"Moderne Wiskunde".

[Savatage]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Hoe bewijst ge dat de afgeleide van x^n gelijk is aan n x^(n-1) dan ?

Dat is niet nodig om:

1) het concept achter afgeleiden te snappen
2) afgeleiden te kunnen toepassen

Laat die formule liever achterwege totdat je begint met die bewijzen (waarvoor je ze idd nodig hebt). Die formule biedt geen enkele meerwaarde voor iemand die op zoek is naar wat afgeleiden zijn of het wilt toepassen. Let wel, ik zeg niet dat die formule onbelangrijk of misbaar is, maar het is voor mij een schoolvoorbeeld van hoe men iets duidelijk en simpel veel moeilijker voorstelt dan het is in de wiskunde.

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door Savatage

Dat is niet nodig om:

1) het concept achter afgeleiden te snappen
2) afgeleiden te kunnen toepassen

Laat die formule liever achterwege totdat je begint met die bewijzen (waarvoor je ze idd nodig hebt). Die formule biedt geen enkele meerwaarde voor iemand die op zoek is naar wat afgeleiden zijn of het wilt toepassen. Let wel, ik zeg niet dat die formule onbelangrijk of misbaar is, maar het is voor mij een schoolvoorbeeld van hoe men iets duidelijk en simpel veel moeilijker voorstelt dan het is in de wiskunde.

Nee, zoals ik al zei: een wiskunde is een rigoreus gedefinieerde structuur.

Ik weet trouwens goede manieren om die formule toch in te bouwen in een intuitief geldige uitleg. Heb ik meermaals gedaan bij de kinderen waaraan ik bijles geef. Ze begrepen het volledig.

[Mambo]

Die wiskunde intrigeert me wel een beetje. Spelen met cijfertjes, formules intikken en kijken wat er uitkomt en zo van die dingen.

Maar soms…heb je geen cijfertjes of rekenmachine en moet je ook aan de slag.

Bv; Hoe zorg je dat twee punten zowel horizontaal, verticaal als in de lengte gelijk liggen door enkel en alleen 1 hulptoestel te gebruiken en je mag maar 1 keer meten in de doorsnede van de lengte assen en de assen moeten elk in 1 handeling op alle punten tegelijk gemeten zijn ?
1 hulptoestel naar keuze. Geen meetlint, geen waterpas, geen richtapparatuur…nada.

En bijkomend, hoe zie je wanneer het bovenstaande, twee denkbeeldige gekromde gebogen metalen balken gelijk waterpas liggen over gans de lijn evenwijdig naast elkander met enkel en alleen behulp van 3 willekeurige rechte stukken? Je mag niks opmeten.

[Karma]

Oorspronkelijk geplaatst door Mambo

Iemand heeft gespiekt zeker?
Probeer deze puzzel maar eens op te lossen !
't is een test om lid te worden van de Mensa Club Je moet minstens 34 punten scoren !
Als je 28 scoort mag je jezelf al geniaal noemen.

Oplossing Mensa-puzzel



0 24 U in een D 24 Uren in een Dag
1 26 L in het A 26 Letters in het Alfabet
2 7 D van de W 7 Dagen van de week
3 7 W van de W 7 wonderen van de wereld
4 12 S van de D 12 sterrenbeelden van de dierenriem
5 66 B van de B 66 boeken van de bijbel
6 52 K in een P (ZJs) 52 kaarten in een pak (zonder jokers)
7 13 S in de V van de V S 13 Strepen in Vlag van de Verenigde Staten
8 18 H op een G T 18 holes op een golfterrein
9 39 B van het O T 39 Boeken van het Oude Testament
10 5 T aan een V 5 tenen aan een voet
11 90 G in een R H 90 graden in een rechte hoek
12 7 K van de R 7 kleuren van de regenboog
13 32 is de T in G F waarbij W B 32 is de temperatuur in graden Fahrenheit waarbij water bevriest
14 15 S in een R T 15 spelers in een rugby team
15 3 W aan een D 3 wielen aan een driewieler
16 100 C in een R 100 cent in een rand
17 11 S in een V P 11 spelers in een voetbal ploeg
18 12 M in een J 12 maanden in een jaar
19 13 is een O 13 is een ongeluksgetal
20 8 T aan een O 8 tentakels aan een octopus
21 29 D in F in een S J 29 dagen in februari in een schrikkeljaar
22 27 B in het N T 27 Boeken in het Nieuwe Testament
23 365 D in een J 365 dagen in een jaar
24 13 in een D 13 in een dozijn
25 52 W in een J 52 weken in een jaar
26 9 L van een K 9 levens van een kat
27 60 M in een U 60 minuten in een uur
28 23 C P in het M L 23 chromosomen paren in het menselijk lichaam
29 64 V op een SB 64 velden op een schaakbord
30 9 P in een Z A 9 provincies in Zuid-Afrika
31 60 S in een M 60 seconden in een minuut
32 1000 J in een M 1000 jaren in een millennium
33 12 S D O 12 stielen dertien ongelukken
34 4 K in een J 4 kwartalen in een jaar
35 4 P in een V S 4 paarden in een vier span
36 8 N in een O 8 noten in een octaaf
37 100 S in een G 100 seconden in een graad
38 50 Z V op een D B 50 zwarte vakken op een dam bord

En je hebt ze allemaal?

fluitje van een cent ...

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Savatage

Dat is niet nodig om:

1) het concept achter afgeleiden te snappen
2) afgeleiden te kunnen toepassen

Laat die formule liever achterwege totdat je begint met die bewijzen (waarvoor je ze idd nodig hebt). Die formule biedt geen enkele meerwaarde voor iemand die op zoek is naar wat afgeleiden zijn of het wilt toepassen. Let wel, ik zeg niet dat die formule onbelangrijk of misbaar is, maar het is voor mij een schoolvoorbeeld van hoe men iets duidelijk en simpel veel moeilijker voorstelt dan het is in de wiskunde.

Natuurlijk. Eerst begint ge met een tekeningske van een functiegrafiek natuurlijk, en gaat ge een "vergrootglas" gebruiken om altijd maar een kleiner stukje van die grafiek uit te vergroten.

