twee plus twee

[Nyquist]

Ik vind het een interessante vraag.

Vrijwel iedereen zal wel akkoord zijn dat in de formele logica beide uitspraken onwaar zijn, en dat dit een ondeelbaar begrip is. Echter, ik denk dat de vraag eerder ging over de verschillende reacties die de beide antwoorden bij een persoon oproepen.

Ik denk dat mijn benadering is dat een mens geen logische, exacte 'state machine' is maar eerder een 'pattern matcher'. Het antwoord wordt niet verwerkt als een booleaanse juist-fout, maar de 'aanvaardbaarheid' van het antwoord wordt getoetst aan hetgene de observator verwachtte. Op die manier zijn er wel degelijk gradaties mogelijk, en deze zullen zelfs verschillen van persoon tot persoon.

Bijvoorbeeld, iedereen verwacht een getal als antwoord. Een verkeerd getal is 'meer aanvaardbaar' dan een kleur, omdat de kleur een paradigmeoverschrijding is. De mismatch met het verwachtte antwoord, het patroon waarmee vergeleken werd, is groter.

In die zin kan ik het argument over de 'grammatica van de wiskunde' wel volgen, maar ik denk niet dat het daartoe beperkt is. Het antwoord "7" zal bijvoorbeeld een kleinere mismatch opleveren dan het antwoord "15 miljoen".

Dit kan grote verschillen opleveren tussen personen. Bijvoorbeeld, welk antwoord is 'meer juist'?:

2+2 = 5

of

2+2 = 4,1

Een wiskundige zal misschien zeggen "5, want dat is tenminste een natuurlijk getal, en het is onmogelijk een niet-natuurlijk getal te verkrijgen als som van 2 natuurlijke getallen", terwijl een ingenieur misschien simpelweg zal zeggen "4,1; want dat is dichter bij het juiste antwoord".

Het is reeds in het verleden aangetoond dat mensen zeer slecht zijn in het nemen van zuiver logische beslissingen, zeker waar het getallen of waarschijnlijkheden aangaat. Game Theory is daaromtrent een zeer interessant domein. Wat blijkt is dat de subjectieve ervaring vaak veel doorslaggevender is dan wat zuivere logica zou dicteren als optimaal resultaat.

Waar het voorspellen of beschrijven van menselijk gedrag betreft levert de logische benadering dus een suboptimaal resultaat

[okke]

Twee plus twee is zeven is logisch correct en onwaar.
Twee plus twee is groen is logisch incorrect.
Twee plus twee is vier is logisch correct en waar.
Blauw en geel is groen is logisch correct en waar.
Geel en rood is groen is logisch correct en onwaar.
Blauw en geel is zeven is logisch incorrect.

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door okke

Blauw en geel is groen is logisch correct en waar.

Dat is enkel waar in een bepaalde context.

Zo klopt die uitspraak wel in de context van een subtractief kleurenmodel maar niet in de context van een additief kleurenmodel.

[netslet]

Twee plus twee is groen kan trouwens voor iemand met grapheme-color synesthesia wel een zinvolle uitspraak zijn.

[heir4c]

Waar en onwaar hangen af van wat je geleerd en afgesproken hebt, zelfs de boleaanse regel is een afspraak, weliswaar de meest éénvoudige: l=waar O=onwaar.
Het zijn echter die regels en afspraken die het moeilijk maken om elkaar te begrijpen. En de ene zijn waarheid is de andere niet. Zelfs in bij bewerkingen van cijfers kan men verschillende uitkomsten hebben ook al zijn ze allemaal waar. Een voorbeeld:

44+67-11x2+7-9:3-10:5x0 =0
44+67-11x2+7-9:3-10:5x0 =69
44+67-11x2+7-9:3-10:5x0 =79
44+67-11x2+7-9:3-10:5x0 =83
44+67-11x2+7-9:3-10:5x0 =93

Bij deze hangt het af wat men eerst doet:
Gewoon alle bewerkingen achter elkaar,
of eerst alle x
of eerst alle :
of eerst alle +
of eerst alle -
En dan hangt het nog af wat men als volgende bewerking na deze doet.
Zo bekomt men verschillende uitkomsten die toch juist zijn. (Hangt af welke regels je volgt)
Zo ook met alle andere zaken.
Wat is dus waar en wat onwaar?
Alles is dus waar en onwaar, tegelijkertijd.
De Paradox van het leven.
Net zoals met God. Als je de stelling hanteert dat God alles is dan is hij ook niets.
De waarnemer beïnvloed het waargenomene.

