Raadsel (wiskundig)

[Dies]

Bewijs dat, indien(*)

ac-b²
---------
a-2b+c

&

bd-c²
----------
b-2c+d

de gegeven breuken gelijk zijn aan

ad-bc
--------
a-b-c+d


(*) Aangenomen wordt dat b en c ongelijk zijn.

Bijkomende vraag: Waardoor werd de vraag van de bedenker van deze vraag ingegeven?

[Herman Desmedt ©HD]

Oorspronkelijk geplaatst door Dies

Bewijs dat, indien(*)

ac-b²
---------
a-2b+c

&

bd-c²
----------
b-2c+d

de gegeven breuken gelijk zijn aan

ad-bc
--------
a-b-c+d


(*) Aangenomen wordt dat b en c ongelijk zijn.

Bijkomende vraag: Waardoor werd de vraag van de bedenker van deze vraag ingegeven?

Niet slecht die vraag !

Ben al en paar uur aan 't cijferen en ik weet nog steeds niet of ik wel snap waar ik naar toe moet. De vraag is ook nogal eigenaardig gesteld.

Ben al zover gekomen dat ik iedere breuk gelijk stel aan een functie van a,b,c end d, maar heb nog steeds geen idee van de vorm van die functie.

ad-bc
--------- = F(a,b,c,d)
a-b-c+d

En hetzelfde (met dezelfde functie) voor de andere breuken.

Ik heb spijtig nog wat anders te doen vandaag, maar ga zeker de draad nog terug oppikken.
Misschien heeft iemand anders wat aan dat idee. (geen garantie dat het een goed idee is, maar ik dacht van wel)
Waar het mee te maken heeft is ook giswerk. Misschien wordt dat pas duidelijk als ik weet hoe die functie in mekaar past.

Nog geen hints geven dus ! Ik raak er wel uit !

[Spetsnaz]

ik begrijp het niet goed
hoe kun je bewezen dat (1) gelijk is aan die breuk als daar geen d in staat.
of wat bedoel je met '&' ?

[Herman Desmedt ©HD]

Ik denk dat je de vraag als volgt moet zien:

Bewijs dat, er van uit gaande dat "b" "c" niet gelijk zijn,

Als

ac-b²
---------
a-2b+c

&

bd-c²
----------
b-2c+d

hetzelfde zijn, dat dan de gegeven breuken ook gelijk zijn aan

ad-bc
--------
a-b-c+d

(vandaar mijn functie F(a,b,c,d) )

[Dies]

Oorspronkelijk geplaatst door Herman Desmedt ©HD

Ben al en paar uur aan 't cijferen en ik weet nog steeds niet of ik wel snap waar ik naar toe moet.

Tip: die bijkomende vraag is eigenlijk een tip!

[Herman Desmedt ©HD]

Dies,
had toch graag het antwoord op het volgend
- Zijn we op zoek naar iets dat afhangt van die getallen a,b,c en d ?
- Zijn we op zoek naar een eigenschap tussen a,b,c end d zodat de vooropgestelde breuken gelijk zijn aan elkaar en aan iets anders.
- Nog iets anders

[Dies]

- Er zit een patroon in, je kan een rekenkundige en een meetkundige reeks opstellen.
- Je moet een extra term (k) invoeren om tot een oplossing te komen.

[Herman Desmedt ©HD]

Denk dat ik het heb:

Inplaats van mijn functie F, gebruik ik een constante "k"

ac-b²
--------- = k {1}
a-2b+c

bd-c²
---------- = k {2}
b-2c+d

ad-bc
-------- = k {3}
a-b-c+d

{1} kan herschreven worden als volgt :
ac - b² = k(a-2b+c)
of nog
ac - ka - kc = b² -2bk
voeg aan beide zijden k² toe en hergroepeer:
(a-k)(c-k) = (b-k)²
zelfde voor
{2}
(b-k)(d-k) = (c-k)²

