/365 = 0.8055897248
* 352/365 = 0.776897488
* 351/365 = 0.7470986802 ( > 25% kans bij 15 leerlingen ! )
* 350/365 = 0.7163959947
* 349/365 = 0.6849923347
* 348/365 = 0.6530885821
* 347/365 = 0.620881474
* 346/365 = 0.5885616164 (we zitten bijna aan 45% kans bij 20 lln !!! )
* 345/365 = 0.5563116648
* 344/365 = 0.5243046923
[size=4]* 343/365 = 0.4927027657[/size] (dit is de 23ste leerling)

Dus: als er 23 of meer leerlingen in een klas zitten, is de kans dat er 2 op dezelfde dag verjaren, zeker en vast groter dan 50%

De afrondingsfout is wegens gebruik van iteratie maar zonder enige aftrekking en met een krachtige professionele rekenmachine (mijn oude TI83), aanvaardbaar, zodus is dit een vrij accurate uitkomst. Op meer dan 3 cijfers na de komma zou ik echter toch niet afgaan...


Lijkt me dat het BErekenen op Waalse manier toch vrij accuraat is !!!

[Foundation]

Vorige is uiteraard dezelfde manier waarop je het andere oplost, namelijk:

1 - (12/12)*(11/12)*(10/12)*(9/12), zoals eerder aangehaald is dit

42,7083 %

[Foundation]

Oorspronkelijk geplaatst door Marco

4/ Op een klasreünie zijn slechts 10 oudleerlingen aanwezig. Wat is de kans dat ze in hetzelfde jaar geboren zijn? (We veronderstellen dat niemand ouder is dan 100 jaar, dus de twee laatste cijfers van het geboortejaar komt in aanmerking.)

In de maatschappij met enkel perfecte klassen is dit inderdaad 100%, maar vandaag de dag is het klasbestand zo erg door elkaar gegooid dat deze kans gewoonweg niet berekenbaar is.

Ik heb, vanaf het 2de leerjaar, nooit in een klas gezeten waar niet minstens 1 leerling een jaar te hoog of te laag zat.

[Spetsnaz]

Oorspronkelijk geplaatst door Foundation

In de maatschappij met enkel perfecte klassen is dit inderdaad 100%, maar vandaag de dag is het klasbestand zo erg door elkaar gegooid dat deze kans gewoonweg niet berekenbaar is.

Ik heb, vanaf het 2de leerjaar, nooit in een klas gezeten waar niet minstens 1 leerling een jaar te hoog of te laag zat.

Wij zaten dan ook op een moeilijke school

[Marco]

Oorspronkelijk geplaatst door Fille van de Foor

Mijn beste, je stevent af op een flinke buis...

De kans dat minstens 2 in dezelfde maand jarig zijn is gelijk aan 1 - de kans dat ze alle 4 in een andere maand jarig zijn.
Dus:
De eerste is arbitrair --> kans = 1.
De tweede moet in een andere maand jarig zijn --> kans = 11/12.
De derde moet jarig zijn in een andere maand dan de eerste én in een andere maand dan de tweede --> kans = 10/12.
De vierde moet jarig zijn in een andere maand dan de eerste drie --> kans = 9/12.

De kans nu dat minstens 2 in dezelfde maand jarig zijn is:
1 - (1 x 11/12 x 10/12 x 9/12) = 0,4271 oftewel 42,71%

De fout die jij maakt is inderdaad dat de gebeurtenissen NIET statistisch onafhankelijk zijn, en zeker al niet wanneer je koppels neemt (want iedere persoon komt aldus onvermijdelijk in meerdere koppels terecht... met andere woorden, de KOPPELS ZIJN STATISTISCH AFHANKELIJK):
dus niet:
P(A^B) = P(A).P(B)
maar wel:
P(A^B) = P(B).P(A|B)

Je kan weliswaar dit vraagstuk oplossen door de koppels in ogenschouw te nemen, maar in de euclidische meetkunde is een rechte nog steeds de kortste afstand tussen twee punten... Dus waarom zou je die moeilijke omweg maken die je onnoemelijk veel rekenwerk zou opleveren?

U bent zo zeer juist. Respect.