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door Zucht

Binnen de getallentheorie is 2+2 = 7 onwaar.
Aangezien "groen" niet gedefinieerd is in getallentheorie kan 2+2=groen daar zelfs geen theorema zijn.
Je zal dus eerst de axiomas en regels moeten opzetten van een nieuw getallensysteem MET het concept groen. Afhankelijk van de axiomas die je kiest kan 2+2 = groen waar zijn. Bijvoorbeeld : rood = 1, geel = 2, blauw = 3, groen = 4.

Dit is correct.

[Pieter B]

Oorspronkelijk geplaatst door Flanelcondoom

Dit is correct.

Zo is dat.

[heir4c]

.....
Edit: verkeerde knopje

[redwasp]

vrede,

Oorspronkelijk geplaatst door Zucht

Binnen de getallentheorie is 2+2 = 7 onwaar.
Aangezien "groen" niet gedefinieerd is in getallentheorie kan 2+2=groen daar zelfs geen theorema zijn.
Je zal dus eerst de axiomas en regels moeten opzetten van een nieuw getallensysteem MET het concept groen. Afhankelijk van de axiomas die je kiest kan 2+2 = groen waar zijn. Bijvoorbeeld : rood = 1, geel = 2, blauw = 3, groen = 4.

bedoel je dan dat waarheid altijd afhankelijk is van het systeem waarbinnen een uitspraak gedaan wordt?

vrede,

redwasp

[Zucht]

Oorspronkelijk geplaatst door redwasp

vrede,



bedoel je dan dat waarheid altijd afhankelijk is van het systeem waarbinnen een uitspraak gedaan wordt?

vrede,

redwasp

In een axiomatisch systeem wel ja.
Lees er de geschiedenis van de Euclidische meetkunde eens op na, en de historische puzzel waarom het "vijfde axioma" een buitenbeentje leek. Het heeft vele eeuwen van noest wiskundig gezwoeg gekost om tot dit begrip te komen.

Een boek dat ik kan aanraden om inzicht te krijgen in axiomatische systemen is "Gödel, Escher, Bach" van Douglas Hofstadter. (Won de Pulitzer prijs voor non-fictie in 1980) Het geeft om te beginnen een grondige, maar goed verstaanbare uitleg van wiskundige formele systemen, en daarnaast een filosofische uitleg van de paradoxen die in die systemen optreden. En natuurlijk is er ook heel wat aandacht voor de consequenties van Gödel's onvolledigheidsstellingen.
(Hofstadter trekt dit door naar de werking van de hersenen als fysisch systeem en het verschil tussen wiskundige bewijzen en intelligente besluiten. Om op een speelse manier een inzicht te krijgen van wiskundige systemen is het un elk geval een aanrader.)

[redwasp]

vrede,

ik ga akoord dat binnen de wiskunde de waarheid van een uitspraak volledig afhangt van het axiomatisch systeem waarbinnen die uitspraak wordt gedaan. dat geldt evenzeer voor de onwaarheid van een uitstpraak. ik wil er echter aan toevoegen dat dit alleen geldt voor grammaticaal correcte uitspraken. mijn voorbeeld "twee plus twee is groen" lijkt mij niet grammaticaal correct te zijn.

volgens mij kan een niet grammaticaal correcte uitspraak niet eenduidig worden geïnterpreteerd en kan de waarheidswaarde ervan dan ook niet worden geëvalueerd. zo'n uitspraak is dan niet onwaar, maar onzinnig.