Dus in feite gaat het niet over a,b,c en d maar over a-k, b-k, c-k, d-k
noem A = a-k ; B= B-k; C= c-k ; D= d-k
Dan staat daar AC=B² en BD = C² of nog A/B = B/C en B/C = C/D
Dus evengoed A/B = B/C = C/D
Dus A, B, C en D vormen een meetkundige reeks.
Uit A/B = C/D halen we AD= BC of (a-k)(d-k) = (b-k)(c-k)
k² aan beide kanten schrappen geeft
ad-kd-ak = bc-kb-kc
ad-bc = k(a-b-c+d)

ad-bc
--------- = k
a-b-c+d

Wel vergezocht: De maker van die puzzel zocht 4 getallen a,b,c en d die k eenheden groter zijn dan een geometrische reeks A B C D
Waarom ???? Dat is me nog niet helemaal duidelijk !

[Dies]

Ik zal het morgen uitleggen en in het Nederlands uitschrijven, maar op deze website staat het eveneens: http://www.cms.math.ca/Competitions/...2/sol_mar.html

[Herman Desmedt ©HD]

Toffe site met allerlei interessante vragen.

Maar de bijkomende vraag:
"Waardoor werd de vraag van de bedenker van deze vraag ingegeven?"
is me nog steeds niet duidelijk.

[Dies]

Ik zal je er nog een nachtje laten over slapen en van wakker laten liggen. Als je het morgen nog niet weet, wil ik het wel uitleggen. Nog veel plezier

P.S. Ik kreeg deze vraag van mijn leeraar wiskunde toen ik een jaar of 13was, omdat hij mijn vragen e.d. beu was. Het heeft mij toen meer dan 3weken gekost alvorens ik hem begreep, mijn leeraar kon er echter minder om lachen dan mijn vriendjes toen ik hem trots kwam uitleggen hoe ik tot de oplossing was gekomen.

[Herman Desmedt ©HD]

Oorspronkelijk geplaatst door Dies

Ik zal je er nog een nachtje laten over slapen en van wakker laten liggen. Als je het morgen nog niet weet, wil ik het wel uitleggen. Nog veel plezier

P.S. Ik kreeg deze vraag van mijn leeraar wiskunde toen ik een jaar of 13was, omdat hij mijn vragen e.d. beu was. Het heeft mij toen meer dan 3weken gekost alvorens ik hem begreep, mijn leeraar kon er echter minder om lachen dan mijn vriendjes toen ik hem trots kwam uitleggen hoe ik tot de oplossing was gekomen.

Ha zo, nu snap ik het !
Awel, ge waart niet de enige met dat probleem (hoewel ik dan een paar jaar ouder was)!

[Herman Desmedt ©HD]

Een mogelijkheid is dat het gaat om een verpakkingsprobleem.
K = dikte van de verpakking.
a-k, b-k, c-k, d-k = meetkundige reeks. Dus de dingen die moeten gestockeerd worden voldoen op één of andere manier aan die meetkundige reeks.

Simpel voorbeeld: papier

A4 bladen hebben afmetingen 21 * 29,63 cm (factor ongeveer vierkantswortel 2)
A3 bladen hebben 42 * 29,63
A2 bladen hebben 42 * 59,26

21 29,63 42 59,26 is een meetkundige reeks.
De verpakking errond heeft een zekere dikte en er moet ook speling zijn om er voor te zorgen dat het papier niet klem zit.
waarschijnlijk was de bedoeling een ideale factor k te vinden en is de bedenker op 3 verschillende mogelijke formules voor k gekomen.

Papier voldoet aan een meetkundige reeks in 2 dimensies. Het kan evengoed in 3 dimensies. Meetkundige factor derdemachtswortel uit 2 tussen hoogte, breedte, lengte. (IK heb daar ooit eens een studietje van gemaakt voor geoptimiseerde opslag in intermodal-containers. )

Andere, meer fysische toepassing ?

