How the mind works?

[Twanne]

Oorspronkelijk geplaatst door netslet

Voor de mensen die mijn redeneringen niet kunnen of willen volgen (blijkbaar iedereen buiten mij): dus laten we de situatie eens volledig uitwerken

( ) := leeg bekertje
(.) := bekertje met muntje onder

Stel dat je volgende reeks voor je neus krijgt (uiteraard zie je zelf niet waar de munt ligt):

(.)( )( )

Er zijn nu 6 mogelijkheden:

1. Ik kies eerst bekertje 1 en wissel niet
2. Ik kies eerst bekertje 1 en wissel wel
3. Ik kies eerst bekertje 2 en wissel niet
4. Ik kies eerst bekertje 2 en wissel wel
5. Ik kies eerst bekertje 3 en wissel niet
6. Ik kies eerst bekertje 3 en wissel wel

Situatie 1: Ik kies eerst bekertje 1 en wissel niet: WIN!
Situatie 2: Ik kies eerst bekertje 1 en wissel wel:
de keuze wordt dus (.)( ) en er wordt gewisseld dus: VERLIES!
Situatie 3: Ik kies eerst bekertje 2 en wissel niet: VERLIES!
Situatie 4: Ik kies eerst bekertje 2 en wissel wel:
de keuze wordt dus (.)( ) en er wordt gewisseld dus: WINST!
Situatie 5: Ik kies eerst bekertje 3 en wissel niet: VERLIES!
Situatie 6: Ik kies eerst bekertje 3 en wissel wel:
de keuze wordt dus (.)( ) en er wordt gewisseld dus: WINST!

Als er niet gewisseld wordt (situaties 1,3 en 5): wordt er 1 keer gewonnen en 2 keer verloren, de kans om te winnen als men niet wisselt is dus 1/3

Als er wel gewisseld wordt (situaties 2,4 en 6): wordt er 2 keer gewonnen en 1 keer verloren, de kans om te winnen als men wisselt is dus 2/3

De situatie-schets met (.)( )( ) is analoog met de situaties ( )(.)( ) en ( )( )(.)

Er zit hier een klein foutje in: je kiest eerst, dan wordt er een LEEG bekertje getoond (een van de 2 die je niet gekozen hebt) en dan mag je eventueel wisselen...
't is maar dat je het weet.

ps: ben jij statisticus van opleiding ofzo?

[Zijne Heerlijkheid]

De vraag is nu: kende Netslet het vraagstuk al of is ie heel erg slim?

Dat laatste zou me, gezien zijn ideologische overtuiging, trouwens niet verbazen. 8)

[Supe®Staaf]

Ik vind dat die 2/3 niet langer geldt na wegname van een leeg bekertje.
Die 2/3 is slechts geldig zolang de 2 bekers onbekend blijven.
Als er maar één overschiet, dan is het zoals Bhairav en Big Daddy zien: 1/2.

[Meems]

Hallo, jullie maken het wel erg heel moeilijk hoor. zo moeilijke berekeningen sommigen geven ..... 1/3 of 2/3 of 50/50 enz...

Het gaat hier om DENKEN, niet te veel rekenen, allé ja zo bekijk ik het.

Er zijn drie bekers : één waar je denkt dat het geldstuk onder ligt, één krijg je te zien waar het niet onder ligt. Blijft één over.
Eén kans op twee dat je juist gekozen hebt : pak dan maar die andere zou ik zeggen; dus VERANDER. Hij wil je gewoon in de waan laten dat je wint door dat lege bekertje te tonen.

De andere oplossing is : HOU je keuze, je eerste gedacht is altijd het beste.

[Supe®Staaf]

Oorspronkelijk geplaatst door Meems

Hallo, jullie maken het wel erg heel moeilijk hoor. zo moeilijke berekeningen sommigen geven ..... 1/3 of 2/3 of 50/50 enz...

Het gaat hier om DENKEN, niet te veel rekenen, allé ja zo bekijk ik het.

Er zijn drie bekers : één waar je denkt dat het geldstuk onder ligt, één krijg je te zien waar het niet onder ligt. Blijft één over.
Eén kans op twee dat je juist gekozen hebt : pak dan maar die andere zou ik zeggen; dus VERANDER. Hij wil je gewoon in de waan laten dat je wint door dat lege bekertje te tonen.

De andere oplossing is : HOU je keuze, je eerste gedacht is altijd het beste.

Dat zijn inderdaad de twee keuzes..........

[Big_daddy]

Oorspronkelijk geplaatst door Zijne Heerlijkheid

Inderdaad.

Eén of andere hoogbegaafde vrouw -haar naam ontsnapt me- loste deze vraag als eerste op. Ze kreeg toen heel wat kritiek te verwerken van onder andere wiskundigen. Wiskundigen die haar later evenwel allemaal gelijk moesten geven...