het klopt dat we (taal-)systemen kunnen bedenken waarbinnen "twee plus twee is groen" wel kunnen interpreteren en dat die uitspraak binnen die systemen dus waar of onwaar zou kunnen zijn, maar we zouden ons kunnen afvragen of dit systeem ook bestaat wanneer we (ook op een moment dat we niet aan filosofie doen) zo'n uitspraak kunnen interpreteren, alleen gebruik makend van de interpretatieregels die we al kennen. wat bedoelen we trouwens wanneer we zeggen dat dit systeem al dan niet "bestaat"? (bestaat een wiskundige redenering met andere woorden ook al voor de eerste wiskundige ze ooit uitdacht? nu ja, we wijken af)

vrede,

redwasp

[redwasp]

vrede,

Een boek dat ik kan aanraden om inzicht te krijgen in axiomatische systemen is "Gödel, Escher, Bach" van Douglas Hofstadter. (Won de Pulitzer prijs voor non-fictie in 1980) Het geeft om te beginnen een grondige, maar goed verstaanbare uitleg van wiskundige formele systemen, en daarnaast een filosofische uitleg van de paradoxen die in die systemen optreden. En natuurlijk is er ook heel wat aandacht voor de consequenties van Gödel's onvolledigheidsstellingen.
(Hofstadter trekt dit door naar de werking van de hersenen als fysisch systeem en het verschil tussen wiskundige bewijzen en intelligente besluiten. Om op een speelse manier een inzicht te krijgen van wiskundige systemen is het un elk geval een aanrader.)

ik heb het boek van hofstadter jaren geleden al gelezen. leuke popularisering, het werk van gödel zelf (en natuurlijk dat van escher en dat van bach) vind ik eerlijk gezegd iets grondiger en ook iets helderder. zijn belangrijkste artikels over formele systemen staan integraal op het net (vb http://www.research.ibm.com/people/h...n00-goedel.pdf)

zelf heb ik mijn mosterd gehaald bij g.t.kneebone. zijn "mathemathical logic and the foundations of mathematics" uit de jaren '50 van de vorige eeuw (heb het boek hier niet bij me) geeft een grondige en overzichtelijke inleiding van de filosofie van de wiskunde tot eind jaren '30. in tegenstelling tot hhofstadter probeert hij de behandelde theorieën wel grondig te presenteren, ook het formele apparaat.

verder heb ik natuurlijk zelf zo veel mogelijk gelezen van peano, frege, hilbert, russell, post, church... vooral de lambda-calculus van church heeft een hele tijd mijn volle aandacht gehad.

ik denk dat ik gerust kan stellen dat ik min of meer thuis ben in de materie.

vrede,

redwasp

[Kodo Kodo]

Oorspronkelijk geplaatst door redwasp

vrede,

beschouwen we volgende twee uitspraken:

1. twee plus twee is zeven
2. twee plus twee is groen

beiden zijn onzwaar, dat is simpel. we hebben echter de neiging om te denken dat uitspraak 2. meer onwaar is dan uitspraak 1. hoe komt dit?

en als uitspraak 2. inderdaad meer onwaar is, betekent dat dan dat er eigenlijk in de praktijk meerdere gradaties van waar en onwaar bestaan?

vrede,

redwasp

In de formele logica werd vroeger met twee categorieën "proposities" gewerkt: waar en onwaar. Ongeveer een eeuw geleden, als ik het nog weet, kwam iemand met een nieuwe categorie, en het onmisbare karakter daarvan op de proppen: "waar", "onwaar" en "zinledig", werd het voortaan. De namen van de denkers aan wie we dit te danken hebben ben ik vergeten. De proposities "God bestaat" en "God bestaat niet" worden door velen als "zinledig" gecategoriseerd. Einstein deed dat impliciet ook door de vraag "Gelooft u in God?" te beantwoorden met de tegenvraag: "Wat bedoelt u met dat woord?"

"Twee plus twee is groen" lijkt me zinledig.

De Aymara-taal in Bolivië/Peru schijnt geheel op een drieledige ipv tweeledige logica te zijn opgebouwd, maar ik herinner me niet of die met het bovenstaande te vergelijken is, wel nog dat ik het razend interessant vond toen ik die grammatica bekeek, en prompt weer alles vergeten ben. Geïnteresseerden vinden alles wel op het www.

[Kodo Kodo]

Oorspronkelijk geplaatst door redwasp

ik denk dat ik gerust kan stellen dat ik min of meer thuis ben in de materie.

vrede,

redwasp

Ja redwasp, het ziet ernaar uit dat ik in de boeken waarnaar je verwijst alles kan terugvinden wat ik vergeten ben of verzuimd heb. Bedankt voor de tips. Ik zie dat ik wat te snel heb gereageerd, want jij zult het wel beter kunnen uitleggen.