[Dies]

1) Het is duidelijk dat door de oplossing te forceren met behulp van lange vormloze berekeningen en nadien de uitkomsten te vergelijken we geen stap dichter gaan komen bij de kern van het probleem.
2) Het patroon van de vraag bevat volgende aspecten:
ac-b²=0 is de voorwaarde voor de 3grootheden a,b,c om een meetkundige reeks te vormen.
De teller van de 1ste breuk is ac-b² en een soortgelijke uitdrukking komt voor in de teller van de 2de breuk.
In de noemers hebben we a-2b+c en b-2c+d, die geassocieerd worden met rekenkundige reeksen waarbij a-2b+c=0 de voorwaarde is voor a,b,c om een rekenkundige reeks te vormen.
3) Er bestaat een regel waarmee de noemers kunnen worden afgeleid van de tellers. Zo hebben we bijvoorbeeld in de 3de breuk a en d vermenigvuldigd in de teller (ad) en opgeteld in de noemer (a+d). De negatieve termen zijn op gelijkaardige wijze met elkaar gekoppeld; in de teller -bc en in de noemer -(b+c).
Deze regel gaat ook op voor de 1ste 2breuken. In de 1ste breuk bv. -b²=bb en in de noemer staat -(b+b) (ofwel -2b)
4) De sleutel om het ganse gebeuren op te lossen, ligt hem in het feit dat het quasi onmogelijk is om iets zo verknoopt als dit zomaar te bedenken.
De noodzakelijke vraag die we ons dan ook moeten stellen om het probleem te kunnen oplossen is: "hoe kwam de bedenker ervan op het probleem?". Naar alle waarschijnlijkheid was hij op zoek geweest naar de voorwaarden voor iets.
5) De voor de hand liggende werkwijze is op dat ogenblik de introductie van k, zodat we krijgen:
Als {breuk1} = k (I)
en {breuk2} = k (II)
bewijs dat: {breuk3} = k (III)
6) Verschillende methode zijn nu mogelijk om tot een bewijs te komen, de meest 'bevredigende' is volgens mij echter:
- Vergelijking (I) schrijven we als: ac-k(a+c)=b²-2bk
Vervolgens voegen we een factor k² toe in zowel het linker als rechter lid
Op die wijze wordt het kwadraat in het rechterlid "gecomplementeerd" en krijgen we (b-k)² en (a-k)(c-k) als linkerlid.
Dus: (a-k)(c-k)=(b-k)²
7) Dat wil zeggen dat vergelijking (I) uitdrukt dat a-k, b-k en c-k termen zijn in een meetkundige reeks.
8) Analoog bekomen we dat vergelijking (II) aantoont dat b-k, c-k en d-k termen zijn in een meetkundige reeks. Dus a-k, b-k en d-k zijn termen in een meetkundige reeks. ! Als we de eerste en de vierde term in een meetkundige reeks met elkaar vermenigvuldigen dan is de uitkomst gelijk aan het product van de 2de en de 3de term!
Zo bekomen we dat: (a-k)(d-k) = (b-k)(c-k)
9) De volgende stap zijn enkele eenvoudige wiskundige berekeningen: we vermeningvuldigen dit uit, elimineren k² eruit en lossen tenslotte de daaruitvolgende lineaire vergelijking voor k op. Zo bekomen we vergelijking (III) !
10) Aldus bewezen wat we moesten bewijzen, recapituleren we de eigenlijke essentie van het probleem: "welke vraag stelde de bedenker van deze vraag zich bij het opstellen van dit probleem?"!
De oplossing ligt nu voor de hand (8+9): Wat is de voorwaarde waaraan 4getallen a,b,c en d dienen te voldoen als we een meetkundige reeks willen krijgen door elk met hetzelfde getal te verminderen!

[Herman Desmedt ©HD]

Maar WAAROM stelt die vraagsteller zich de vraag
"Wat is de voorwaarde waaraan 4 getallen a,b,c en d dienen te voldoen als we een meetkundige reeks willen krijgen door elk met hetzelfde getal te verminderen!"

Verpakking van iets of iets fysisch ?