Iets voor de wiskundigen onder ons

[netslet]

Je kan toch helemaal geen hoek meten tussen twee oriëntatiepunten.

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Je kan toch helemaal geen hoek meten tussen twee oriëntatiepunten.

Oei, slecht uitgedrukt.

Hoek meten tussen de rechten bepaald door het punt waarin de waarnemer staat, en twee orientatiepunten.

Wat een theodoliet doet.

[De_Laatste_Belg]

Oorspronkelijk geplaatst door Flanelcondoom

Uit de link van Huck:



Wat zo'n beetje het antwoord is op een van mijn vragen.

'k Denk het niet. Verre van.

Het optimale stelsel is afhankelijk van het probleem waarop je jouw teergeliefde wiskunde wil toepassen.

En ik denk ook dat er meer betrokken is dan de 'grootte' van de cyclus. Tenslotte is elke cyclus achter de komma zo'n beetje even groot. Of te wel betrekkelijk oneindig deelbaar in eenheden.

Belangrijker dan de grootte van de cyclus zijn volgens mij:

1) Het basisgetal
2) De schaal
3) De meeteenheden
4) De ondeelbaarheid van een natuurlijke eenheid
5) De vereiste nauwkeurigheid
6) Servo systemen.

Basisgetal. Er zijn problemen die gemakkelijker op te lossen zijn met PI als basisgetal. Waarbij elk getal geschreven wordt als x aantal keer pi. De grootte van de cyclus van x maakt dan niks uit.

Schaal. Als je wiskunde toepast op natuurlijke gebeurtenissen dan is 't veelal aangewezen om over te stappen op een logaritmische schaal. Omdat de gevoeligheden, de te verwachten acties en reacties, gewoon logaritmisch ageren.

Meeteenheden. Als je met grote coördinaten gaat werken, dan is 't gemakkelijker om te rekenen in x maal de lichtsnelheid. En weer is het niet x dat in staat voor de vereenvoudiging.

Ondeelbaarheid. Als je wil weten hoeveel levende koeien dat je hebt, dan is 't eenvoudiger om je te beperken tot natuurlijke getallen. Weer is de cyclus hier niet de belangrijkste vereenvoudiging.

Nauwkeurigheid. In nogal wat probleem stellingen zijn speciale getallen betrokken. Zoals PI, zoals e. Het is eenvoudiger om naar een oplossing te streven die wordt uitgedrukt in x maal het getal. Waarbij de uitkomst wordt vertaald naar een vereiste nauwkeurigheid. Door gewoonweg bijvoorbeeld te vertalen met pi = 3,14 .. wanneer er geen grote nauwkeurigheid wordt vereist.

Servosystemen. Servo systemen bulken van relatieve waarden. Zo is het bijvoorbeeld eenvoudiger om de waarde van een munt uit te drukken in x maal de basis rente die de som vertegenwoordigd.

Ik denk dus dat jouw antwoord niet met pure wiskunde kan gegeven worden, zonder de toepassing te ontleden.

[netslet]

Intuïtief antwoord:

3 onderdelen:

Blad papier met goniometrische cirkel en gradenaanduiding op.
2 laserpointers.

Richt de laserpointers zo dat de uitgestraalde stralen het waarnemerspunt en respectievelijk het eerste en het tweede oriëntatiepunt raken. (laser 1 = waarnemerspunt + oriëntatiepunt 1; laser 2 = waarnemerspunt + oriëntatiepunt 2)

Leg het blad papier evenwijdig aan het vlak bepaald door de rechten die de lasers door de ruimte trekken. Zet je gezichtsveld nu evenwijdig aan dit blad papier en zorg dat het blad papier tussen dit vlak en het vlak bepaald door de lasers komt te liggen.

Zo kan de observator de hoek aflezen.

[netslet]

Waarom dit de oplossing is met het minst aantal gebruikte onderdelen (volgens mij)

Die twee lasers zijn nodig omwille van de definitie van hoek (angle = a geometrical figure consisting of two distinct rays issuing from the same point)

Dan hebben we de hoek, moeten we hem enkel nog meten. Aangezien dit niet kan zonder een onderdeel bij te voegen is de optimale oplossing (qua aantal gebruikte onderdelen) er een waarbij zo weinig mogelijk onderdelen hiervoor gebruikt worden.

Een oplossing (zoals de mijne) met 1 onderdeel hiervoor is dus het meest optimaal (qua onderdelenaantal).

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Waarom dit de oplossing is met het minst aantal gebruikte onderdelen (volgens mij)

Die twee lasers zijn nodig omwille van de definitie van hoek (angle = a geometrical figure consisting of two distinct rays issuing from the same point)

Dan hebben we de hoek, moeten we hem enkel nog meten. Aangezien dit niet kan zonder een onderdeel bij te voegen is de optimale oplossing (qua aantal gebruikte onderdelen) er een waarbij zo weinig mogelijk onderdelen hiervoor gebruikt worden.