De afgeleide is dan lokaal gezien de benadering van die kromme, die aangeeft hoeveel de waarde van f(x) toeneemt als x toeneemt.

Je kan je de vraag stellen: ik heb een functie f maar ik geef je de formule niet. Je mag mij wel waarden van x geven, en ik zal antwoorden welke waarde f(x) is. Hoe zou je die afgeleide voor x = 5 dan uitvissen ? Welke vragen zou je mij stellen ?

En je komt dan natuurlijk uit op die formule

[alter]

[quote=Savatage;4094435]

Limiet, dimensie en vectorruimte zijn voor jouw misschien termen die het verduidelijken, maar beeld je eens in hoe dat overkomt voor iemand die geen echt besef heeft van wat een limiet of een dimensie of een vectorruimte in de wiskunde heeft. Je hebt die termen niet nodig om te snappen wat er achter afgeleiden zit, ze maken het enkel maar onduidelijker voor iemand die het voor de eerste keer ziet en er zich in wilt verdiepen.
Ik zie niet in welke meerwaarde één van die begrippen biedt voor iemand die je wilt duidelijk maken wat afgeleiden zijn of waarvoor ze dienen.

Het begripsprobleem “afgeleiden” dat u hier aankaart is een oud zeer, dat ook reeds bestond vóór het tijdperk van het invoeren van “moderne wiskunde” in de humaniora. Ten getuige hiervan het kleine boekje (amper 100 bladzijden) “Limieten en Afgeleiden” van Delaruelle en Claes, waarvan een eerste druk dateert van 1938 en een zevende in 1958 verscheen. Het aantal herdrukken bewijst overduidelijk dat dit werkje niet overbodig was…

Deze monografie bevat naast een korte elementaire inleiding over het begrip functie en de soorten functies, drie hoofdstukken respectievelijk handelend over limieten, afgeleiden en tenslotte over differentialen en integralen.
Het centrale punt waar u bij de ontwikkeling van het concept “afgeleide, hoe dan ook, niet omheen kunt is het limietbegrip ; daarentegen is het begrip “vectorruimte” niet noodzakelijk. Dit laatste begrip is echter wel onontbeerlijk voor een goed begrijpen van bvb de “lineaire algebra” (materie voor hoger of universitair onderwijs).

U weet waarschijnlijk dat het prioriteitsrecht over de ontdekking van differentiaal en integraalrekening tegelijkertijd door Newton en Leibniz werd opgeëist. Uit de briefwisseling blijkt dat Newton reeds in 1666 van deze methode gebruik maakte, terwijl de oudste nota’s van Leibniz dateren van 1675. Anderzijds is het wel een feit dat Leibniz’ eerste publicatie over dit onderwerp dateert van 1684, terwijl Newton eerst maar in 1693 hierover (in het Latijn zoals toen gebruikelijk) publiceerde.

Een Engelse vertaling van Newton’ s tekst (John Colson, 1736) “The method of Fluxions and infinite series wit its application to the geometry of curves-lines ” is terug te vinden op Internet :

http://www.archive.org/details/methodoffluxions00newt

Ik raad u aan deze tekst even in te kijken. Wenst u “Afgeleiden” op een dergelijke manier onderwezen te zien ?? Ik denk het niet!!

Goed, dan maar Leibniz, nietwaar.. Zijn basisartikel over de differentiaalrekening “Nova methodus pro maximis et minimis” verscheen in het tijdschrift “Acta eruditorum” in 1684 en besloeg amper 6 bladzijden.

Dit artikel, dat de voornaamste rekenregels voor het berekenen van afgeleiden bevatte, was alles behalve duidelijk voor wat het concept “afgeleide” betrof, zelfs voor eminente wiskundigen als Jacob en Johan Bernoulli. Dit belette hen later niet met nog anderen zoals bvb L’ Hôpital, deze methode te propageren en verder uit te werken via hetzelfde tijdschrift. Het succes van de benadering van Leibniz lag in de gebruikte notaties, die nog steeds in gebruik zijn. Maar ook hier dus geen duidelijke omschrijving van het begrip afgeleide…

Een klare wiskundige formulering van het concept afgeleide en van de infinitesimaalrekening in het bijzonder werd eerst maar in het begin van de 19de eeuw voorgesteld door Cauchy o.m. in zijn “Cours d’ Analyse de l’ Ecole Polytechnique” (1821), “Résumé des Leçons sur le calcul infinitésimal” “1823) en “Leçons sur le calcul différentiel” (1829).
Zijn formulering berust op het begrip limiet, dat hier met de nodige wiskundige gestrengheid gepreciseerd wordt.
Een en ander vindt men in het Carl Boyer’ s boek “The History of the Calculus –a critical and historical discussion of the derivative and the integral-” (1949) waarvan men een herdruk vindt bij Dover.

In het boekje van Delaruelle en Claes wordt het limietbegrip minder streng geformuleerd. Wenst u toch het limietbegrip in al zijn gestrengheid, dan verwijs ik bvb naar Deel I “Voorbereiding” van het “Leerboek der Differentiaal- en Integraalrekening” van Frederik Schuh (Thieme, 1941). Dit werk was jaren terug mijn geprefereerde lectuur…

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door alter

Misschien zijn dat dan de (zeldzame) vogels die opteren voor “zuivere wiskunde”, of voor “theoretische” of “wiskundige fysica” ???
Tussen haakjes, zelf ben ik op mijn “ouwe” dag begonnen met het bestuderen van deze “moderne wiskunde”, en -weet u- in feite door toedoen van mijn oud-leraar algebra, die het steeds maar had over het fameuze boek van een zekere Bartel Van der Waerden.
Hij achtte deze benadering absoluut noodzakelijk en fundamenteel om een dieper inzicht in de wiskunde te verkrijgen maar deze benadering was dan volgens hem wel echt voorbehouden voor het universitair onderwijs..

