How the mind works?

[Big_daddy]

Oorspronkelijk geplaatst door Zijne Heerlijkheid

Zeg nu zelf: moest dat de oplossing zijn, zou deze topic niet bestaan.

De 'geschiedenis' van het spel jusit is helemaal niet irrelevant.
Stel: je hebt 1000 bekers. Je kiest er één. 1 kans op 1000.

De presentator neemt er 998 weg. Hoe vaak denk je dat het muntstuk onder de door jou gekozen beker zal liggen.

Of beweer je dat jij, elke keer dat je het spel speelt, er uit 1000 bekers 1 weet te halen, waarbij de kans 1 op 2 bedraagt dat het muntstuk eronder ligt. Dat zou wel heel erg sterk zijn, niet?

Het zou ook straf zijn dat het altijd net in die andere beker zou liggen....

[Bhairav]

Idd, over het ganse spel heen klopt dat wel. "Statistisch" gezien dan.
Maar bij de tweede (eventuele) keuze is de kans toch 50%?

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Het zou ook straf zijn dat het altijd net in die andere beker zou liggen....

Wat je eigenlijk wilt zeggen: Het zou ook straf zijn dat het altijd net in die 999 andere bekers zou liggen...

Want naargelang waar het muntje ligt, wordt er een andere set bekers uit die 999 overblijvers omgedraaid.

[Zijne Heerlijkheid]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Het zou ook straf zijn dat het altijd net in die andere beker zou liggen....

Neen, want de kans dat het in de andere beker ligt, bedraagt (in mijn voorbeeld) 999/1000.
[SIZE=2]
De kans dat het twee keer na elkaar in die andere beker ligt, bedraagt [/SIZE](999/1000) in het kwadraat, [SIZE=2]de kans dat het drie keer na elkaar in die andere beker ligt, bedraagt [/SIZE](999/1000) tot de derde macht, etc...

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door Zijne Heerlijkheid

De vraag is nu: kende Netslet het vraagstuk al of is ie heel erg slim?

Dat laatste zou me, gezien zijn ideologische overtuiging, trouwens niet verbazen. 8)

Ik kende het vraagstuk nog niet, maar om daaruit af te leiden dat ik heel erg slim ben lijkt me toch wat ver te gaan. Wel heb ik een vrij sterk ontwikkeld logisch inzicht.

Ik ben er trouwens van overtuigd dat er niet bijster veel correlatie is tussen ideologische overtuiging en intelligentie, het is volgens mij eerder het kader welks de mensen gebruiken om dingen te zien dat de mensen in een ideologisch vakje propt, evenzeer als wat de mensen uit hun omgeving van ideologische overtuiging hebben.

[samaey]

De a priori kansen zijn gelijk voor de 3 volgende situaties, nl. 1/3 kans dat de munt in beker 1 zit, 1/3 kans dat de munt in beker 2 zit en 1/3 kans dat de munt in beker 3 zit.

Voor alle 3 de situaties (die trouwens maar simpele permutaties zijn) is de redenering gelijklopend :

Muntstuk in 1ste beker : (.) ( ) ( )
- beker 1 gekozen : niet veranderen is de beste keuze
- beker 2 gekozen : veranderen (naar beker 1) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 3de beker omdraaien
- beker 3 gekozen : veranderen (naar beker 1) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 2de beker omdraaien

Muntstuk in 2de beker : ( ) (.) ( )
- beker 1 gekozen : veranderen (naar beker 2) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 3de beker omdraaien
- beker 2 gekozen : niet veranderen is de beste keuze
- beker 3 gekozen : veranderen (naar beker 2) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 1ste beker omdraaien

Muntstuk in 3de beker : ( ) ( ) (.)
- beker 1 gekozen : veranderen (naar beker 3) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 2de beker omdraaien
- beker 2 gekozen : veranderen (naar beker 3) is de beste keuze want de oplichter moet de lege 1ste beker omdraaien
- beker 3 gekozen : niet veranderen is de beste keuze

In alle 3 de situaties heeft "veranderen van keuze" een 2/3 kans op succes en "niet veranderen van keuze" 1/3 kans op succes. Dit gaat tegen onze intuïtie in, zeker omdat we er vanuit gaan dat de oplichter ons van ons stuk wil brengen.