Een oplossing (zoals de mijne) met 1 onderdeel hiervoor is dus het meest optimaal (qua onderdelenaantal).

Is ook zo. Zelfs een toestel dat vertikaal en horizontaal met kan (los van statief) met een enkel bewegend deel gemaakt worden.

Begrijp je nu een beetje waar ik naartoe wil? Er is voor veel toepassingen een meest eenvoudige versie.

[patrickve]

Oorspronkelijk geplaatst door Flanelcondoom

De meest courante talstelsels hebben een simpele werking die telkens een element van recursie bevat.

Men definieert een cyclus van n telbeurten. Telkens men een cyclus voltooit, noteert men hoeveel keer de cyclus reeds voltooid is. Elke de hoeveelheid reeds voltooide cycli gelijk wordt aan n, telt men ook dat aan de hand van de cyclus, et cetera.

Nu de vraag:

Is dit de meest eenvoudige manier om talstelsels te ontwerpen? Indien ja, kan men bewijzen dat er geen kortere manier bestaat?

Kan men dit veralgemenen voor andere algoritmes? Kan men een algoritme, een bewijstechniek of iets dergelijk verzinnen die ofwel de meest eenvoudige methode construeert, ofwel aantoont dat een bepaalde methode de kortste is?

Geen idee. Meestal breek je je botten als je probeert in alle algemeenheid aan te tonen dat een algorithme "het efficientste" (wat dat ook moge betekenen) is over een zekere verzameling van problemen (als die verzameling groot is).

Ik zou a priori "efficienter" voorstellingen kunnen bedenken dan het
som_i x_i b^i systeem.

Elk natuurlijk getal kan bijvoorbeeld op unieke wijze geschreven worden als een produkt van machten van de priemgetallen. Daar moet iets mee te doen zijn, nietwaar ?

Beschouw de rij der priemgetallen: p1, p2, p3, p4, p5 ....
(p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11,...)

N = product_k (p_j(k)) ^ v(j(k))

waar je dus k getallen j(k) moet opgeven, en k getallen v(j(k)).

Het is voorwaar ingewikkelder, maar misschien efficienter als je met grote getallen werkt ?

[Savatage]

Oorspronkelijk geplaatst door Flanelcondoom

Bewijzen vind ik doorgaans veel eleganter en verlichtender dan praktische toepassingen.

En bovendien heeft het door mij gezochte bewijs een zeer groot nut: het zou namelijk aantonen of een algoritme de meest efficiente is.

Een beetje een kortste pad-probleem. Tellen van het aantal stappen die nodig zijn om een operatie uit te voeren.

Dat hebben wij gezien in 2e en 3e bacchelor, best boeiend

Stochastische programmering (kansen maximaliseren en minimaliseren) in vraagstukken was nog een stuk interessanter.

[De_Laatste_Belg]

Oorspronkelijk geplaatst door Flanelcondoom

Er is voor veel toepassingen een meest eenvoudige versie.

Goe. Gewoon pragmatisch dan. In de hoop dat je getallen kan 'zien' om mij te volgen.

Langs een voetbalveld houdt een oud manneke de score bij.

Voorwaarden:
We beperken ons tot natuurlijke getallen, een doelpunt is 't er één of niet. Halve doelpunten bestaan niet.

Een uitbreiding van het bord om meer 'digits' te kunnen tonen kost 1 euro. Een getal weergegeven in 10 digits kost dus 10 euro.

Een plakkaat met een getal op .. kost 1 euro. We tellen de kost voor een volledige cyclus. Dus een 10tallig stelsel heeft een basis kost van 10 euro.

Het werk om een plakkaat te veranderen kost 1 euro. We tellen de kost (van de handelingen) nodig om tot het getal te tellen.

Om het getal 10 te tonen in een 10-tallig stelsel .....

....moeten we 2 digits kunnen tonen, het bord om dit getal te tonen kost dus 2 euro.

... we hebben 10 plakkaten nodig, kost 10 euro ....

... om tot 10 te tellen moet den oude man 11 keer een plakkaat her-hangen. 11 euro dus.

totaal kost dat allemaal 23 euro.


Om het getal 10 te tonen in een 5-tallig stelsel ....

... moeten we 3 digits kunnen tonen. 3 euro voor 't bord dus.

... we hebben 5 plakkaten nodig. 5 euro dus.

.... 12 keer moet den oude man een plakkaat vervangen. 12 euro dus.

totale kost 20 euro.


de kost voor een willekeurig getal op het bord te zetten is dus:

((getal/cyclus) naar beneden afgerond +1) + (cyclus) + (getal + ((getal/cyclus) naar beneden afgerond)

Als ik die 'wetenschap' nu in een eenvoudig programmaatje steek dat :

1) zoekt wat het goedkoopste talstelsel is om een gegeven getal op 't bord te zetten.