Een paar jaar terug heb ik uiteindelijk toch de Engelse vertaling van dit boek kunnen kopen … en ja, naar mijn mening had mijn oud-leraar op beide punten “fundamenteel” en “voorbehouden” gelijk…

Misschien wel. Wat ik altijd fascinerend heb gevonden aan de aanpak van de moderne wiskunde is dat alle concepten "verzamelingen" waren. Je had dus geen metafysische overwegingen meer zoals zoveel dingen in de geschiedenis van de wiskunde hebben gezorgd voor misverstanden.

Als dusdanig vond ik deze aanpak dus conceptueel veel *gemakkelijker* dan een ietwat vaag ingevoerd begrip dat gedeeltelijk op intuitie is gebaseerd. Vooral de getallen verzamelingen zijn hiervan een voorbeeld. Meestal gaat het dan om begrippen die het "oneindige" op een of andere manier beschouwen, en als je daar geen klare definitie over geeft, dan heb je een ietwat metafysische intuitieve conceptie van die dingen.

Zowel het invoeren van rationale getallen als het invoeren van reele getallen, als het invoeren van verschillende meetkundige begrippen, maar vooral het invoeren van limieten en van afgeleiden en zo, wat historisch gezien de brilliantste geesten voor schut heeft gezet, wint erbij vind ik van een klare, gedemystifieerde definitie te geven, bijvoorbeeld onder de vorm van verzamelingen.

Het punt is volgens mij niet zozeer of moderne algebra en moderne meetkunde moet onderwezen worden, maar eerder wanneer…

Ik weet niet wat men erbij wint om eerst een ONKLARE mystieke definitie te krijgen alvorens een veel duidelijkere.
Maar ik kan er eventueel wel in komen dat men eventueel met sommige algebraische strukturen wat had kunnen wachten, hoewel ik dus nooit iemand heb gezien die dat niet begreep (ttz die dat niet begreep omwille van het "abstract" karakter ervan).

… en vooral echt leren rekenen en cijferen met papier en potlood (vroeger met lei en griffel) .. Het ene sluit toch het andere niet uit ???

Jaja, ik bedoelde, het enige "moderne" aspect van de wiskunde dat men kan aankaarten in de lagere school is natuurlijk de "eieren" verzamelingenleer. Daarnaast dient men inderdaad gewoon de klassieke operaties op natuurlijke getallen te zien, een beetje breuken, en vooral begrijpen wat die operaties doen. Met andere woorden: elementaire rekenkunde.

Aangezien in de lagere school het concept "bewijs" nog niet ingevoerd kan worden, en aangezien het concept "natuurlijk getal" als intuitieve abstactie van "20 appels" goed genoeg is, volstaat dat.

[i]Bourbaki ne prétend pas avoir une fonction didactique. Son introduction dans le secondaire serait une catastrophe.
C’est en croyant s’inspirer de Bourbaki que certains mathématiciens zélés ont introduits les prétendues mathématiques modernes dans l’ enseignement secondaires.
Bourbaki n’ y est absolument pour rien et l’a même, en général, ignoré.

On a introduit un grand nombres de termes abstraits �* la place de mots concrets que tous les jeunes pouvaient facilement comprendre. Pierre Samuel a raillé cette attitude en parlant des « hyperaxiomatiseurs en mal de généralisation ».

tja. Maar dat was nu net de essentie, zou ik zeggen. Het heeft toch helemaal geen practisch belang in het leven om te weten dat het centrum van de ingeschreven cirkel in een driehoek op het snijpunt ligt van de 3 bissectrices, he. Het is enkel de denkoefening die daarbij van enige opvoedkundige waarde bij is. Als dusdanig is de inhoud van de materie zelf van zo goed als generlei waarde. De waarde zit hem in het vormende karakter van de afleiding. Niet in het resultaat. Geen kat geeft daar om.

Les ravages causés par l’ introduction des dites mathématiques modernes furent une catastrophe internationale de grande envergure, mais particulièrement française.
Une génération de jeunes français a été sacrifiée du point de vue de l’ apprentissage des mathématiques qui en sont sorties passablement discréditées dans l’ opinion publique.

Dat is dus een stukje rhetoriek die ik niet begrijp. Wie is hier opgeofferd geworden ? Voor de mensen aan wie moderne wiskunde niet besteed was, vermoed ik sterk dat "gewone" wiskunde ook niet veel boodschap had.

Met andere woorden, voor die mensen was elke vorm van wiskunde onderwijs toch mislukt - zonder vormende waarde, en waarvan de inhoud van de materie zelf toch ook totaal geen belang had.

Waar zit hem die katastrofe dan ?

[alter]

[quote=patrickve;4100231]

Misschien wel. Wat ik altijd fascinerend heb gevonden aan de aanpak van de moderne wiskunde is dat alle concepten "verzamelingen" waren. Je had dus geen metafysische overwegingen meer zoals zoveel dingen in de geschiedenis van de wiskunde hebben gezorgd voor misverstanden.

Als dusdanig vond ik deze aanpak dus conceptueel veel *gemakkelijker* dan een ietwat vaag ingevoerd begrip dat gedeeltelijk op intuitie is gebaseerd. Vooral de getallen verzamelingen zijn hiervan een voorbeeld. Meestal gaat het dan om begrippen die het "oneindige" op een of andere manier beschouwen, en als je daar geen klare definitie over geeft, dan heb je een ietwat metafysische intuitieve conceptie van die dingen.

Zowel het invoeren van rationale getallen als het invoeren van reele getallen, als het invoeren van verschillende meetkundige begrippen, maar vooral het invoeren van limieten en van afgeleiden en zo, wat historisch gezien de brilliantste geesten voor schut heeft gezet, wint erbij vind ik van een klare, gedemystifieerde definitie te geven, bijvoorbeeld onder de vorm van verzamelingen.
Ik weet niet wat men erbij wint om eerst een ONKLARE mystieke definitie te krijgen alvorens een veel duidelijkere.
Maar ik kan er eventueel wel in komen dat men eventueel met sommige algebraische strukturen wat had kunnen wachten, hoewel ik dus nooit iemand heb gezien die dat niet begreep (ttz die dat niet begreep omwille van het "abstract" karakter ervan).