De fout die ik gemaakt heb is inderdaad om die afhankelijkheid eventjes te vergeten. Op dezelfde dag geboren worden of in dezelfde minuut maakt dat weinig verschil uit in het eindresultaat (ook al is er een verschil).
Niet verder nadenkend heb ik dat verder toegepast op kleinere getallen waar je wel merkelijke verschillen krijgt. Dat jij juist bent, kan je ook beredeneren met 13 mensen voor de maanden. Die kans is 100% maar volgens mijn berekening is die kans slechts 99,89%. Dat verschil is die afhankelijkheid dus.

Ik geef toe dat ik eigenlijk bezig was om via vraagstukken 1, 2 en 3 de strikvraag van 4 te poneren. Ik ben dus een beetje in mijn eigen val getrapt.

Als verzachtende omstandigheden wil ik aanbrengen dat het al een twintig jaar geleden is dat ik deze materie voor mijn neus kreeg. En dan te bedenken dat ik ooit in mijn laatste jaar 100% heb gehaald op wiskunde (examens, overhoringen en huiswerk) terwijl we 9 uur per week hadden.

U dwingt mij tot nederigheid. (Waar liggen die oude boeken ... dit kan ik niet verdragen ... verslagen op mijn sterkste kant ... grrr ...)

[Kim]

Jongens toch, ben ik blij dat ik van statistiek verlost ben!

[Foundation]

Oorspronkelijk geplaatst door Marco

U bent zo zeer juist. Respect.

De fout die ik gemaakt heb is inderdaad om die afhankelijkheid eventjes te vergeten. Op dezelfde dag geboren worden of in dezelfde minuut maakt dat weinig verschil uit in het eindresultaat (ook al is er een verschil).
Niet verder nadenkend heb ik dat verder toegepast op kleinere getallen waar je wel merkelijke verschillen krijgt. Dat jij juist bent, kan je ook beredeneren met 13 mensen voor de maanden. Die kans is 100% maar volgens mijn berekening is die kans slechts 99,89%. Dat verschil is die afhankelijkheid dus.

Ik geef toe dat ik eigenlijk bezig was om via vraagstukken 1, 2 en 3 de strikvraag van 4 te poneren. Ik ben dus een beetje in mijn eigen val getrapt.

Als verzachtende omstandigheden wil ik aanbrengen dat het al een twintig jaar geleden is dat ik deze materie voor mijn neus kreeg. En dan te bedenken dat ik ooit in mijn laatste jaar 100% heb gehaald op wiskunde (examens, overhoringen en huiswerk) terwijl we 9 uur per week hadden.

U dwingt mij tot nederigheid. (Waar liggen die oude boeken ... dit kan ik niet verdragen ... verslagen op mijn sterkste kant ... grrr ...)

Volgend handboek bevat niet zo'n slechte uitleg:

Discrete and Combinatorial Mathematics - R. Grimaldi

[Foundation]

Oorspronkelijk geplaatst door Marco

U bent zo zeer juist. Respect.

De fout die ik gemaakt heb is inderdaad om die afhankelijkheid eventjes te vergeten. Op dezelfde dag geboren worden of in dezelfde minuut maakt dat weinig verschil uit in het eindresultaat (ook al is er een verschil).
Niet verder nadenkend heb ik dat verder toegepast op kleinere getallen waar je wel merkelijke verschillen krijgt. Dat jij juist bent, kan je ook beredeneren met 13 mensen voor de maanden. Die kans is 100% maar volgens mijn berekening is die kans slechts 99,89%. Dat verschil is die afhankelijkheid dus.

Ik geef toe dat ik eigenlijk bezig was om via vraagstukken 1, 2 en 3 de strikvraag van 4 te poneren. Ik ben dus een beetje in mijn eigen val getrapt.

Als verzachtende omstandigheden wil ik aanbrengen dat het al een twintig jaar geleden is dat ik deze materie voor mijn neus kreeg. En dan te bedenken dat ik ooit in mijn laatste jaar 100% heb gehaald op wiskunde (examens, overhoringen en huiswerk) terwijl we 9 uur per week hadden.

U dwingt mij tot nederigheid. (Waar liggen die oude boeken ... dit kan ik niet verdragen ... verslagen op mijn sterkste kant ... grrr ...)

Je krijgt je kans om het goed te maken : http://forum.politics.be/showthread.php?t=27669