2) het optimale talstelsel (cyclus) in relatie tot het getal in een grafiekje zet

3) wanneer die oplossing gevonden 1 bij het 'gegeven getal' optelt, en vervolgt met stap 1.

Dat programmaatje vind je hier:
http://www.mediafire.com/file/zi2zbjjzevm/flanel.exe

Dan ..... Is het duidelijk dat het optimale talstelsel afhangt van het grootste getal dat je in jouw wiskunde wil bezigen.



Je hebt wel minstens directx 9 nodig om het programmaatje te runnen.

[Dronkoers]

Man, gulle kunt zagen

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door patrickve

Geen idee. Meestal breek je je botten als je probeert in alle algemeenheid aan te tonen dat een algorithme "het efficientste" (wat dat ook moge betekenen) is over een zekere verzameling van problemen (als die verzameling groot is).

Ik zou a priori "efficienter" voorstellingen kunnen bedenken dan het
som_i x_i b^i systeem.

Elk natuurlijk getal kan bijvoorbeeld op unieke wijze geschreven worden als een produkt van machten van de priemgetallen. Daar moet iets mee te doen zijn, nietwaar ?

Beschouw de rij der priemgetallen: p1, p2, p3, p4, p5 ....
(p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11,...)

N = product_k (p_j(k)) ^ v(j(k))

waar je dus k getallen j(k) moet opgeven, en k getallen v(j(k)).

Het is voorwaar ingewikkelder, maar misschien efficienter als je met grote getallen werkt ?

Probleem met priemgetallen is dat ze wispelturig zijn. Er bestaat tot op't heden geen algoritme dat priemen effectief kan traceren.

Maar indien men de priemontbindingen kent, is dit inderdaad eenvoudiger, lijkt mij.
Kijk maar naar residu-talstelsels. Men definieert aan de hand van de rest bij deling door een paar zeer grote priemen een getal (het Chinees theorema legt op die manier getallen ondubbelzinnig vast).

Ik (of iemand hier) zou eigenlijk eens moeten gaan kijken of de efficientie wel stijgt als men grote getallen met priemfactoren noteert en bewerkt.

[Flanelcondoom]

Oorspronkelijk geplaatst door De_Laatste_Belg

Goe. Gewoon pragmatisch dan. In de hoop dat je getallen kan 'zien' om mij te volgen.

Langs een voetbalveld houdt een oud manneke de score bij.

Voorwaarden:
We beperken ons tot natuurlijke getallen, een doelpunt is 't er één of niet. Halve doelpunten bestaan niet.

Een uitbreiding van het bord om meer 'digits' te kunnen tonen kost 1 euro. Een getal weergegeven in 10 digits kost dus 10 euro.

Een plakkaat met een getal op .. kost 1 euro. We tellen de kost voor een volledige cyclus. Dus een 10tallig stelsel heeft een basis kost van 10 euro.

Het werk om een plakkaat te veranderen kost 1 euro. We tellen de kost (van de handelingen) nodig om tot het getal te tellen.

Om het getal 10 te tonen in een 10-tallig stelsel .....

....moeten we 2 digits kunnen tonen, het bord om dit getal te tonen kost dus 2 euro.

... we hebben 10 plakkaten nodig, kost 10 euro ....

... om tot 10 te tellen moet den oude man 11 keer een plakkaat her-hangen. 11 euro dus.

totaal kost dat allemaal 23 euro.


Om het getal 10 te tonen in een 5-tallig stelsel ....

... moeten we 3 digits kunnen tonen. 3 euro voor 't bord dus.

... we hebben 5 plakkaten nodig. 5 euro dus.

.... 12 keer moet den oude man een plakkaat vervangen. 12 euro dus.

totale kost 20 euro.


de kost voor een willekeurig getal op het bord te zetten is dus:

((getal/cyclus) naar beneden afgerond +1) + (cyclus) + (getal + ((getal/cyclus) naar beneden afgerond)

Als ik die 'wetenschap' nu in een eenvoudig programmaatje steek dat :

1) zoekt wat het goedkoopste talstelsel is om een gegeven getal op 't bord te zetten.

2) het optimale talstelsel (cyclus) in relatie tot het getal in een grafiekje zet

3) wanneer die oplossing gevonden 1 bij het 'gegeven getal' optelt, en vervolgt met stap 1.

Dat programmaatje vind je hier:
http://www.mediafire.com/file/zi2zbjjzevm/flanel.exe

Dan ..... Is het duidelijk dat het optimale talstelsel afhangt van het grootste getal dat je in jouw wiskunde wil bezigen.



Je hebt wel minstens directx 9 nodig om het programmaatje te runnen.

Dat (en je vorige post) zijn interessante inzichten. Ik ga even over de gevolgen moeten nadenken.