Zonder enige minimale kennis van wat logica is en zonder een primaire of intuïtieve notie van wat verzamelingen zijn, is het helemaal niet mogelijk aan wiskunde te doen. Het scherp wiskundig definiëren van begrippen als functie, limiet, continuïteit, afgeleide.. in het secundair onderwijs lijkt mij daarentegen niet mogelijk.. zonder een groot deel van de andere leerstof (“toegepaste wiskunde”) op te offeren en is derhalve ..ook niet wenselijk.
Laten wij niet vergeten dat het ASO niet alleen moet voorbereiden tot het beroep van wiskundige en het is juist daar nu waar het schoentje wringt…
Langs de andere kant is het juist dat de notie “oneindig” vele geesten in verwarring heeft gebracht en dat dit begrip, sedert dat de Griek Zeno roet in het eten kwam gooien, vele geesten in verwarring heeft gebracht.

In dit verband kan ik niet weerstaan om even Jean-Pierre Marco (« Mathématiques L1 » Pearson p. 689 -2007-) te citeren :

“… L’ utilisation abusive et imprécise des infiniment petits et le recours �* l’ intuition géométrique ont d’ abord semé la confusion et entraîné de nombreuses polémiques au cours du 18e siècle. Ce fut d’ Alembert qui le premier entreprit de débarrasser le calcul différentiel de ce qu’ il appelait la métaphysique des quantités infiniment petites. Ces questions de formalisation ne furent complètement résolus que vers le début du 20e siècle… »

Ofschoon ikzelf wel geen wiskundige ben, twijfel ik er aan of het mogelijk is in het secundair onderwijs een scherpe definitie van bvb het begrip limiet te geven, zonder een ganse resem nieuwe begrippen in te voeren. Het is juist dit feit dat Schwartz heeft willen aan de kaak stellen.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door alter

Langs de andere kant is het juist dat de notie “oneindig” vele geesten in verwarring heeft gebracht en dat dit begrip, sedert dat de Griek Zeno roet in het eten kwam gooien, vele geesten in verwarring heeft gebracht.

In dit verband kan ik niet weerstaan om even Jean-Pierre Marco (« Mathématiques L1 » Pearson p. 689 -2007-) te citeren :

“… L’ utilisation abusive et imprécise des infiniment petits et le recours �* l’ intuition géométrique ont d’ abord semé la confusion et entraîné de nombreuses polémiques au cours du 18e siècle. Ce fut d’ Alembert qui le premier entreprit de débarrasser le calcul différentiel de ce qu’ il appelait la métaphysique des quantités infiniment petites. Ces questions de formalisation ne furent complètement résolus que vers le début du 20e siècle… »

Ofschoon ikzelf wel geen wiskundige ben, twijfel ik er aan of het mogelijk is in het secundair onderwijs een scherpe definitie van bvb het begrip limiet te geven, zonder een ganse resem nieuwe begrippen in te voeren. Het is juist dit feit dat Schwartz heeft willen aan de kaak stellen.

Wel ja, dat is mijn punt hier. Is het niet beter om wat tijd op te offeren om die begrippen zonder verwarring in te voeren (en ondertussen het abstracte spel in te voeren dat hiervoor nodig is, en dus een training in abstract denken betekent), eerder dan de mensen de wereld in te sturen met vage en metafysisch bizarre ideeen, zodat ze zich de rest van hun leven een raar beeld vormen van wat wiskunde nu juist is (een soort mystiek genootschap waar men over rare dingen zoals oneindigheid en oneindige kleinheid en zo praat...) ?

Wat dat begrip limiet betreft, hebben wij destijds in het 5de jaar humaniora de algemene definitie gezien van wat een topologische ruimte was (een verzameling, uitgerust met een verzameling "omgevingen" - een topologie en een genererende verzameling van omgevingen: de basis van een topologie).

Ik had me zelfs destijds geamuseerd met het berekenen van het aantal mogelijke topologieen over een verzameling met 4 elementen: het zijn er 355 tussen haakjes.

Eerst speel je daar een beetje mee op speelgoed verzamelingetjes, en als dat een beetje intuitief begint te worden, ga je zien dat elke metriek (elke positief definiete metriek) vanzelf een natuurlijke topologie genereert, en dat je dus de metriek "absolute waarde" kan gebruiken op de reele rechte. Die vormt dan de standaard topologie op de reele getallen.
En eens je een topologie hebt, dan is 't begrip "limiet" heel eenvoudig in te voeren.

Dat heeft ons misschien, ik herinner het mij niet meer, 3 weken of zo gevraagd in 't vijfde leerjaar. En alles was heel duidelijk ingevoerd. Ik herinner mij trouwens niet dat iemand in onze klas daar enige moeite mee had, want het waren "spelletjes".

Wat "toegepaste wiskunde" betreft, ik ben er niet echt van overtuigd dat dat veel nut heeft als je geen solide basis hebt. Dan is "toegepast" synoniem voor "verkeerd". Met dun uitgesmeerde, maar "toegepaste" wiskunde heb je niks. Je kan het niet echt gebruiken in praktische problemen (want je bent nooit zeker wat je doet), je kan geen boek erover lezen (want je mist de basisbegrippen die de schrijver ervan veronderstelt), en als je toch verder wil gaan, moet je toch helemaal van voren af aan herbeginnen, dus alles tot dan toe is verloren moeite geweest. Het is pas na helemaal van voren aan herbegonnen te zijn dat je eindelijk je toegepast spul gaat begrijpen (en er ook misschien de naiviteit van inzien).

Het voordeel van een definitie gebaseerd op verzamelingenleer bijvoorbeeld is dat je nu eens alle "metafysische beschouwingen" ermee helemaal achterwege kan laten want het dinges is een verzameling. Punt.

"snijden evenwijdige rechten elkaar in 't oneindige" is een van die rare vragen waar je metafysisch kan gaan over zeveren. Welnu, in Euclidische meetkunde is 't antwoord nee natuurlijk (de doorsnede is nul). In projectieve meetkunde is het antwoord ja: op de horizon. En als je het Euclidisch vlak uitbreidt, ja. En je kan het op verschillende manieren uitbreiden (bijvoorbeeld C met een punt op het oneindige). En we zijn nu topologie aan 't doen.
Omdat "het oneindige" dan een precieze betekenis heeft gekregen, en niet meer "de Olympus" of "daar waar god de vader woont" of zo is.