[Big_daddy]

Bon, hoe groter je de getallen neemt hoe duidelijker het wordt wat jullie eigenlijk, feitelijk willen zeggen.

De kans om te verliezen (de kans op een leeg bekertje ), bij meer dan twee bekertjes is groter dan de kans op winst, zodus als je een tweede keuzemogelijkheid krijgt waarbij een heel groot deel van de niet-gekozen bekertjes ( alles samen staan ze gelijk aan de kans dat je niet juist gekozen hebt ) weg neemt dan vergroot je je kans op winst door te kiezen voor de oorspronkelijke kans op verlies.

Bij drie bekertjes is je kans op verlies gelijk aan de twee niet-gekozen bekertjes (2/3). Bij een "herkansing" kies je dus voor die 2/3... dus je wijzigt in het voordeel van de niet-gekozen bekertje(s).

Maar geef toe: hoe kleiner het aantal bekertjes ( hoe meer dus de kans op 50% "benaderd" wordt, hoe gelijkwaardiger de keuzes worden, niet ?

[Zijne Heerlijkheid]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Ik kende het vraagstuk nog niet, maar om daaruit af te leiden dat ik heel erg slim ben lijkt me toch wat ver te gaan. Wel heb ik een vrij sterk ontwikkeld logisch inzicht.

Ik ben er trouwens van overtuigd dat er niet bijster veel correlatie is tussen ideologische overtuiging en intelligentie, het is volgens mij eerder het kader welks de mensen gebruiken om dingen te zien dat de mensen in een ideologisch vakje propt, evenzeer als wat de mensen uit hun omgeving van ideologische overtuiging hebben.

Weet je, die smilies staan daar wel degelijk een functie te hebben.
Niet alles wat ik hier deponeer, dient even serieus opgenomen te worden.

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door Twanne

Er zit hier een klein foutje in: je kiest eerst, dan wordt er een LEEG bekertje getoond (een van de 2 die je niet gekozen hebt) en dan mag je eventueel wisselen...
't is maar dat je het weet.

ps: ben jij statisticus van opleiding ofzo?

Er zit geen klein foutje in

Ik kan vanaf het begin al die 2 keuzes maken (welk bekertje + wisselen of niet), dat maakt allemaal niets uit, want ik krijg toch zowieso een leeg bekertje getoond.

Ik ben geen statisticus maar wel zeer geïnteresseerd in electronica en informatica, ook heb ik recent wat gelezen over Bayesiaanse kansleer, Game Theory, etc...

[samaey]

Met 4 bekers is de situatie als volgt :

(.) ( ) ( ) ( )
- 1 gekozen : niet veranderen is de beste keuze
- 2 gekozen : oplichter kan 3 of 4 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans
- 3 gekozen : oplichter kan 2 of 4 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans
- 4 gekozen : oplichter kan 2 of 3 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans

Er zijn nog 3 andere permutaties maar de redenering is telkens analoog.

Resultaat :
- "niet veranderen" geeft 1/4 kans op winst
- "veranderen" geeft 3/4 * 1/2 = 3/8 kans op winst

Volgens mij valt dit te veralgemenen voor n bekers en 1 muntstuk :
- "niet veranderen" geeft 1/n kans op winst
- "veranderen" geeft (n-1)/(n*(n-2))

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Maar geef toe: hoe kleiner het aantal bekertjes ( hoe meer dus de kans op 50% "benaderd" wordt, hoe gelijkwaardiger de keuzes worden, niet ?

Wel is dit spel nogal lastig speelbaar met 2,00000001 bekertje

Maar je redenering is inderdaad juist, bij 3 bekertjes: 1/3 tov 2/3; bij 4 bekertjes 1/4 tov 3/4, etc...

[samaey]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Maar geef toe: hoe kleiner het aantal bekertjes ( hoe meer dus de kans op 50% "benaderd" wordt, hoe gelijkwaardiger de keuzes worden, niet ?

Integendeel ! Het verschil is maximaal bij 3 bekers en wordt pas 0 bij oneindig veel bekers.