De vraag is nu: kende Netslet het vraagstuk al of is ie heel erg slim?

[SIZE=1]
[/SIZE]

Komt het vraagstuk niet uit "het magisch labyrint" ?

[Zijne Heerlijkheid]

Oorspronkelijk geplaatst door Supe®Staaf

Bhairav heeft dus gelijk dat je van in 't begin in een 1/2 zit.

Nee, want jij kan aanvankelijk sowieso kiezen uit 3 bekers. Wat de presentator weet, maakt helemaal niets uit.
De kans dat je fout gekozen hebt, blijft 2 op 3, ook wanneer de presentator een foute beker omdraait.

[Meems]

En het waarom = héél belangrijk !

[Bhairav]

Oorspronkelijk geplaatst door Zijne Heerlijkheid

Nee, want jij kan aanvankelijk sowieso kiezen uit 3 bekers. Wat de presentator weet, maakt helemaal niets uit.
De kans dat je fout gekozen hebt, blijft 2 op 3, ook wanneer de presentator een foute beker omdraait.

Daar zit toch geen logica achter? Want ge moet pas definitief kiezen NA dat ene bekerke weg is.

[Twanne]

Oorspronkelijk geplaatst door Zijne Heerlijkheid

Nee, want jij kan aanvankelijk sowieso kiezen uit 3 bekers. Wat de presentator weet, maakt helemaal niets uit.
De kans dat je fout gekozen hebt, blijft 2 op 3, ook wanneer de presentator een foute beker omdraait.

Wat de presentator weet is heel belangrijk: hij weet onder welk bekertje het munstuk zit. En dus zal hij na de eerste keuze alleen een bekertje omdraaien waar niets onder zit.

[Meems]

Dat je fout gekozen hebt = 2 op drie.
Maar nadien heb je 1/2 kans dat je wint !

[Bhairav]

Oorspronkelijk geplaatst door Meems

Dat je fout gekozen hebt = 2 op drie.
Maar nadien heb je 1/2 kans dat je wint !

Idd ik snap ni hoe sommigen da gewoon ni zien.

[Zijne Heerlijkheid]

Oorspronkelijk geplaatst door Twanne

Wat de presentator weet is heel belangrijk: hij weet onder welk bekertje het munstuk zit. En dus zal hij na de eerste keuze alleen een bekertje omdraaien waar niets onder zit.

Uiteraard.
Ik bedoelde slechts dat de kennis van de presentator niets verandert aan het feit dat de kans dat je fout gekozen hebt altijd 2/3 blijft, ook na het wegnemen van 1 foute beker. Zodus blijft er 1 beker over die die (2/3)-kans 'draagt'.

Enfin, ik krijg het heus niet deftig uitgelegd of zo. Maar Netslets oplossing is wel de enige juiste.

[Big_daddy]

Hij blijft de kansen die het weggehaalde bekertje betreft mee in rekening brengen, maar die zijn in de TWEEDE spelsituatie irrelevant geworden. Je kunt niet meer kiezen voor dat weggehaald bekertje, je rekent dan ook niet meer met 1/3 maar wel met 1/2.

Oorspronkelijk ( eerste spelsituatie ) waren er drie bekertjes en een muntstuk , de kans om het juiste bekertje te kiezen is 1/3 en de kans op het verkeerde bekertje is 2/3 ( samen geeft dat 1/3 + 2/3 = 1 ).
Dat je in die eerste spelsituatie juist voor had is 1/3 en verkeerd is 2/3.
Maar nu verandert de situatie; er wordt een beker weg genomen en er blijven er dus twee over. Ga je nu veranderen of niet ? Vanuit deze situatie is er geen 2/3 kans op verlies maar 1/2 evenveel als op winst. Maar niet wanneer je het vanuit de eerste spelsituatie bezient en dus blijft rekenen op drie bekertjes want dan is er nog steeds 1/3 kans op winst. Maar de situatie is veranderd.

Uiteindelijk blijven er twee bekertjes achter, en die euro is niet veranderd van plaats die ligt nog waar die lag: onder EEN van de TWEE overgebleven bekertjes ( die nieuwe sitautie noemt de kansberekening 1/2 )...

[Sfax]

Netslet heeft wel degelijk gelijk; 't is een kwestie van wat met voorwaardelijke kansen te spelen; de verschillende evenementen (het feit of de munt zich al dan niet onder de beker bevindt, en het wegnemen van één beker), zijn geen onafhankelijke gebeurtenissen (diegene die de potjes omkeert weet immers wat waar zit)... Beetje gelinkt aan speltheorie ook...

Stel
M1 tem M3: de munt bevindt zich in potje 1 tem 3
B1 tem B3: Beker 1 tem 3 wordt omgekeerd.