[alter]

Patrickve schreef :

Wel ja, dat is mijn punt hier. Is het niet beter om wat tijd op te offeren om die begrippen zonder verwarring in te voeren (en ondertussen het abstracte spel in te voeren dat hiervoor nodig is, en dus een training in abstract denken betekent), eerder dan de mensen de wereld in te sturen met vage en metafysisch bizarre ideeen, zodat ze zich de rest van hun leven een raar beeld vormen van wat wiskunde nu juist is (een soort mystiek genootschap waar men over rare dingen zoals oneindigheid en oneindige kleinheid en zo praat...) ?

Mystiek genootschap ! Het lijkt er wel wat op hé ?? En het is nu juist hiervoor dat bvb een Vladimir Arnold heeft willen waarschuwen :

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html

Arnold stelt : “Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap” en daar is mij dunkt wel iets voor te zeggen…

De kwestie is niet “wat tijd” maar “hoeveel tijd”.. !! Overigens, het lijkt me veel beter eerst een opleiding te krijgen in elementaire “klassieke” wiskunde, dan kan men achteraf de verwezenlijkingen van de moderne wiskunde nog beter waarderen.

Zelf heb ik –lang geleden- de prestaties van de moderne wiskundigen naar waarde kunnen schatten, door de lectuur van een onooglijk maar schitterend boekje uit de Prismareeks “Moderne Wiskunde” van C. Van der Linden.. Nogmaals voor mij dient secundair onderwijs in de eerste plaats, om -naast wat inzicht- ook en vooral om rekenvaardigheid aan te kweken en hiervoor is tijd nodig, veel tijd..

Wat dat begrip limiet betreft, hebben wij destijds in het 5de jaar humaniora de algemene definitie gezien van wat een topologische ruimte was (een verzameling, uitgerust met een verzameling "omgevingen" - een topologie en een genererende verzameling van omgevingen: de basis van een topologie).

Ik had me zelfs destijds geamuseerd met het berekenen van het aantal mogelijke topologieen over een verzameling met 4 elementen: het zijn er 355 tussen haakjes.

Eerst speel je daar een beetje mee op speelgoed verzamelingetjes, en als dat een beetje intuitief begint te worden, ga je zien dat elke metriek (elke positief definiete metriek) vanzelf een natuurlijke topologie genereert, en dat je dus de metriek "absolute waarde" kan gebruiken op de reele rechte. Die vormt dan de standaard topologie op de reele getallen.
En eens je een topologie hebt, dan is 't begrip "limiet" heel eenvoudig in te voeren.

Het lijkt mij nu echt niet nodig om er de “topologie” bij te sleuren om het begrip limiet precies te formuleren..
Fred Schuh bvb. definieert het begrip limiet (van een complexe functie) uitgaande van de begrippen “verdichtingspunt en “geïsoleerd punt”. Het ganse hoofdstuk over de limieten beslaat in zijn boek amper 10 pagina’ s en hij behandelt in alle gestrengheid het functiebegrip, het limietbegrip en de uitbreiding van het limietbegrip (cf. Deel 1 pp. 105-117).. !!!!

Wat "toegepaste wiskunde" betreft, ik ben er niet echt van overtuigd dat dat veel nut heeft als je geen solide basis hebt. Dan is "toegepast" synoniem voor "verkeerd". Met dun uitgesmeerde, maar "toegepaste" wiskunde heb je niks. Je kan het niet echt gebruiken in praktische problemen (want je bent nooit zeker wat je doet), je kan geen boek erover lezen (want je mist de basisbegrippen die de schrijver ervan veronderstelt), en als je toch verder wil gaan, moet je toch helemaal van voren af aan herbeginnen, dus alles tot dan toe is verloren moeite geweest. Het is pas na helemaal van voren aan herbegonnen te zijn dat je eindelijk je toegepast spul gaat begrijpen (en er ook misschien de naiviteit van inzien).

Voor sommige wiskundigen (bvb G. H. Hardy) is toegepaste wiskunde zelfs niet eens wiskunde .. tja als men sommige mathematici zou laten betijen, nietwaar.
Toegepaste wiskunde (“Wiskundige methoden voor..”) staat nochtans op het universitaire programma voor biologen, chemici, fysici, ingenieurs.. enz.
Deze materie moet uiteraard daar aangepast en uitgewerkt worden (of zou het moeten zijn) en dit volgens het peil van de student en de aard van de “specialiteit”. Met de actuele BaMa structuur behoort dit zeker tot de mogelijkheden.

U stelt het hier nu voor of het volstaat enkele “basisbegrippen” meer aan te leren in het secundair onderwijs en dat dan voor de rest dan er geen enkel probleem is, of begrijp ik u verkeerd ??

Uw gedachtegang of redenering volgend zou men logischerwijze eerst een bachelor in de wiskunde moeten behalen alvorens de eigen specialiteit te kiezen ?? Misschien geen slecht idee om zoiets te eisen, dan zou de wiskundige faculteit aan meer volk geraken..

Maar alle gekheid op een stokje : een goed jaar geleden heb ik mij nog de boeken van Marco en Lazzarini (L1 en L2) aangeschaft; Het leek mij een prachtidee om alle wiskunde van de eerste licentie Wiskunde (= B1 in België) respectievelijk de tweede licentie (= B2) telkens in één boek te verzamelen en aldus de diverse wiskundegebieden op elkaar af te stemmen. Voor de derde licentie (L3) zijn drie delen voorzien (“Analyse”, “Algèbre” en “Mathématiques appliquées”) : “Analyse” is beschikbaar in Juni.. Van “Mathématiques appliquées” is echter nog geen sprake.. Afschaffen dus maar ???

Het voordeel van een definitie gebaseerd op verzamelingenleer bijvoorbeeld is dat je nu eens alle "metafysische beschouwingen" ermee helemaal achterwege kan laten want het dinges is een verzameling. Punt.