(n-1)/(n*(n-2)) -> 1/n op oneindig

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door samaey

Met 4 bekers is de situatie als volgt :

(.) ( ) ( ) ( )
- 1 gekozen : niet veranderen is de beste keuze
- 2 gekozen : oplichter kan 3 of 4 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans
- 3 gekozen : oplichter kan 2 of 4 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans
- 4 gekozen : oplichter kan 2 of 3 tonen, als je verandert naar 1 van de 2 overblijvende potjes dan heb je 1/2 kans

Er zijn nog 3 andere permutaties maar de redenering is telkens analoog.

Resultaat :
- "niet veranderen" geeft 1/4 kans op winst
- "veranderen" geeft 3/4 * 1/2 = 3/8 kans op winst

Volgens mij valt dit te veralgemenen voor n bekers en 1 muntstuk :
- "niet veranderen" geeft 1/n kans op winst
- "veranderen" geeft (n-1)/(n*(n-2))

Je redenering klopt niet, want 1/4 (niet veranderen) + 3/8 (wel veranderen) is niet gelijk aan 1.

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door samaey

Integendeel ! Het verschil is maximaal bij 3 bekers en wordt pas 0 bij oneindig veel bekers.

Het is net omgekeerd. Het verschil bij 3 bekers is: 2/3 - 1/3 = 1/3

Het verschil bij 4 bekers is 3/4 - 1/4 = 2/4

Hoe meer bekers hoe groter het verschil tussen de winstkansen bij wisselen of niet.

[samaey]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Je redenering klopt niet, want 1/4 (niet veranderen) + 3/8 (wel veranderen) is niet gelijk aan 1.

1/4 + 3/8 is inderdaad niet gelijk aan 1. Bij verandering van keuze heb je namelijk ook nog steeds 50% kans om een foute keuze te maken. Bij 3 bekertjes was dit niet mogelijk.

[Big_daddy]

Oorspronkelijk geplaatst door samaey

Integendeel ! Het verschil is maximaal bij 3 bekers en wordt pas 0 bij oneindig veel bekers.

(n-1)/(n*(n-2)) -> 1/n op oneindig

Het minimum is 2 bekers dat geeft 1/2 zodus 50 %... Hoe meer het aantal bekertjes de 2 "beandert" hoe meer de kans 50 % "benadert".

Hoe kom je in godsnaam aan "maximaal bij 3" ?

Uw uitdrukking "...wordt pas 0 bij oneindig veel bekers", kan ik nog volgen in de zin dat bv 1/10000000000000000000000000000000000000000000000 , oneindig klein (nul) "benadert".

[netslet]

Oorspronkelijk geplaatst door samaey

1/4 + 3/8 is inderdaad niet gelijk aan 1. Bij verandering van keuze heb je namelijk ook nog steeds 50% kans om een foute keuze te maken. Bij 3 bekertjes was dit niet mogelijk.

Je hebt eigenlijk de situatie fout uitgebreid. Tijdens het moment dat kan gewisseld worden moeten alle niet gekozen bekertjes buiten eentje omgedraaid worden.

[Twanne]

pff, nu kan ik er zelf allemaal niet meer aan uit!!

[samaey]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Het is net omgekeerd. Het verschil bij 3 bekers is: 2/3 - 1/3 = 1/3

Het verschil bij 4 bekers is 3/4 - 1/4 = 2/4

Hoe meer bekers hoe groter het verschil tussen de winstkansen bij wisselen of niet.

Bij 3 bekers : 1/3 vs 2/3 (1/2 verhouding)
Bij 4 bekers : 1/4 vs 3/8 (2/3 verhouding)
Bij 5 bekers : 1/5 vs 4/15 (3/4 verhouding)
Bij 6 bekers : 1/6 vs 5/24 (4/5 verhouding)
...
Bij oneindig veel bekers wordt dit 1/1

[Twanne]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Je hebt eigenlijk de situatie fout uitgebreid. Tijdens het moment dat kan gewisseld worden moeten alle niet gekozen bekertjes buiten eentje omgedraaid worden.

En die bekers die wel worden omgedraaid, daar mag de muntstuk niet onderliggen.
Maar het is dus duidelijk: velen denken dat het 1/2 wordt van zodra dat ene bekertje wordt omgedraaid. En daar zit de fout in de redenering, cognitieve disonantie noemen ze dat geloof ik. Zie Steven Pinker