Stel dat je Beker 1 aanwijst en dat de andere beker 2 omkeert; de kans dat de munt onder beker 3 zit is dan P(M3|B2). Volgens Bayes is dat:

P(M3|B2) = P(B2|M3)*P(M3) / P(B2)

P(M3) is de kans dat de munt onder beker 3 zit; dit is 1/3
P(B2|M3) is de kans dat beker 2 wordt omgedraaid als de munt in beker 3 zit; vermits je beker 1 aangewezen hebt is dit gelijk aan 1 (de tegenpartij toont jou sowieso de beker waar de munt niet onder zit; vermits jij beker 1 aanwijst en de munt in beker 3 zit,,moet hij sowieso beker 2 omdraaien).

P(B2) is de kans dat beker 2 omgedraaid wordt is (opnieuw Bayes):

P(B2) = P(B2|M1)*P(M1) + P(B2|M2)*P(M2) + P(B2|M3)*P(M3) =
P(B2) = 0,5 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 *1/3 = 0,5

(P(B2|M1) is 1/2; als je het potje waaronder de munt zich bevindt aanwijst, kan de andere één van beide omdraaien dus 1 kand op 2 dat hij beker 2 omdraait; P(B2|M2) is 0; als de munt in beker 2 zit zallhij die sowieso niet omdraaien; P(B2|M3) is 1; als je beker 1 aanwijst en de munt zit onder beker 3, dan moet hij sowieso beker 2 omdraaien).

Oftewel:

P(M3|B2) = 2/3 (de kans dat de munt zich onder beker drie bevindt, wanneer jij beker 1 kiest en de andere beker 2 omdraait)


Belangrijkste clue hier is dat het al dan niet correct zijn van jouw eerste gok, en het omdraaien van die andere beker niet onafhankelijk zijn van elkaar!

[Twanne]

Het zit zo ineen (netslet heeft inderdaad juist geredeneerd):
Je kiest een bekertje, je kans is nu een op drie. Dit bekertje wordt apart genomen, de twee andere bekertjes hebben een kans van 2/3. De presentator, die weet onder welk bekertje het muntstuk zit (heel belangrijk gegeven) draait een leeg bekertje om in die groep van 2/3. Nu heb je nog steeds twee bekertjes: het gekozen en het andere.
Nu MOET je wisselen. Want het bekertje dat je eerst gekozen hebt is 1 kans op drie (nog steeds), het andere is 2/3 geworden. Heel belangrijk hier is dat de presentator in de groep van 2, nooit het bekertje zal omdraaien waar het muntstuk niet onderligt. Dus als het bekertje in die groep ligt (en die kans is dus 2/3) zal het verborgen blijven.
Als netslet of zijne heerlijkheid dit nog kunnen verduidelijken, ga je gang.

[Bhairav]

Ik denk da ge een paar verwarrende fouten geschreven hebt. (Uw redenering is denk ik wel juist... )

[Meems]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Hij blijft de kansen die het weggehaalde bekertje betreft mee in rekening brengen, maar die zijn in de TWEEDE spelsituatie irrelevant geworden.


Uiteindelijk blijven er twee bekertjes achter, en die euro is niet veranderd van plaats die ligt nog waar die lag: onder EEN van de TWEE overgebleven bekertjes ( die nieuwe sitautie noemt de kansberekening 1/2 )...

Ja zo is het : 1/2 om te winnen : één bekertje is volledig uitgesloten. En wie het anders durft te beweren, moet terug naar school !

[Zijne Heerlijkheid]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Hij blijft de kansen die het weggehaalde bekertje betreft mee in rekening brengen, maar die zijn in de TWEEDE spelsituatie irrelevant geworden.


Uiteindelijk blijven er twee bekertjes achter, en die euro is niet veranderd van plaats die ligt nog waar die lag: onder EEN van de TWEE overgebleven bekertjes ( die nieuwe sitautie noemt de kansberekening 1/2 )...

Zeg nu zelf: moest dat de oplossing zijn, zou deze topic niet bestaan.

De 'geschiedenis' van het spel is helemaal niet irrelevant.
Stel: je hebt 1000 bekers. Je kiest er één. 1 kans op 1000.

De presentator neemt er 998 weg. Hoe vaak denk je dat het muntstuk onder de door jou gekozen beker zal liggen?

Of beweer je dat jij, elke keer dat je het spel speelt, er uit 1000 bekers 1 weet te halen, waarbij de kans 1 op 2 bedraagt dat het muntstuk eronder ligt? Dat zou wel heel erg sterk zijn, niet?

[Sfax]

Oorspronkelijk geplaatst door Big_daddy

Hij blijft de kansen die het weggehaalde bekertje betreft mee in rekening brengen, maar die zijn in de TWEEDE spelsituatie irrelevant geworden.

Nee, die zijn juist niet irrelevant aangezien de andere weet waar de munt zich bevindt. Bovendien mag hij enkel een beker omdraaien die jij niet gekozen hebt. De voorgeschiedenis speelt dus wel degelijk een rol.