"snijden evenwijdige rechten elkaar in 't oneindige" is een van die rare vragen waar je metafysisch kan gaan over zeveren. Welnu, in Euclidische meetkunde is 't antwoord nee natuurlijk (de doorsnede is nul). In projectieve meetkunde is het antwoord ja: op de horizon. En als je het Euclidisch vlak uitbreidt, ja. En je kan het op verschillende manieren uitbreiden (bijvoorbeeld C met een punt op het oneindige). En we zijn nu topologie aan 't doen.
Omdat "het oneindige" dan een precieze betekenis heeft gekregen, en niet meer "de Olympus" of "daar waar god de vader woont" of zo is.

U bent blijkbaar geobsedeerd door het woord “metafysisch”.. Vooaleer hier ik verder op inga even een kleine vraag : bent u vertrouwd met de “Elementen van Euclides” ??

[Flanelcondoom]

Klassieke wiskunde kan niet zomaar worden aangeleerd zonder een degelijke basis.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door alter

Patrickve schreef :



Mystiek genootschap ! Het lijkt er wel wat op hé ?? En het is nu juist hiervoor dat bvb een Vladimir Arnold heeft willen waarschuwen :

http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html

Arnold stelt : “Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap” en daar is mij dunkt wel iets voor te zeggen…

Kijk, ik ben ingenieur en natuurkundige van opleiding, maar om te zeggen dat "wiskunde een stuk van de natuurkunde" is, zou toch wel menig wiskundige van zijn stoel laten vallen, nee ? Het is net dat onderscheid dat het essentiele is in de wiskunde zou ik zeggen (hoewel, ik moet toegeven dat diep epistemologisch gezien, natuurkunde en wiskunde wel kat en muis spelen ; je zou je zelfs kunnen afvragen of zoiets als een formele logica mogelijk zou zijn in een unversum waar het Pauli uitsluitingsbeginsel niet geldt (en je dus niks kan "memoriseren" in discrete stappen - maar nu gaan we wel nogal ver).

Het sociaal belang van de wiskunde zit hem natuurlijk voor een deel in die bizarre eigenschap van ons universum dat wiskunde kan gebruikt worden (deels althans) om het te beschrijven. Natuurkunde is een van de "grootste klanten" van de wiskunde. Maar om te stellen dat de wiskunde "een stuk van de natuurkunde" is, is toch wat ver gaan.

De kwestie is niet “wat tijd” maar “hoeveel tijd”.. !! Overigens, het lijkt me veel beter eerst een opleiding te krijgen in elementaire “klassieke” wiskunde, dan kan men achteraf de verwezenlijkingen van de moderne wiskunde nog beter waarderen.

Mijn punt is net dat "klassieke wiskunde" veel moeilijker te vatten is dan moderne! Want je stelt je een hoop "metafysische" vragen, die hadden kunnen opgelost worden door direct de goeie definities te geven. Ik ben het met U eens over het feit dat men misschien de fout gemaakt heeft om te snel te veel willen te veralgemenen. Maar vaak gaan de twee hand in hand: het is vaak veel *gemakkelijker* de algemene en strikte definitie te geven (ontdaan van alle onnodige specificiteit) dan zich te verwarren in onduidelijke definities van specifieke gevallen "om toch maar klassiek kunnen te blijven doen".

Zelf heb ik –lang geleden- de prestaties van de moderne wiskundigen naar waarde kunnen schatten, door de lectuur van een onooglijk maar schitterend boekje uit de Prismareeks “Moderne Wiskunde” van C. Van der Linden.. Nogmaals voor mij dient secundair onderwijs in de eerste plaats, om -naast wat inzicht- ook en vooral om rekenvaardigheid aan te kweken en hiervoor is tijd nodig, veel tijd..

Eerlijk gezegd weet ik niet - zeker niet vandaag waar je numerieke en algebraische rekenprogramma's kan gebruiken - waar het goed voor is om "rekenvaardigheid" aan te kweken eerder dan "begrip".

Ik weet helemaal niet wat de doorsnee humaniorastudent die nadien humane wetenschappen of zo gaat doen, en dus geen verdere wiskunde opleiding gaat krijgen, ook maar daadwerkelijk kan doen met zijn wiskundige "rekenvaardigheid", rekenvaardigheid die hij heeft bekomen ten koste van het duidelijk definieren van de wiskundige concepten die er aan de basis van liggen. Ik had ook een heel goede rekenvaardigheid, trouwens (heb die nog steeds). Die "moderne" opleiding is dus niet ten koste gegaan van enige rekenvaardigheid, misschien (dat is dus mijn betoog hier) net omdat de basisbegrippen zo kristal helder waren ingevoerd dat je daar geen vragen meer over had.

Het lijkt mij nu echt niet nodig om er de “topologie” bij te sleuren om het begrip limiet precies te formuleren..
Fred Schuh bvb. definieert het begrip limiet (van een complexe functie) uitgaande van de begrippen “verdichtingspunt en “geïsoleerd punt”. Het ganse hoofdstuk over de limieten beslaat in zijn boek amper 10 pagina’ s en hij behandelt in alle gestrengheid het functiebegrip, het limietbegrip en de uitbreiding van het limietbegrip (cf. Deel 1 pp. 105-117).. !!!!

Maar verdichtingspunt is een topologisch begrip !

Wat ik gewoon wilde zeggen is dat door die topologie in te voeren, je niet veel meer tijd verkwanselt dan door te praten over intervallen en open bollen en weet ik veel, en dat je direct de essentie hebt aangegeven. Dat vraagt niet veel meer tijd en je hebt een veel beter "verstaan" van wat er nu precies met die a priori "ongrijpbare" concepten van "limiet" en "continuiteit" en zo bedoeld wordt (en ook hun relativiteit ten aanzien van de topologie in kwestie ; als je naar functieruimten gaat wordt dat belangrijk: kwadratische norm, of puntsgewijze norm, ... en dan krijg je alle verschillende vormen van convergentie en zo).

U stelt het hier nu voor of het volstaat enkele “basisbegrippen” meer aan te leren in het secundair onderwijs en dat dan voor de rest dan er geen enkel probleem is, of begrijp ik u verkeerd ??

Wat ik zeg is dat het intellectueel (volgens mij) niet meer moeite vraagt (ik ben zelfs geneigd om te stellen dat het veel gemakkelijker is) om de strikte en soms hieruit volgend de meer algemene definities van concepten te geven zoals dat destijds gedaan werd, dan proberen "zo snel mogelijk en zo simpel mogelijk" de concepten half intuitief in te voeren, om daar dan "rekenvaardigheid" mee te ontwikkelen.

Het is een beetje alsof je, ik zeg maar wat, eerst zou leren "fonetisch" schrijven in 't nederlands, omdat dat "gemakkelijker" gaat, om dan nadien de juiste schrijf en spellingsregels pas te leren als je specifieke studies nederlands of zo gaat doen.

Nee, leer het van de eerste keer juist, zoals het hoort, zou ik stellen.

Uw gedachtegang of redenering volgend zou men logischerwijze eerst een bachelor in de wiskunde moeten behalen alvorens de eigen specialiteit te kiezen ?? Misschien geen slecht idee om zoiets te eisen, dan zou de wiskundige faculteit aan meer volk geraken..

Helemaal niet. Zoals ik reeds zegde, heb ik dat destijds op de humaniora gekregen, net zoals mijn klasgenoten, die daar niet speciaal moeite mee hebben. Van de 11 leerlingen zijn er twee burgerlijk gaan doen, 1 is wiskunde gaan doen, en de anderen zijn in niet-wetenschappelijke richtingen gegaan.

We zijn er niet aan gestorven.

Maar alle gekheid op een stokje : een goed jaar geleden heb ik mij nog de boeken van Marco en Lazzarini (L1 en L2) aangeschaft; Het leek mij een prachtidee om alle wiskunde van de eerste licentie Wiskunde (= B1 in België) respectievelijk de tweede licentie (= B2) telkens in één boek te verzamelen en aldus de diverse wiskundegebieden op elkaar af te stemmen. Voor de derde licentie (L3) zijn drie delen voorzien (“Analyse”, “Algèbre” en “Mathématiques appliquées”) : “Analyse” is beschikbaar in Juni.. Van “Mathématiques appliquées” is echter nog geen sprake.. Afschaffen dus maar ???

Kijk, ik doe een groot deel van mijn werk "toegepaste wiskunde". Ik knutsel ook numerieke dinges in elkaar en zo. Maar ik denk dat alvorens je daaraan begint, je eerst een goed begrip moet hebben van wat er "onder de motorkap" gebeurt.

U bent blijkbaar geobsedeerd door het woord “metafysisch”.. Vooaleer hier ik verder op inga even een kleine vraag : bent u vertrouwd met de “Elementen van Euclides” ??

Een beetje, ja. Ik ga nu niet zeggen dat ik dat werk van buiten ken, ik heb het zelfs niet helemaal gelezen, maar voor de grap ben ik toevallig niet lang geleden begonnen met het te lezen. Waarom ?

[Der Wanderer]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Verzamelingenleer - tenminste de "naieve" verzamelingenleer die destijds werd onderwezen (en niet de axiomatische verzamelingenleer van Fregge en co, die natuurlijk veel te moeilijk is op humaniora niveau), die einde lagere school begonnen werd en dan in de eerste jaren van de humaniora werd uitgewerkt, had het voordeel van ten eerste een struktuur te zijn die analoog is aan de propositielogica (of word de unie van verzamelingen, en word de doorsnede, niet wordt het complement....), maar die ook de onderbouw is voor elk wiskundig concept. Als dusdanig heeft men een unificatie van alle wiskundige concepten (in de "echte" wiskunde is dat nogaltijd zo). Alle wiskundige begrippen zijn niks anders dan verzamelingen, en operaties op verzamelingen. Het had, voor mij altans, het grote voordeel van heel duidelijk te zijn.

Een natuurlijk getal was niks anders dan een partitie (dus een deelverzameling) bekomen door de equivalentierelatie "bijectie" tussen verzamelingen met een eindig aantal elementen. Ik vond dat mooi als idee, en het geeft inderdaad echt aan wat het getal "drie" distilleert als abstract concept: beschouw alle verzamelingen met een eindig aantal elementen, beschouw dan alle mogelijke bijecties (1-1 relaties) tussen deze verzamelingen, en dan deel je de verzameling van al die verzamelingen met een eindig aantal elementen op in verschillende klassen waarin de verzamelingen onderling verbonden zijn. Wel, die klassen, die deelverzamelingen, zijn wat men een natuurlijk getal noemt.

En zo heb je een structurele definitie gegeven aan wat een natuurlijk getal is.

Doe hetzelfde met koppels van getallen, en de bijectie (...zijn een veelvoud van...), en die koppels worden ook weer ingedeeld in partities die deze keer de breuken voorstellen. We hebben als dusdanig de verzameling van rationale getallen gedefinieerd.

En zo voort. Alles was een verzameling. Ik vond dat heel duidelijk.

Onder "algebraische structuur" verstaat men niet "algebra doen" maar een stel basis axioma's van operaties over een verzameling definieren, en dan, in 't abstracte, daarvan de eigenschappen afleiden.

De meest elementaire algebraische structuur is natuurlijk de groep en die is gebaseerd op 4 regels:
we hebben een verzameling V, en een "operatie" o, die niks anders is dan een functie van de koppels van V in V.
Als we hebben dat we:
1) voor elk koppel (v1, v2) wel degelijk een beeld hebben onder o(v1,v2) in V (inwendigheid)
2) voor elk 3-tal elementen van V, v1, v2, en v3, hebben dat:
o(o(v1,v2),v3) = o(v1,o(v2,v3)) (associativiteit)
3) er een element v0 is in V, zodat voor elke v1 in V, o(v0,v1) = v1 = o(v1,v0) (neutraal element)
4) er voor elk element v1 in V, er een element v2 in V bestaat, zodat o(v1,v2) = v0 = o(v2,v1) (invers element)

wel, dan heb je een groep.

Als er bovendien nog geldt dat
5) o(v1,v2) = o(v2,v1)

dan heb je een commutatieve groep.

Er zijn natuurlijk veel voorbeelden van commutatieve groepen:
optelling in de gehele getallen, vermenigvuldiging in de rationale getallen, maar nog vele andere voorbeelden, zoals de cyclische groepen.

Dat soort spul werd dan in het tweede jaar humaniora gegeven, en het voordeel is dat als je abstract gewoon van de bovenstaande eigenschappen uitgaat, dat je dan eens en voor goed de rekenregels hebt afgeleid en dat die dus meteen bewezen zijn voor ALLE voorbeelden van groepen.

Een lichaam was niks anders dan twee groepen (twee operaties) over dezelfde verzameling (allez, de tweede uitgezonderd het neutraal element van de eerste), en een distributiviteitseigenschap tussen de twee. Een veld, idem, maar voor commutatieve groepen.

Het blijkt dat de gewone "algebra" niks anders is dan de algebra van een veld. Als je dus een veld structuur hebt, weet je dat alle gewone rekenregels van toepassing zijn.

Een ring was een groep, en een "halve groep" (enkel maar inwendigheid en associativiteit, maar geen eenheidselement of geen invers element).

Met andere woorden, je leert de rekenregels herkennen als eigenschap van de abstracte structuur "groep" en niet als "eigenschap van de reele getallen" of zoiets.

Eens je Euclidische meetkunde hebt ingevoerd, kan je deze strukturen dan heel snel aanwenden om geometrische operatoren te beschouwen. Dat was het werk van het 4de en 5de jaar.

Ken je een boek waarin deze dingen verstaanbaar uitgelegd worden? Wij hadden nog 'moderne wiskunde' in het eerste jaar, ik had voor het examen daarvan alle punten (de leraar is me persoonlijk komen feliciteren) maar toch snap ik het niet.

[Libro]

Oorspronkelijk geplaatst door Der Wanderer

Ken je een boek waarin deze dingen verstaanbaar uitgelegd worden? Wij hadden nog 'moderne wiskunde' in het eerste jaar, ik had voor het examen daarvan alle punten (de leraar is me persoonlijk komen feliciteren) maar toch snap ik het niet.

Welke idioot heeft trouwens beslist "realistisch rekenen" in de leerplannen op te nemen?

[maddox]

Oorspronkelijk geplaatst door Libro

Welke idioot heeft trouwens beslist "realistisch rekenen" in de leerplannen op te nemen?

Bedoel u relatistisch rekenen zoals de ambtenaren dat doen die onze leidende politici moeten adviseren over inkomsten en uitgaven?

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Der Wanderer

Ken je een boek waarin deze dingen verstaanbaar uitgelegd worden? Wij hadden nog 'moderne wiskunde' in het eerste jaar, ik had voor het examen daarvan alle punten (de leraar is me persoonlijk komen feliciteren) maar toch snap ik het niet.

Ik heb zelf twee boekjes geschreven in het Frans hierover. Hier is het eerste, dat het meeste uitgewerkt is.

https://mega.nz/file/5AwGVB5A

pw: DpOxYVbeyLj3Ywrooyd86g2Utb1Te6J41dKBXamOkSE

Het vervolgwerkje is minder bewerkt, en wat moeilijker te volgen denk ik:

https://mega.nz/file/QZxwAJ7B

pw: mLSaIWIYNHm4NeLZs7qmqmTA3X40ej8afL0_b0sfiL0

edit:

als we dan toch bezig zijn, kan ik hier ook mijn boekje natuurkunde geven:

https://mega.nz/file/MU4WDLBQ

pw: rvaVPcW6zkQ9DFZGJR-CsQcsA_TuywUHvXhEdaA3ylY

Er zijn wat afbeeldingen die blijkbaar verkeerd gegaan zijn, maar bon.

[Der Wanderer]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Ik heb zelf twee boekjes geschreven in het Frans hierover. Hier is het eerste, dat het meeste uitgewerkt is.

https://mega.nz/file/5AwGVB5A

pw: DpOxYVbeyLj3Ywrooyd86g2Utb1Te6J41dKBXamOkSE

Het vervolgwerkje is minder bewerkt, en wat moeilijker te volgen denk ik:

https://mega.nz/file/QZxwAJ7B

pw: mLSaIWIYNHm4NeLZs7qmqmTA3X40ej8afL0_b0sfiL0

edit:

als we dan toch bezig zijn, kan ik hier ook mijn boekje natuurkunde geven:

https://mega.nz/file/MU4WDLBQ

pw: rvaVPcW6zkQ9DFZGJR-CsQcsA_TuywUHvXhEdaA3ylY

Er zijn wat afbeeldingen die blijkbaar verkeerd gegaan zijn, maar bon.

Wow, schitterend. Zou daar geen uitgever voor zijn trouwens? Zeer bedankt in elk geval!

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Der Wanderer

Wow, schitterend. Zou daar geen uitgever voor zijn trouwens? Zeer bedankt in elk geval!

Bof, ik hou ze liever Creative Commons.

[stab]

Oorspronkelijk geplaatst door Der Wanderer

Ken je een boek waarin deze dingen verstaanbaar uitgelegd worden? Wij hadden nog 'moderne wiskunde' in het eerste jaar, ik had voor het examen daarvan alle punten (de leraar is me persoonlijk komen feliciteren) maar toch snap ik het niet.

https://lesharmoniesdelesprit.files....icavolumei.pdf

[Jantje]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Wie heeft dat destijds gehad in de humaniora en wat vond U ervan ?

(moderne wiskunde was gebaseerd op verzamelingenleer en algebraische structuren, groep, ring, lichaam, veld, vectorruimte, ...)

Ik heb nog moderne wiskunde gehad.
En hoewel de basis abstract is, is het een goede basis om andere zaken te kunnen begrijpen.
In mijn beroepsleven gebruikte is de moderne wiskunde vaak om mensen uit het BSO en TSO probleemoplossend te denken.